第五蔻蔻，高志山，劉威劍，車嘯宇，馬燚岑，范筱昕，袁 群

（南京理工大學(xué) 電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210094）

引言

近年來，得益于大口徑光學(xué)元件的加工、制造技術(shù)的發(fā)展，大口徑光學(xué)系統(tǒng)在高功率激光、天文觀測(cè)、空間偵察等領(lǐng)域的應(yīng)用愈發(fā)廣泛。由于大口徑元件的面形精度直接影響整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的精度，因此需要對(duì)大口徑光學(xué)元件進(jìn)行高精度檢測(cè)[1]。受限于大口徑光學(xué)元件的加工技術(shù)，參考面面形精度很難遠(yuǎn)高于被測(cè)面面形精度，相對(duì)測(cè)量法已不能滿足更高精度光學(xué)元件的加工及測(cè)試需求，因此需要通過絕對(duì)檢驗(yàn)的方式實(shí)現(xiàn)更高精度的檢驗(yàn)，標(biāo)定大口徑平面干涉儀的精度，建立大口徑平面波基準(zhǔn)。從使用的大口徑平晶數(shù)量考慮，絕對(duì)檢驗(yàn)方法主要分為三平晶法和兩平晶法。三平晶絕對(duì)檢驗(yàn)方法包括經(jīng)典三平晶互檢法[2]、Fritz三面互檢法[3]、奇偶函數(shù)法[4]、斜入射法[5]等，需要加工3 塊平晶，加工難度大且成本高昂；兩平晶三面互檢法[6]減少了所需平晶數(shù)，但是測(cè)量時(shí)需要反復(fù)翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)平晶，當(dāng)口徑較大時(shí)操作困難，且易引入變形誤差。

1976 年，Schulz 和Schwider 首 先 提 出 通 過 旋轉(zhuǎn)和平移操作來分離參考面和被測(cè)面的面形誤差的理論[7]。該方法將面形分為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱成分和旋轉(zhuǎn)非對(duì)稱成分，由于光學(xué)平晶表面面形分布隨平晶的轉(zhuǎn)動(dòng)一起轉(zhuǎn)動(dòng)，因此可以通過旋轉(zhuǎn)測(cè)量求解旋轉(zhuǎn)非對(duì)稱成分、平移測(cè)量求解旋轉(zhuǎn)對(duì)稱成分，進(jìn)而獲得完整的面形分布。影響旋轉(zhuǎn)平移絕對(duì)檢驗(yàn)精度的主要因素有平晶的面形分布、旋轉(zhuǎn)誤差、平移誤差等。受支撐和重力作用影響，大口徑平晶的面形變形成為了另一個(gè)必須被納入考慮的重要因素。因?yàn)樾D(zhuǎn)平移法的數(shù)理基礎(chǔ)是面形分布隨平晶一起旋轉(zhuǎn)和平移，但此變形不會(huì)隨著平晶的旋轉(zhuǎn)一起轉(zhuǎn)動(dòng)，會(huì)影響旋轉(zhuǎn)平移絕對(duì)檢驗(yàn)的結(jié)果。面向大口徑干涉儀的校準(zhǔn)需求，本文考慮設(shè)計(jì)輕量化的校準(zhǔn)反射鏡，減小旋轉(zhuǎn)平移過程中的面形變形，進(jìn)而提高絕對(duì)檢驗(yàn)的檢驗(yàn)精度。盡管輕量化設(shè)計(jì)可以減小平晶在支撐和重力作用下的面形變形，但是此面形變形無法徹底消除。因此，本文面向最大1 500 mm 口徑平面干涉儀的標(biāo)定需求，還需要基于現(xiàn)有加工能力，結(jié)合仿真計(jì)算分析加工面形與重力變形等要素對(duì)旋轉(zhuǎn)平移絕對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生的影響大小，判斷基于輕量化校準(zhǔn)反射鏡的旋轉(zhuǎn)平移法是否能滿足λ/50 PV 絕對(duì)檢驗(yàn)精度的要求，并對(duì)輕量化校準(zhǔn)反射鏡提出設(shè)計(jì)與加工要求。

1 基本原理

1.1 旋轉(zhuǎn)平移算法原理

采用旋轉(zhuǎn)平移法進(jìn)行絕對(duì)檢驗(yàn)的步驟如下。分別用W(x,y)、V(x,y)、T(x,y)表示被測(cè)波面、系統(tǒng)誤差和干涉測(cè)量結(jié)果，其中 (x,y)表示探測(cè)器靶面上的坐標(biāo)分布，則：

被測(cè)波面W(x,y)由 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱成分Ws(x,y)和旋轉(zhuǎn)非對(duì)稱成分Was(x,y)兩種分量組成：

為了從干涉測(cè)量結(jié)果T(x,y)中分離出被測(cè)波面W(x,y)，首先通過旋轉(zhuǎn)測(cè)量求解旋轉(zhuǎn)非對(duì)稱成分Was(x,y)。旋轉(zhuǎn)N次被測(cè)件，每次旋轉(zhuǎn)角度為

以4 次旋轉(zhuǎn)測(cè)量為例，旋轉(zhuǎn)測(cè)量的角度分別為0、90、180 和270°：

4 次旋轉(zhuǎn)測(cè)量的平均數(shù)據(jù)結(jié)果中包含被測(cè)波面中的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱成分Ws(x,y)。

如果被測(cè)波面中90°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱成分W4nθ(x,y) 足夠小，就可以得到被測(cè)波面中的旋轉(zhuǎn)非對(duì)稱成分Was(x,y)。

通過平移測(cè)量求解旋轉(zhuǎn)對(duì)稱成分Ws(x,y)。假設(shè)被測(cè)平面沿x方向平移t，Wφ(x-t,y)和Tφ,t(x,y)分別表示旋轉(zhuǎn)和平移以后的被測(cè)波面和干涉測(cè)量結(jié)果。

用其中一個(gè)角度下平移前的干涉測(cè)量結(jié)果Tφ(x,y) 減去平移后的測(cè)量結(jié)果Tφ,t(x,y)，可以消去系統(tǒng)誤差V(x,y)，得到被測(cè)波面中旋轉(zhuǎn)對(duì)稱項(xiàng)的有限差分方程：

（8）式左邊2 項(xiàng)為測(cè)量結(jié)果，等式右邊后2 項(xiàng)可根據(jù)（6）式求得。用旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的多項(xiàng)式表征被測(cè)波面中旋轉(zhuǎn)對(duì)稱成分Ws(x,y)：

式中： ρ2=x2+y2；cm表示第m項(xiàng)多項(xiàng)式的系數(shù)，可通過最小二乘擬合方法從有限差分方程求解得到。

1.2 輕量化設(shè)計(jì)

對(duì)大口徑平晶進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)，既可以方便旋轉(zhuǎn)平移操作的執(zhí)行，又可以有效減小面形的變形，提升絕對(duì)檢驗(yàn)的精度。反射鏡輕量化的方式主要與鏡坯材料選擇和多孔結(jié)構(gòu)支撐設(shè)計(jì)[8]相關(guān)。常用的反射鏡材料有ULE、Zerodur 和碳化硅（SiC）[9-14]。ULE 和 Zerodur 都屬于玻璃材料，對(duì)它們的研究較為成熟，已經(jīng)在對(duì)地觀測(cè)衛(wèi)星中得到了廣泛應(yīng)用。但這2 種材料的彈性模量較低，即結(jié)構(gòu)強(qiáng)度較弱，導(dǎo)致較難實(shí)現(xiàn)高度的輕量化設(shè)計(jì)。碳化硅的彈性模量遠(yuǎn)大于另外2 種材料，能夠做到極高的輕量化程度，而且由于密度大，可以獲得較好的拋光表面，因此我們將采用碳化硅（SiC）作為反射鏡的材料。

多孔結(jié)構(gòu)支撐設(shè)計(jì)，即輕量化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的參數(shù)主要包括：輕量化孔的形狀、鏡體的厚度、反射面板厚度等。我們?cè)O(shè)定在初始鏡體主要結(jié)構(gòu)參數(shù)如鏡體厚度H、鏡面厚度H1、 內(nèi)切圓直徑D、筋厚度系數(shù)a（即筋的厚度與內(nèi)切圓直徑的比值）等相同的條件下，對(duì)三角形、六邊形和圓形3 種輕量化孔方案進(jìn)行對(duì)比。3 種輕量化網(wǎng)格形式如圖1 所示。

圖1 輕量化網(wǎng)格Fig. 1 Schematic diagram of lightweight grid

首先對(duì)上述3 種輕量化網(wǎng)格進(jìn)行理論分析，包括單個(gè)網(wǎng)格空心面積A、 空間柵格面積S、筋的面積SR、 筋的分布率R。其中，空間柵格為相鄰網(wǎng)格的內(nèi)切圓的圓心連接而成的封閉圖形，筋的面積SR為 單個(gè)空間柵格內(nèi)筋的面積，筋的分布率R為筋的面積與空間柵格面積的比。在內(nèi)切圓直徑D和筋厚度系數(shù)a相同的情況下，3 種輕量化網(wǎng)格的分析比較結(jié)果如表1 所示。

表1 輕量化網(wǎng)格理論分析對(duì)比Table 1 Comparison of lightweight grid theory analysis

采用背部3 點(diǎn)支撐方式對(duì)Φ1 500 mm 校準(zhǔn)反射鏡進(jìn)行設(shè)計(jì)。徑厚比設(shè)置為10∶1，即鏡體厚度H為150 mm，鏡面厚度H1為15 mm，輕量化網(wǎng)格的內(nèi)切圓直徑D為150 mm，筋厚度系數(shù) α為0.1，即筋厚度為15 mm。對(duì)校準(zhǔn)反射鏡在重力及背部支撐作用下面形的變形情況進(jìn)行仿真分析，結(jié)果如圖2所示。

圖2 背部3 點(diǎn)支撐輕量化設(shè)計(jì)仿真Fig. 2 Lightweight design simulation with three-point back support

采用三角形輕量化網(wǎng)格的碳化硅校準(zhǔn)反射鏡質(zhì)量最輕，支撐和重力作用下面形變形的PV 值最小，但是面形變形分布不均勻，支撐孔附近面形變形小，邊緣變形大，考慮增加支撐孔數(shù)量來控制變形面形分布。

在口徑、鏡體厚度、鏡面厚度、輕量化網(wǎng)格的內(nèi)切圓直徑、筋厚度不變情況下，將支撐孔增加為6 個(gè)、即選用背部6 點(diǎn)支撐方案，進(jìn)行仿真分析，結(jié)果如圖3 所示。

圖3 背部6 點(diǎn)支撐輕量化設(shè)計(jì)仿真Fig. 3 Lightweight design simulation with six-point back support

與背部3 點(diǎn)支撐方案相比，3 種輕量化反射鏡的面形變形PV 值有明顯降低，分布更平滑。3 種輕量化方式中，采用三角形輕量化方案的反射鏡質(zhì)量最小，比六邊形輕量化方案低約27 kg；六邊形輕量化方案的反射鏡的面形變形PV 值最小，但僅比三角形輕量化方案小不足2 nm。綜合考量，本文采用背部6 點(diǎn)支撐的三角形輕量化。

本文在三角形輕量化方案的基礎(chǔ)上進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)，最終獲得的碳化硅校準(zhǔn)反射鏡結(jié)構(gòu)及其重力變形面形如圖4 所示。此結(jié)構(gòu)下碳化硅反射鏡質(zhì)量為93 kg，重力變形的PV 值為9.75 nm，RMS值為2.8 nm。

圖4 碳化硅校準(zhǔn)反射鏡Fig. 4 SiC calibration mirror

2 仿真計(jì)算

采用旋轉(zhuǎn)平移法進(jìn)行絕對(duì)檢驗(yàn)時(shí)都要用到1 塊透射平晶和碳化硅反射鏡，透射平晶的加工工藝成熟，面形PV 值可以達(dá)到 λ/10，但大口徑碳化硅反射鏡的光學(xué)加工難度大，面形PV 值加工到λ/4（ λ=632.8 nm）已實(shí)屬不易。本文將研究在不增加高額加工成本和難度的情況下，面形PV 值為λ/4 的碳化硅校準(zhǔn)反射鏡能否滿足絕對(duì)檢驗(yàn)λ/50 PV 值的精度要求。

為了盡可能全面并真實(shí)地還原旋轉(zhuǎn)平移法的工作流程，分析其標(biāo)定精度，選用分布特征顯著的實(shí)測(cè)面形來進(jìn)行旋轉(zhuǎn)平移算法的仿真。將3 個(gè)面分別編號(hào)為A、B、C，分別作為透射平晶的工作面（參考面）和碳化硅校準(zhǔn)反射鏡的工作面（校準(zhǔn)面）。兩兩一組進(jìn)行旋轉(zhuǎn)平移檢驗(yàn)，將每組的2 個(gè)面分為參考面和校準(zhǔn)面，其中參考面固定不動(dòng)，校準(zhǔn)面需要進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、平移操作，分別研究引入重力變形前后旋轉(zhuǎn)平移法的仿真計(jì)算結(jié)果。由于實(shí)際加工中很難得到面形分布完全一致的2 個(gè)表面，因此每個(gè)面僅與另外2 個(gè)面進(jìn)行旋轉(zhuǎn)平移檢驗(yàn)。取采樣分辨率為1 024 pixel×1 024 pixel，旋轉(zhuǎn)角度為90°，旋轉(zhuǎn)誤差為0.5°，平移距離為0.24 倍[15]的反射鏡口徑，即360 mm。

圖5 給出了具有典型分布特征的3 個(gè)面形，為便于比較，通過縮放將A、B、C 3 個(gè)面的面形PV值均調(diào)整為λ/10。利用Zernike 對(duì)多項(xiàng)式的前9 項(xiàng)擬合面形中的低頻成分，并從原始面形中扣除，得到圖5 中所示的中高頻分布。面形A 整體分布不對(duì)稱，中高頻信息成分多，占面形成分的88.6%；面形B 整體分布不對(duì)稱，中高頻信息較少，占面形成分的52.5%；面形C 整體分布呈中間低、邊緣高、對(duì)稱的凹面，中高頻信息較少，占面形成分的25.9%。

圖5 3 種典型面形及其中高頻信息Fig. 5 Three typical surface shapes and medium-high frequency information

2.1 未引入支撐和重力變形的旋轉(zhuǎn)平移仿真

將圖5 中3 個(gè)面的PV 值進(jìn)一步放大至λ/4，作為碳化硅校準(zhǔn)反射鏡的表面，并將面形PV 值λ/10的3 個(gè)面分別作為TF 參考面，兩兩一組進(jìn)行旋轉(zhuǎn)平移絕對(duì)檢驗(yàn)仿真計(jì)算。

首先，進(jìn)行不引入支撐和重力作用變形的旋轉(zhuǎn)平移法仿真計(jì)算，結(jié)果如圖6 所示。

圖6 不引入支撐和重力作用變形的旋轉(zhuǎn)平移法仿真Fig. 6 Simulation of rotation and translation method without support and gravity deformation

分析6 組計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，參考面和校準(zhǔn)面的面形分布都對(duì)旋轉(zhuǎn)平移法的檢驗(yàn)結(jié)果有影響，但主要影響因素還是校準(zhǔn)面的面形分布。由于面A 的面形分布對(duì)稱程度低且包含大量中高頻信息，其作為參考面時(shí)，旋轉(zhuǎn)平移法檢驗(yàn)結(jié)果的PV 值接近λ/30；而在面B 和面C 作為參考面時(shí)，檢驗(yàn)結(jié)果的PV 值均低于為λ/50，滿足絕對(duì)檢驗(yàn)精度要求，由于C 的面形分布比B 對(duì)稱程度更高，其作為校準(zhǔn)面時(shí)旋轉(zhuǎn)平移絕對(duì)檢驗(yàn)恢復(fù)誤差的PV 值和RMS值更小。y 因此本文要求，校準(zhǔn)面應(yīng)改面形分布平滑、對(duì)稱程度高、包含較少的中高頻信息。

2.2 引入重力變形的旋轉(zhuǎn)平移仿真

將碳化硅校準(zhǔn)反射鏡的支撐和重力變形面形引入到校準(zhǔn)面的A、B、C 3 個(gè)面形中，兩兩一組進(jìn)行旋轉(zhuǎn)平移檢驗(yàn)，結(jié)果如圖7 所示。

圖7 引入支撐和重力作用變形的旋轉(zhuǎn)平移法仿真Fig. 7 Simulation of rotation and translation method with support and gravity deformation

分析6 組計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，與未引入支撐和重力變形面形時(shí)的仿真結(jié)果相比，引入支撐和重力變形面形后的旋轉(zhuǎn)平移絕對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果幾乎沒有變化，即校準(zhǔn)面面形PV 值為λ/4 時(shí)，PV 值9.75 nm 的支撐和重力變形面形對(duì)旋轉(zhuǎn)平移絕對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果的影響可以忽略。因此本文對(duì)校準(zhǔn)面的面形提出要求，即分布平滑、對(duì)稱程度高、包含的中高頻信息少。

3 結(jié)論

本文研究了基于輕量化校準(zhǔn)反射鏡的旋轉(zhuǎn)平移法米級(jí)大口徑平面干涉儀絕對(duì)檢驗(yàn)方案，提出使用口徑1 500 mm，質(zhì)量為93 kg，支撐和重力變形PV 值為9.75 nm，RMS 值為2.8 nm 的背部6 點(diǎn)支撐的碳化硅校準(zhǔn)反射鏡進(jìn)行旋轉(zhuǎn)平移絕對(duì)檢驗(yàn)，并研究了干涉儀的參考面和校準(zhǔn)反射鏡的面形以及支撐和重力變形對(duì)旋轉(zhuǎn)平移法檢驗(yàn)結(jié)果的影響。結(jié)果表明，此校準(zhǔn)反射鏡的支撐和重力變形對(duì)旋轉(zhuǎn)平移絕對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果的影響可以忽略，并依據(jù)PV 值λ/50 的絕對(duì)檢驗(yàn)精度，對(duì)校準(zhǔn)反射鏡的面形提出加工要求，即面形PV 值不高于λ/4、面形分布平滑、對(duì)稱度高、包含的中高頻信息少。