楊 露, 高 偉

(西安財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西 西安 710100)

0 引言

隨著科技進(jìn)步和人類(lèi)文明的發(fā)展，全球性環(huán)境污染和生態(tài)破壞問(wèn)題日益凸顯，這也加速了瘟疫的爆發(fā)和流行。細(xì)菌是產(chǎn)生瘟疫的主流病原體。從中世紀(jì)造成歐洲人口大量削減的鼠疫，到21世紀(jì)的生物恐怖襲擊武器—炭疽，以及至今仍在非洲各國(guó)爆發(fā)的霍亂等[1]，細(xì)菌導(dǎo)致的嚴(yán)重傳染病已經(jīng)嚴(yán)重危害人類(lèi)生存和發(fā)展。環(huán)境是細(xì)菌種群賴以生存和發(fā)展的基礎(chǔ)，因環(huán)境污染而釋放的毒素也對(duì)細(xì)菌種群的生存和發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影響[2,3]。

種群擴(kuò)散是種群動(dòng)態(tài)的一個(gè)重要方面，而個(gè)體間相互作用是制約種群擴(kuò)散變化的主要因素之一[4]。在種群生態(tài)學(xué)中，種群內(nèi)不同個(gè)體間的相互作用稱為種內(nèi)關(guān)系，具體包括種內(nèi)互助和種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)。當(dāng)種群個(gè)體達(dá)到一定數(shù)目時(shí)，就必定會(huì)出現(xiàn)鄰近個(gè)體之間的相互作用和影響。開(kāi)展種群研究最為核心的問(wèn)題就是種群數(shù)量研究，種群數(shù)量是生物繁殖與進(jìn)化的基本指標(biāo)[5]。因此，基于環(huán)境污染和種內(nèi)關(guān)系研究細(xì)菌種群擴(kuò)散及其最優(yōu)控制問(wèn)題具有重要的理論和實(shí)際意義。

利用微分方程模型定性研究環(huán)境污染對(duì)生物種群的影響始于20世紀(jì)80年代。Srinvasu[6]研究環(huán)境中毒素是常數(shù)輸入的單種群模型，給出種群平均弱持久、強(qiáng)持久和滅絕的定義。Liu等[7]將Hallam所建模型中表示環(huán)境毒素濃度變化量進(jìn)行簡(jiǎn)化，給出種群滅絕條件。燕雪飛等[8]研究污染環(huán)境中單種群內(nèi)稟增長(zhǎng)率為非線性函數(shù)的模型，得到種群持續(xù)生存與滅絕的判別條件。

近年來(lái)，考慮環(huán)境污染的種群擴(kuò)散最優(yōu)控制問(wèn)題也越來(lái)越受到學(xué)者的關(guān)注。何澤榮等[9]研究了一類(lèi)包含全局反饋的偏泛函積分微分方程尺度結(jié)構(gòu)種群模型，并得到最優(yōu)策略的存在唯一性。贠曉菊等[10]研究污染環(huán)境中非線性時(shí)變種群擴(kuò)散系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題，并證明最優(yōu)控制存在性。申柳肖等[11]研究基于個(gè)體尺度結(jié)構(gòu)的競(jìng)爭(zhēng)種群系統(tǒng)最優(yōu)輸入率控制問(wèn)題，并獲得了最優(yōu)控制的存在唯一性。王戰(zhàn)平[12]研究環(huán)境污染的非線性種群動(dòng)力系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題，證明最優(yōu)控制的存在性。雒志學(xué)等[13]研究了一類(lèi)具有擴(kuò)散的種群線性動(dòng)力系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題，證明了最優(yōu)控制問(wèn)題解的存在性。

由現(xiàn)有成果可知，基于環(huán)境污染視角，借助偏微分方程作為研究工具探索生物種群擴(kuò)散及最優(yōu)控制問(wèn)題的文獻(xiàn)頗多。但是這些文獻(xiàn)大都采用低階偏微分方程，宏觀地分析環(huán)境污染對(duì)種群擴(kuò)散的制約。而在現(xiàn)實(shí)中，生物種群個(gè)體間相互作用廣泛存在，種群生存擴(kuò)散往往受到個(gè)體間相互作用(種內(nèi)關(guān)系)的影響。目前考慮環(huán)境污染和種內(nèi)關(guān)系雙重影響下種群擴(kuò)散系統(tǒng)最優(yōu)控制的研究相對(duì)缺乏，考慮種內(nèi)關(guān)系有利于從微觀角度深入研究種內(nèi)調(diào)節(jié)作用[14]。楊露等[15]率先研究了基于高階偏微分方程的污染擴(kuò)散模型的適定性。本文在此基礎(chǔ)上，兼具環(huán)境污染和種內(nèi)關(guān)系兩大制約因素，研究生物種群擴(kuò)散系統(tǒng)的最優(yōu)控制。首先利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理證明基于環(huán)境污染和種內(nèi)關(guān)系雙重因素影響下種群擴(kuò)散系統(tǒng)是適定的，這一結(jié)論為后續(xù)研究提供了堅(jiān)實(shí)的理論保障。其次，在最優(yōu)控制模型求解中，解決能控性問(wèn)題最有效的方法是Carleman型估計(jì)。若考慮種內(nèi)關(guān)系這一因素，種群擴(kuò)散系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題將包含高階(三階)偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，其對(duì)應(yīng)的Carleman型估計(jì)目前鮮有證明。本文通過(guò)建立該種群擴(kuò)散模型新的Carleman型估計(jì)，最終給出最優(yōu)控制的存在性，進(jìn)一步豐富了偏微分方程控制理論的框架體系。最后，通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了種群擴(kuò)散系統(tǒng)最優(yōu)控制模型的有效性。

本文主要貢獻(xiàn)有：第一，將種內(nèi)關(guān)系這一因素引入種群擴(kuò)散最優(yōu)控制模型，使模型更加貼近種群擴(kuò)散演變規(guī)律，有助于從微觀角度深入研究種內(nèi)調(diào)節(jié)作用；第二，建立種群擴(kuò)散最優(yōu)控制模型的新Carleman型估計(jì)，這是證明最優(yōu)控制存在性的充分條件；第三，本文研究表明，種群擴(kuò)散最優(yōu)控制模型用于模擬雙重影響下細(xì)菌種群擴(kuò)散行為時(shí)存在最優(yōu)控制，即可以找到外界環(huán)境對(duì)種群的毒素輸入率，該毒素輸入率使得種群在最短時(shí)間內(nèi)滅亡。本文通過(guò)考慮環(huán)境污染和種內(nèi)關(guān)系影響，更加客觀地反映出細(xì)菌種群的現(xiàn)實(shí)擴(kuò)散及發(fā)展趨勢(shì)，對(duì)現(xiàn)代傳染病預(yù)防具有借鑒意義，也為有效控制瘟疫的爆發(fā)和流行提供理論參考。

1 種群擴(kuò)散最優(yōu)控制問(wèn)題描述與基本模型構(gòu)建

細(xì)菌是產(chǎn)生瘟疫的主流病原體，因此研究細(xì)菌種群擴(kuò)散也隨之成為管理生態(tài)學(xué)領(lǐng)域中的熱點(diǎn)問(wèn)題。污染和種內(nèi)關(guān)系是影響種群生存和發(fā)展的兩個(gè)重要因素。因此，基于污染環(huán)境和種內(nèi)關(guān)系研究細(xì)菌種群擴(kuò)散及其最優(yōu)控制問(wèn)題十分重要，并吸引不少學(xué)者從事這方面的研究[16～18]。本文提出污染(外界向種群生活環(huán)境輸入毒素)和種內(nèi)關(guān)系雙重影響下的種群擴(kuò)散系統(tǒng)(下文簡(jiǎn)記為NPC系統(tǒng))

NPC系統(tǒng)源于種群動(dòng)力學(xué)，描述在區(qū)域Ω內(nèi)某一種群的擴(kuò)散行為，如細(xì)菌[16]。本文運(yùn)用NPC系統(tǒng)研究在考慮種內(nèi)關(guān)系影響下，外界環(huán)境向種群輸入毒素率與種群擴(kuò)散行為之間的關(guān)系。在上述NPC系統(tǒng)中，y(x,t)表示生存在區(qū)域Ω內(nèi)的種群密度，算子-Δ用于衡量區(qū)域Ω內(nèi)種群遷移情況，即種群個(gè)體由高密度區(qū)域向低密度區(qū)域移動(dòng)的遷移速率。高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)Δyt(x,t)表示種內(nèi)關(guān)系狀況。在種群生態(tài)學(xué)中，種內(nèi)互助和種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)是種內(nèi)關(guān)系的兩種表現(xiàn)形式[5]。非局部項(xiàng)F(ξ(y(x,t)))表示種群的平均死亡率，根據(jù)種群生態(tài)學(xué)理論，假設(shè)死亡率與種群密度成比例[16]，本文假設(shè)函數(shù)F滿足

F∈C1(R),0≤F(s)≤M,?s∈R

(1)

因種群是動(dòng)態(tài)發(fā)展變化的，故NPC系統(tǒng)中引入表征種群死亡率的非線性項(xiàng)，更貼近種群真實(shí)生存狀態(tài)。

環(huán)境質(zhì)量對(duì)種群的生存擴(kuò)散影響巨大，因此研究環(huán)境污染對(duì)生物種群的作用關(guān)系著生態(tài)平衡和發(fā)展。在NPC系統(tǒng)中，u(x,t)為控制變量，表示外界環(huán)境向種群輸入的毒素率。而在實(shí)際的種群擴(kuò)散系統(tǒng)中，因不同位置其地理環(huán)境特征可能有很大差異，導(dǎo)致環(huán)境對(duì)種群輸入的毒素率也不同，所以m(x)用于描述種群在其生活區(qū)域Ω內(nèi)，不同位置x∈Ω對(duì)應(yīng)的特有地理環(huán)境特征。

令U=L2(0,∞;L2(Ω))為控制變量u(x,t)所屬度量空間，假設(shè)控制變量u(x,t)屬于集合

本文目標(biāo)是尋求控制函數(shù)u∈Uρ，使得種群密度在最短時(shí)間下降為零(該種群在最短時(shí)間內(nèi)滅絕)，即研究如下的時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題

(P)inf{T|yu(T)=0,u∈Uρ,yu是如下NPC系統(tǒng)的解}

(2)

(3)

其中T>0為控制時(shí)間。若NPC系統(tǒng)的解y滿足y(T)=0，則稱u∈Uρ是容許控制。下確界T*=inf{T|yu(T)=0,u∈Uρ,yu是如下NPC系統(tǒng)的解}稱為最優(yōu)控制時(shí)間。滿足yu*(T*)=0的u*∈Uρ稱為最優(yōu)控制變量。

2 種群擴(kuò)散最優(yōu)控制模型的適定性

在研究時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題(P)之前，首先考慮NPC系統(tǒng)的適定性，即對(duì)任意T>0，NPC系統(tǒng)的解存在且唯一。模型適定性是研究實(shí)際自然現(xiàn)象可抽象為數(shù)學(xué)模型的理論保證。

證明運(yùn)用文獻(xiàn)[16]的證明思想和Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理可得NPC系統(tǒng)解的存在唯一性。

定理1說(shuō)明基于環(huán)境污染和種內(nèi)關(guān)系雙重影響的 NPC系統(tǒng)模型是適定的。

3 種群擴(kuò)散最優(yōu)控制模型的容許控制

最優(yōu)控制的存在性需以容許控制存在性為前提。這部分將首先給出當(dāng)控制變量u屬于有界集Uρ時(shí)，NPC系統(tǒng)的精確零能控性。在探索NPC系統(tǒng)的容許控制是否存在時(shí)，Carleman型估計(jì)發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。因NPC系統(tǒng)包含高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)Δyt(x,t)，得到NPC系統(tǒng)的Carleman型估計(jì)是一個(gè)難點(diǎn)。

3.1 Carleman型估計(jì)

近年來(lái)，學(xué)者們利用Carleman型估計(jì)處理最優(yōu)控制問(wèn)題的近似能控和精確零能控性已取得許多成果[19～23]。然而，偽拋物型方程最優(yōu)控制系統(tǒng)鮮有研究，其對(duì)應(yīng)的Carleman型估計(jì)也未給出。令

其中ψ由文獻(xiàn)[16,18]給出。

下面運(yùn)用文獻(xiàn)[16]得到NPC系統(tǒng)的Carleman型估計(jì)。

引理1(Carleman型估計(jì)) 存在常數(shù)λ0≥1,s0≥1使得對(duì)λ≥λ0,s≥s0(T+T2)，有

其中p是非線性擬拋物方程初邊值問(wèn)題

的任意解。Qω=ω×(0,T)，是不依賴T,p,λ和s的正常數(shù)。

引理1得到NPC系統(tǒng)的Carleman型估計(jì)是容許控制存在性的先決條件，也是本文主要貢獻(xiàn)之一，進(jìn)一步豐富了偏微分方程控制理論的框架體系。

3.2 容許控制的存在性

(4)

接下來(lái)運(yùn)用文獻(xiàn)[16]中定理3.1的證明思想得到NPC系統(tǒng)的精確零能控性。

引理2說(shuō)明線性系統(tǒng)(4)是精確零能控，并得到相關(guān)控制變量的范數(shù)估計(jì)。

下面證明NPC系統(tǒng)容許控制的存在性，這是最優(yōu)控制存在性的充分條件。

定理2說(shuō)明NPC系統(tǒng)用于模擬環(huán)境污染和種內(nèi)關(guān)系雙重影響下種群的擴(kuò)散行為是存在容許控制的，即對(duì)于任意時(shí)刻T，當(dāng)種群初始密度滿足一個(gè)關(guān)于T的關(guān)系式時(shí)，可以找出外界環(huán)境對(duì)種群的毒素輸入率，使得在時(shí)刻t=T時(shí)該種群密度為0，表明在時(shí)刻t=T該種群消亡。

(5)

推論1在定理 2的基礎(chǔ)上取T=1即可得。

4 種群擴(kuò)散系統(tǒng)最優(yōu)控制的存在性

本部分證明問(wèn)題(P)的最優(yōu)控制是存在的。

定理3說(shuō)明NPC模型用于模擬在環(huán)境污染和種內(nèi)關(guān)系雙重影響下種群的擴(kuò)散行為是存在最優(yōu)控制的，即當(dāng)種群初始密度滿足一定條件時(shí)，可以找到一個(gè)外界環(huán)境對(duì)種群的毒素輸入率，使得在時(shí)刻t=T時(shí)該種群密度為0，表明該種群消亡，并且該毒素輸入率使得種群在最短時(shí)間內(nèi)滅亡。

綜合上述結(jié)果，在時(shí)空區(qū)域內(nèi)，種群擴(kuò)散最優(yōu)控制模型的最優(yōu)滅亡時(shí)間T*計(jì)算步驟如下:

步驟4計(jì)算最優(yōu)滅亡時(shí)間T*=minT。

5 數(shù)值算例分析

本文采用數(shù)值計(jì)算方法對(duì)考慮污染和種內(nèi)關(guān)系的種群擴(kuò)散最優(yōu)控制模型進(jìn)行仿真，驗(yàn)證種群擴(kuò)散最優(yōu)控制模型的有效性，進(jìn)一步定量分析污染源向種群中輸入的毒素率及種群初始密度對(duì)種群滅亡時(shí)間的影響。我們考慮不同的種群初始密度y0及污染源向種群中輸入的毒素率u影響種群滅亡時(shí)間的情形。數(shù)值仿真參數(shù)選取如下：c=c0=1，t=10，生存區(qū)域測(cè)度|Ω|=1。取u=(0.05,0.10,0.15,0.20,0.25,0.30)，y0=(0.010,0.015,0.020,0.025,0.030)和y0=(0.10,0.15,0.20,0.25,0.30)分別刻畫(huà)種群最優(yōu)滅亡時(shí)間。

綜上所述，基于NPC系統(tǒng)和控制問(wèn)題(P)的種群滅亡時(shí)間計(jì)算步驟如下:

步驟3計(jì)算最優(yōu)滅亡時(shí)間T*=minT，所得結(jié)果見(jiàn)圖1～圖6。

圖1 y0及u與T的關(guān)系(當(dāng)u≥0.316時(shí))

圖2 y0與T的關(guān)系( u≥0.316且固定)

圖3 u與T的關(guān)系(u≥0.316，固定y0 )

圖4 y0及u與T的關(guān)系(當(dāng)u<0.316時(shí))

圖5 y0與T的關(guān)系( u<0.316且固定)

圖6 u與T的關(guān)系( u<0.316，固定y0 )

圖1、圖2和圖3揭示了當(dāng)污染源向種群輸入毒素率u大于等于0.316 時(shí)，種群初始密度y0和毒素率u與種群滅亡時(shí)間T之間的關(guān)系。圖4、圖5和圖6揭示了當(dāng)污染源向種群輸入的毒素率u小于0.316時(shí)，種群初始密度y0和毒素率u與種群滅亡時(shí)間之間T的關(guān)系。

從圖1及圖2可以看出，當(dāng)污染源向種群輸入的毒素率u大于等于0.316時(shí)，隨著種群初始密度y0增大，種群滅亡時(shí)間T先急速下降后緩慢上升，即當(dāng)y0處于零至0.332之間時(shí)，種群初始密度y0越小，種群滅亡時(shí)間T越長(zhǎng)；當(dāng)y0大于0.332時(shí)，種群初始密度y0越大，種群滅亡時(shí)間T越長(zhǎng)。從圖1及圖3可以看出，在固定種群初始密度y0的情況下，當(dāng)污染源向種群輸入的毒素率u大于等于0.316時(shí)，種群滅亡時(shí)間T保持不變，即不會(huì)隨毒素輸入率u的變化而變化。此時(shí)，對(duì)于具有相同初始密度的種群來(lái)說(shuō)，污染源向種群輸入的毒素率u對(duì)應(yīng)的最優(yōu)滅亡時(shí)間T*均相同。從圖3可以看出，初始密度為0.10的種群，污染源向種群輸入毒素率對(duì)應(yīng)的最優(yōu)滅亡時(shí)間T*是1.592；初始密度為0.20的種群，污染源向種群輸入毒素率對(duì)應(yīng)的T*是1.404；初始密度為0.30的種群，污染源向種群輸入毒素率對(duì)應(yīng)的T*是1.323。

從圖4及圖5可以看出，在污染源向種群輸入毒素率u小于0.316的情況下，種群初始密度y0越大，種群滅亡時(shí)間T越短。種群初始密度y0越小，種群滅亡時(shí)間越長(zhǎng)。從圖4及圖6可以看出，在固定種群初始密度y0的情況下，當(dāng)污染源向種群輸入的毒素率u小于0.316 時(shí)，種群滅亡時(shí)間T隨毒素輸入率的增加而變長(zhǎng)，即污染源向種群輸入的毒素率越大，種群滅亡時(shí)間T越長(zhǎng)，污染源向種群輸入的毒素率越小，種群滅亡時(shí)間T越短。此時(shí)，對(duì)于具有相同初始密度的種群來(lái)說(shuō)，污染源向種群輸入的毒素率對(duì)應(yīng)的最優(yōu)滅亡時(shí)間T*均存在。圖6 顯示，初始密度為0.010的種群，污染源向種群輸入毒素率對(duì)應(yīng)的最優(yōu)滅亡時(shí)間T*是1.592；初始密度為0.020的種群，污染源向種群輸入毒素率對(duì)應(yīng)的T*是1.404；初始密度為0.030的種群，污染源向種群輸入毒素率對(duì)應(yīng)的T*是1.322。

結(jié)合管理生態(tài)學(xué)發(fā)展規(guī)律，該算例都可得到合理的解釋。由該數(shù)值算例可知，種群初始密度和污染源向種群輸入的毒素率都會(huì)影響種群滅亡時(shí)間T，而且這些算例均可找到種群最優(yōu)滅亡時(shí)間T*以及對(duì)應(yīng)的種群輸入的毒素率u，即找到一對(duì)時(shí)間最優(yōu)控制，驗(yàn)證了種群擴(kuò)散最優(yōu)控制模型的有效性。

6 結(jié)論與展望

擴(kuò)散研究是管理生態(tài)學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題，研究種群擴(kuò)散具有十分重要的理論和實(shí)踐意義。本文基于污染和個(gè)體間相互作用(種內(nèi)關(guān)系)視角，研究了種群擴(kuò)散系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題，通過(guò)設(shè)計(jì)毒素輸入率控制，使得種群在最短時(shí)間內(nèi)滅亡。首先，本文給出了種群擴(kuò)散系統(tǒng)最優(yōu)控制模型是適定的，這為模型的應(yīng)用和數(shù)值模擬提供了理論保證。其次，證明了種群擴(kuò)散系統(tǒng)存在容許控制，即對(duì)于任意時(shí)刻，當(dāng)種群初始密度滿足一定條件時(shí)，可以得到外界環(huán)境對(duì)種群的毒素輸入率，使種群在該時(shí)刻滅亡。最后，證明種群擴(kuò)散系統(tǒng)存在最優(yōu)控制，即當(dāng)種群初始密度滿足一定條件時(shí)，可以得到外界環(huán)境對(duì)種群的毒素輸入率，并且該毒素輸入率使得種群在最短時(shí)間內(nèi)滅亡，即得到了一對(duì)時(shí)間最優(yōu)控制。通過(guò)數(shù)值仿真方法研究了不同的種群初始密度及污染源向種群中輸入的毒素率對(duì)種群滅亡時(shí)間的影響，得到種群最優(yōu)滅亡時(shí)間，找到一對(duì)時(shí)間最優(yōu)控制。數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了種群擴(kuò)散最優(yōu)控制模型的有效性，該模型揭示了復(fù)雜的種群系統(tǒng)生存機(jī)制，從定量角度研究了受到外界污染和種內(nèi)關(guān)系作用的種群生存時(shí)間的最優(yōu)控制問(wèn)題。本文所得結(jié)論為探索污染和種內(nèi)關(guān)系雙重影響下細(xì)菌種群生存擴(kuò)散理論提供理論參考和借鑒。

本文研究了基于污染和種內(nèi)關(guān)系影響的單一種群擴(kuò)散最優(yōu)控制模型，然而大部分種群生存環(huán)境并不是封閉的，任何細(xì)菌種群都處在某一群落里而與別的種群發(fā)生著一定的聯(lián)系。在建模過(guò)程中，考慮的影響因素越多，所得結(jié)果往往更接近于種群真實(shí)生存狀態(tài)。所以通過(guò)考慮兩種群、三種群或多種群相互作用，研究環(huán)境污染、個(gè)體間相互作用(種內(nèi)關(guān)系)、種間關(guān)聯(lián)影響下的種群擴(kuò)散系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題，并在更普適條件下提出最優(yōu)控制求解方案是未來(lái)的研究方向。