趙昱宇，李冠璁，崔家山，王雨瀟

(1.中國民航大學(xué) 電子信息與自動化學(xué)院，天津 300300；2.西安電子科技大學(xué) 空間科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，西安 710126)

1 引言

陀螺飛輪是一種新型姿態(tài)控制執(zhí)行與測量一體化裝置，它具有高集成度、低成本的優(yōu)點(diǎn)，在微小航天器中具有廣闊的應(yīng)用前景[1-2]。作為姿態(tài)敏感器，盡管陀螺飛輪與傳統(tǒng)機(jī)械陀螺儀有相似之處，但為兼顧姿控力矩輸出，陀螺飛輪的轉(zhuǎn)子尺寸、質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量比傳統(tǒng)陀螺儀放大近千倍[3-4]。在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)偏差和環(huán)境干擾等因素的影響下，相比于傳統(tǒng)陀螺儀，作用于陀螺飛輪的干擾力矩也大幅增加，其漂移誤差更為顯著，誤差模型中所包含的誤差項(xiàng)也更為復(fù)雜[5]。

為使陀螺飛輪實(shí)現(xiàn)較高精度的姿態(tài)測量，通常利用轉(zhuǎn)臺進(jìn)行多位置標(biāo)定試驗(yàn)，以實(shí)現(xiàn)漂移誤差的標(biāo)定與補(bǔ)償[6]。受伺服控制精度、加工制造與裝配工藝水平等的限制，標(biāo)定系統(tǒng)不可避免受到多種誤差因素的影響[7]。相比于傳統(tǒng)陀螺儀，標(biāo)定系統(tǒng)的多種誤差因素會給陀螺飛輪的標(biāo)定精度帶來更為顯著、不容忽視的影響。因此，有必要研究多種誤差因素對轉(zhuǎn)臺-陀螺飛輪標(biāo)定系統(tǒng)的影響，通過誤差建模與誤差靈敏度分析，為陀螺飛輪標(biāo)定精度的提升提供有效指導(dǎo)。

在轉(zhuǎn)臺誤差對傳統(tǒng)慣性儀器標(biāo)定精度的影響分析方面已有較多研究成果，文獻(xiàn)[8-9]分別分析了典型轉(zhuǎn)臺誤差因素對MEMS陀螺和激光陀螺標(biāo)定精度的影響；文獻(xiàn)[10-11]主要探討了轉(zhuǎn)臺不正交度、定位精度等因素對慣性測量單元標(biāo)定精度的影響；文獻(xiàn)[12]則針對液浮陀螺儀提出了一種降低轉(zhuǎn)臺誤差影響的標(biāo)定策略。上述研究成果為標(biāo)定試驗(yàn)設(shè)計(jì)、標(biāo)定精度提升提供了理論支撐，但它們多局限于單個(gè)誤差因素或部分誤差因素的討論，缺少對誤差因素的全面分析和對多誤差因素共同作用下誤差傳遞機(jī)理和誤差靈敏度的討論。此外，現(xiàn)有文獻(xiàn)多在已知待標(biāo)定參數(shù)量級的前提下給出定量分析結(jié)果，相關(guān)方法和結(jié)論往往推廣性較差。而陀螺飛輪作為一種新型慣性儀器，為保證其標(biāo)定精度，文獻(xiàn)[6,13]從多元回歸數(shù)據(jù)處理的角度分別對標(biāo)定方案和標(biāo)定參數(shù)解算進(jìn)行了研究，其他相關(guān)研究成果較少。

因此，本文綜合考慮轉(zhuǎn)臺自身的定位誤差、軸線回轉(zhuǎn)誤差、垂直度誤差、相交度誤差、以及轉(zhuǎn)臺與陀螺飛輪間的安裝誤差等因素的影響，研究多誤差因素作用下的誤差傳遞機(jī)理。針對標(biāo)定系統(tǒng)誤差因素較多、誤差傳遞模型非線性、誤差變化范圍較大的問題，給出全局誤差靈敏度分析方法，以實(shí)現(xiàn)關(guān)鍵誤差因素的辨識，為標(biāo)定系統(tǒng)誤差指標(biāo)的確定、標(biāo)定試驗(yàn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)等提供理論支撐。

2 陀螺飛輪標(biāo)定原理

陀螺飛輪是一種適用于微小航天器的新型姿態(tài)測控一體化裝置，其結(jié)構(gòu)如圖1所示[2]。結(jié)構(gòu)非理想因素、外部環(huán)境等會導(dǎo)致干擾力矩作用于陀螺飛輪轉(zhuǎn)子，從而引起漂移誤差。為實(shí)現(xiàn)較高精度的姿態(tài)測量，需要進(jìn)行多位置試驗(yàn)對其漂移誤差進(jìn)行標(biāo)定，以實(shí)現(xiàn)漂移誤差的補(bǔ)償，含有補(bǔ)償項(xiàng)的測量方程可簡化描述為[5]

圖1 陀螺飛輪結(jié)構(gòu)示意圖

(1)

式(1)中: ωbx,ωby為外部輸入角速度；Tcx,Tcy為兩軸控制力矩；方程中其余項(xiàng)表示漂移誤差，其ax,ay,az分別為沿陀螺飛輪三軸的加速度分量，dx(·),dy(·)分別代表陀螺飛輪兩敏感軸的漂移誤差系數(shù)，其下標(biāo)表示該誤差項(xiàng)與加速度的相關(guān)性。

在地面測試環(huán)境中可以利用兩軸轉(zhuǎn)臺提供精確的位置基準(zhǔn)，陀螺飛輪作為轉(zhuǎn)臺負(fù)載，通過夾具固裝于轉(zhuǎn)臺內(nèi)環(huán)，轉(zhuǎn)臺與陀螺飛輪的初始安裝示意圖由圖2給出。

圖2 轉(zhuǎn)臺與陀螺飛輪安裝示意圖

通過將轉(zhuǎn)臺按照標(biāo)定路徑轉(zhuǎn)動到多個(gè)位置，可以使陀螺飛輪在不同位置敏感不同的重力加速度和地球自轉(zhuǎn)角速度分量，從而根據(jù)測量方程建立如式(2)所示的多元回歸模型，合理設(shè)計(jì)標(biāo)定位置可使式(2)滿足有解條件，則可通過解算式(2)實(shí)現(xiàn)對漂移誤差系數(shù)的標(biāo)定：

yg=Agβg+eg

(2)

式(2)所示的多元回歸模型中，βg為待標(biāo)定的誤差參數(shù)向量，eg為觀測誤差向量，而系數(shù)矩陣Ag和觀測向量yg中的各元素則由重力加速度和地球自轉(zhuǎn)角速度在各標(biāo)定位置的投影分量決定。

可見，重力加速度分量和地球自轉(zhuǎn)角速度分量是陀螺飛輪的標(biāo)定基準(zhǔn)量，它們在不同標(biāo)定位置的取值取決于轉(zhuǎn)臺通過內(nèi)外環(huán)旋轉(zhuǎn)而提供的不同姿態(tài)。實(shí)際系統(tǒng)受多種誤差因素的影響，在標(biāo)定試驗(yàn)中，陀螺飛輪三軸的實(shí)際指向必然與理想值間存在偏差，使得標(biāo)定基準(zhǔn)量存在誤差，從而影響陀螺飛輪的標(biāo)定精度。因此，為有針對性地提升標(biāo)定精度，第2節(jié)考慮標(biāo)定系統(tǒng)的多種誤差來源，建立誤差傳遞模型，以獲得多誤差因素與標(biāo)定基準(zhǔn)量誤差之間的映射關(guān)系。

3 標(biāo)定系統(tǒng)誤差建模

3.1 標(biāo)定系統(tǒng)誤差來源

轉(zhuǎn)臺-陀螺飛輪標(biāo)定系統(tǒng)的誤差來源包括：轉(zhuǎn)臺定位誤差、轉(zhuǎn)臺軸系回轉(zhuǎn)誤差、轉(zhuǎn)臺垂直度誤差、轉(zhuǎn)臺相交度誤差以及陀螺飛輪安裝誤差。為便于后續(xù)進(jìn)行誤差描述和建模，將上述誤差因素總結(jié)如表1所示。

表1 標(biāo)定系統(tǒng)的誤差因素

3.2 基于多體系統(tǒng)理論的誤差模型推導(dǎo)

將轉(zhuǎn)臺-陀螺飛輪標(biāo)定系統(tǒng)視為多剛體系統(tǒng)，基于多體系統(tǒng)理論對其誤差模型進(jìn)行推導(dǎo)。

為便于誤差描述和建模，定義如下坐標(biāo)系：基座坐標(biāo)系F0:O0X0Y0Z0，外環(huán)坐標(biāo)系F1:O1X1Y1Z1，內(nèi)環(huán)參考坐標(biāo)系F2:O2X2Y2Z2，內(nèi)環(huán)坐標(biāo)系F3:O3X3Y3Z3，以及負(fù)載坐標(biāo)系F4:O4X4Y4Z4。坐標(biāo)系F0,F1,F3,F4分別與轉(zhuǎn)臺基座、轉(zhuǎn)臺外環(huán)、轉(zhuǎn)臺內(nèi)環(huán)、陀螺飛輪固連，F(xiàn)1的x軸與轉(zhuǎn)臺外環(huán)軸線方向一致，F(xiàn)3的z軸與轉(zhuǎn)臺內(nèi)環(huán)軸線方向一致。坐標(biāo)系F2與F1間的變換體現(xiàn)轉(zhuǎn)臺內(nèi)外環(huán)軸間的垂直度和相交度誤差。設(shè)轉(zhuǎn)臺外環(huán)軸和內(nèi)環(huán)軸的期望轉(zhuǎn)角分別為φ1和φ2，標(biāo)定系統(tǒng)的誤差因素如表1所述，則相鄰坐標(biāo)系間的相對運(yùn)動關(guān)系如圖3所示。

圖3 相鄰坐標(biāo)系之間的運(yùn)動關(guān)系

根據(jù)多體運(yùn)動學(xué)理論，相鄰兩坐標(biāo)系Fi→Fi+1的相對位姿變換關(guān)系可用齊次變換矩陣表示，記作iTi+1。則基座坐標(biāo)系與外環(huán)坐標(biāo)系間的變換關(guān)系為

(3)

外環(huán)坐標(biāo)系與內(nèi)環(huán)參考坐標(biāo)系間的變換關(guān)系為

(4)

內(nèi)環(huán)參考坐標(biāo)系與內(nèi)環(huán)坐標(biāo)系間的變換關(guān)系為

(5)

內(nèi)環(huán)坐標(biāo)系與負(fù)載坐標(biāo)系間的變換關(guān)系為

(6)

定義Td,Tt分別為理想情況下和多誤差因素作用下陀螺飛輪相對于慣性坐標(biāo)系的位姿變換矩陣，則

(7)

(8)

考慮多位置標(biāo)定試驗(yàn)中，轉(zhuǎn)臺負(fù)載端的姿態(tài)誤差會影響陀螺飛輪三軸敏感的地球自轉(zhuǎn)角速度和重力加速度分量，因此，定義Rd,Rt分別表示理想情況和多誤差源作用下陀螺飛輪相對于慣性坐標(biāo)系的姿態(tài)變換矩陣，則有

Rd(φ)=M·Td·MT

(9)

Rt(φ,χ)=M·Tt·MT

(10)

χ=[Δφy1,Δφz2,Δαx1,Δαz1,Δαx2,Δαy2,

Δεx,Δεy,Δθx,Δθy,Δθz]T

注：χ中不包含轉(zhuǎn)臺相交度誤差Δη，這是由于Δη只影響轉(zhuǎn)臺負(fù)載端的位置而不影響姿態(tài)，因此可不考慮其對標(biāo)定精度的影響。

在多位置標(biāo)定試驗(yàn)中，假設(shè)理想情況下陀螺飛輪的初始指向?yàn)楸?西-天。記ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度，λ為試驗(yàn)地點(diǎn)緯度。在理想情況下，投影在陀螺飛輪各軸的重力加速度分量和地球自轉(zhuǎn)角速度分量只與轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)角φ相關(guān)，即

[axayaz]=[0 0 -g]·Rd(φ)

(11)

[ωexωey] =[ωecosλ 0 ωesinλ]·Rdφ)·Mω

(12)

而當(dāng)標(biāo)定系統(tǒng)受多種誤差因素影響時(shí)，重力加速度和地球自轉(zhuǎn)角速度分量不但與轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)角φ相關(guān)，還與誤差參數(shù)χ相關(guān)，即

(14)

根據(jù)式(11)～式(14)，轉(zhuǎn)臺-陀螺飛輪標(biāo)定系統(tǒng)中的多種誤差因素共同引起的標(biāo)定基準(zhǔn)量誤差為

[ΔaxΔayΔaz] =[0 0 -g]·ΔR(φ,χ})

(15)

[ΔωexΔωey]=[ωecosλ 0 ωesinλ]·ΔR(φ,χ})·Mω

(16)

式中：ΔR(φ,χ})=Rt(φ,χ})-Rd(φ)表示轉(zhuǎn)臺負(fù)載端的姿態(tài)誤差矩陣。

將式(3)～式(10)代入式(15)～式(16)中，可計(jì)算多種因素共同作用所引起的標(biāo)定基準(zhǔn)量誤差，式(15)～式(16)為轉(zhuǎn)臺-陀螺飛輪標(biāo)定系統(tǒng)的誤差傳遞模型。該誤差傳遞模型綜合考慮了標(biāo)定系統(tǒng)的多種誤差因素，且以標(biāo)定基準(zhǔn)量誤差作為終端輸出誤差有效避免了模型中包含待標(biāo)定參數(shù)，這一模型具有更好的適用性與推廣性。

4 標(biāo)定系統(tǒng)誤差靈敏度分析方法

為充分探討各誤差因素對基準(zhǔn)量誤差的影響程度，本節(jié)基于誤差傳遞模型進(jìn)行誤差靈敏度分析。分析結(jié)果能夠?yàn)殛P(guān)鍵誤差因素的辨別、標(biāo)定系統(tǒng)誤差指標(biāo)的確定、標(biāo)定試驗(yàn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)等提供理論依據(jù)，對降低標(biāo)定試驗(yàn)成本、提升陀螺飛輪的標(biāo)定精度具有重要意義。

常規(guī)誤差靈敏度分析一般采用局部分析方法，即基于微分或差分理論，在固定其余因素的前提下，只改變被研究單個(gè)因素的數(shù)值，可以得到該因素的靈敏度分析結(jié)果[14-15]，這類方法較為簡單、易于計(jì)算。然而，考慮轉(zhuǎn)臺-陀螺飛輪標(biāo)定系統(tǒng)的標(biāo)定精度受諸多因素影響，需要在變化范圍內(nèi)同時(shí)對多個(gè)誤差因素進(jìn)行靈敏度分析，且其誤差傳遞模型具有非線性，局部靈敏度分析方法無法給出可靠的分析結(jié)果。因此，本文采用一種全局靈敏度分析方法——Sobol法[16-18]以充分探討各個(gè)誤差參數(shù)對標(biāo)定基準(zhǔn)量誤差的影響程度。

4.1 全局靈敏度

假設(shè)待分析模型為Y≡f(X)，X∈Rk為k維輸入向量，X=[X1,…,Xk]。根據(jù)Sobol方法，對于平方可積的f(X)，可將其分解為[16]

(17)

式(17)中各加數(shù)項(xiàng)之間相互正交，從而能夠?qū)偡讲钸M(jìn)行分解，得到

(18)

式(18)中總方差V表示所有因素對模型輸出的影響，Vi表示單個(gè)因素Xi對輸出的影響，Vij表示Xi和Xj兩因素交互作用對輸出的影響，以此類推。輸入?yún)?shù)對輸出的靈敏度可用其對輸出總方差的貢獻(xiàn)量來評價(jià)，其中最為常用的靈敏度系數(shù)為一階靈敏度和總體靈敏度，它們分別定義為

(19)

(20)

其中：～i表示除Xi外的其他所有因素，Si代表因素Xi單獨(dú)作用對總方差的貢獻(xiàn)，未包含Xi與其他因素相關(guān)的更高階方差；STi則表示所有來自因素Xi的方差的總貢獻(xiàn)。

4.2 基于Sobol法的標(biāo)定系統(tǒng)誤差靈敏度分析

根據(jù)Sobol方法，所定義的靈敏度系數(shù)可通過蒙特卡洛方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，在此基礎(chǔ)上，給出轉(zhuǎn)臺-陀螺飛輪標(biāo)定系統(tǒng)的誤差靈敏度分析算法如下：

算法步驟：

1) 確定采樣樣本數(shù)N，誤差因素個(gè)數(shù)k，轉(zhuǎn)臺內(nèi)外環(huán)轉(zhuǎn)角φ，待分析模型f(χ)∈{Δax,Δay,Δaz,Δωex,Δωey}；

2) 在誤差參數(shù)空間Θχ內(nèi)進(jìn)行蒙特卡洛隨機(jī)采樣，生成N×k維采樣矩陣A和重采樣矩陣B；

3) 初始化i=1；

5) 根據(jù)下式計(jì)算第i個(gè)誤差因素的靈敏度系數(shù)：

6) 若i

根據(jù)給出的分析算法，設(shè)定采樣樣本數(shù)N=1 000，對式(15)～式(16)所描述的標(biāo)定系統(tǒng)誤差傳遞模型進(jìn)行靈敏度分析?？紤]工程實(shí)際，本文在如下誤差參數(shù)空間內(nèi)：

Θχ={χ∈R11∶?χi∈[-2′,2′]}

分析11個(gè)誤差因素對5個(gè)標(biāo)定基準(zhǔn)量的影響。

如誤差傳遞模型所示，標(biāo)定基準(zhǔn)量誤差隨轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)角φ1、φ2變化而變化，在每一轉(zhuǎn)角位置應(yīng)用上述算法可得到一組誤差靈敏度分析結(jié)果。為從整體上討論各個(gè)誤差因素的影響程度，將不同轉(zhuǎn)角位置的誤差靈敏度取平均值，分析結(jié)果如圖4所示。

根據(jù)圖4所示的誤差靈敏度分析結(jié)果，對于x軸標(biāo)定基準(zhǔn)量ax和ωex，誤差因素Δαx2,Δθx的靈敏度為10-5量級，其影響可以忽略；而誤差因素Δαy2,Δθy的靈敏度為其余誤差因素的3～5倍，其影響最大。反之，對于y軸標(biāo)定基準(zhǔn)量ay和ωey，Δαy2,Δθy的靈敏度為10-5量級，其影響可以忽略；而Δαx2,Δθx的靈敏度為其余誤差因素的3～5倍，其影響最大。Δφz2,Δαx1,Δαz1,Δεx,Δθz對z軸標(biāo)定基準(zhǔn)量az的靈敏度為10-4～10-5量級，其影響可以忽略；而Δφy1,Δεy的靈敏度為其余誤差因素的4～5倍，其影響最大。綜合上述分析，Δαx2,Δαy2,Δφy1,Δεy,Δθx,Δθy是標(biāo)定系統(tǒng)的關(guān)鍵誤差來源，因此，為兼顧陀螺飛輪的標(biāo)定精度和試驗(yàn)成本，可以有針對性地對上述關(guān)鍵誤差因素的誤差指標(biāo)提出更高要求。

注：根據(jù)誤差傳遞模型(15)～(16)，χ對同一軸標(biāo)定基準(zhǔn)量的誤差傳遞關(guān)系相同，因而各誤差因素對同一軸標(biāo)定基準(zhǔn)量的誤差靈敏度分析結(jié)果一致。

如圖4所示，同一誤差因素的一階靈敏度和總體靈敏度值相差不大，兩者之差不超過10-3量級，這表明各誤差因素間的交互作用相對較小。

圖4 誤差靈敏度均值

另外，考慮誤差靈敏度隨轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)角位置的變化而變化，對于上述關(guān)鍵誤差因素，有必要進(jìn)一步探討其誤差靈敏度在轉(zhuǎn)角空間的分布。根據(jù)靈敏度計(jì)算結(jié)果，Δαy2,Δθy對x軸標(biāo)定基準(zhǔn)量的影響幾乎一致，Δαy2,Δθy對y軸標(biāo)定基準(zhǔn)量的影響幾乎一致，而Δφy1,Δεy對z軸標(biāo)定基準(zhǔn)量的影響也幾乎一致，因此圖5以Δαy2對Δax、Δαx2對Δay、Δφy1對Δaz為例，給出不同轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)角下的誤差靈敏度分布結(jié)果。

如圖5(a)和圖5(b)所示，對x軸和y軸標(biāo)定基準(zhǔn)量來說，誤差靈敏度隨兩軸轉(zhuǎn)角變化呈現(xiàn)周期性變化，因此，在標(biāo)定試驗(yàn)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)，根據(jù)靈敏度分析結(jié)果可以合理設(shè)計(jì)標(biāo)定位置，以盡量減小誤差因素的影響，這為標(biāo)定試驗(yàn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。現(xiàn)有研究通常將標(biāo)定試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行求解[6]，因此可將誤差靈敏度數(shù)值作為優(yōu)化問題的約束條件之一，以進(jìn)一步改善標(biāo)定試驗(yàn)精度。從圖5(c)可見，Δφy1(及Δεy)在整個(gè)轉(zhuǎn)角空間均對z軸標(biāo)定基準(zhǔn)量產(chǎn)生明顯影響，因而很難通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)減小其影響，為保證標(biāo)定精度可有針對性地對Δφy1,Δεy的誤差指標(biāo)提出更高要求。

圖5 不同轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)角下的誤差靈敏度

5 結(jié)論

建立了轉(zhuǎn)臺-陀螺飛輪標(biāo)定系統(tǒng)的誤差傳遞模型，誤差傳遞模型考慮了多種誤差因素的共同作用，且為顯式映射形式便于進(jìn)行定量分析。提出了基于Sobol法的標(biāo)定系統(tǒng)全局誤差靈敏度分析方法，根據(jù)分析結(jié)果確定了標(biāo)定系統(tǒng)的關(guān)鍵性誤差因素，實(shí)現(xiàn)了誤差溯源。

定量分析結(jié)果為進(jìn)一步提升陀螺飛輪標(biāo)定精度提供了理論依據(jù)，一是合理設(shè)計(jì)標(biāo)定試驗(yàn)位置能夠減小關(guān)鍵誤差因素Δαx2,Δαy2,Δθx,Δθy的影響，二是嚴(yán)格控制誤差指標(biāo)要求能夠減小關(guān)鍵誤差Δφy1,Δεy的影響。