梅立泉, 郭士民

(西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安 710049)

0 引言

等離子體是指由帶電粒子(電子、離子、帶電荷的塵埃等)和中性粒子組成的、具有集體行為的準(zhǔn)中性氣體團(tuán)。恒星、星際介質(zhì)、核聚變裝置中的電離氣體、黑洞吸積盤、地球磁層等物質(zhì)均屬于等離子體的范疇。宇宙中超過(guò)99%的可見物質(zhì)由等離子體組成，包括作為天體物理和空間物理主要研究對(duì)象的各種尺度下的天體，如恒星、星際介質(zhì)、星系、星系團(tuán)等等。當(dāng)前空間工程應(yīng)用的重點(diǎn)區(qū)域–近地外太空都是等離子體(一般地球表層60 公里到1 000 公里的大氣層都是等離子體，像神九飛船飛行的高度為220 公里到330 公里)。所以，等離子體物理在空間科學(xué)研究和空間工程應(yīng)用中具有非常重要的地位。天體物理以及空間物理中觀測(cè)到的大量現(xiàn)象都是由等離子體的原理和規(guī)律描述的。這些現(xiàn)象包括行星形成、太陽(yáng)耀斑、恒星形成、太陽(yáng)以及恒星星風(fēng)、粒子加速、黑洞吸積與噴流、伽瑪射線暴、黑洞撕裂恒星事件、超新星爆發(fā)、星系形成與演化、宇宙大尺度結(jié)構(gòu)等等。目前，在這些現(xiàn)象的數(shù)值模擬、半解析研究中，大多數(shù)工作都不得不只專注于大尺度的行為，但現(xiàn)象本身是多尺度的。因此，當(dāng)前最急需的工作是仔細(xì)研究這些天文現(xiàn)象更具體的物理過(guò)程，研究其更精細(xì)的數(shù)學(xué)模型，并開展模型求解的數(shù)值方法研究和數(shù)值模擬工作。磁流體動(dòng)力學(xué)模型是科學(xué)研究與工程應(yīng)用中的一個(gè)基本數(shù)學(xué)模型，在航空航天、天體物理以及受控核聚變中有重要的應(yīng)用前景。

目前等離子體物理中的數(shù)值模擬基本都是基于整數(shù)階的動(dòng)力學(xué)方程[1–4]。但是，這些整數(shù)階方程只是等離子體物理中實(shí)際問(wèn)題的一種近似模型，在考慮了反常擴(kuò)散之后，這些問(wèn)題完全用整數(shù)階方程刻畫是不夠準(zhǔn)確的，需要考慮分?jǐn)?shù)階模型。

近幾十年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微分方程逐漸引入并越來(lái)越多地應(yīng)用于反常擴(kuò)散、粘彈性材料、信號(hào)與圖像處理、系統(tǒng)識(shí)別、石油滲流、管道的邊界層效應(yīng)、金融以及分形理論等應(yīng)用領(lǐng)域。以統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走模型為例，由于時(shí)間和空間的非局域性，模型中粒子束的傳播速度并不符合經(jīng)典的Brown 運(yùn)動(dòng)理論，不滿足Fick 定律而表現(xiàn)為反常擴(kuò)散行為，從而相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型也有別于經(jīng)典的擴(kuò)散方程。事實(shí)上，許多復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)也都包含反常擴(kuò)散。由于分?jǐn)?shù)階微積分具有的歷史依賴與非局部的特性比較適合刻畫反常擴(kuò)散中的記憶性和非局部性質(zhì)，因而分?jǐn)?shù)階方程比整數(shù)階方程更能有效地描述這些復(fù)雜系統(tǒng)。分?jǐn)?shù)階微分方程已經(jīng)引起了人們廣泛的關(guān)注，逐漸成為一個(gè)新的活躍的研究領(lǐng)域。隨著涉及的應(yīng)用領(lǐng)域越來(lái)越多，分?jǐn)?shù)階微積分方程的研究在理論分析和數(shù)值模擬等多方面都迎來(lái)了很多新的挑戰(zhàn)。

分?jǐn)?shù)階微積分在天體物理領(lǐng)域的物理意義由Podlubny 教授2008 年在牛津大學(xué)做訪問(wèn)學(xué)者時(shí)給出，其中分?jǐn)?shù)階微積分中所涉及的積分變量(時(shí)間)與霍金“時(shí)間簡(jiǎn)史”中的時(shí)間理論有著非常重要的聯(lián)系(宇宙的時(shí)間是非均勻的，即宇宙大爆炸開始逐漸變慢的)。在等離子體中，帶電粒子的擴(kuò)散過(guò)程直接作用于流體或磁流體的應(yīng)力張量和粘滯效應(yīng)。因此，帶電粒子的擴(kuò)散過(guò)程能夠?qū)Φ入x子體流動(dòng)行為產(chǎn)生十分重要的影響。在高溫、高壓、磁約束、強(qiáng)耦合等復(fù)雜等離子體物理環(huán)境中，由于狀態(tài)的非平衡性、運(yùn)動(dòng)的各向異性、時(shí)空分布的非局部性、速度空間的不均勻性、相互作用的長(zhǎng)程性等諸多因素的影響，帶電粒子不再滿足布朗運(yùn)動(dòng)規(guī)律而是呈現(xiàn)出反常擴(kuò)散行為，即帶電粒子的均方位移與時(shí)間之間的線性關(guān)系不再成立。反常擴(kuò)散的一個(gè)重要特征是某時(shí)刻通過(guò)某點(diǎn)的流量不僅與其鄰域內(nèi)的物理量有關(guān)，而且與整個(gè)空間中其它點(diǎn)處的物理量以及變化的歷史有關(guān)，從而呈現(xiàn)出非局部性質(zhì)。此時(shí)，帶電粒子具有L′evy 飛行特性[5]，即帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡服從L′evy 分布，等離子體中的能量耗散具有冪律拖尾現(xiàn)象[6]。此類等離子體流體動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程具有明顯的歷史依賴性與長(zhǎng)程相關(guān)性，主要表現(xiàn)為一定程度上的遲滯和松弛現(xiàn)象[7]。針對(duì)此種情況，經(jīng)典的整數(shù)階梯度型定律不再成立，所以整數(shù)階的方程不能準(zhǔn)確地刻畫基于反常擴(kuò)散過(guò)程的流體動(dòng)力學(xué)行為。而分?jǐn)?shù)階微積分具有非局部性質(zhì)，這使得其成為描述反常擴(kuò)散過(guò)程強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，分?jǐn)?shù)階方程可以精細(xì)地刻畫等離子體中基于反常擴(kuò)散過(guò)程的流體動(dòng)力學(xué)行為的歷史依賴性與長(zhǎng)程相關(guān)性(非局部性質(zhì))。因此，將分?jǐn)?shù)階模型應(yīng)用到等離子體物理領(lǐng)域?qū)⒂兄匾囊饬x和前景。

1 分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解法主要研究進(jìn)展

分?jǐn)?shù)階微積分作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它和經(jīng)典微積分一樣歷史悠久。早在300 多年前，數(shù)學(xué)家Leibniz 和L’Hospital 就以書信的形式研究過(guò)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。在被提出至今的三百多年里，最初在物理領(lǐng)域并未獲得廣泛關(guān)注與應(yīng)用，發(fā)展非常緩慢，僅僅作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的純理論問(wèn)題被諸多學(xué)者研究。歷史上對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程和分?jǐn)?shù)階微積分理論做出過(guò)重要貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家還包括Riemann、Euler、Laplace、Liouville、Abel、Fourier 等。近年來(lái)，隨著對(duì)物理現(xiàn)象認(rèn)識(shí)程度的加深以及現(xiàn)代計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力的提高，物理、化學(xué)、生物等多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域的分?jǐn)?shù)階微積分建模越來(lái)越引起人們的重視[8–13]。

與整數(shù)階微分方程相比，分?jǐn)?shù)階微分方程具有獨(dú)特的性質(zhì)和優(yōu)勢(shì)。這主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面。

1) 從理論角度而言，由于分?jǐn)?shù)階微分算子是通過(guò)積分的形式定義的，這表明函數(shù)在某點(diǎn)處的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)不但與該點(diǎn)處的性質(zhì)有關(guān)，而且與某個(gè)區(qū)域上的整體性質(zhì)有關(guān)。因此，相對(duì)于整數(shù)階微分算子僅具有的局部性質(zhì)，分?jǐn)?shù)階微分算子能夠體現(xiàn)函數(shù)變化的全局相關(guān)性。當(dāng)然，分?jǐn)?shù)階微分算子是具有弱奇異核的擬微分算子且不滿足半群性質(zhì)、交換律等性質(zhì)。因此，分?jǐn)?shù)階微分方程絕非整數(shù)階微分方程的簡(jiǎn)單推廣。

2) 從應(yīng)用角度而言，經(jīng)典的整數(shù)階微分方程僅僅能夠體現(xiàn)物理過(guò)程在某個(gè)時(shí)刻或者空間某點(diǎn)處的變化和性質(zhì)，而分?jǐn)?shù)階微分方程所刻畫的性質(zhì)則與該物理過(guò)程所依賴的整個(gè)發(fā)展歷史或者所涉及的整個(gè)空間有關(guān)。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，分?jǐn)?shù)階微分方程可以更加精確地描述具有歷史依賴性(時(shí)間分?jǐn)?shù)階問(wèn)題)和長(zhǎng)程相關(guān)性(空間分?jǐn)?shù)階問(wèn)題)的物理過(guò)程，能夠克服許多整數(shù)階模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不吻合的缺點(diǎn)。

當(dāng)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出分?jǐn)?shù)階模型后，一個(gè)亟待解決的問(wèn)題是如何對(duì)此類數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。然而，由于分?jǐn)?shù)階微分算子具有非局部性質(zhì)和弱奇異性質(zhì)，分?jǐn)?shù)階微分方程的求解具有很大的難度。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)前主要有兩類方法來(lái)求解分?jǐn)?shù)階微分方程。第一類是解析求解方法，如Fourier 變換法、Laplace 變換法、Mellin 變換法、Green 函數(shù)法、分離變量法、算子法、Adomain 分解法、變分迭代法以及同倫分析法等。但是，由于分?jǐn)?shù)階算子的非局部性質(zhì)，可以求出的解析解中會(huì)包含如Fox 函數(shù)、超幾何函數(shù)、Mittag-Leffler函數(shù)、Wright 函數(shù)等形式復(fù)雜的特殊函數(shù)，此時(shí)解析解形式將過(guò)于復(fù)雜而難以開展實(shí)際應(yīng)用。另一方面，對(duì)于非線性、高維、變系數(shù)等情形比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)階微分方程，人們很難構(gòu)造其解析解。第二類是數(shù)值求解方法，如有限差分法、有限元方法、譜方法、有限體積法等。

在時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值求解方面，Sanz-Serna[14]考慮一類非線性偏積分微分方程，得到了關(guān)于時(shí)間的半離散格式，進(jìn)而證明了格式的收斂精度為1 階。Gorenflo 等[15]利用離散隨機(jī)游走模型對(duì)時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程進(jìn)行了研究，但是缺乏相關(guān)的理論分析。隨后，Liu 等[16]在Gorenflo 的研究基礎(chǔ)上給出了離散非馬爾可夫模型的穩(wěn)定性和收斂性分析。Sun 和Wu[17]采用有限差分法構(gòu)造了兩類含有不同階Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階次擴(kuò)散方程(0α＜ 1)和分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波動(dòng)方程(1α＜ 2)的離散格式，并證明兩種格式在時(shí)間方向上的精度分別為2?α和3?α階，國(guó)際上將其稱之為L(zhǎng)1 公式。Lin 和Xu[18]利用有限差分/譜方法數(shù)值求解了Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)意義下的時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程，證明了數(shù)值格式的無(wú)條件穩(wěn)定性，并且給出了數(shù)值格式的收斂階。Gao 等[19]提出了求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階次擴(kuò)散方程的有限差分格式，被稱為L(zhǎng)1?2 公式，收斂精度為3?α。隨后，Alikhanov[20]使用超收斂點(diǎn)構(gòu)造了時(shí)間方向收斂階為3?α的有限差分格式，并給出了詳細(xì)的穩(wěn)定性和收斂性證明，稱為L(zhǎng)2?1σ格式。

在空間分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值求解方面，Liu 等[21]提出了求解空間分?jǐn)?shù)階Fokker-Plank 方程的分?jǐn)?shù)階行方法，該方法將分?jǐn)?shù)階偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程系統(tǒng)。然后，利用BDF 方法進(jìn)行求解。Ervin 和Roop[22]定義了一類分?jǐn)?shù)階函數(shù)空間，證明了這種分?jǐn)?shù)階空間與分?jǐn)?shù)階Sobolev 空間在一定條件下是等價(jià)的，建立了空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流–擴(kuò)散方程的Galerkin 變分形式，利用有限元方法對(duì)該方程進(jìn)行了求解。2014 年，Xu 和Hesthaven[23]利用間斷有限元方法求解了空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程和空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流–擴(kuò)散方程，建立了數(shù)值格式的誤差估計(jì)，并且通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了理論分析。Wang 等[24]利用有限元方法數(shù)值求解了帶有非齊次Dirichlet 邊界條件的空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程，他們將標(biāo)準(zhǔn)有限元方法與半解析方法相結(jié)合，使得提出的算法對(duì)計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)需求由O(N2)降低到O(N)，其中N為離散系統(tǒng)的階數(shù)。Sousa[25]采用有限差分方法求解了帶有源項(xiàng)的一維空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散方程，設(shè)計(jì)了具有二階收斂性質(zhì)的有限差分格式，并且分析了Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)對(duì)數(shù)值格式穩(wěn)定性的影響。對(duì)非規(guī)則區(qū)域，Yang 等[26]考慮任意非規(guī)則區(qū)域，給出了非線性Riesz 空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的有限元格式，討論了格式的穩(wěn)定性及收斂性。Lee[27]提出了基于算子分裂的空間分?jǐn)?shù)階反應(yīng)–擴(kuò)散方程的Fourier 譜方法，并對(duì)Allen-Cahn 模型、FitzHugh-Nagumo 模型、Gray-Scott 模型開展了數(shù)值模擬工作。2019 年在文獻(xiàn)[28]中，我們建立了求解空間分?jǐn)?shù)階Cahn-Hilliard 和Allen-Cahn 方程能量穩(wěn)定2 階時(shí)間精度的Fourier 譜方法。

在時(shí)間–空間分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值求解方面，Deng[29]構(gòu)造了時(shí)空分?jǐn)?shù)階Fokker-Planck 方程的半離散及全離散有限元格式，并詳細(xì)分析了這些格式的適定性、穩(wěn)定性及收斂性。Li 等[30]考慮了非線性時(shí)空分?jǐn)?shù)階亞擴(kuò)散及超擴(kuò)散方程的有限元格式，并給出了誤差分析及其數(shù)值模擬。Yang 等[31]研究了二維時(shí)間–空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的數(shù)值算法，該方法首先對(duì)方程進(jìn)行矩陣變換，得到一組分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)，然后利用有限差分方法、有限元方法對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值求解。Li 等[32]分析了時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散–波動(dòng)方程的Crank-Nicolson ADI 有限元格式。Zayernour 和Karniadakis[33]提出了求解時(shí)間–空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流方程的間斷譜元方法，通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了算法的譜收斂性。Hanert 和Piret[34]通過(guò)Chebyshev 擬譜方法求解了含有Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的時(shí)間–空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程，數(shù)值算例表明：當(dāng)模型方程的解具有光滑性質(zhì)時(shí)，該數(shù)值方法能夠達(dá)到指數(shù)收斂。為了數(shù)值模擬二維問(wèn)題，Li 等[35]研究了時(shí)間–空間分?jǐn)?shù)階相場(chǎng)模型(時(shí)間–空間分?jǐn)?shù)階Allen-Cahn 方程)，并且建立了方程的時(shí)間–空間全離散格式：在時(shí)間方向上，利用有限差分格式對(duì)Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散；在空間方向上，利用配置方法對(duì)L′evy 過(guò)程的無(wú)窮小生成元進(jìn)行離散。文獻(xiàn)[36]構(gòu)造了求解時(shí)間–空間分?jǐn)?shù)階次擴(kuò)散和超擴(kuò)散方程的局部間斷Galerkin 方法，證明了方法的穩(wěn)定性和收斂性。文獻(xiàn)[37]建立了求解二維分布階時(shí)間–空間分?jǐn)?shù)階反應(yīng)–擴(kuò)散方程的有限差分/Legendre-Galerkin 譜方法。文獻(xiàn)[38]構(gòu)造了求解三維時(shí)間–空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的ADI 譜Galerkin 方法，證明了方法的無(wú)條件穩(wěn)定性和空間最優(yōu)誤差估計(jì)。

2 分?jǐn)?shù)階色散方程數(shù)值解法研究進(jìn)展

色散現(xiàn)象是指波包中不同頻率的波以不同的速度傳播，即波的傳播速度依賴于頻率，隨著時(shí)間的演化這些波通常會(huì)分散開。具有這樣性質(zhì)的未知函數(shù)的方程，稱為色散方程。非線性色散偏微分方程是一類非常重要的非線性發(fā)展方程。它在應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域中占有重要的地位，如流體力學(xué)、固體物理、量子力學(xué)、等離子體物理、非線性光學(xué)等，在化學(xué)和生物中也有廣泛的應(yīng)用。

數(shù)學(xué)物理中有許多非線性色散和波動(dòng)方程，主要有非線性波動(dòng)方程、Maxwell-Klein-Gordon 方程、Yang-Mills 方程、正則長(zhǎng)波方程、非線性Schr¨odinger 方程、Korteweg-de Vries(KdV)類型的方程(修正的KdV、廣義的KdV 方程等)和一些系統(tǒng)(Kadomtsev-Petviashvili 方程、Davey-Stewartson 方程等)。這類方程一般具有一些共同特征，如可用散射反演化方法求解、存在達(dá)布變換、具有多個(gè)守恒律和延長(zhǎng)結(jié)構(gòu)。

非線性色散偏微分方程中Schr¨odinger 方程作為量子力學(xué)中的最基本的物理方程描述了物理系統(tǒng)的量子態(tài)怎樣隨時(shí)間演化的偏微分方程，奠定了近代量子力學(xué)的基礎(chǔ)。它用于描述諸如Bose-Einstein 凝聚的多體理論和凝聚態(tài)物理學(xué)。Schr¨odinger 波動(dòng)方程在整個(gè)量子力學(xué)張占有重要的地位。它在流體力學(xué)、光學(xué)、化學(xué)、電磁學(xué)尤其光纖通信中有廣泛的應(yīng)用。耦合的Schr¨odinger 方程是Schr¨odinger 方程的向量形式，可以用于描述許多物理現(xiàn)象，如沿著正交偏振軸的脈沖傳播、兩組分的玻色愛因斯坦和怪波等。在非相對(duì)論極限狀態(tài)下，耦合的Schr¨odinger 方程可用于描述在具有低頻離子響應(yīng)的高頻電子等離子體波中傳播的Langmuir 包絡(luò)孤子的動(dòng)力學(xué)行為。在非線性光學(xué)中，耦合的Schr¨odinger 方程可以用于描述至少在兩個(gè)通道中同時(shí)模擬多模孤子脈沖的傳播。

經(jīng)典的Schr¨odinger 方程是基于自由粒子的Feynman 路徑積分滿足布朗運(yùn)動(dòng)的假設(shè)下得到的，但是在現(xiàn)實(shí)中，很多物理現(xiàn)象并不滿足該假設(shè)。Laskin[39]提出了用L′evy 路徑積分來(lái)替換Feynman 路徑積分，從而得到帶有Riesz 空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Schr¨odinger 方程并開啟了分?jǐn)?shù)階量子力學(xué)的大門。隨后，Hu 和Kallianpur[40]提出了帶有分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的Schr¨odinger 方程并給出其概率形式的解。Muslih 等[41]利用分?jǐn)?shù)變分原理導(dǎo)出了時(shí)間分?jǐn)?shù)階Schr¨odinger 方程，Wang 和Xu[42]在分?jǐn)?shù)路徑積分和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上發(fā)展了一些廣義分?jǐn)?shù)階Schr¨odinger 方程。

Zhao 等[43]針對(duì)Riesz 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建立了一類具有四階精度的緊致差分算法，并將所建立的算法應(yīng)用到二維空間分?jǐn)?shù)階非線性Schr¨odinger 方程的數(shù)值求解，證明了數(shù)值格式的穩(wěn)定性和收斂性。同年，Wang 等[44]利用有限差分方法數(shù)值求解了空間分?jǐn)?shù)階耦合非線性Schr¨odinger 方程，證明了離散系統(tǒng)解的存在性和唯一性，并且分析了隱式格式的收斂性。Duo 和Zhang[45]結(jié)合時(shí)間分裂方法、Crank-Nicolson 方法和松弛方法構(gòu)造了三種質(zhì)量守恒的Fourier 譜方法來(lái)求解空間分?jǐn)?shù)階的Schr¨odinger 方程。文獻(xiàn)[46]利用有限差分/Legendre-Galerkin 譜方法對(duì)二維時(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性擴(kuò)散–波動(dòng)方程進(jìn)行了數(shù)值求解，證明了數(shù)值格式的穩(wěn)定性和收斂性，并且對(duì)Sine-Gordon 方程的環(huán)形孤立子開展數(shù)值模擬。文獻(xiàn)[47]利用有限差分/Hermite-Galerkin 譜方法對(duì)無(wú)界區(qū)域上的多維時(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程進(jìn)行了數(shù)值求解，證明了數(shù)值格式的無(wú)條件穩(wěn)定性，并將方法應(yīng)用到了分?jǐn)?shù)階Allen-Cahn 和Gray-Scott 模型的數(shù)值模擬。文獻(xiàn)[48–49]分別構(gòu)造了求解二維非線性空間分?jǐn)?shù)階Schr¨oinger 方程和耦合非線性空間分?jǐn)?shù)階Schr¨odinger 方程的譜Galerkin 方法，證明了方法的穩(wěn)定性和空間最優(yōu)的誤差估計(jì)。文獻(xiàn)[50]構(gòu)造了空間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon-Schr¨odinger 方程IEQ-Crank-Nicolson-Fourier 譜方法，該算法最大的特點(diǎn)是所有引入的輔助變量都是半顯處理的，算法能嚴(yán)格保證能量守恒性質(zhì)，并且是對(duì)稱正定的線性格式，可以用預(yù)處理的共軛梯度法來(lái)加速求解。

3 分?jǐn)?shù)階磁流體方程數(shù)值解法研究進(jìn)展

當(dāng)從宏觀角度研究等離子體在電磁場(chǎng)(如外磁場(chǎng)、外電流磁場(chǎng)、電磁擾動(dòng)等)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)，必須研究電流體運(yùn)動(dòng)的流體力學(xué)方程和刻畫電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的Maxwell 方程耦合在一起的磁流體動(dòng)力學(xué)(Magnetohydrodynamics, MHD)方程。

在許多等離子體環(huán)境中，磁約束、強(qiáng)耦合、超高溫、超高壓等物理?xiàng)l件會(huì)產(chǎn)生相互作用的長(zhǎng)程性、時(shí)空分布的非局部性、粒子運(yùn)動(dòng)的各向異性、狀態(tài)的非平衡性、速度空間的不均勻性等諸多復(fù)雜因素，這些復(fù)雜因素會(huì)使得帶電粒子不再滿足布朗運(yùn)動(dòng)規(guī)律而是具備反常擴(kuò)散的特性[51]。在此類等離子體中，磁流體動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程具有明顯的非局部性質(zhì)[52]，即歷史依賴性與長(zhǎng)程相關(guān)性。為了彌補(bǔ)經(jīng)典的MHD 方程的不足之處，人們將非局部算子引入到磁流體動(dòng)力學(xué)并建立了非局部MHD 方程(或稱為廣義MHD 方程)[53]。非局部MHD 方程可以精細(xì)地刻畫等離子體中基于反常擴(kuò)散過(guò)程的磁流體動(dòng)力學(xué)行為的非局部性質(zhì)，具有十分重要的研究意義。

對(duì)分?jǐn)?shù)階MHD 方程，Zhang 等[54]利用有限差分方法求解了含有Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的2 維非定常時(shí)間分?jǐn)?shù)階MHD 方程，證明了數(shù)值格式的無(wú)條件穩(wěn)定性，并且建立了數(shù)值格式的誤差估計(jì)；在數(shù)值模擬部分，討論了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、Hartmann 數(shù)、壓力梯度參數(shù)等物理量與速度場(chǎng)之間的關(guān)系。Zhao 等[55]求解了含有齊次Dirichlet 邊界條件的二維時(shí)間–空間非局部MHD 方程，該論文利用L1 插值方法對(duì)時(shí)間方向上的非局部算子進(jìn)行離散，空間變量利用有限差分方法進(jìn)行離散，非線性項(xiàng)通過(guò)隱式格式進(jìn)行處理，通過(guò)對(duì)非局部流動(dòng)現(xiàn)象開展了數(shù)值模擬。對(duì)2 維不可壓縮非定常時(shí)間分?jǐn)?shù)階MHD 方程，Bai 等[56]分別通過(guò)L1 插值逼近和有限差分格式離散時(shí)間方向的Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和空間變量建立數(shù)值格式，通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了數(shù)值格式的收斂性，并討論了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)、Hartmann 數(shù)、雷諾數(shù)等物理參數(shù)對(duì)速度場(chǎng)、壓力的作用規(guī)律。Rasheed 與Anwar[57]構(gòu)造了求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階MHD 方程的有限差分/有限元格式，時(shí)間方向的Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)采用有限差分進(jìn)行離散，空間變量采用有限元進(jìn)行逼近；對(duì)方程中的非線性項(xiàng)采用隱式格式，在每個(gè)時(shí)間步上問(wèn)題被離散為一個(gè)非線性代數(shù)方程組。針對(duì)此代數(shù)方程組，文中通過(guò)Newton 迭代法進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[58]建立了基于時(shí)間分裂方法的2 維不可壓縮分?jǐn)?shù)階MHD 方程的全離散數(shù)值格式，該數(shù)值格式保證磁場(chǎng)在離散層面上也是無(wú)散度的，并對(duì)頂蓋驅(qū)動(dòng)方腔流開展數(shù)值模擬。該文獻(xiàn)還研究了分?jǐn)?shù)階Laplace 算子的階數(shù)對(duì)速度場(chǎng)、磁場(chǎng)等物理量的影響。

4 總結(jié)與展望

等離子體物理在空間科學(xué)研究和空間工程應(yīng)用中具有非常重要的地位。目前等離子體物理中的數(shù)值模擬絕大多數(shù)都是基于整數(shù)階的動(dòng)力學(xué)方程，經(jīng)典的整數(shù)階微分方程不能精確地描述在可控核聚變裝置、大型等離子體研究裝置、強(qiáng)湍流等離子體、磁約束等離子體、空間等離子體中發(fā)現(xiàn)的基于反常擴(kuò)散的非局部磁流體動(dòng)力學(xué)行為。針對(duì)具有非局部性質(zhì)的等離子體，分?jǐn)?shù)階微分方程可以更加精確地描述具有歷史依賴性質(zhì)(時(shí)間分?jǐn)?shù)階問(wèn)題)和長(zhǎng)程相關(guān)性質(zhì)(空間分?jǐn)?shù)階問(wèn)題)的物理過(guò)程。

本文綜述了作者所熟悉的等離子體物理中分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值模擬方面的研究進(jìn)展。等離子體物理中分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值方法的研究已逐步展開，但相對(duì)于整數(shù)階模型，對(duì)分?jǐn)?shù)階模型的研究仍處于初級(jí)階段。分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值求解存在以下三個(gè)難點(diǎn)。

1) 非局部性：在分?jǐn)?shù)階偏微分方程中，非局部性質(zhì)是通過(guò)非局部算子的積分定義來(lái)體現(xiàn)的。在數(shù)值求解時(shí)間非局部模型時(shí)，非局部性質(zhì)將導(dǎo)致當(dāng)前時(shí)刻的數(shù)值解依賴于前面所有時(shí)刻的數(shù)值結(jié)果；在數(shù)值求解空間非局部模型時(shí)，非局部性質(zhì)會(huì)使得離散后的系數(shù)矩陣為稠密矩陣。因此，求解非局部MHD 方程的數(shù)值方法具有計(jì)算復(fù)雜度大的難點(diǎn)。

2) 非線性：非局部MHD 方程具有內(nèi)稟的非線性特性，主要體現(xiàn)在流體力學(xué)方程中的非線性對(duì)流項(xiàng)和洛倫茲力項(xiàng)，以及磁感應(yīng)方程中的非線性對(duì)流項(xiàng)。因此，非局部MHD 方程具有較多的非線性項(xiàng)。在數(shù)值求解中，對(duì)這些非線性項(xiàng)的處理是一個(gè)研究難點(diǎn)。

3) 多物理場(chǎng)耦合性：無(wú)論是分?jǐn)?shù)階色散方程，還是非局部MHD 方程，往往都是多個(gè)方程耦合在一起而構(gòu)成的方程組，在計(jì)算過(guò)程中涉及到多個(gè)不同的物理效應(yīng)和物理量同時(shí)求解。由于這些不同的物理效應(yīng)和物理量所對(duì)應(yīng)的算子各具特點(diǎn)，在數(shù)值求解這些物理效應(yīng)和物理量時(shí)所采取的方法和策略也是不同的。這對(duì)構(gòu)造等離子體物理中分?jǐn)?shù)階微分方程高效穩(wěn)定的數(shù)值算法帶來(lái)了很大的困難。

總的來(lái)講，對(duì)等離子體物理中分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解法的研究仍不成熟，主要有：

1) 長(zhǎng)時(shí)間歷程的計(jì)算和大空間域的計(jì)算等挑戰(zhàn)性難題仍未很好的解決；

2) 未形成成熟的數(shù)值計(jì)算軟件，嚴(yán)重滯后于應(yīng)用的需求。

目前已有的工作主要針對(duì)一維或二維標(biāo)量分?jǐn)?shù)階微分方程開展數(shù)值求解，但能更好描述真實(shí)世界問(wèn)題的三維分?jǐn)?shù)階非線性耦合方程組的數(shù)值求解卻比較少。另外，分?jǐn)?shù)階方程的高效算法設(shè)計(jì)、算法的誤差估計(jì)、帶有非光滑初值的分?jǐn)?shù)階問(wèn)題、分布階問(wèn)題等都是值得研究的方向。相比于大型設(shè)備的高投入，數(shù)值模擬是性價(jià)比非常高的研究手段。因此，進(jìn)一步完善和發(fā)展等離子體物理中分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解法是非常適合我們這樣一個(gè)發(fā)展中的新興國(guó)家著力發(fā)展的方向，未來(lái)前景可期。