劉文斌，崔學英

(1.晉中信息學院數(shù)理教學部，山西太谷 030800；2.太原科技大學應用科學學院，山西太原 030024)

2018 年9 月10 日，習近平總書記在全國教育大會上強調(diào)“黨的十八大以來，我們圍繞培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人、為誰培養(yǎng)人這一根本問題，全面加強黨對教育工作的領導”。其中，“培養(yǎng)什么人”是教育的首要問題[1-3]。思政元素的融入讓課堂變得更和諧、有意義，在傳授知識的同時引導學生樹立科學的世界觀、人生觀與價值觀。課程思政的融入[4-6]，不僅是傳授知識的過程，教師同樣能夠可以在教學點滴中提升自我，與學生更深入地交流，發(fā)現(xiàn)學生的閃光點，挖掘優(yōu)秀人才，為國家培養(yǎng)人才，亦可以培養(yǎng)更深刻的師生情，幫助學生更快更好地成長。將以高等數(shù)學課程中的“可降階的高階微分方程”這一小節(jié)知識為實例，探索思政元素在實際課堂教學中的體現(xiàn)。具體的教學進程安排如下：

1 引入

案例一：一只新組裝好的小鐘放在了兩只舊鐘當中。兩只舊鐘滴答、滴答一分一秒地走著。

其中一只舊鐘對小鐘說：來吧，你也該工作了。可是我有點擔心，你走完3 200 萬次以后，恐怕就吃不消了。

天哪！3 200萬次。小鐘吃驚不已。要我做這么大的事？辦不到，辦不到。

另一只舊鐘說：別聽他胡說八道。不用害怕，你只要每秒滴答擺一下就行了。

天下哪有這樣簡單的事情。小鐘將信將疑。如果這樣，我就試試吧。小鐘很輕松地每秒鐘滴答擺下，不知不覺中，一年過去了，它擺了3 200萬次。

案例體現(xiàn)了“化繁為簡”的思想。很多問題表面看似很難，其實只要把它分解開來，將變得簡單而直觀。

案例二：西晉史學家陳壽所著《三國志》中的“曹沖稱象”：沖少聰察，生五六歲，智意所及，有若成人之智。時孫權曾致巨象，太祖欲知其斤重，訪之群下，咸莫能出其理。沖曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，稱物以載之，則?？芍??！碧娲髳?，即施行焉。

2 可降階的高階微分方程[7]

二階及二階以上的微分方程即為高階微分方程。

2.1 y(n)= f (x)型的微分方程

特點：微分方程右端是只含有變量x的函數(shù).

解法：逐次積分求n-1、n-2、n-3、…、2、1，連續(xù)n次積分即可求得方程的通解。

例1 求方程ym=e2x-cosx的通解。

解：對所給方程接連積分三次得：

這就是所求通解。

例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點受水平力F的作用沿力F的方向作直線運動，力F的大小為時間t的函數(shù)F(t)=sint。設開始時(t=0)質(zhì)點位于原點，且初始速度為零，求這質(zhì)點的運動規(guī)律。

纖維單元模型：分別沿拱軸與截面將鋼管混凝土拱肋劃分為縱向節(jié)段分布的纖維梁單元，通過截面積分求截面剛度與單元剛度，其克服了上述雙單元法兩點不足，但仍需編寫專用分析程序。

解：設s=s(t)表示在時刻t時質(zhì)點的位置，由牛頓第二定律，質(zhì)點的運動方程為

練習1 求方程ym=sinx+cosx的通解。

2.2 y″= f (x,y')型的微分方程

特點：不顯含未知函數(shù)y。

求解：做變換y'=p，則y"=p'，故原方程可化為關于變量x，p的一階微分方程

設其通解為p=φ(x,C1)，則有

積分得原方程的通解為：

例3 求微分方程(1+x2)y″=2xy'滿足初值條件y|x=0=1，y'|x=0=3的特解。

解：所給方程是y"=f(x,y')型的。設y'=p，代入方程并分離變量，得兩邊積分，得ln|p|=ln(1+x2)+C，即y'=p=C1(1+x2)，其中C1=±eC，將初值條件y'|x=0=3代入得C1=3，故y'=3(1+x2)，再積分得y=x3+3x+C2，再將初值條件y|x=0=1代入得C2=1，因此所求特解為y=x3+3x+1。

練習2 求方程xy"+y'=0的通解。

2.3 y″= f (y,y')型的微分方程

特點：不顯含自變量x。

求解：令y'=p，把p當做新的未知函數(shù)，把y當做自變量，此時故原方程可化為：

3 結語

介紹了y(n)=f(x) 型、y″=f(x,y') 型、y″=f(y,y')型，三種類型的高階微分方程的特點及其解法“降階法”。體現(xiàn)了化繁為簡、化整為零的思想。通過例題講解和練習鞏固，培養(yǎng)學生的分析問題、解決問題的能力。

以高等數(shù)學微分方程中的“可降階的高階微分方程”內(nèi)容作為實例，通過兩個案例分析，引出遇見困難時也應有“化繁為簡”“化整為零”的思想去攻堅克難融入課程思政，引入課程新內(nèi)容的解法。這種方法契合高等數(shù)學的教學大綱，符合課程的教學要求，遵循學生學習的特點和認知規(guī)律，通過案例分析、提出問題、問題分析吸引學生注意力，將思政元素不突兀地融入到課堂教學中去，貫徹教書育人、立德樹人的教學理念。