林偉

（閩侯縣上街實(shí)驗(yàn)學(xué)校，福建 閩侯 350108）

數(shù)學(xué)文化是以數(shù)學(xué)學(xué)科體系為核心，在學(xué)科核心體系下涵蓋諸如數(shù)學(xué)歷史、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)結(jié)論、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等形成與發(fā)展的整個(gè)過(guò)程。［1］長(zhǎng)期以來(lái)，許多人對(duì)數(shù)學(xué)的理解僅停留在那些固化的邏輯公式、公理，認(rèn)為數(shù)學(xué)是脫離生活的純理性學(xué)科。數(shù)學(xué)文化教育觀的提出對(duì)這一刻板印象進(jìn)行了“撥亂反正”，呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)生動(dòng)、靈趣且有溫度的另一面?？v觀數(shù)學(xué)發(fā)展的漫長(zhǎng)歷史時(shí)期，人們對(duì)數(shù)學(xué)教育觀念的理解也在逐漸深化［2］。數(shù)學(xué)不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的一個(gè)集合，同時(shí)是人類社會(huì)傳承下來(lái)的一種文化。數(shù)學(xué)文化除了可以推動(dòng)學(xué)生思維和想象能力的發(fā)展，還有利于學(xué)生理性精神、創(chuàng)新精神的樹立。因此在促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)全面發(fā)展的過(guò)程中，數(shù)學(xué)文化的作用不容忽視。在“三會(huì)”視角框架下，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)眼光的拓展和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)都離不開數(shù)學(xué)思維，同時(shí)，數(shù)學(xué)思維也需要在數(shù)學(xué)眼光和數(shù)學(xué)語(yǔ)言拓展出來(lái)的空間中展開。這種互為支撐的關(guān)系，蘊(yùn)含著“三會(huì)”之間存在相交的部分。基于這種相交的關(guān)系，反映出“三會(huì)”作為核心素養(yǎng)的整體性。同時(shí)，“三會(huì)”之間存在著不相交的部分。因?yàn)椴幌嘟?，反映了“三?huì)”各自不可或缺的獨(dú)特育人價(jià)值，是“三會(huì)”，而不是“一會(huì)”或“兩會(huì)”［3］。對(duì)“三會(huì)”整體性和獨(dú)特性的認(rèn)識(shí)有助于正確把握“三會(huì)”內(nèi)涵，為浸潤(rùn)數(shù)學(xué)文化，提升核心素養(yǎng)提供了一條可行的研究策略。

一、數(shù)學(xué)文化助力數(shù)學(xué)眼光拓展的策略

數(shù)學(xué)眼光是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的一種獨(dú)特性思考，在“三會(huì)”視角下，主要是指通過(guò)觀察、直觀想象、抽象概括等方式發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界中存在的數(shù)量關(guān)系和空間形式，并且能依據(jù)發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題。在日常教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光來(lái)審視現(xiàn)實(shí)世界中存在的各種數(shù)學(xué)現(xiàn)象及其背后所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)原理，讓學(xué)生逐步積累相應(yīng)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，練就數(shù)學(xué)眼光的“火眼金睛”。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》把高中數(shù)學(xué)課程體系下涵蓋的所有知識(shí)點(diǎn)都統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)文化。在高中數(shù)學(xué)教材的編寫上通過(guò)選修課程的方式著重凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科在自然科學(xué)與社會(huì)科學(xué)中的應(yīng)用。但各版本小學(xué)教材并沒(méi)有專門安排數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的專題課時(shí)，現(xiàn)行各版本的教材主要是通過(guò)一些“數(shù)學(xué)閱讀”“數(shù)學(xué)游戲”“數(shù)學(xué)趣題”“你知道嗎？”“生活中的數(shù)學(xué)”“數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)”及“數(shù)學(xué)廣角”等欄目對(duì)教材中缺失的數(shù)學(xué)文化素材進(jìn)行補(bǔ)充［4］。這種嵌入式、附加式的數(shù)學(xué)文化素材難以引起廣大教師和學(xué)生的重視，學(xué)生通過(guò)閱讀這些數(shù)學(xué)文化素材不易形成系統(tǒng)性的知識(shí)，更難以提升為素養(yǎng)。教材編寫者本意想通過(guò)這些素材拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光，但是這些附加的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容應(yīng)怎樣與課堂教學(xué)進(jìn)行有機(jī)銜接，教材和教參都沒(méi)有明確給出說(shuō)明，這給教師的教學(xué)帶來(lái)一定的困難。因此要想在教學(xué)中真正做好數(shù)學(xué)文化的滲透，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光，在教材層面還有很多地方可以改進(jìn)。

關(guān)于圓周率我們并不陌生，但關(guān)于圓周率的一些歷史故事如果能穿插到教學(xué)中，時(shí)常會(huì)起到意想不到的效果?！镀沿S投針》就是一個(gè)很有趣的故事，說(shuō)的是有一天數(shù)學(xué)家蒲豐在家中請(qǐng)客。他在家中的地板上鋪設(shè)出一張大白紙，并在大白紙上畫了許多等距離的平行線。他給每一位客人發(fā)了一些規(guī)格相同并且長(zhǎng)度等于平行線間距一半的針，客人投放完成后才能接受宴請(qǐng)。待客人回家后，他對(duì)這些針下落的位置進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)一共投針2212 枚，其中與直線相交的有704 枚，兩者相除，與圓周率近乎一致。圓周率的求法原本是一個(gè)幾何問(wèn)題，但蒲豐卻用概率將兩個(gè)不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)分支神奇地聯(lián)系起來(lái)。借助這一堪稱神奇數(shù)學(xué)歷史故事，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)即便不同數(shù)學(xué)分支之間的知識(shí)也存在著一定的聯(lián)系。教學(xué)不應(yīng)局限于課堂，教師還可以通過(guò)讓學(xué)生自主閱讀數(shù)學(xué)文化相關(guān)讀物來(lái)開闊視野、感受數(shù)學(xué)知識(shí)的人文韻味，比如西南師范大學(xué)宋乃慶教授主編的《數(shù)學(xué)文化讀本》與教材內(nèi)容基本配套，對(duì)學(xué)生所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的延伸和拓展都有很大的幫助。同為宋乃慶教授主編的《小學(xué)數(shù)學(xué)文化叢書》則分專題介紹了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，拉近了數(shù)學(xué)與生活的距離。還有《奇妙的數(shù)學(xué)文化》《藏在數(shù)學(xué)書里的密碼》等數(shù)學(xué)文化科普讀物，大多都以學(xué)科知識(shí)為支撐，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)還原到現(xiàn)實(shí)生活中。通過(guò)閱讀這些數(shù)學(xué)文化素材，學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光能夠得到有效拓展。

二、數(shù)學(xué)文化推動(dòng)數(shù)學(xué)思維提升的策略

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維，在“三會(huì)”內(nèi)涵下數(shù)學(xué)思維主要指向猜想、運(yùn)算、推理、反思及數(shù)據(jù)分析的能力。教學(xué)中適當(dāng)進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的浸潤(rùn)，對(duì)學(xué)生思維的構(gòu)建和發(fā)展具有積極的作用。但現(xiàn)實(shí)常常事與愿違，因?yàn)楹芏嘟處煵](méi)有認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)文化的作用，所以在教學(xué)的過(guò)程中依舊簡(jiǎn)單、機(jī)械地對(duì)學(xué)生進(jìn)行一些解題技能的培養(yǎng)。這種刷題式的教學(xué)方法在短期內(nèi)對(duì)提升考試分?jǐn)?shù)具有一定的功效，但從長(zhǎng)遠(yuǎn)角度來(lái)看，無(wú)形之中卻扼殺了學(xué)生思維提升的空間。

數(shù)學(xué)家弗萊登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是學(xué)生親自參與、主動(dòng)建構(gòu)思維活動(dòng)的過(guò)程［6］。他認(rèn)為一般情況下數(shù)學(xué)有兩種存在形式：一種是現(xiàn)成的數(shù)學(xué)；另一種是活動(dòng)的數(shù)學(xué)。現(xiàn)成的數(shù)學(xué)就同教科書一般通常以結(jié)論的形式展現(xiàn)在讀者面前，這充其量只能算是數(shù)學(xué)思維的結(jié)果?；顒?dòng)的數(shù)學(xué)則真實(shí)記錄了數(shù)學(xué)家們不斷前仆后繼，探索和創(chuàng)造出數(shù)學(xué)的歷程，展現(xiàn)出數(shù)學(xué)富有生機(jī)的一面。因此教師的教學(xué)要從文化角度出發(fā)幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)的生活情景，把抽象和邏輯性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)以一種動(dòng)態(tài)的形式展現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生去體驗(yàn)、感悟和探索數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)世界。在各版本教材中都有出現(xiàn)《探索圖形》《莫比烏斯帶》《七橋問(wèn)題》等這些具有濃厚數(shù)學(xué)文化背景和富含數(shù)學(xué)思維含量的課題，這些課題應(yīng)該得到廣大教師更大的關(guān)注。

現(xiàn)行人教版數(shù)學(xué)教材中有一節(jié)課《神奇的莫比烏斯帶》。關(guān)于莫比烏斯帶的引入，有許多的情境故事可以參考，比如螞蟻爬紙條、縣官判案、老師變魔術(shù)等。但是這節(jié)課最重要的目的是通過(guò)這一數(shù)學(xué)文化背景的課題去啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和提升數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生通過(guò)親自動(dòng)手操作紙條，觀察記錄裁剪以后得到的圖形樣式，然后比較出紙條經(jīng)過(guò)不同角度旋轉(zhuǎn)和不同裁剪方式后得到的圖形，最后發(fā)現(xiàn)隱藏在這一神奇現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)規(guī)律。這一環(huán)環(huán)相扣的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)過(guò)程，讓學(xué)生體驗(yàn)到從猜想到驗(yàn)證的整個(gè)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程。只有學(xué)生自身操作和經(jīng)歷過(guò)的活動(dòng)才屬于活動(dòng)的數(shù)學(xué)，這種的活動(dòng)才真正具有數(shù)學(xué)思維的價(jià)值。從歷史相似性角度來(lái)看，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中要經(jīng)歷數(shù)學(xué)家們所遇到過(guò)的困難以及所走過(guò)的彎路，那怎樣才能在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中順利的跨過(guò)這些先輩們當(dāng)時(shí)所遇到的困境呢？答案是要讓學(xué)生親自去經(jīng)歷、體驗(yàn)和思索?，F(xiàn)成的數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出書本上現(xiàn)成的結(jié)論卻遺忘了數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈。只有活動(dòng)的數(shù)學(xué)才能正確引導(dǎo)學(xué)生將書本的知識(shí)內(nèi)化為自身的知識(shí)，將數(shù)學(xué)家們的間接經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化成自身的直接經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)的思維就是在這樣不斷內(nèi)化的過(guò)程中得到逐漸提升。

三、數(shù)學(xué)文化促進(jìn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的策略

語(yǔ)言是一種文化，數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)文化的一部分。在“三會(huì)”觀點(diǎn)下，數(shù)學(xué)語(yǔ)言是描述與交流現(xiàn)實(shí)世界的一種方式。在實(shí)際中，數(shù)學(xué)語(yǔ)言通常包含著有圖形性、符號(hào)性以及文字性等多種類型。除此之外，這種特殊的語(yǔ)言，還具有抽象性、邏輯性以及準(zhǔn)確性等特點(diǎn)。

小學(xué)階段是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的“關(guān)鍵期”。因此在教學(xué)中，需要教師引導(dǎo)學(xué)生從文化層面更加深入地理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言。簡(jiǎn)潔化、形象化的語(yǔ)言能幫助學(xué)生建立良好的形象思維，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的理解，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言能力的發(fā)展。小組合作學(xué)習(xí)的方式為學(xué)生之間進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言的交流提供了一個(gè)有效平臺(tái)。但要使小組合作能夠真正有效開展，在實(shí)施的過(guò)程中還需要關(guān)注一些細(xì)節(jié)。首先在任務(wù)布置時(shí)，教師提出的任務(wù)指令要明確、清晰；其次在小組合作過(guò)程中，對(duì)于學(xué)生遇到的困難，教師要盡量用精煉的數(shù)學(xué)語(yǔ)言適時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，并給予一定的時(shí)間和空間讓學(xué)生用自己的數(shù)學(xué)語(yǔ)言在小組合作學(xué)習(xí)中進(jìn)行充分的表達(dá)與修正，最后再進(jìn)行小組的交流與分享。如果小組合作學(xué)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)沒(méi)有把控到位，那小組合作很多時(shí)候就會(huì)流于形式，無(wú)法真實(shí)有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的發(fā)展。這里引一個(gè)“摸球游戲”的課例。

師：老師手中的盒子里面有7 個(gè)紅球、3 個(gè)黑球，要從里面摸出一個(gè)球。你們覺(jué)得可能會(huì)摸到什么顏色的球？摸到什么顏色球的可能性會(huì)更大？

生：摸到的可能是紅球，紅球的可能性大。

師：你們都確定嗎？在小組內(nèi)摸一摸吧，并且把每次摸到的結(jié)果記錄在表格中，記錄好后要把球放回去然后再摸。每組摸10 次，記錄完填一填：摸到（ ）球的次數(shù)多，摸到（ ）球的次數(shù)少。

表1 摸球活動(dòng)結(jié)果記錄表

“摸球游戲”主要借助游戲讓學(xué)生直接感受到事件發(fā)生的可能性大小會(huì)有不同，但在實(shí)踐過(guò)程中常常會(huì)有“意外”發(fā)生，即少數(shù)學(xué)生的做法、想法或者得出的結(jié)論和其他學(xué)生不一致的情況。就如上述的游戲，因?yàn)槊虼螖?shù)的限制，可能會(huì)出現(xiàn)摸到黑球次數(shù)比較多的情況。這時(shí)教師要有機(jī)智，要留有時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行對(duì)話和交流，讓學(xué)生經(jīng)歷“大腦風(fēng)暴”后漸漸感悟出數(shù)學(xué)的理性精神。知道不同條件下進(jìn)行的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可能會(huì)得到不同的結(jié)論。這個(gè)結(jié)論如果只是教師告訴學(xué)生，那就真的只是一個(gè)結(jié)論，但如果是學(xué)生之間經(jīng)過(guò)自己的討論和交流得出的，那就不僅僅只是一個(gè)結(jié)論，而是學(xué)生們經(jīng)過(guò)思維的碰撞后所得到的“成果”。這個(gè)“成果”彰顯數(shù)學(xué)語(yǔ)言簡(jiǎn)潔的魅力，也展現(xiàn)出數(shù)學(xué)這門學(xué)科理性務(wù)實(shí)的一面。

“三會(huì)”視角下的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之間彼此關(guān)聯(lián)。數(shù)學(xué)眼光代表著信息的輸入，數(shù)學(xué)思維意味著信息的加工，數(shù)學(xué)語(yǔ)言則表示信息的輸出。數(shù)學(xué)文化為每一道信息的處理和加工提供了潤(rùn)滑劑和增效劑，通過(guò)數(shù)學(xué)文化這一有效的支架，為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效提升提供了一種新的策略和路徑。但是“木桶效應(yīng)”揭示出教師某方面素養(yǎng)的缺失，一定程度上會(huì)影響教學(xué)的效果，可見(jiàn)教師自身的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)也會(huì)影響課堂上數(shù)學(xué)文化實(shí)施的效果。數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)高的教師能夠在短時(shí)間內(nèi)將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行垂直銜接與橫向整合，能夠在更高的水平上理解和建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)。

總之，打鐵還需自身硬，教師自己要先成為數(shù)學(xué)文化的引領(lǐng)者，才能引導(dǎo)學(xué)生徜徉在數(shù)學(xué)文化的大海里，汲取數(shù)學(xué)文化的營(yíng)養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。也只有這樣，教師才能從核心素養(yǎng)角度上去理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，并付諸實(shí)踐。