林國紅

(廣東省佛山市樂從中學(xué))

1 問題的提出

高考英語中有一類“七選五”的試題,該題一般出現(xiàn)在試卷閱讀部分的第二節(jié),是一篇缺少5個(gè)句子的文章,提供7 個(gè)選項(xiàng),要求學(xué)生根據(jù)文章的結(jié)構(gòu)、內(nèi)容,從文后的7個(gè)選項(xiàng)中選出5個(gè)最佳選項(xiàng)填入文中相應(yīng)空白處,使文章完整、連貫通順.“七選五”試題中有2個(gè)多余選項(xiàng)(干擾選項(xiàng)),這類題既考查詞匯、語法和語篇知識(shí),又考查分析、歸納和推理等思維能力,對(duì)學(xué)生來說有較大的挑戰(zhàn)性與難度.

在做“七選五”題時(shí),若通過蒙題的方式做題,能做對(duì)多少題? 平均得分又是多少?

注:所謂的“蒙”題,是指這篇文章完全看不懂(或不看文章內(nèi)容),在5個(gè)空白處隨便填入一個(gè)選項(xiàng).

2 問題的數(shù)學(xué)化

“七選五”試題共有5道選擇題,給出7個(gè)選項(xiàng),其中有2項(xiàng)是干擾項(xiàng),學(xué)生從中選擇5項(xiàng)依次填入每道題中,每題只有一個(gè)正確選項(xiàng).從數(shù)學(xué)的角度來說,就是從7個(gè)元素中取出5個(gè)的一個(gè)排列.學(xué)生對(duì)5道題全部隨機(jī)作答,記其答對(duì)的題數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.下面利用數(shù)學(xué)中的計(jì)數(shù)原理及概率的相關(guān)知識(shí),來說明“七選五”試題為什么不能蒙.

3 第一種蒙題方式的分析

在“七選五”試題中,每題只有一個(gè)正確選項(xiàng),若不考慮同一選項(xiàng)被多次選擇的情況,對(duì)5道題全部隨機(jī)作答,記答對(duì)的題數(shù)為X,求X 的分布列與數(shù)學(xué)期望.

3.1 問題的思路分析

不妨假設(shè)正確答案為ABCDE,假設(shè)某學(xué)生答對(duì)3道題,那么可以先鎖定他答對(duì)的3道題(如ABCXX,其中XX 表示兩個(gè)答錯(cuò)的選項(xiàng)),有種情形;然后只需考慮從剩下4個(gè)選項(xiàng)中選2個(gè),與DE 的排列不符合的情況數(shù)(設(shè)有K種情形),所以答對(duì)3道題的有種情形.

根據(jù)這個(gè)思路,可以定義一種運(yùn)算:設(shè)定m個(gè)不同的元素中的n個(gè)給定元素有一種人為規(guī)定的排列方式,從這m個(gè)元素中任選n個(gè)進(jìn)行排列(即m選n,m≥n),記其中恰有p個(gè)元素處在規(guī)定位置的方法數(shù)為S(m,n,p).

例如,在“七選五”的題型中,假設(shè)正確的答案為ABCDE的前提下,則ABCEF 滿足m＝7,n＝5,p＝3;BCGFA 滿足m＝7,n＝5,p＝0.顯然,S(2,2,1)＝0,S(2,2,0)＝S(2,2,2)＝1,……

在“七選五”的題型中,根據(jù)前述的思路與定義運(yùn)算,若學(xué)生答對(duì)3道題,則有

此時(shí),很容易得到三條運(yùn)算規(guī)則:

3.2 問題的解答過程

在“七選五”的題型中,設(shè)離散型隨機(jī)變量X表示蒙對(duì)的題數(shù),則X∈{0,1,2,3,4,5}.從7個(gè)選項(xiàng)中選出5個(gè)按一定順序填入5個(gè)空位,所有可能的情況的種數(shù)為

當(dāng)X＝5時(shí),即全都做對(duì)的情況為

當(dāng)X＝4時(shí),即做對(duì)4題的情況為

且可得S(3,1,0)＝2.

當(dāng)X＝3時(shí),即做對(duì)3題的情況

且S(4,2,0)＝7.

當(dāng)X＝2時(shí),即做對(duì)2題的情況

當(dāng)X＝1時(shí),即做對(duì)1題的情況

當(dāng)X＝0時(shí),即做對(duì)0題(全錯(cuò))的情況

表1

為了便于觀察,可以對(duì)概率進(jìn)行近似計(jì)算,以百分?jǐn)?shù)表示X的近似概率分布列,如表2所示.

表2

3.3 問題的結(jié)論

根據(jù)X的概率分布列,可以得出以下結(jié)論:

(1)全蒙錯(cuò)的概率約為48.17%,也就是說,有接近一半的概率一分也得不到;

(2)概率隨著蒙對(duì)個(gè)數(shù)的增大迅速減小,全蒙對(duì)的概率僅有0.04%;

(3)計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望(即均值)為

(4)由于“七選五”的題型中,每題2.5分,設(shè)離散型隨機(jī)變量G表示這道“七選五”的得分,則E(G)＝,平均得分僅約為1.79分,也就是說平均蒙對(duì)的題的個(gè)數(shù)不到1個(gè).

4 第二種蒙題方式的分析

既然第一種“蒙”題方式的期望得分如此低,那么能不能用另一種蒙題的方式,即從7個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選出1個(gè),然后五個(gè)空都填這個(gè)選項(xiàng)(比如五個(gè)空都填A(yù)),使得得分更高?

顯然,改變蒙題的方式后,隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,其分布列如表3所示.

表3

此時(shí)X的數(shù)學(xué)期望(即均值)為

所以改變蒙題的方式后,X的數(shù)學(xué)期望、平均得分與第一種蒙題的方式?jīng)]有區(qū)別,得分相同.

通過對(duì)兩種蒙題方式的分析,可以知道:

(1)高考英語“七選五”題型的設(shè)置是科學(xué)的,能有效防止通過蒙題的方式得到高分;

(2)英語的“七選五”題采用蒙題的方式答題,其期望得分是非常低的,所以蒙題是非常不明智的舉措,如果你不想落入這種窘?jīng)r,那就只有好好學(xué)習(xí)了.

5 進(jìn)一步思考

根據(jù)前述的運(yùn)算性質(zhì),可以得到

因此,在“m選n”的問題中,答對(duì)題數(shù)的數(shù)學(xué)期望是

(完)