丁瑋麒，顧海波

（新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017）

近幾十年，模糊分析和模糊微分方程理論吸引了大批數(shù)學(xué)家，該領(lǐng)域的研究已成為不確定理論和不確定微分方程中最重要的課題之一。動力系統(tǒng)受到不精確、模糊和不完整信息等不確定因素的影響，而不精確、模糊則表現(xiàn)出具有長期記憶或遺傳效應(yīng)的非標準動態(tài)行為。由于分數(shù)階參數(shù)積分是有非局部性和記憶性，因此分數(shù)階模糊微分方程模型比經(jīng)典的整數(shù)階模型更實用，并且引起了眾多研究者的關(guān)注［1-2］。2013年，Allahviranloo等人研究了如下模糊分數(shù)階Volterra-Fredholm積分微分方程問題解的存在唯一性［3］：

其中

2020年，Chen等人研究了下列Hilfer-Katugampola分數(shù)階模糊微分方程在非局部條件下解的存在唯一性［4］：

基于上述討論，考慮如下Hilfer-Katugampola分數(shù)階模糊Volterra-Fredholm 型非局部問題：

其中，K,H:[a,b]×[a,b]→E, 滿足：

文章目標是通過不動點定理和構(gòu)造Hilfer-Katugampola分數(shù)階模糊Volterra-Fredholm型積分微分方程的等價積分形式去證明解的存在唯一性。與2020年Chen等人［4］不同的是文章構(gòu)造了一個新的模糊距離，并且對于模糊函數(shù)f增加了算子Ku(t)和Hu(t)，構(gòu)造了Hilfer-Katugampola 分數(shù)階模糊Volterra-Fredholm 型積分微分方程的等價積分形式，利用不動點定理證明解的存在唯一性。

1 預(yù)備知識

1965年Zadeh 給出了模糊集合的定義［5］：非空集X上的一個模糊子集A，是指對x∈X，存在μA(x)∈[ 0,1] 與x對應(yīng)，并且稱μA(x)為x屬于模糊子集A的隸屬度，模糊子集A指的是映射μA:X→[ 0,1]，x?μA(x).也稱μA為A的隸屬函數(shù)，簡記μA(x)為A(x).在不會引起誤解的情況下，對模糊子集A與它的隸屬函數(shù)A(x)不加區(qū)別，同時模糊子集簡稱模糊集。

定義1.1［5］設(shè)E={u|u:R→[ 0,1 ]}為R上所有模糊數(shù)空間，即滿足：

（1）u是正規(guī)的模糊集，即?t0∈R，使得u(t0)= 1;

（2）u在R上是上半連續(xù)的，即對t0∈R，有

（3）u是凸的，即對t1,t2∈R,λ∈( 0,1) 有u(λt1+(1 -λ)t2)≥min{u(t1),u(t2)};

記C([a,b],E)表示區(qū)間[a,b]上所有連續(xù)模糊函數(shù)的集合；AC([a,b],E)表示區(qū)間[a,b]上所有絕對連續(xù)模糊函數(shù)的集合；L([a,b],E)表示滿足函數(shù)t?d[u(t),]∈L[a,b]，且屬于L[a,b]的模糊函數(shù)u:[a,b]→E構(gòu)成的集合。

定義1.2令，其范數(shù)定義為：

定義1.3［6］對于r∈(0, 1] ，定義u的r-水平集為：

u的r-水平集的直徑定義為對于u1,u2∈E,λ∈R,u1+u2和λu1定義為

定義1.4［7］（Hukuhara差分）設(shè)u1,u2∈E，若存在u3∈E，使得u1=u2+u3，則稱u3為u1和u2的Hukuhara 差分，記為u1u2.

注1.1u1u2≠u1+( -1)u2.

定義1.5兩個模糊數(shù)在C1-γ([a,b],E)上的距離d1-γ(u,v)定義如下：

（1）d1-γd(u+x,v+x)=d1-γ(u,v),x∈E;

（2）d1-γ(λu,λv)= |λ|d1-γ(u,v),λ∈R;

（3）d1-γ(u+x,v+y)≤d1-γ(u,v)+d1-γ(x,y);

（4）d1-γ(λu,μv)=;

（5）如果存在ux和vy，則d1-γ(ux,vy)≤d1-γ(u,v)+d1-γ(x,y).

定義1.6［8］（廣義Hukuhara差分）兩個模糊數(shù)u1,u2∈E的廣義Hukuhara差分（簡稱gH差分）定義如下：

定義1.7［9］當-∞

在公路養(yǎng)護單位中，財務(wù)部門是單位資金控制最后環(huán)節(jié)，同時是其關(guān)鍵管理部門。基于在中國特色社會主義市場下，需通過中國特色社會主義市場實行財會管理及財算職能分離，基于單位管理層統(tǒng)一領(lǐng)導(dǎo)。

其中α> 0,ρ> 0,u∈.

定義1.8［10］當0 ≤a

令u∈L([a,b],E)，則α階模糊Katugampola分數(shù)階積分定義為：

注1.3［11］對于Hilfer-Katugampola分數(shù)階導(dǎo)數(shù)，有：

（1）當ρ→1 時，可得到Hilfer分數(shù)階導(dǎo)數(shù)算子［12］；

（2）當β= 0 時，可得到Katugampola分數(shù)階導(dǎo)數(shù)算子［13］；

（3）當β= 1 時，可得到Caputo-Katugampola分數(shù)階導(dǎo)數(shù)算子［14］；

（4）當β= 0，ρ→1 時，可得到Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)算子［15］；

（5）當ρ→1，β= 1 時，可得到Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù)算子［16］；

（6）當β= 0，ρ→1，a= 0 時，可得到Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)算子［16］。

引理1.1（Schaefer 不動點定理） 令Λ 是Banach 空間且F:Λ →Λ 是連續(xù)的緊映射。如果Ψ ={u∈Λ:u=?F(u),?∈[ 0,1] }是有界集，則F至少有一個不動點。

2 解的存在唯一性

引理2.1［9］如果u∈AC([a,b],E)是d-單調(diào)模糊函數(shù)，t∈(a,b],α∈( 0,1) ，令和在區(qū)間(a,b]是d-遞增，則：

引理2.2如果u(t)是hk[(i) -gH]型可微，那么問題（1）等價于下面的積分方程：

如果u(t)是hk[(ii) -gH]型可微，那么問題（1）等價于下面的積分方程：

證明給方程（1）兩側(cè)作用于積分算子（2）有：

利用引理2.1，當t∈(a,b]有：

根據(jù)定義1.7，如果u(t)是hk[(i)-gH]型可微，則

如果u(t)是hk[(ii)-gH]型可微，則

首先討論hk[(i)-gH]型解的情況，為此給出下列假設(shè)條件：

(A1):假設(shè)f:[a,b]×E×E×E→E是連續(xù)函數(shù)且存在φ,?,ψ,χ> 0 有：

(A2):存在L1> 0,L2> 0,L3> 0 對于u,v∈E有：

(A3):假設(shè)常數(shù)Θ 滿足下列不等式：

定理2.1假設(shè)條件(A1)和(A2)成立，若存在一個常數(shù)r> 0，使得：

則問題（1）至少有一個解。

證明下面分四步進行證明:

其中

類似地

綜上得到

因此

將上式代入公式（5），有

令

重復(fù)上述B的化簡方法，類似地有

因此

其中

由此說明F(Dγ)?Dγ，即F將Dγ映射到它自身。

第二步：證明F是連續(xù)的。

設(shè)u,um∈C1-γ([a,b],E)，使得，那么對于t∈J，有：

令

由條件(A2)得：

其中

類似地

因此

綜上得到

當m→∞時，→0.

第三步：證明F將有界集映射到等度連續(xù)集。

假設(shè)對于t',t''∈J,t''≤t'，由第二步中的Dγ是C1-γ([a,b],E)上的有界集且u∈Dγ，則

當t'→t''時，不等式（6）的右側(cè)趨近于0. 綜上所述，對于以上步驟和Arzela-Ascoli定理推出:F:C1-γ([a,b],E)→C1-γ([a,b],E)是全連續(xù)的。

最后一步：說明G={u∈C1-γ([a,b],E):u=εF(u),0 ≤ε≤1} 是有界的。

設(shè)u∈G，對于0 ≤ε≤1,u=εF(u).那么對于t∈J，有：

因此由條件(A1)，式（7）可以得到：

其中，A=由此說明G是有界的。運用Schaefer 不動點定理得出F至少有一個不動點，它是問題（1）的解。

定理2.2假設(shè)滿足條件(A2)和(A3)，那么問題（1）有唯一解。

證明設(shè)映射F:C1-γ([a,b],E)→C1-γ([a,b],E)，由定理2.1可知F至少有一個不動點，它是問題（1）的解?，F(xiàn)在證明這個解是唯一的。

設(shè)u,v∈C1-γ([a,b],E),t∈J，有：

由于

移項合并同類項

令

則

令

由條件(A2)，可以得到：

其中

類似地

綜上得到

因此

將上式代入式（8）中

令

重復(fù)上述N的化簡方法，類似地有

因此

即‖F(xiàn)u-Fv‖C1-γ≤Θ‖u-v‖C1-γ.由條件(A3)有Θ < 1，因此F是壓縮的，運用Banach壓縮映射原理，推出F有一個唯一的不動點且它是問題（1）的解。

接下來討論hk[(ii)-gH]型解的情況，為此給出下列假設(shè)條件：

定理2.3假設(shè)f:J×E×E×E→E是有界連續(xù)函數(shù)且滿足條件(A4)和(A5)，令序列un:J→E由

證明首先證明序列{un}是柯西列，由于

由條件(A4)，有：

因為f是Lipschitz連續(xù)，所以由定義1.5和條件(A5)有：

現(xiàn)在證明λ< 1 時，序列{un}在C1-γ([a,b],E)上是柯西列。因此，存在u∈C1-γ([a,b],E)使得{un}收斂于u.所以接下來說明u是問題（1）的一個解。

當n→∞時，右側(cè)趨近于0.因此有：

通過引理2.2，得到u是問題（1）的一個解。

為了證明u(t)的唯一性，令v(t)是問題（1）的另一個解。利用距離的定義和引理2.2，得到：

類似地通過定義1.5的性質(zhì)和f的Lipschitz條件，得到：

所以對于所有的t∈J=(a,b]都有u(t)=v(t)成立。

3 例子

考慮模糊非局部問題

其中

令

4 結(jié)論

文章主要研究了在非局部條件下的Hilfer-Katugampola 分數(shù)階模糊Volterra-Fredholm 型問題解的存在唯一性結(jié)果。此外，還得到了Hilfer-Katugampola 分數(shù)階Volterra-Fredholm 型積分微分方程的等價積分形式，并用于研究這組方程的收斂性。在今后的工作中，將應(yīng)用數(shù)值方法來近似解非線性模糊分數(shù)階積分微分方程。