李佳雨 朱樹(shù)先

(蘇州科技大學(xué)電子與信息工程學(xué)院 江蘇 蘇州 215009)

0 引 言

圖像去噪是數(shù)字圖像處理領(lǐng)域的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題之一。出于各種原因，例如傳感器缺陷、信號(hào)干擾等，圖像系統(tǒng)中極易引入各種噪聲。圖像中出現(xiàn)的隨機(jī)噪聲總會(huì)產(chǎn)生各種意想不到的結(jié)果，并極大地影響各種圖像處理手段。當(dāng)前已經(jīng)有很多的圖像去噪算法被提出，大致分為空域?yàn)V波[1]、變換域?yàn)V波[2]和混合域?yàn)V波[3]。但是這一類(lèi)的去噪手段極易導(dǎo)致圖像模糊及細(xì)節(jié)丟失的問(wèn)題。

隨著稀疏表示的研究越來(lái)越深入及超完備字典的提出，以字典學(xué)習(xí)為代表的去噪算法開(kāi)始被廣泛地研究。其中文獻(xiàn)[4-5]提出了KSVD算法，至此基于稀疏模型的去噪算法在去噪性能上超越了以往的傳統(tǒng)算法。但是由于噪聲廣泛附著在圖像上并掩蓋了部分結(jié)構(gòu)信息，去噪過(guò)程永遠(yuǎn)不會(huì)是完美的，總會(huì)有一部分信息被去噪系統(tǒng)平滑處理掉。同時(shí)為了自適應(yīng)圖像，許多去噪算法所使用的超完備字典都是學(xué)習(xí)自含有噪聲的觀測(cè)圖像，因此字典中或多或少都會(huì)訓(xùn)練出含有噪聲的原子。即使這些原子不被表達(dá)出來(lái)，其依然隱含著風(fēng)險(xiǎn)。

如何從含有噪聲的觀測(cè)圖像中恢復(fù)盡可能多的信息一直都是一個(gè)非常重要的課題?；诮?jīng)典的KSVD算法，本文提出一種多級(jí)去噪算法，通過(guò)加強(qiáng)觀測(cè)信號(hào)及提取殘差中的信息，盡可能多地利用圖像中的信息重建原始圖像；并利用字典剪枝及優(yōu)化的方式，對(duì)超完備字典中的原子進(jìn)行噪聲監(jiān)測(cè)，盡可能降低字典中引入的噪聲對(duì)去噪系統(tǒng)的影響。通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)，本文算法在去噪性能上有著一定的提高，并在包含大量紋理細(xì)節(jié)的圖像中表現(xiàn)尤為出色。

1 稀疏表示和K-SVD圖像去噪

(1)

(2)

超完備字典D是定義稀疏域信號(hào)并推廣應(yīng)用它的基本要素。針對(duì)如何尋求恰當(dāng)?shù)淖值洌瑢W(xué)者們做出了非常多的探索，誕生了包括K-SVD算法在內(nèi)的許多優(yōu)秀的算法[1-2]。KSVD算法在主迭代中進(jìn)行k次SVD分解，這是其命名的來(lái)源；并利用貪婪算法近似求解式(3)獲得最佳字典和稀疏系數(shù)。該算法在圖像的去噪處理上有著非常優(yōu)秀的表現(xiàn)力。

(3)

不過(guò)即使該類(lèi)算法擁有足夠優(yōu)秀的去噪性能，但是依然不可能完美地處理所有的噪聲信號(hào)，并且該算法的運(yùn)算時(shí)間較長(zhǎng)，除了像傳統(tǒng)算法一樣導(dǎo)致部分細(xì)節(jié)的平滑與丟失，還有可能自發(fā)地將噪聲引入到重構(gòu)完成的圖像中。

2 基于K奇異值分解多級(jí)去噪算法

雖然當(dāng)前的圖像去噪算法足夠優(yōu)秀，但是從去噪的結(jié)果來(lái)看，其結(jié)果通常是并不完美的。由于各種原因，去噪的過(guò)程必然會(huì)導(dǎo)致部分細(xì)節(jié)丟失。從實(shí)驗(yàn)中可以發(fā)現(xiàn)，觀測(cè)圖像和降噪圖像之間的殘差包含了部分肉眼可見(jiàn)的殘留[6-7]。因此我們希望能夠從這里挖掘部分“丟失”的信息。同時(shí)，隨著噪聲強(qiáng)度的不斷增強(qiáng)(具體表現(xiàn)為方差σ的增加)，字典訓(xùn)練的過(guò)程也會(huì)不可避免地引入噪聲原子。雖然大多數(shù)時(shí)候不會(huì)被表達(dá)出來(lái)，但是考慮到噪聲強(qiáng)度很大時(shí)，訓(xùn)練出的字典中會(huì)出現(xiàn)很多含有噪聲的原子，其對(duì)圖像的去噪處理依然是一種隱患。因此本文基于K-SVD算法，從多級(jí)去噪處理及字典剪枝與優(yōu)化的角度考慮，挖掘針對(duì)一般性去噪算法的通用去噪算法。

2.1 多級(jí)去噪算法

考慮一個(gè)理想的圖像x∈RN，測(cè)量中存在均值為零、標(biāo)準(zhǔn)差為σ的加性高斯白噪聲ν，則有如下觀測(cè)圖像：

y=x+ν

(4)

當(dāng)該含噪的觀測(cè)圖像經(jīng)過(guò)一次去噪后，由于不完美的去噪過(guò)程，其殘差必然包含一定的信號(hào)殘留以及噪聲信號(hào)，記為vr，則經(jīng)過(guò)去噪后的圖像可以表示為：

(5)

考慮到K-SVD去噪算法在圖像降噪中的優(yōu)良表現(xiàn)，降噪后的圖像信噪比必然要遠(yuǎn)高于觀測(cè)圖像：

(6)

(7)

根據(jù)式(7)，有：

(8)

由于δ≤1，所以可以得出利用加強(qiáng)信號(hào)進(jìn)行迭代去噪后的信噪比一定要好于原始觀測(cè)信號(hào)這一結(jié)論?；诖?，本文設(shè)計(jì)了基于加強(qiáng)信號(hào)和殘差信號(hào)的多級(jí)去噪算法，其基本框架如圖1所示。

圖1 多級(jí)去噪提升算法的框架

由于殘差信號(hào)的特殊性，這里的計(jì)算不能直接套用常規(guī)的K-SVD處理方法，需要做一些額外的工作。因?yàn)闅埐钚盘?hào)中包含了大量的原始噪聲信號(hào)，對(duì)提升去噪性能的信號(hào)數(shù)量稀少，如果直接套用常規(guī)的處理方法，將會(huì)致使大量的噪聲信號(hào)被平滑處理成噪聲團(tuán)，最終被誤處理為紋理，導(dǎo)致去噪性能的惡化。所以本文對(duì)常規(guī)的K-SVD算法進(jìn)行一點(diǎn)修改，利用主信號(hào)去噪過(guò)程中的支撐集去初始化殘差的支撐集，再利用計(jì)算得到的系數(shù)去重構(gòu)殘差信息，如算法1所示。

算法1固定支撐去噪模塊的算法

輸入：

(1) 利用常規(guī)KSVD算法的支撐集更新系數(shù)：

OMP(res,D,αij)→βij

(2) 計(jì)算殘差圖像的去噪信號(hào)：

輸出：Δij

2.2 字典噪聲監(jiān)測(cè)

由于本文2.1節(jié)嘗試了對(duì)觀測(cè)圖像和去噪圖像的殘差進(jìn)行重構(gòu)補(bǔ)充部分信息，其中的殘差除了包含部分有用信號(hào)，還包含了大量的噪聲信號(hào)[8]，因此當(dāng)噪聲水平達(dá)到一定程度時(shí)，超完備字典也將不可避免地引入相當(dāng)量級(jí)的噪聲。盡管在常規(guī)的去噪過(guò)程中，這些無(wú)意義原子的影響可能并不大，但是當(dāng)噪聲信號(hào)逐漸增強(qiáng)或者是針對(duì)殘差信號(hào)這種本身就包含大量噪聲的情況，其可能在一定程度上會(huì)導(dǎo)致去噪性能的惡化[9-10]。圖2是利用K-SVD算法，從σ=25的圖片F(xiàn)ingerprint中訓(xùn)練得到的字典，顯然可以發(fā)現(xiàn)，紅色框標(biāo)注的部分原子就沒(méi)有很大的意義。

圖2 K-SVD算法訓(xùn)練的包含有部分無(wú)意義原子的原始字典

(9)

當(dāng)G>χ2(α;3)時(shí)，Bartlett校驗(yàn)將拒絕零假設(shè)，即被檢驗(yàn)的原子是非噪聲原子；其中χ2(α;3)為α上分位點(diǎn)、自由度為3的卡方值，本文取0.005為上分位點(diǎn)。

采用Bartlett校驗(yàn)的通用去噪框架如圖所示，本文利用K-SVD算法對(duì)字典進(jìn)行更新，并在優(yōu)化階段對(duì)字典進(jìn)行剪枝優(yōu)化，以保障在對(duì)殘差信號(hào)進(jìn)行處理的時(shí)候減少噪聲原子的干擾。

圖4 字典剪枝及優(yōu)化的通用框架

字典優(yōu)化的方法采用原子替換，即使用DCT字典中與噪聲原子相對(duì)應(yīng)的原子進(jìn)行替換。

(a) 含有部分無(wú)意義 原子的原始字典 (b) Bartlett校驗(yàn)后 優(yōu)化的字典圖5 過(guò)完備字典的優(yōu)化

實(shí)際上剪枝的方法并沒(méi)有提高去噪算法的性能，但是由于減少了噪聲原子從而降低了字典中混入噪聲的概率，為低噪重建提供了可能，并在特定的情況下依然可以提高還原質(zhì)量。

2.3 基于多級(jí)去噪及字典優(yōu)化的算法流程

本文算法的完整流程如圖6所示。

圖6 基于K奇異值分解的去噪算法流程

本文算法主要包括兩大模塊，如圖6所示。第一部分通過(guò)使用K-SVD算法對(duì)觀測(cè)圖像進(jìn)行初次去噪，并利用初次去噪結(jié)果加強(qiáng)原始信號(hào)；同時(shí)提取了包含部分“有用”信號(hào)的殘差信號(hào)。在提取兩部分的信號(hào)之后，分別對(duì)加強(qiáng)信號(hào)和殘差信號(hào)進(jìn)行字典訓(xùn)練處理；其中殘差信號(hào)采用本文2.1節(jié)提出的方法進(jìn)行訓(xùn)練。

本文算法的第二部分主要包含字典的噪聲監(jiān)測(cè)和優(yōu)化。噪聲監(jiān)測(cè)采用2.2節(jié)所述的方法對(duì)每個(gè)原子進(jìn)行檢測(cè)，并利用DCT字典中的部分原子對(duì)噪聲原子進(jìn)行更替，以減少在去噪階段時(shí)噪聲原子對(duì)圖像去噪的干擾。并在最后分別利用訓(xùn)練完成的兩個(gè)字典對(duì)圖像進(jìn)行重建及融合表示。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析

本節(jié)將通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文算法的有效性。將和經(jīng)典的K-SVD去噪算法[4]以及僅進(jìn)行字典優(yōu)化的去噪算法進(jìn)行比較。測(cè)試圖像為尺寸512×512的灰度圖像Lena、Barbara、Boat和Fingerprint；并分別添加均值為0，方差為10、15、20、25、50、75、100的加性高斯白噪聲。

表1給出了用于橫向?qū)Ρ热ピ胨惴ǖ囊恍┙Y(jié)果。主要對(duì)比了K-SVD去噪算法、進(jìn)行了字典優(yōu)化的算法和本文算法，采用峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中observed和predicted分別表示估計(jì)圖像和真實(shí)圖像：

(10)

(11)

從評(píng)價(jià)指標(biāo)PSNR來(lái)看：(1) 當(dāng)σ較低的時(shí)候，去噪后的結(jié)果差別并不是很大，提升平均在0.2左右。這是由于本文算法是以K-SVD算法為基礎(chǔ)的，在σ較低的時(shí)候，前次去噪結(jié)果對(duì)觀測(cè)圖像進(jìn)了信號(hào)加強(qiáng)，但是其中的噪聲信號(hào)本身占比就低，和觀測(cè)圖像的差距并不是很大，因此結(jié)果上來(lái)看兩者去噪結(jié)果相近；同時(shí)由于觀測(cè)圖像的信噪比就較高，其字典原子受干擾的情況較低。(2) 當(dāng)σ逐漸增加的時(shí)候，本文算法對(duì)PSNR的提升改善開(kāi)始顯現(xiàn)，尤其是在σ達(dá)到50及以上時(shí)，改善達(dá)到了相對(duì)可觀的量(最大1.46 dB)。這是由于加強(qiáng)信號(hào)主要加強(qiáng)的是干凈的區(qū)域而非噪聲，因此去噪算法能夠更好地訓(xùn)練出干凈且準(zhǔn)確的字典，從而減少了去噪重建中的錯(cuò)誤；同時(shí)，噪聲較大的時(shí)候，去噪算法對(duì)信息的提取將有限，即殘差中可提取的信號(hào)較σ低的時(shí)候更多；殘差信號(hào)中的信息得到充分的提取并與之融合，提高了去噪圖像中的信息量。

表1 本文算法的去噪性能比較

在測(cè)試所用的4幅圖像中，圖像Fingerprint的指標(biāo)改善尤為明顯。該幅圖像對(duì)比其他3幅圖像最大的特點(diǎn)就是尤為復(fù)雜的紋理結(jié)構(gòu)，但是從特征上來(lái)看也較為簡(jiǎn)單，主要由大量的不同方向線條組成。

圖7展示了本文算法與經(jīng)典算法在處理圖像Fingerprint(σ=25)后的結(jié)果。由于該圖像含大量的線條紋理結(jié)構(gòu)，其被噪聲影響后，一些本就不突出的部位將成為重災(zāi)區(qū)，如圖7中紅框所示的區(qū)域。其中圖7(b)的框區(qū)域的紋理肉眼可見(jiàn)的較圖7(a)更加豐富。這部分紋理是由多級(jí)去噪算法對(duì)“丟失”的信息細(xì)節(jié)進(jìn)行“找回”，從而使其更加貼近原圖像。

(a) 經(jīng)典KSVD去噪算法的結(jié)果 (b) 本文算法的結(jié)果圖7 fingerprint(σ=25)的去噪結(jié)果

由于豐富且復(fù)雜的紋理結(jié)構(gòu)，大量的噪聲信號(hào)附著在這些結(jié)構(gòu)上，容易模糊很多細(xì)小的結(jié)構(gòu)，尤其是σ較大的時(shí)候容易導(dǎo)致字典訓(xùn)練時(shí)產(chǎn)生相當(dāng)數(shù)量的含有噪聲的原子。實(shí)際上從表1中可以發(fā)現(xiàn)，字典剪枝優(yōu)化并不會(huì)對(duì)去噪性能有明顯的提升，基本上都是與不優(yōu)化的結(jié)果類(lèi)似，這是由稀疏表示的特性所決定的；但是在Fingerprint這種圖像中就有稍明顯的提升，盡管不大，但是卻是穩(wěn)定的，這可能是部分含有噪聲原子確實(shí)參與了最終的表達(dá)，并在剔除之后非常細(xì)微地改善了某些局部區(qū)域的性能。

本文對(duì)照了有無(wú)字典優(yōu)化情況下的去噪性能，如表2所示。噪聲較低的情況下字典的剪枝與優(yōu)化對(duì)去噪性能來(lái)說(shuō)沒(méi)有任何區(qū)別，這是由于低噪聲下噪聲原子對(duì)字典的干擾相當(dāng)?shù)停矝](méi)有機(jī)會(huì)進(jìn)行表達(dá)，反而是多級(jí)去噪系統(tǒng)可能因?yàn)槎啻斡?xùn)練導(dǎo)致某些特征的模糊，使得結(jié)果表現(xiàn)較差；但是當(dāng)噪聲達(dá)到了相當(dāng)高的水平后，噪聲信號(hào)很容易被引入到字典中。盡管因?yàn)橄∈璞硎镜奶匦詫?dǎo)致其被表達(dá)出來(lái)的概率很低，但是依然會(huì)有部分參與圖像的重建，使得圖像的一些細(xì)節(jié)部分可能出現(xiàn)偏差；但是當(dāng)對(duì)字典中的原子進(jìn)行噪聲檢測(cè)后，對(duì)其進(jìn)行剪枝與替換，依然能使得其能有少量的性能提升。

表2 本文算法在有無(wú)字典優(yōu)化下的性能

4 結(jié) 語(yǔ)

圖像去噪是數(shù)字圖像處理領(lǐng)域的經(jīng)典問(wèn)題，也有可能是最簡(jiǎn)單的逆問(wèn)題之一。在過(guò)去的幾十年里，眾多學(xué)者針對(duì)這個(gè)問(wèn)題做了非常多的研究，包括但不限于各種自適應(yīng)濾波器和統(tǒng)計(jì)估計(jì)器。許多傳統(tǒng)的算法諸如中值濾波器，在去噪過(guò)程中都容易導(dǎo)致圖像的模糊及細(xì)節(jié)的丟失，因此性能受限。本文從經(jīng)典的K-SVD算法出發(fā)，提出了結(jié)合字典噪聲監(jiān)測(cè)和多級(jí)去噪的算法；通過(guò)Bartlett校驗(yàn)對(duì)字典中的噪聲原子進(jìn)行監(jiān)測(cè)并完成剪枝優(yōu)化，并利用重構(gòu)圖像及觀測(cè)圖像的殘差補(bǔ)充部分信息，通過(guò)多級(jí)聯(lián)合的方式對(duì)觀測(cè)圖像進(jìn)行重建。通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明，本文算法在去噪的性能上有一定的提升，尤其是在針對(duì)紋理細(xì)節(jié)頗多的圖像時(shí)，其性能提升相當(dāng)可觀。但是由于本身基于K-SVD算法，因此本文算法的提升有一定的桎梏。接下來(lái)如何進(jìn)一步提升細(xì)節(jié)信息的提取和加速字典訓(xùn)練也是課題的研究?jī)?nèi)容之一。