陳良驥 馬龍飛 趙 波 高 飛

1(桂林理工大學(xué)機(jī)械與控制工程學(xué)院 廣西 桂林 541004) 2(天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 天津 300387)

0 引 言

葉輪作為航空發(fā)動(dòng)機(jī)的核心部件，是一類具有代表性且造型比較規(guī)范的通道類復(fù)雜零件，往往由自由復(fù)雜曲面構(gòu)成[1-3]。由于非均勻有理B樣條曲線(NURBS)優(yōu)秀的自由曲面造型能力，1991年，STEP國際標(biāo)準(zhǔn)亦把NURBS作為定義產(chǎn)品形狀的唯一數(shù)學(xué)方法[4]。如何快速、精確地求取空間一點(diǎn)到樣條曲線的最短距離是NURBS曲線在計(jì)算輔助設(shè)計(jì)與制造應(yīng)用中最基礎(chǔ)也是最重要的問題。

李蔚等[5]基于高斯-牛頓法并通過多次微分坐標(biāo)變換進(jìn)行微小情況下點(diǎn)到曲線的最短距離求取。郭慧等[6]提出了一種基于NURBS樣條曲線插值與遺傳算法相結(jié)合方法來確定點(diǎn)到曲線最短距離。展俊德等[7]提出了一種利用控制頂點(diǎn)投影法計(jì)算點(diǎn)到平面NURBS曲線最小距離的算法，具體做法是將NURBS曲線分割為若干小曲線并對其依次進(jìn)行搜索得到最短距離。Chen等[8]利用圓形修剪技術(shù)提出了一種計(jì)算點(diǎn)與NURBS曲線之間的最小距離的新方法。Li等[9]提出了一種新的正交投影方法，用于計(jì)算點(diǎn)與空間參數(shù)曲線之間的最小距離。Zhu等[10]將歐氏空間中從點(diǎn)到曲線的投影點(diǎn)即正交投影點(diǎn)計(jì)算算法擴(kuò)展到彎曲空間，給出了彎曲空間上正交投影的點(diǎn)計(jì)算方法進(jìn)而得到點(diǎn)到曲線最短距離。

以上方法均可有效求取點(diǎn)到空間NURBS曲線的距離。但由于各種方法對初值等因素的要求不同，算法收斂性也大不相同，且算法較為復(fù)雜、魯棒性差。本文通過對NURBS曲線的節(jié)點(diǎn)向量進(jìn)行兩次快速篩選并結(jié)合篩選出的節(jié)點(diǎn)附近曲線的幾何特性精確鎖定參數(shù)搜索迭代區(qū)間，進(jìn)而通過多次迭代的方式求取最短距離。

1 NURBS曲線模型及生成

在三維笛卡爾空間中，一條關(guān)于參數(shù)ξ的p次NURBS曲線向量表達(dá)式如下：

(1)

式中：{Pi}是NURBS曲線的n+1個(gè)三維控制點(diǎn)；{ri}是各個(gè)控制點(diǎn)對應(yīng)權(quán)重值；{Ni,p(ξ)}是定義在節(jié)點(diǎn)向量X上的p次B樣條基函數(shù)，這里X={ξ0,ξ1,…，ξn+p+1}。

p次B樣條基函數(shù)的計(jì)算式如下：

(2)

式(2)為一種迭代計(jì)算過程，例如對三次NURBS曲線的基函數(shù)N1,3(ξ)，其迭代計(jì)算過程如圖1所示。

圖1 三次NURBS曲線某基函數(shù)推導(dǎo)示意

p次NURBS曲線基函數(shù)的一階導(dǎo)函數(shù)可用如下表達(dá)式計(jì)算出：

(3)

則NURBS曲線的一階導(dǎo)矢表達(dá)式為：

(4)

2 最短距離求取

2.1 理論最短距離模型

現(xiàn)行方法中，求取空間點(diǎn)A(xA,yA,zA)到NURBS曲線的最短距離主要采取在NURBS曲線上搜索數(shù)據(jù)點(diǎn)的方法，逐一求取與A的距離，并進(jìn)行大小比較，直到搜索到距離最短時(shí)為止。如果對NURBS曲線進(jìn)行整體搜索，即相當(dāng)于在曲線的參數(shù)空間ξ∈[0，1]內(nèi)進(jìn)行搜索。如此可得整體搜索時(shí)，A點(diǎn)到NURBS曲線的最短距離dmin的數(shù)學(xué)計(jì)算模型：

(5)

按式(5)計(jì)算點(diǎn)到NURBS曲線間的最短距離是一種理論求取值，實(shí)際上由于參數(shù)空間的連續(xù)性，可取參數(shù)點(diǎn)有無窮多個(gè)，因此整體搜索計(jì)算最短距離的方法效率低下而且實(shí)際應(yīng)用時(shí)也是不可行的。對此，本文提出如下參數(shù)搜索區(qū)間快速確定方法，將最短距離的求取進(jìn)行參數(shù)搜索區(qū)間的預(yù)處理，直接縮小參數(shù)搜索范圍快速鎖定最短距離所對應(yīng)的參數(shù)范圍。

2.2 參數(shù)搜索區(qū)間鎖定

搜索區(qū)間鎖定的目的是對可能存在最短距離的參數(shù)范圍進(jìn)行精確定性分析，減小距離計(jì)算的工作量，提高最短距離搜索程序運(yùn)行速度。下面分兩步漸進(jìn)鎖定參數(shù)搜索區(qū)間。

如圖2所示，A為NURBS曲線外待求與NURBS曲線最短距離的空間點(diǎn)，ξi(i=0,1,…,n+p+1)為定義NURBS曲線的節(jié)點(diǎn)向量X中的某個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)。首先應(yīng)計(jì)算出NURBS曲線所有節(jié)點(diǎn)參數(shù)對應(yīng)點(diǎn)與空間點(diǎn)A的距離，以此確定初步參數(shù)搜索區(qū)間的大致位置。將節(jié)點(diǎn)向量X各節(jié)點(diǎn)參數(shù)映射至線性空間可得到具體的參數(shù)數(shù)據(jù)點(diǎn)，并結(jié)合式(5)進(jìn)行初次篩選，得到最小距離l，同時(shí)記錄其對應(yīng)節(jié)點(diǎn)參數(shù)。

圖2 節(jié)點(diǎn)中的最短距離點(diǎn)確定

經(jīng)過初步篩選后可知所求取參數(shù)的搜索區(qū)間應(yīng)在參數(shù)ξi附近。顯然，最終要鎖定的參數(shù)區(qū)間必須包含最短距離點(diǎn)所對應(yīng)參數(shù)在內(nèi)才能實(shí)現(xiàn)最短距離的求取。

將ξi代入式(1)可以得到該參數(shù)所對應(yīng)的NURBS的數(shù)據(jù)點(diǎn)Q(ξi)，曲線外一點(diǎn)A與Q(ξi)間的單位方向向量TAQ如下：

(6)

將ξi代入式(4)可得到NURBS曲線在點(diǎn)Q(ξi)處的一階導(dǎo)矢Q′(ξi)。

為便于后面敘述的理解，我們先對空間點(diǎn)、NURBS曲線上的點(diǎn)、NURBS曲線在某點(diǎn)處一階導(dǎo)矢以及最短距離間的關(guān)系作如圖3所示的說明。圖3中，A和B均為NURBS曲線外的空間點(diǎn)，若NURBS曲線上與A或B距離最短的點(diǎn)為已知，則A或B與相應(yīng)NURBS曲線上最短距離點(diǎn)間的連線應(yīng)與NURBS曲線上距離最短點(diǎn)處的一階導(dǎo)矢呈相互垂直的幾何關(guān)系。再結(jié)合式(6)，我們可根據(jù)TAQ與一階導(dǎo)矢Q′(ξi)間的夾角是否為直角來判斷NURBS曲線上的點(diǎn)是否為與空間點(diǎn)距離最短的點(diǎn)。夾角θ可由式(7)求得。

(7)

圖3 最短距離下點(diǎn)與曲線幾何關(guān)系

圖4為夾角θ在距離最短點(diǎn)附近的大小變化?？芍獖A角θ在距離最短點(diǎn)處為直角，在距離最短點(diǎn)左側(cè)為銳角，在距離最短點(diǎn)右側(cè)為鈍角，利用這個(gè)規(guī)律可對最短距離點(diǎn)的參數(shù)所在的搜索區(qū)間進(jìn)行最終鎖定。最終鎖定的方法如下：

1) 若θ=90°，則該參數(shù)所對應(yīng)曲線數(shù)據(jù)點(diǎn)為最短距離點(diǎn)，參數(shù)代入式(5)完成最短距離求取。

2) 若θ<90°，則向該參數(shù)右端按預(yù)先設(shè)置的參數(shù)增量繼續(xù)搜索，重復(fù)計(jì)算出新的夾角θ，直至θ≥90°。假定此時(shí)重復(fù)計(jì)算的次數(shù)為k，此時(shí)對應(yīng)的參數(shù)為ξk，則可將參數(shù)搜索區(qū)間確定為[ξk-1，ξk]。

3) 若θ>90°，則向該參數(shù)左端按預(yù)先設(shè)置的參數(shù)增量繼續(xù)搜索，重復(fù)計(jì)算出新的夾角θ，直至θ≤90°。假定此時(shí)重復(fù)計(jì)算的次數(shù)k，此時(shí)對應(yīng)的參數(shù)為ξk，則可將參數(shù)搜索區(qū)間確定為[ξk，ξk-1]。

(a) (b)圖4 不同位置下夾角θ的變化

2.3 求取距離

在參數(shù)的搜索區(qū)間最終鎖定后，即可進(jìn)行最小距離點(diǎn)的參數(shù)的搜索求解計(jì)算。求解計(jì)算的核心思想是將參數(shù)ξ的參數(shù)搜索區(qū)間[ξ左,ξ右]進(jìn)行等間距劃分為若干個(gè)參數(shù)點(diǎn)，如圖5所示，應(yīng)用式(5)求得相對較小距離及與之對應(yīng)的參數(shù)，以該參數(shù)為中心參數(shù)，縮短參數(shù)搜索區(qū)間后再次將區(qū)間等間距劃分，直到前后求得的較小距離差小于預(yù)設(shè)求解誤差時(shí)停止搜索計(jì)算。現(xiàn)將具體搜索求解計(jì)算過程陳述如下。

圖5 參數(shù)搜索區(qū)間等間距劃分搜索

經(jīng)過第2.2節(jié)中所述幾種情況的分析，可獲得參數(shù)ξ的最終參數(shù)搜索區(qū)間[ξ左,ξ右]，將該區(qū)間等間距劃分為H個(gè)參數(shù)點(diǎn)，則每個(gè)參數(shù)點(diǎn)的參數(shù)間距應(yīng)為：

(8)

所以，每個(gè)參數(shù)點(diǎn)的數(shù)值應(yīng)為：

ξj=ξ左+jΔξj=1,2,…,H

(9)

將ξ左、ξ右、所有參數(shù)值ξj代入式(5)可求得第1次搜索的較小距離ε1。

第2次搜索時(shí)，以ε1所對應(yīng)的參數(shù)點(diǎn)為中心參數(shù)ξ中，采取將參數(shù)搜索區(qū)間長度縮小一半的處理方式。即區(qū)間長度由式(10)確定。

(10)

將ξ左和ξ右分別重新計(jì)算為：

ξ左=ξ中-L2/2

(11)

ξ右=ξ中+L2/2

(12)

再次將參數(shù)搜索區(qū)間[ξ左,ξ右]等間距劃分為H個(gè)參數(shù)后，可求得第2次搜索后的較小距離ε2。

判斷|ε2-ε1|是否小于或等于預(yù)設(shè)求解誤差σ，若是則最小距離ε為ε1和ε2中的較小者，若否則繼續(xù)進(jìn)行第3次、第4次、…、第m次搜索，直到|εm-εm-1|≤σ成立為止，取最小距離ε為εm和εm-1中的較小者。

以上為曲線外一點(diǎn)到NURBS曲線最短距離的求取方法，圖6為求取流程。

圖6 最短距離求取流程

3 實(shí)例驗(yàn)證

一般NURBS曲線G2連續(xù)即可滿足大部分場合，G2連續(xù)代表樣條曲線二階導(dǎo)矢連續(xù)，故本文對p=3的NURBS曲線進(jìn)行研究。給定曲線外一點(diǎn)A。NURBS曲線生成數(shù)據(jù)來自五軸數(shù)控加工數(shù)據(jù)。先由CAM軟件生成葉輪流道曲面的刀具切削運(yùn)動(dòng)軌跡，經(jīng)過刀具軌跡離散，最終生成含有刀心點(diǎn)、刀軸向量、刀觸點(diǎn)的刀位文件。切削語句的格式如下：

GOTO/x,y,z,i,j,k＄＄x′,y′,z′

上述格式中：(x,y,z)為工件坐標(biāo)系下刀心點(diǎn)位置坐標(biāo)，取其進(jìn)行曲線擬合。參加NURBS曲線擬合的數(shù)據(jù)點(diǎn)(刀心點(diǎn)坐標(biāo))如表1所示。

表1 待擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)

通過編制的MATLAB程序讀取表1中數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行NURBS樣條擬合。擬合后節(jié)點(diǎn)向量X=(0 0 0 0 0.142 9 0.214 4 0.285 9 0.357 3 0.428 8 0.500 2 0.571 6 0.643 1 0.714 5 0.785 8 0.857 0 1 1 1 1)，擬合時(shí)反算求得的控制點(diǎn)如表2所示。

表2 NURBS曲線控制點(diǎn)

續(xù)表2

取待測點(diǎn)A1=(109.1 76.1 71)、A2=(114.5 128.2 39)，通過編制的MATLAB程序讀取NURBS曲線信息并進(jìn)行最短距離求取。求解點(diǎn)到樣條曲線距離問題為無約束非線性問題，將文獻(xiàn)[3]所使用的高斯-牛頓法應(yīng)用于本文的問題背景，高斯-牛頓法收斂速度為二階且精度較高，常用于解決該類問題。

將文獻(xiàn)[3]中NURBS節(jié)點(diǎn)向量區(qū)間的中值參數(shù)ξ=0.5設(shè)置為迭代初值，編制并運(yùn)行相應(yīng)的MATLAB程序，獲得的相關(guān)數(shù)據(jù)與本文方法獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，表3為兩種方法在求解誤差σ=0.000 1 mm下求解的最短距離值及計(jì)算耗時(shí)情況。

表3 求取的最短距離及計(jì)算耗時(shí)

可以看出，通過對兩點(diǎn)距離的求取的驗(yàn)證，兩種方法皆可求得最短距離。而本文方法的求取效率比較高，耗時(shí)短。

4 結(jié) 語

針對空間一點(diǎn)到NURBS曲線的最短距離求取問題，提出一種參數(shù)區(qū)間篩選迭代方法。該方法不用事先給定初值，可直接通過點(diǎn)與曲線的幾何關(guān)系，經(jīng)兩個(gè)步驟后最終鎖定參數(shù)搜索區(qū)間，然后根據(jù)最短距離求解誤差的要求對該參數(shù)區(qū)間進(jìn)行迭代搜索，求得最短距離。通過MATLAB編程與其他現(xiàn)有方法對比后，結(jié)果表明本文方法不僅能達(dá)到相同的求取精度，而且還能具有較高的求取效率。