劉詩語,吳鳴,2*,李睿哲

(1.上海電力大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，上海 200090；2.中國電力科學(xué)研究院有限公司，北京 100192)

隨著智能電網(wǎng)的建設(shè)，電力系統(tǒng)的智能化程度逐漸提升，電力負(fù)荷數(shù)據(jù)變得易于感知和測量，由此累積的用戶負(fù)荷數(shù)據(jù)具有高維度、多類型和大體量等特點[1]。通過負(fù)荷數(shù)據(jù)挖掘和用電模式識別，獲取用戶用電特征，為電網(wǎng)規(guī)劃設(shè)計、用電客戶精細(xì)分類和制定用電計劃提供有力支撐[2-3]。

聚類算法可以有效提取用戶用電的負(fù)荷特征，充分挖掘用戶用電信息，發(fā)掘其中的相似點以用來分析用戶用電模式[4]。目前，各種聚類分析方法已被應(yīng)用于電力負(fù)荷聚類中，包含基于劃分[5]、基于密度[6]、基于層次[7]的聚類算法等。如今，不少學(xué)者都使用歐式距離作為相似性判據(jù)進(jìn)行負(fù)荷曲線的聚類研究。文獻(xiàn)[8]通過奇異值分解的方式將原始負(fù)荷數(shù)據(jù)進(jìn)行變換旋轉(zhuǎn)至新坐標(biāo)系中，進(jìn)而得到對應(yīng)的奇異值并以此確定負(fù)荷數(shù)據(jù)降維的權(quán)重大小，最后利用加權(quán)K-means方法進(jìn)行聚類。文獻(xiàn)[9]對負(fù)荷數(shù)據(jù)進(jìn)行多維分析和降維，然后采用高斯混合模型提取數(shù)據(jù)的低維特征，以用于海量化負(fù)荷數(shù)據(jù)集的聚類研究。文獻(xiàn)[10]采用卷積自編碼器提取負(fù)荷數(shù)據(jù)的時序特征，再用自定義的聚類層對低維特征軟化分，最后采用KL(Kullback-Leibler)散度作為損失函數(shù)對卷積自編碼器和自定義聚類層進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化，得到聚類結(jié)果。文獻(xiàn)[11]對原始負(fù)荷數(shù)據(jù)提取，得到日峰谷差率、日負(fù)荷率、日最大利用時間等7個日負(fù)荷特征指標(biāo)，使用熵權(quán)法對各指標(biāo)配置權(quán)重進(jìn)行聚類分析，從而提高聚類效率。文獻(xiàn)[12]通過多維縮放(multi-dimensional scaling,MDS)對原始電力負(fù)荷數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性降維進(jìn)而獲得低維數(shù)據(jù)特征，對低維特征進(jìn)行加權(quán)K-means聚類，進(jìn)而獲得聚類結(jié)果。然而，海量化和高維化的負(fù)荷數(shù)據(jù)往往存在模糊的簇邊界，上述方法只考慮簇內(nèi)距離判斷簇相似度，而忽略簇間距離的影響，導(dǎo)致聚類質(zhì)量較低。由于存在簇間模糊樣本，也可能會增加聚類算法的迭代次數(shù)，進(jìn)而降低計算效率。

鑒于以上方法僅考慮簇內(nèi)距離，而忽略簇間模糊樣本導(dǎo)致聚類質(zhì)量下降等問題，有學(xué)者提出考慮簇內(nèi)、簇間距離的聚類方式并獲得不錯的進(jìn)展。文獻(xiàn)[13]提出增強(qiáng)的軟子空間聚類方法，該方法擴(kuò)大簇間距離的方式是最大化全局中心與各個簇中心的距離。但該方法移動簇中心的效果較差，最大化全局中心與每個簇中心的距離并不等同于最大化簇間距離，即最大化任意兩個簇之間的距離，當(dāng)簇間分布不均勻時會反而會導(dǎo)致幾個相近的簇中心更緊湊。

針對以上問題，現(xiàn)提出基于多維縮放(MDS)和KICIC(a weightingK-means clustering approach by integrating intra-cluster and inter-cluster distances)的聚類算法，通過MDS對原始數(shù)據(jù)非線性降維提取原始數(shù)據(jù)的低維特征，將獲取的低維特征矩陣和歸一化的特征向量作為輸入，再通過KICIC算法最大化簇間距離和最小化簇內(nèi)距離來對日負(fù)荷曲線進(jìn)行聚類。對此，通過將改進(jìn)的算法和傳統(tǒng)算法在聚類有效性指標(biāo)上對比分析，以期能夠在聚類效率和質(zhì)量方面得到提升，為在需求側(cè)實現(xiàn)有序用電管理做準(zhǔn)備。

1 聚類算法的基本理論

1.1 MDS的數(shù)學(xué)理論

假設(shè)給定一個由m條負(fù)荷曲線和n維數(shù)據(jù)所構(gòu)成的X=[X1,X2,…,Xm]為m×n階實矩陣，其中第i條負(fù)荷曲線表示為Xi=[xi1,xi2,…,xin]，n為負(fù)荷曲線的數(shù)據(jù)維度，由此可以計算出n維數(shù)據(jù)的距離矩陣D=[tij]∈Rm×m。MDS算法是為獲得原始數(shù)據(jù)樣本在d′維空間的表示，Z∈Rd′×m,d′≤n[14]。Z=[Z1,Z2,…,Zn]是n×m的數(shù)據(jù)輸入矩陣；Zi=[zi1,zi2,…,zim]表示第i個數(shù)據(jù)對象。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

將式(2)～式(7)代入式(1)可得

(8)

由式(8)可計算內(nèi)積矩陣B，對矩陣B進(jìn)行特征值分解，即

B=VΛVT

(9)

式(9)中：Λ=diag(λ1,λ2,…,λd)是內(nèi)積矩陣B的特征值所組成的對角矩陣，對應(yīng)的特征值由大到小排列，V是對應(yīng)的特征向量矩陣。由式(9)及B=ZTZ可知

(10)

具體算法步驟如下：

步驟1對于給定的數(shù)據(jù)集矩陣X，求得距離矩陣D∈Rm×m，同時確定低維空間的維數(shù)d′。

步驟2以距離矩陣D∈Rm×m的元素tij為輸入，通過式(5)～式(7)計算出結(jié)果并代入式(8)求內(nèi)積矩陣B。

步驟3對內(nèi)積矩陣B做特征值分解B=VΛVT，取Λ=diag(λ1,λ2,…,λd)前d′個最大的特征值構(gòu)成對角矩陣Λd′，Vd′為相應(yīng)的特征向量矩陣，通過式(10)求低維矩陣Z。

1.2 KICIC聚類算法

傳統(tǒng)聚類算法一般采用簇內(nèi)歐式距離作相似性判據(jù)。然而，實際的負(fù)荷數(shù)據(jù)往往存在模糊的簇邊界。如圖1所示，簇邊界處的數(shù)據(jù)可能會產(chǎn)生誤分，進(jìn)而降低聚類質(zhì)量。由于存在簇間模糊樣本，也可能會增加聚類算法的迭代次數(shù)，降低計算效率。

圖1 簇間樣本模糊圖Fig.1 Inter-cluster sample fuzzy map

對此提出集成簇內(nèi)距離和簇間距離的KICIC聚類方式，該聚類方式通過在子空間內(nèi)最大化簇中心與其他簇樣本的歐式距離的方式對簇間距離最大化，同時對簇內(nèi)距離進(jìn)行最小化處理以提升簇內(nèi)緊密度，基于該思想設(shè)計了該算法的目標(biāo)函數(shù)，然后，通過迭代優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)獲得算法的更新規(guī)則，最后，根據(jù)更新規(guī)則給出了算法的執(zhí)行過程。KICIC算法的目標(biāo)函數(shù)為

S=S(U,W,R)

(11)

約束條件為

(12)

式中：R=[R1,R2,…,Rk]為k個簇中心向量組成的簇中心矩陣，Rp=[rp1,rp2,…,rpm]為第p個簇中心；W=[W1,W2,…,Wk]為k個特征權(quán)重向量；U為數(shù)據(jù)對象分配矩陣，該矩陣為n×k的0-1矩陣，uip=1為第i個特征被分到第p個簇。

2 基于MDS-KICIC算法的電力負(fù)荷聚類分析

2.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

2.1.1 數(shù)據(jù)選取

本實驗的數(shù)據(jù)集來源于SEAI(sustainable energy authority of ireland)發(fā)布的2009—2013年愛爾蘭智能電表實測數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)集以30 min為時間間隔，每日可采集48數(shù)據(jù)點。距今較近的2013年用戶用電數(shù)據(jù)作為本文的實驗數(shù)據(jù)。

2.1.2 異常數(shù)據(jù)的識別與修正

現(xiàn)實中采集的負(fù)荷數(shù)據(jù)，往往會出現(xiàn)環(huán)境因素干擾、測量設(shè)備故障、通信中斷等問題，引起數(shù)據(jù)異?；騺G失[15]。負(fù)荷數(shù)據(jù)異?；蛉笔Р粐?yán)重時，通過多階拉格朗日內(nèi)插法進(jìn)行數(shù)據(jù)的矯正或填充，負(fù)荷曲線的數(shù)據(jù)缺失嚴(yán)重時則剔除該負(fù)荷曲線，如式(13)所示。計算某點數(shù)據(jù)相對前一點的數(shù)據(jù)變化率，若超過一定閾值則視為異常數(shù)據(jù)點，如式(14)所示，也可以用多階拉格朗日內(nèi)插法對該點數(shù)據(jù)予以修正。

(13)

式(13)中：x(t)為異常數(shù)據(jù)點的修正值;a1、b1為向前和向后所取的樣本點數(shù)目，一般取4～6。

(14)

式(14)中：x(t)表示t時刻數(shù)據(jù)點，p表示該點的數(shù)據(jù)變化率，超過設(shè)定的變化率閾值p=0.75視為異常數(shù)據(jù)點，用多階拉格朗日內(nèi)插法對該點數(shù)據(jù)予以修正。

2.1.3 數(shù)據(jù)歸一化處理

收集的不同用戶負(fù)荷數(shù)據(jù)的幅值可能會有較大差異，對不同數(shù)量級的負(fù)荷數(shù)據(jù)直接聚類會使聚類結(jié)果缺乏可靠性。在本研究中，對此使用最大值歸一化原理處理負(fù)荷數(shù)據(jù)。該處理方法的表達(dá)式為

(15)

式(15)中：xij是第i條負(fù)荷曲線的采樣點j處的數(shù)據(jù)，x′ij為對應(yīng)點的歸一化數(shù)據(jù)，然后通過元素x′ij可獲得歸一化矩陣X′。

2.1.4 數(shù)據(jù)平滑處理

實際上，在負(fù)荷數(shù)據(jù)的測量和采集過程中常出現(xiàn)信號干擾和測量誤差等情況會直接造成電力負(fù)荷曲線出現(xiàn)一定程度的波動，對數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理能減少噪聲影響，更加突顯曲線的走勢。而高斯法能較好地濾除噪聲，采用高斯法對數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理，進(jìn)一步反映出曲線總體走勢[16]。負(fù)荷數(shù)據(jù)預(yù)處理前后的變化見圖2。

圖2 負(fù)荷曲線的修正和平滑處理Fig.2 Correction and smoothing of the load curve

2.2 MDS-KICIC算法

不同于K-means等傳統(tǒng)聚類算法，KICIC是集成簇內(nèi)和簇間距離的新型聚類算法，該算法需要對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行迭代更新，因此，對于較大的樣本量，KICIC算法計算過程復(fù)雜，易造成計算效率低下等問題，對此設(shè)計MDS算法對數(shù)據(jù)降維處理以提升KICIC算法的聚類效率和質(zhì)量?；贛DS的理論可知，若降低到d′維空間中去，則取出前d′個最大特征值，這說明該維空間的權(quán)重可以通過對應(yīng)的特征值大小體現(xiàn)。對此，使用MDS降維得到特征矩陣Z用作KICIC算法的輸入，基于MDS方法得到的特征值λ歸一化處理后作為KICIC算法的權(quán)重向量W，可以提高KICIC聚類算法的速度和性能。

2.2.1 MDS-KICIC目標(biāo)函數(shù)

KICIC算法目標(biāo)函數(shù)[式(11)]的第三項即為的特征權(quán)重項，由于特征權(quán)重向量W由MDS降維后已經(jīng)給出，該項不參與迭代，可以對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，表達(dá)式為

(16)

約束條件為

(17)

在該目標(biāo)函數(shù)中，需要求解兩個參數(shù)矩陣：數(shù)據(jù)對象分配矩陣U和簇中心矩陣R。常用的優(yōu)化求解目標(biāo)函數(shù)S的方法是固定其中一個參數(shù)矩陣，然后求解另一個參數(shù)矩陣。特征權(quán)重矩陣W已知，進(jìn)而降低聚類計算復(fù)雜度。此外，MDS-KICIC算法使用降維得到特征矩陣Z作為輸入，而不是高維的數(shù)據(jù)信息，從而提高算法分析海量數(shù)據(jù)能力。

目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化原則是通過不斷迭代分配矩陣U和簇中心矩陣R的值使目標(biāo)函數(shù)S達(dá)到最小。固定簇中心矩陣R，目標(biāo)函數(shù)S(U,R)可以最小化當(dāng)且僅當(dāng)

(18)

可以看出，式(18)是把數(shù)據(jù)對象分配到帶權(quán)距離最小的簇中。

固定數(shù)據(jù)對象分配矩陣U，目標(biāo)函數(shù)S(U,R)可以最小化當(dāng)且僅當(dāng)

(19)

固定簇中心矩陣R，最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)(16)可得到式(18)，同理固定分配矩陣U，最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)(16)可得到式(19)。

整體算法步驟如下：

步驟1對于給定的數(shù)據(jù)集X，經(jīng)過MDS降維得到特征矩陣Z和特征值向量。

步驟2使用MDS降維得到特征矩陣Z和歸一化處理后的特征值向量用作KICIC算法的輸入和權(quán)重向量，并隨機(jī)簇中心矩陣R。

步驟3固定矩陣R，通過式(18)得到分配矩陣U；固定分配矩陣U，再通過式(19)得到簇中心矩陣R。

步驟4迭代計算。計算目標(biāo)函數(shù)(16)是否最小，若是則算法結(jié)束，否則重復(fù)步驟3。整體算法流程如圖3所示。

圖3 整體算法流程圖Fig.3 Overall algorithm flow chart

2.2.2 聚類有效性指標(biāo)

由于文中所選的是無標(biāo)簽數(shù)據(jù)集，其類別未提前確定，需使用內(nèi)部評價指標(biāo)對聚類效果進(jìn)行評判。本文選取戴維森堡丁指數(shù)(davies-bouldin,DBI)和卡林斯基-哈拉巴斯指數(shù)(calinski-harabaz index,CHI)分析聚類質(zhì)量。簇內(nèi)相似度越高，簇間相似度越低，則聚類質(zhì)量越優(yōu)。上述指標(biāo)的計算公式如下。

(1)DBI指標(biāo)。

(20)

(21)

(2)CHI指標(biāo)。

s(N)=[trB(k)/(k-1)]/[trW(k)/(n-k)]

(22)

式(22)中：n為聚類樣本的數(shù)目；k為聚類的類別數(shù)目；trB(k)為簇間離差矩陣的跡；trW(k)為簇內(nèi)離差矩陣的跡。CHI是通過計算簇間分離度和簇內(nèi)緊密度的比值得出，所以簇間越分散，簇內(nèi)越緊密，CHI越大，得到的聚類質(zhì)量越優(yōu)。

3 算例分析

文章中的實驗是在配置有AMD R5-4600H，CPU 3.0 GHz，RAM16GB的PC上實現(xiàn)的。為驗證文中方法的有效性，以K-means算法、MDS-WK-means算法和KICIC算法作為文中的對比方法。

3.1 實際日負(fù)荷曲線聚類

文中數(shù)據(jù)來源于SEAI所發(fā)布的愛爾蘭智能電表實際測量數(shù)據(jù)，共選取2013年某工作日1 346條日負(fù)荷曲線數(shù)據(jù)，每30 min進(jìn)行一次采樣，每條負(fù)荷曲線得到48個采樣點。由于數(shù)據(jù)缺失或異常，預(yù)處理后得到1 229條數(shù)據(jù)曲線，進(jìn)而形成1 229×48階的數(shù)據(jù)矩陣。

MDS處理數(shù)據(jù)矩陣，降到d′維通過計算累計貢獻(xiàn)率Sd′可得，d′≥4時累計貢獻(xiàn)率Sd′可以達(dá)到95%以上。因此，輸入矩陣X經(jīng)過MDS降維處理后表示為一個1 229×4的特征矩陣Z，可求得4個維度對應(yīng)的權(quán)重向量為W0=[0.585,0.337,0.049,0.029]。

通過對不同聚類數(shù)目的DBI指標(biāo)觀察，如圖4所示，觀測到DBI指標(biāo)在聚類個數(shù)k=4時取得最小值。因而，文中的聚類個數(shù)選擇k=4進(jìn)行分析。

圖4 聚類數(shù)與DBI指標(biāo)的關(guān)系Fig.4 Relationship between the number of clusters and DBI index

基于文中聚類算法得到的聚類結(jié)果如圖5所示。從00：00—24：00共計48個時間段，該算法將1 229條日負(fù)荷曲線分成4類。各類負(fù)荷曲線的數(shù)量分別為312、224、408和285。傳統(tǒng)K-means聚類算法的各種負(fù)荷曲線數(shù)分別為306、224、406和293。文中方法的聚類結(jié)果如圖5所示。

圖5 聚類仿真結(jié)果Fig.5 Clustering simulation results

圖6為4類用戶負(fù)荷曲線的聚類中心，每類用戶都有相異的用電特點，表現(xiàn)的四種類型依次有：雙峰、平峰、單峰和錯峰。第一類用戶屬于雙峰型用戶，有兩個用電高峰，分別在7：00—11：30以及14：30—20：00，同時該類用戶大部分功率都在高峰時間內(nèi)消耗，該類用戶多為學(xué)校、寫字樓和機(jī)關(guān)單位等，用電穩(wěn)定并且規(guī)律。第二類用戶屬于平峰型用戶，該部分負(fù)荷水平相對較高且整日負(fù)荷變化不大，該類負(fù)荷屬于保障類型負(fù)荷，多屬于供水、供熱、供能等基礎(chǔ)設(shè)施。第三類是單峰型用戶，在22：00—次日6：00屬于休息時間，該時段的用電量較少，而該類用戶的用電量主要集中在6：30—17：00，用電量提升較快并且處于較高負(fù)荷水平，該部分用戶多為小工業(yè)用戶。第四類用戶屬于錯峰型用戶，在18:00—23:00用電高峰，并且在凌晨時段仍有較高負(fù)荷，由于該部分用戶用電時間多為晚上，這表明其用戶可能有很大的潛力遵循需求側(cè)管理策略來避免高峰期的用電行為。

圖6 典型日負(fù)荷曲線聚類中心Fig.6 Cluster center of a typical daily load curve

3.2 對比分析

通過對表1中10次測試得到的聚類指標(biāo)平均值的對比分析，相較于直接進(jìn)行聚類，其他三種算法在指標(biāo)上更優(yōu)，而MDS-KICIC算法比KICIC算法聚類效率提升了60.23%，比K-means算法聚類效率提升71.41%。本文所采用的算法使負(fù)荷的簇內(nèi)距離最小，簇間距離最大，充分考慮簇內(nèi)和簇間距離，使聚類中心盡可能地遠(yuǎn)離非類樣本，降低非類樣本的干擾，增加聚類精度，加快聚類迭代過程。

表1 4種算法聚類結(jié)果對比Table 1 Comparison of clustering results of 4 algorithms

因此，文中算法比傳統(tǒng)的K-means、MDS-WK-means和KICIC算法運行時間更短，聚類質(zhì)量更高。

3.3 聚類用戶特征總結(jié)

結(jié)合表2可知，第一類用戶屬于雙峰型用戶，該部分用戶的負(fù)荷系數(shù)、最小負(fù)荷率相對適中；在負(fù)荷系數(shù)和最小負(fù)荷率方面來看，第二類用戶的數(shù)據(jù)均為最高，這表明第二類用戶比其他類用戶的需求側(cè)管理潛力較??；第三類用戶的負(fù)荷系數(shù)、最小負(fù)荷率最低，該類用戶曲線相較于前兩種更平滑，而且該類用戶最小值時間和峰值時間與前者也有所不同；第四類用戶的峰值時間不同，同時該類用戶用電高峰多集中在夜間，這表明，相較于前三類用戶，第四類用戶需求側(cè)管理的潛力更大。

表2 典型日負(fù)荷曲線聚類中心特征總結(jié)Table 2 Summary of typical daily load curve clustering center characteristics

4 結(jié)論

(1)提出基于MDS-KICIC的電力負(fù)荷聚類方法，首先采用MDS降低負(fù)荷數(shù)據(jù)的維數(shù)，對負(fù)荷數(shù)據(jù)的低維特征進(jìn)行提取，并通過特征值向量確定KICIC的權(quán)重向量，減少迭代計算的次數(shù)，最后結(jié)合KICIC算法獲得最終聚類結(jié)果。算例研究表明，本文算法與傳統(tǒng)的K-means、MDS-WK-means以及KICIC聚類方法相比，本文所提方法可充分考慮數(shù)據(jù)的簇內(nèi)和簇間距離，進(jìn)一步提高聚類的質(zhì)量和效率，并對不同類簇的用戶用電特征進(jìn)行分析，有助于電網(wǎng)進(jìn)行負(fù)荷建模、負(fù)荷特性模擬和需求側(cè)響應(yīng)等工作。

(2)通過本文方法對負(fù)荷類型分析可知，愛爾蘭某地區(qū)存在4種不同的用電類型，分別是雙峰型、平峰型、單峰型和錯峰型，這也符合國內(nèi)部分地區(qū)負(fù)荷曲線的走勢。其中平峰型的需求側(cè)管理的潛力較小，錯峰型的需求側(cè)管理潛力較大，錯峰型用戶更有利于解決不同類用戶間的需求側(cè)管理。

針對海量化的數(shù)據(jù)，考慮到高維數(shù)據(jù)同時具有不同類簇的特征，因此在后續(xù)的研究中可以通過對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行修改以適應(yīng)復(fù)雜的簇結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步提升算法的應(yīng)用領(lǐng)域范圍。