奉佳

（長(zhǎng)沙市動(dòng)植物疫病預(yù)防控制中心，湖南 長(zhǎng)沙 410000）

狂犬病是一種由狂犬病病毒引起的急性致死性腦炎疾病，家畜和狐貍等野生動(dòng)物可以發(fā)生狂犬病病毒的自然感染與傳播，并且能夠通過(guò)抓傷、咬傷等形式感染人而引起死亡。據(jù)世界衛(wèi)生組織（WHO）數(shù)據(jù)表明，每年全球約有5.9 萬(wàn)人死亡于狂犬病[1]，非洲和亞洲等發(fā)展中國(guó)家面臨最沉重的人類(lèi)狂犬病負(fù)擔(dān)。我國(guó)是狂犬病危害較為嚴(yán)重的國(guó)家之一，將該病列為二類(lèi)動(dòng)物疫病[2]。目前，國(guó)內(nèi)外常用的狂犬病風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估方法主要包括臨床診斷、實(shí)驗(yàn)室檢測(cè)、動(dòng)力學(xué)模型等方式。其中，基于人工智能等技術(shù)建立的預(yù)測(cè)模型具有高效、準(zhǔn)確、可持續(xù)等特點(diǎn)，可以根據(jù)暴露風(fēng)險(xiǎn)情況以及防護(hù)措施等信息，計(jì)算出人或動(dòng)物的狂犬病感染風(fēng)險(xiǎn)值，為狂犬病預(yù)防控制提供決策參考。本文總結(jié)國(guó)內(nèi)外狂犬病動(dòng)力學(xué)模型的研究進(jìn)展，為傳染病動(dòng)力學(xué)模型在狂犬病防控中的有效應(yīng)用提供參考。

1 動(dòng)力學(xué)模型

動(dòng)力學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)模型，用于描述系統(tǒng)隨時(shí)間發(fā)展的規(guī)律和變化趨勢(shì)。在這種模型中，系統(tǒng)被視為由多個(gè)組成部分相互作用而形成的整體，每個(gè)組成部分可以呈現(xiàn)不同的狀態(tài)，并且這些狀態(tài)會(huì)隨著時(shí)間不斷變化。通過(guò)對(duì)系統(tǒng)組成部分之間的相互關(guān)系、作用方式和演化規(guī)律進(jìn)行建模，可以預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來(lái)的行為，并進(jìn)一步探索如何影響系統(tǒng)的行為，從而實(shí)現(xiàn)控制或優(yōu)化系統(tǒng)的目標(biāo)。

動(dòng)力學(xué)模型廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域，包括自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和工程技術(shù)等。例如，在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中，動(dòng)力學(xué)模型可被用于研究疾病傳播的機(jī)理和控制方法；在制造業(yè)中，動(dòng)力學(xué)模型可被用于優(yōu)化生產(chǎn)流程和提高生產(chǎn)效率；在自然科學(xué)領(lǐng)域中，動(dòng)力學(xué)模型可被用于研究物理規(guī)律；在社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域中，動(dòng)力學(xué)模型可被用于分析人類(lèi)社會(huì)的行為與演化、群體決策、經(jīng)濟(jì)與金融市場(chǎng)等問(wèn)題。由于其強(qiáng)大的預(yù)測(cè)和分析能力，動(dòng)力學(xué)模型在各種科學(xué)研究和實(shí)際應(yīng)用中扮演著重要角色。

2 傳染病動(dòng)力學(xué)模型

傳染病動(dòng)力學(xué)模型是一種應(yīng)用于傳染病研究的動(dòng)力學(xué)模型。它通過(guò)數(shù)學(xué)方式描述了傳染病在人群中的傳播規(guī)律和趨勢(shì)，可以用于預(yù)測(cè)疫情的發(fā)展態(tài)勢(shì)、分析傳染病暴發(fā)的原因和機(jī)制，以及評(píng)估不同防控策略的效果。1760 年，Bernoulli[3]首次用微分方程等數(shù)學(xué)方法研究了天花的傳播，并推薦使用天花預(yù)防接種來(lái)減少死亡率，被認(rèn)為是傳染病動(dòng)力學(xué)模型的雛形之一。1906 年，Hamer[4]使用離散時(shí)間的方法對(duì)麻疹流行情況進(jìn)行建模，被認(rèn)為早期流行病動(dòng)力學(xué)研究中重要里程碑之一。1911 年，Ross[5]使用微分方程研究瘧疾傳播并發(fā)現(xiàn)基本再生數(shù)，引起當(dāng)時(shí)流行病學(xué)專(zhuān)家和公共衛(wèi)生工作者廣泛關(guān)注和重視。1927 年，Kermack[6]和Mckendrick[7]構(gòu)建黑死病SIR模型；1932 年，他們又提出了SIS 模型以及“閾值理論”，為傳染病動(dòng)力學(xué)建模奠定了基礎(chǔ)。1987 年，May RM 和Anderson RM[8]引入R0 概念來(lái)描述感染力和傳播速度。20 世紀(jì)80 年代以來(lái)，計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)據(jù)可用性逐步得到普及，使得疾病模擬和預(yù)測(cè)更加精確。21 世紀(jì)至今，隨著大數(shù)據(jù)、機(jī)器學(xué)習(xí)等技術(shù)的快速發(fā)展，傳染病動(dòng)力學(xué)建模和預(yù)測(cè)正逐漸實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化和個(gè)性化，為防疫干預(yù)提供了更多有力工具。當(dāng)前，根據(jù)動(dòng)物傳播的特點(diǎn)和途徑，可以分類(lèi)為SI模型、SIS 模型、SIR 模型、SEIR 模型等多個(gè)類(lèi)型。

2.1 SI 模型

SI 模型只適用于那些只有一個(gè)傳染源、沒(méi)有防疫措施和免疫力的簡(jiǎn)單場(chǎng)景。該模型將人群分為兩類(lèi)：易感者（S）和感染者（I），且所有感染者在疾病治愈后不會(huì)獲得任何免疫力，仍然處于易感狀態(tài)。2021 年，Pellis 等[9]提出了時(shí)變SI 模型，考慮了檢測(cè)和隔離等流行病防控措施對(duì)模型的影響，特別是在新冠肺炎等傳染病的疫情中具有重要意義。研究結(jié)果表明，時(shí)變SI 模型能夠較好地描述疫情的發(fā)展和傳播過(guò)程；同時(shí)，檢測(cè)和隔離等干預(yù)措施對(duì)減緩疫情的蔓延有著顯著作用。但SI 模型本身并不包含免疫力的因素，即所有個(gè)體都是易感染狀態(tài)，且感染后無(wú)法恢復(fù)到易感狀態(tài)。因此，在實(shí)際研究中需要根據(jù)具體問(wèn)題選用適當(dāng)?shù)膫魅静∧Ｐ蛠?lái)進(jìn)行分析。

2.2 SIS 模型

SIS 模型只區(qū)別兩種狀態(tài)：易感者（S）和感染者（I）。較常見(jiàn)的使用場(chǎng)景是對(duì)一些發(fā)作周期較短、傳播途徑較復(fù)雜且有群體免疫效應(yīng)的慢性傳染?。ㄈ绡懠病⒘懿?、乙型肝炎等）進(jìn)行分析。

2020 年，Eggo 等[10]利用基于時(shí)間的SIS 模型估計(jì)了傳播異質(zhì)性，并應(yīng)用于COVID-19 疫情預(yù)測(cè)。通過(guò)模型的預(yù)測(cè)和分析，發(fā)現(xiàn)COVID-19 的傳播呈現(xiàn)出明顯的異質(zhì)性特征，即少數(shù)的感染者對(duì)疫情的傳播起到了主導(dǎo)作用。這項(xiàng)研究揭示了在某些流行病學(xué)背景下SIS 模型在傳播異質(zhì)性估計(jì)方面的應(yīng)用價(jià)值。對(duì)于今后的COVID-19 或其他傳染病研究，SIS 模型及其擴(kuò)展仍然具有重要作用。

2.3 SIR 模型

SIR 模型簡(jiǎn)單有效，主要考慮三類(lèi)人群：易感者（S）、感染者（I）和康復(fù)者（R）。模型假定，易感者被感染后進(jìn)入感染者狀態(tài)，一段時(shí)間后又轉(zhuǎn)化為康復(fù)者或去世。該模型常用于描述不具備生態(tài)學(xué)變異的急性傳染病(如天花、麻疹、鉤端螺旋體病、基本性霍亂等)的流行規(guī)律。

2021 年，Bagheri 等[11]提出了一種改進(jìn)的SIR模型，用于研究COVID-19 等傳染病的傳播特性。與傳統(tǒng)SIR 模型不同的是，該模型考慮了感染風(fēng)險(xiǎn)因素的非對(duì)稱(chēng)性，即易感者和感染者之間的交互不同于感染者和康復(fù)者之間的交互。此外，該模型還引入了一個(gè)時(shí)間變量來(lái)衡量感染風(fēng)險(xiǎn)的變化，從而能夠更精確地預(yù)測(cè)傳染病的傳播趨勢(shì)。

2.4 SEIR 模型

SEIR 模型是在SIR 模型基礎(chǔ)上增加了潛伏期（Exposed），即病毒感染后患者被隔離前的、無(wú)法傳染給他人但仍存在病毒生命期的階段。該模型在研究對(duì)策和疾病控制方面更具有實(shí)際意義。

2021 年，Wu 等人的文獻(xiàn)[12]利用SEIR 模型估計(jì)了COVID-19 在早期時(shí)期的基本再生數(shù)和流行規(guī)模。通過(guò)模型的預(yù)測(cè)和分析，發(fā)現(xiàn)COVID-19 在早期時(shí)期的基本再生數(shù)為3.57，即每一個(gè)感染者平均可以傳染3.57 個(gè)人。這項(xiàng)研究說(shuō)明了SEIR 模型在COVID-19 流行病學(xué)研究方面的重要性，并揭示了早期防控措施對(duì)疫情發(fā)展的重要作用。

3 狂犬病動(dòng)力學(xué)模型

狂犬病的動(dòng)力學(xué)模型通常采用SIR（易感者感染者—康復(fù)者）或SEIR（易感者—潛伏期感染者—傳染性感染者—康復(fù)者）模型來(lái)描述人群中狂犬病病毒的傳播和流行。

3.1 SIR 模型

2002 年，Cleaveland 等[13]利用SIR 模型分析了在撒哈拉以南非洲農(nóng)村社區(qū)實(shí)施的狂犬病疫苗接種計(jì)劃對(duì)狂犬病傳播和人犬咬傷傷害發(fā)生率的影響。研究發(fā)現(xiàn)，狂犬病疫苗接種廣泛普及后，疫苗覆蓋率從零上升到了約70%，明顯改變了人犬接觸的模式，并大幅降低了狂犬病的發(fā)生率，為類(lèi)似的狂犬病干預(yù)措施提供了重要的理論和實(shí)踐意義。2007年，Liang 等[14]基于SIR 模型的狂犬病傳播模型考慮到狂犬病在感染者死亡時(shí)會(huì)導(dǎo)致其潛伏期中的感染物質(zhì)進(jìn)入環(huán)境中，從而增加了狂犬病的擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)。還考慮了人類(lèi)接種疫苗對(duì)狂犬病傳播的影響，并通過(guò)穩(wěn)定性分析和敏感性分析探討了不同參數(shù)對(duì)模型行為的影響，為基于SIR 模型的狂犬病傳播模型提供了一個(gè)有用的框架，以進(jìn)一步探索和理解狂犬病的流行規(guī)律和防治策略。2012 年，Zhuojun Li等[15]基于隨機(jī)SIRS 模型的狂犬病傳播模型來(lái)研究中國(guó)地區(qū)狂犬病的流行情況。該模型考慮到人類(lèi)和動(dòng)物之間的相互作用，同時(shí)考慮了疫苗接種率等因素。研究表明，該模型可以較好地?cái)M合中國(guó)地區(qū)狂犬病的傳播趨勢(shì)，包括不同年份、地區(qū)的流行病學(xué)特征等。同時(shí)，該模型還在估算動(dòng)物疫苗覆蓋率、人類(lèi)疫苗接種率等方面具有重要意義。2014 年，Jing An 和Yongzheng Sun[16]建立了一個(gè)基于SIR 模型的狂犬病傳播模型，并考慮了人類(lèi)接種疫苗、動(dòng)物控制等防治策略。該模型包括兩個(gè)不同的傳播途徑：一是狂犬病在野生動(dòng)物群體之間的傳播，另一個(gè)則是狂犬病在家庭寵物和人類(lèi)之間的傳播。通過(guò)數(shù)學(xué)分析，推導(dǎo)出了該模型的解析解和參數(shù)敏感性分析，以探討不同因素對(duì)狂犬病傳播過(guò)程的影響。2019 年，Keita 等[17]考慮到了狂犬病在家犬群體中的傳播方式，并根據(jù)巴馬科的實(shí)際狂犬病疫情數(shù)據(jù)建立SIR 模型。該模型通過(guò)參數(shù)敏感性分析和不同防治措施的模擬結(jié)果來(lái)預(yù)測(cè)和評(píng)估狂犬病的疫情變化規(guī)律及其影響因素，為更好地掌握和預(yù)測(cè)狂犬病在獸醫(yī)學(xué)和公共衛(wèi)生方面的流行趨勢(shì)提供了重要的理論和實(shí)踐基礎(chǔ)。

3.2 SEIR 模型

2012 年，Allen 等[18]使用了一個(gè)基于SEIR 模型的實(shí)時(shí)應(yīng)急分析系統(tǒng)來(lái)對(duì)中國(guó)某地區(qū)發(fā)生的狂犬病疫情進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。采用卡爾曼濾波和概率傳染病建模技術(shù)，快速獲取現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)、計(jì)算估計(jì)值、識(shí)別風(fēng)險(xiǎn)因素，并實(shí)施實(shí)時(shí)干預(yù)措施，以達(dá)到及時(shí)評(píng)估、抑制和消除疾病擴(kuò)散的目的。2015 年，Jia Li 等[19]建立基于SEIR 模型的狂犬病傳播模型，考慮到了中國(guó)地理空間和人口不均勻分布等特點(diǎn)。采用空間擴(kuò)散函數(shù)對(duì)不同地區(qū)之間的流動(dòng)進(jìn)行描述，并使用貝葉斯方法來(lái)校正模型參數(shù)和預(yù)測(cè)疾病傳播趨勢(shì)。2018 年，Trindade 等[20]利用SEIR 模型模擬了巴西北部地區(qū)狂犬病的流行和傳播情況，并對(duì)疫苗接種和調(diào)控措施進(jìn)行了評(píng)估和優(yōu)化。研究證實(shí)了SEIR 模型在揭示狂犬病流行規(guī)律和評(píng)估防治措施方面的應(yīng)用潛力。2020 年，Tian 等[21]基于SEIR 模型，對(duì)中國(guó)農(nóng)村地區(qū)家犬種群中狂犬病的傳播動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了建模和分析，同時(shí)考慮了人口遷移、動(dòng)物死亡等復(fù)雜性因素。使用近20 年的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)和現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查結(jié)果來(lái)評(píng)估模型，通過(guò)參數(shù)敏感性分析和模擬實(shí)驗(yàn)，探討了不同控制措施對(duì)疫情傳播的影響。為了解中國(guó)農(nóng)村地區(qū)狂犬病傳播動(dòng)力學(xué)提供了重要依據(jù)，同時(shí)也為制定和實(shí)施有效的防治措施提供了科學(xué)依據(jù)。

4 結(jié)論

狂犬病是一種由病毒引起的致死性傳染病，對(duì)人和動(dòng)物造成威脅。許多學(xué)者利用數(shù)學(xué)模型探究其傳播規(guī)律和防治策略，狂犬病動(dòng)力學(xué)模型得到不斷發(fā)展。利用動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)研究狂犬病模型，有助于理解狂犬病的傳播機(jī)理、認(rèn)識(shí)其內(nèi)在規(guī)律。這些模型能夠通過(guò)刻畫(huà)狂犬病的傳播機(jī)理來(lái)反映相關(guān)狂犬病的傳播過(guò)程，使人們清晰地領(lǐng)悟到狂犬病傳播中基本規(guī)律。通過(guò)分析模型的狀態(tài)來(lái)研究疾病的傳染路徑和特性，能夠?yàn)楦深A(yù)措施的選擇提供理論依據(jù)，進(jìn)而在模型的基礎(chǔ)上通過(guò)模擬可以探索出狂犬病的變化發(fā)展趨勢(shì)，揭示狂犬病流行的規(guī)律。最后通過(guò)對(duì)比分析，提出有效的預(yù)防和控制手段，從而做好相關(guān)的防護(hù)措施。總之，動(dòng)力學(xué)模型為我們提供了狂犬病傳播規(guī)律和防治策略的參考，但在實(shí)際中應(yīng)根據(jù)具體情況選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ筒⒔Y(jié)合其他防疫手段。