李美琦

（廣東省建設(shè)工程質(zhì)量安全檢測總站有限公司，廣州 510000）

0 引言

地層介質(zhì)中，孔隙作為一種儲存空間，是油氣資源運(yùn)移或者擴(kuò)散的重要通道，控制油氣資源的產(chǎn)能。

深部介質(zhì)受到上覆介質(zhì)的壓力，水平或者接近水平的裂隙空間被壓實(shí)，高角度或者垂直的裂隙空間得到保留，HTI 模型是與高角度裂隙特別是垂直裂隙相適應(yīng)的等效地質(zhì)模型。含裂隙巖石模型的發(fā)展大致經(jīng)歷了建立含裂隙儲層模型、建立含裂隙儲層模型的理論基礎(chǔ)、含裂隙儲層數(shù)值模擬3 個階段。

第一階段，韓媛媛[1]對Eshelby 等效介質(zhì)模型進(jìn)行了綜合論述和模型建立（如圖1 所示）。

圖1 Eshelby等效介質(zhì)模型

圖2 研究路線圖

第二階段，在各向同性介質(zhì)的背景下，加入單一結(jié)構(gòu)裂隙（如定向排列的垂直或平行裂隙）和多元結(jié)構(gòu)裂隙（如同時存在多個單一結(jié)構(gòu)的裂隙系統(tǒng)），但各向同性的背景在實(shí)際地質(zhì)應(yīng)用中不占優(yōu)勢，對各向異性背景的研究更有價值[2]。

第三階段，用數(shù)值模擬方法研究各種含裂隙模型的響應(yīng)特征和適用范圍[3]，常見的數(shù)值模擬方法有波動方程法和有限差分法[4]。熊曉軍等[5]用三維波動方程對縫洞地質(zhì)模型進(jìn)行了數(shù)值模擬。

本文采用波動方程方法對Hudson 模型和Cheng 模型進(jìn)行數(shù)值模擬，比較、分析模型的優(yōu)、缺點(diǎn)及適用范圍，為研究含裂隙儲層AVO 響應(yīng)特征提供模型參考。

1 裂隙儲層等效模型分析

1.1 Hudson 模型

Hudson[6-7]用橢球狀裂隙近似模擬巖石介質(zhì)中的扁平狀裂隙，發(fā)展了含裂隙介質(zhì)中的彈性波場理論。

Hudson 模型的假設(shè)有4 點(diǎn)。第一，彈性波的波長遠(yuǎn)大于定向排列的裂隙尺度。第二，裂隙分布稀疏、均勻，裂隙所占比重小。第三，裂隙分布不連續(xù)，每一個橢球狀的裂隙彼此獨(dú)立。第四，裂隙厚度超過裂隙長度。

對于具有三軸對稱的橫向各向同性材料，彈性剛度張量由c11、c13、c33、c44、c665 個獨(dú)立的彈性常數(shù)表示：

其中，c12=c11-2c66。

在Hudson 的論著中，利用二階擴(kuò)展的等效模量研究介質(zhì)中裂隙引起的橫向各向同性介質(zhì)方法：

一階更正量：

二階更正量：

其中，λ、μ為拉梅常數(shù)，ε為裂隙密度，ε與孔隙度(φ)、裂隙縱橫比（α）的關(guān)系如下：

式（6）中U1、U3由裂隙包含物決定。對于液體填充的裂隙，Hudson 給出了如下U1、U3表達(dá)式：

該式子假設(shè)流體飽和度不影響介質(zhì)的壓縮模量，即裂隙縱橫比α為0。對于干燥裂隙，U1、U3：

在式（8）、(9)中，裂隙縱橫比為0。

Hudson 給出了對于“弱”包含物U1、U3的表達(dá)式：

其中，K'為包含物的體積模量，μ'為包含物的剪切模量。

根據(jù)Hudson 模型理論基礎(chǔ)，可獲得Hudson 模型中彈性剛度張量的獨(dú)立彈性常數(shù)與裂隙密度之間的關(guān)系。c13、c66對裂隙密度變化的響應(yīng)十分微弱，本文僅對c11、c33、c44進(jìn)行數(shù)值模擬、分析。

在巖石物理研究中，通過縱波速度（Vp）、橫波速度（Vs）、介質(zhì)密度（ρ）建立巖石介質(zhì)模型，進(jìn)行數(shù)值模擬：

本文Hudson 模型參數(shù)見表1，裂隙密度變化范圍從0 ～0.5，裂隙類型為干燥裂隙和液體填充裂隙。計算結(jié)果經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化、歸一化，所有的數(shù)據(jù)在相同的尺度（0 ～1）內(nèi)，由此得到的量稱為標(biāo)準(zhǔn)化等效模量。

表1 Hudson模型參數(shù)

圖3 為Hudson 模型正演模擬結(jié)果。圖3（a）為干燥裂隙一階更正標(biāo)準(zhǔn)化等效模量與ρ的關(guān)系曲線，隨著ρ的增加，等效模量線性減小，c11、c3、c4分別在ρ為0.56、0.23、0.51 處取0。

圖3 Hudson模型正演模擬結(jié)果

圖3（b）為干燥裂隙二階更正標(biāo)準(zhǔn)化模量與ρ的關(guān)系，呈非線性關(guān)系，等效模量先減小再增加，c11、c3、c4分別在ρ為0.18、0.18、0.42 處取得最小值。

圖3（c）為液體填充一階、二階更正標(biāo)準(zhǔn)化等效模量與ρ的關(guān)系。液體填充情況下c11、c3恒等于1.0。液體填充后，一階c44與ρ依舊呈線性關(guān)系，在0.46 處為零，ρ繼續(xù)增加，其將會小于零；二階c44與ρ呈非線性關(guān)系，先減小后增加，在ρ在0.52 處取得最小值。

1.2 Cheng 模型

Cheng[8]在Hudson 模型的基礎(chǔ)上提出了新的二階擴(kuò)展的各向異性模型，即Cheng 模型。Cheng 模型使用與Hudson 模型一樣的物理模型。

將球狀包含物的精確解和Padé 近似擴(kuò)展，其等效彈性模量：

將Hudson 模型中關(guān)于裂隙密度ε的一階、二階更正量用Padé 近似系數(shù)表示：

圖4 為Cheng 模型正演模擬結(jié)果。圖4（a）為干燥裂隙環(huán)境下Cheng 模型標(biāo)準(zhǔn)化等效模量與ε的關(guān)系。曲線呈現(xiàn)非線性關(guān)系，隨著ε的增加，標(biāo)準(zhǔn)化等效模量單調(diào)減?。辉谘芯苛严斗秶鷥?nèi)，未出現(xiàn)最小值及反向增加情況。

圖4 Cheng模型正演模擬結(jié)果

圖4（b）為液體填充下Cheng 模型的標(biāo)準(zhǔn)化等效模量與ε的關(guān)系。液體填充情況下c11、c33近似，標(biāo)準(zhǔn)化模量值恒等于1.0。標(biāo)準(zhǔn)化模量與ε呈非線性關(guān)系，隨著ε的增加，標(biāo)準(zhǔn)化等效模量非線性減小，在研究范圍內(nèi)，未出現(xiàn)最小值及反轉(zhuǎn)增加情況。

1.3 模型對比

對Hudson 模型與Cheng 模型分別進(jìn)行了干燥裂隙、液體填充裂隙的數(shù)值模擬，分別得到c11、c33、c44隨裂隙密度的變化規(guī)律，比較這兩種模型的優(yōu)點(diǎn)、不足和適用范圍。

圖5 中（a）、（b）、（c）為干燥型裂隙中Hudson 模型的一階更正、二階更正和Cheng 模型擬合更正結(jié)果，分別對應(yīng)c11、c33、c44的標(biāo)準(zhǔn)化模量隨裂隙密度ε的變化規(guī)律。圖5（d）圖為液體填充型裂隙中c44隨裂隙密度變化的Hudson 模型一階更正、二階更正、Cheng 模型擬合更正曲線。

圖5 Hudson模型與Cheng模型數(shù)值模擬對比

對比可知，Hudson 模型一階更正和二階更正表現(xiàn)出明顯的局限性，僅在極小裂隙密度范圍內(nèi)具有良好的表現(xiàn)。Hudson 模型一階更正與裂隙密度呈線性遞減，標(biāo)準(zhǔn)化模量對模型參數(shù)的改變不敏感，難以刻畫參數(shù)的微妙變化；Hudson 二階更正出現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化模量增加的現(xiàn)象，不符合實(shí)際物理模型彈性參數(shù)變化規(guī)律。Cheng 模型標(biāo)準(zhǔn)化等效模量隨裂隙密度的變化具收斂性，不隨裂隙密度的增加而無限減小，Cheng 模型的數(shù)學(xué)過程嚴(yán)謹(jǐn)，對參數(shù)變化的響應(yīng)敏感；可以適應(yīng)更廣泛的裂隙密度，能夠滿足實(shí)際情況的需求。

2 結(jié)論

通過對Hudson 模型和Cheng 模型的模擬、對比、分析，得到以下結(jié)論。

（1）Cheng 模型擬合更正曲線落在Hudson 一階更正曲線和二階更正曲線之間，表明Cheng 模型適應(yīng)的地層裂隙密度范圍比Hudson 模型的更廣，能適應(yīng)實(shí)際情況中較大的裂隙密度數(shù)值。

（2）Cheng 模型中彈性常數(shù)隨裂隙密度的增長具有一定的收斂性，合理地解決了二階擴(kuò)展的越界問題，能與實(shí)際物理原理相適應(yīng)；Cheng 模型采用Padé 近似擬合的系數(shù)由Hudson 模型數(shù)學(xué)方法計算得到，在數(shù)理上Cheng 模型擬合更正與Hudson 模型二階擴(kuò)展同樣有效，且計算性能更優(yōu)越。