李艷，李坤燕*，李法朝，*，靳晨霞

（1.河北科技大學(xué) 理學(xué)院，河北 石家莊 050018；2.河北科技大學(xué) 經(jīng)濟管理學(xué)院，河北 石家莊 050018）

0 引言

自1982年波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak［1］提出粗糙集（稱之為經(jīng)典粗糙集）概念以來，學(xué)者們結(jié)合不同的背景推廣了粗糙集模型，并取得了諸多成功的應(yīng)用。在理論研究方面，文獻［2-3］針對經(jīng)典粗糙集模型不能直接處理具有連續(xù)屬性值的大規(guī)模數(shù)據(jù)集問題，結(jié)合具體案例分析指出，無論采用何種方式的數(shù)據(jù)離散化方法，均可能導(dǎo)致關(guān)鍵信息丟失、數(shù)據(jù)過渡擬合、結(jié)論失真等現(xiàn)象；文獻［4］將經(jīng)典粗糙集模型中的等價關(guān)系推廣為相似關(guān)系，提出了基于相似關(guān)系的粗糙集模型；文獻［5-6］將經(jīng)典粗糙集模型中的等價關(guān)系和目標(biāo)集推廣為模糊等價關(guān)系和模糊集，提出了粗糙模糊集模型和模糊粗糙集模型，為模糊環(huán)境下的數(shù)據(jù)處理奠定了基礎(chǔ)；文獻［7］提出了覆蓋粗糙集模型，在一定程度上解決了基于相似關(guān)系的粗糙集模型不能有效處理關(guān)聯(lián)對象之間的傳遞性問題；文獻［8］針對研究對象的重要性不同，提出了概率空間上的粗糙集模型，給出了粗糙模糊集在概率近似空間上的粗糙性度量模式，為構(gòu)建數(shù)據(jù)價值不同的數(shù)據(jù)決策方法提供了一種理論支撐；文獻［9］針對經(jīng)典粗糙集模型缺乏抗噪音能力和容錯性差等問題，以集合之間的包含程度為基礎(chǔ)，提出了具有良好可解釋性的變精度粗糙集模型；文獻［10］提出了三類基于邊界域的變精度粗糙集模型；文獻［11］以覆蓋為基礎(chǔ)，對變精度粗糙直覺模糊集進行研究；文獻［12］針對現(xiàn)實世界中多個論域之間信息分類和屬性約簡問題，提出了U×W型雙論域變精度粗糙集模型；文獻［13］將結(jié)構(gòu)化技術(shù)用于變精度粗糙集模型，提出結(jié)構(gòu)化變精度粗糙集模型；文獻［14］為了提高對混合型數(shù)據(jù)的抗噪能力，提出一種混合信息系統(tǒng)的變精度粗糙集模型，并進一步提出對象增加和減少時的動態(tài)變精度粗糙集模型。在應(yīng)用方面，學(xué)者們圍繞數(shù)據(jù)挖掘、模式識別等領(lǐng)域存在的現(xiàn)實問題開展了深入的研究，其中最具代表性的應(yīng)用是屬性約簡。文獻［15］以某種鄰域體系下的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特征不變?yōu)榛鶞?zhǔn)，提出了一種基于鄰域粗糙集的屬性約簡方法；文獻［16］通過引入局部等價類的概念，提出了一種稱為雙局部粗糙集的增強局部粗糙集框架；文獻［17］結(jié)合粗糙集和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，提出基于公差關(guān)系的粗糙集理論，并利用近似分類質(zhì)量不變的條件，提供屬性歸約算法；文獻［18］提出了一種基于模糊粗糙集的廣義無監(jiān)督混合屬性約簡模型；文獻［19］在區(qū)間值決策系統(tǒng)中的β分布約簡基礎(chǔ)上提出了基于差別矩陣的特定類β分布約簡算法；文獻［20］在辨識矩陣的輔助下研究了具體度量偏好直覺模糊序決策信息系統(tǒng)下的分布約簡方法；文獻［21］提出了一種改進的概率復(fù)合粗糙集模型及分布屬性約簡方法；文獻［22］通過將Pawlak決策系統(tǒng)中的等價關(guān)系擴展到區(qū)間值決策系統(tǒng)中的相容關(guān)系，提出了區(qū)間值決策系統(tǒng)的分布約簡目標(biāo)；文獻［23］以某種粗糙精度下的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特征不變?yōu)榛鶞?zhǔn)，提出了一種基于變精度粗糙集的屬性約簡方法；文獻［24］將決策表中相同決策規(guī)則出現(xiàn)的次數(shù)作為權(quán)，提出了帶權(quán)的決策表的概念，通過辨識矩陣給出了帶權(quán)決策表的變精度約簡算法；文獻［25］提出了一種基于最小誤分類程度的變精度模糊粗糙集模型，以誤分代價不變?yōu)闇?zhǔn)則，給出了一種啟發(fā)式屬性約簡算法。

綜合上面的文獻概述可以得到：1）以包含度為基礎(chǔ)的相關(guān)理論可以有效地描述數(shù)據(jù)決策、數(shù)據(jù)處理問題中的不確定性特征；2）變精度粗糙集模型是最具應(yīng)用價值的數(shù)據(jù)處理工具；3）在粗糙集的逼近性能方面，雖然有關(guān)于錯誤價值的一些研究，但缺乏對“錯找到”和“未找到”的兩類錯誤價值的系統(tǒng)化討論。由于現(xiàn)實中的數(shù)據(jù)集大都存在不同形式的不確定性（如：數(shù)據(jù)采集的隨機波動性、數(shù)據(jù)的不完備性、屬性值的模糊性），且“錯找到”和“未找到”的兩類錯誤在數(shù)據(jù)決策過程中的作用價值不同，因而，構(gòu)建包容“錯找到”和“未找到”兩類錯誤價值的粗糙性度量用以體現(xiàn)或確定變精度意義下的最佳粗糙集具有廣泛應(yīng)用價值。本文以尋求目標(biāo)集的數(shù)據(jù)決策問題為應(yīng)用面向，以目標(biāo)集無法準(zhǔn)確描述的數(shù)據(jù)集為研究對象，以構(gòu)建不確定環(huán)境下具有結(jié)構(gòu)特征和可解釋性的數(shù)據(jù)處理方法為宗旨，以變精度粗糙集模型中的上（下）近似集作為目標(biāo)集的描述策略，主要做了以下幾個方面的工作：1）以“未找到”和“錯找到”兩類偏差的效用不同為背景，構(gòu)建一種包含偏差價值的效用誤差度量模式（簡記為UE）；2）討論了UE模式下的上（下）近似集的逼近性能，給出了最佳上（下）近似集和最佳粗糙精度的具體刻劃模式；3）結(jié)合具體算例進一步分析了最佳上（下）近似集的特征。

1 預(yù)備知識

在為了敘述方便，本文約定：1）U={u1，u2，…，un}為有限論域；2）|C|表示有限集合 C 中的元素個數(shù)；3）對于U 上的等價關(guān)系R（即 R∈U×U且滿足：i）(x，x)∈R對任何x∈U恒成立；ii）(x，y)∈ R ?(y，x)∈ R；iii）當(dāng) (x，y)∈ R，(y，z)∈ R 時，必有 (x，z)∈ R），[x]R={y|(x，y)∈ R}表示 x的R等價類，U/R={[x]R|x∈U}，并稱(U，R)為一個近似空間；4）對X，Y?U，X≠?，稱

為X包含于Y的程度。

定義1［1］設(shè)U為有限論域，(U，R)為一個近似空間，X?U，X≠?，

定義2［4］設(shè)U為有限論域，(U，R)為一個近似空間，β ∈(0.5，1]。稱

為X關(guān)于(U，R)的β下近似集；稱

為X關(guān)于(U，R)的β上近似集。

在粗糙集理論中，通常稱定義2為變精度粗糙集模型（其中的β稱之為粗糙精度，X稱之為目標(biāo)集）。不難看出：

2 基于錯誤效用的近似性度量

在尋找某種特定事物的過程中，經(jīng)常會面對“未找到”和“錯找到”兩種不同的困境。比如，在病情診斷過程中，經(jīng)常會遇到“無法確診患者病情”和“誤診患者病情”兩種困境；在規(guī)劃模型的求解過程中，經(jīng)常會遇到“無法設(shè)計出適當(dāng)?shù)那蠼馑惴ā焙汀霸O(shè)計了錯誤的求解算法”兩種困境；在數(shù)據(jù)處理過程中，經(jīng)常會遇到“數(shù)據(jù)缺失”和“噪音干擾”兩種困境；在命題型專業(yè)技能測試過程中，經(jīng)常會遇到“不會做”和“做錯了”兩種困境。不難看出，上述問題在現(xiàn)實中廣泛存在，其中的一個核心問題是兩種不同困境在后續(xù)工作中的作用（或影響）是不同的。

若將上述問題中的某種特定事物視為某論域U上的一個集合，Y表示X的近似描述，那么“未找到”即可表示為X?Y（稱之為Ⅰ型偏差），“錯找到”即可表示為Y?X（稱之為II型偏差）。由于Ⅰ型偏差和Ⅱ型偏差在眾多諸如數(shù)據(jù)決策、理療水平評估問題中的效用不同，因而，若用w和1?w分別表示Ⅰ型偏差和Ⅱ型偏差的效用權(quán)重（其中w∈[0， 1]），那么

即為Y關(guān)于X的一種體現(xiàn)偏差效用的近似性度量。

不難看出，在考慮多個對象集Y關(guān)于一個目標(biāo)集X的逼近性能時，H(X，Y， w)與具有相同的作用效果，但在考慮不同的對象集Y關(guān)于多個目標(biāo)集X的綜合逼近性能時，以H(X，Y， w)和?(X，Y， w)作為基本度量模式的度量結(jié)果卻存在本質(zhì)的不同，而 H(X，Y， w)對應(yīng)的度量結(jié)果更具有統(tǒng)計意義下的合理性。由于在數(shù)據(jù)決策和數(shù)據(jù)挖掘過程中經(jīng)常要同時兼顧多個不同的目標(biāo)集，因而，本文將以（6）作為度量模式來分析變精度上（下）近似集的逼近性能，為進一步構(gòu)建兼顧錯誤價值的數(shù)據(jù)決策（數(shù)據(jù)挖掘）方法提供一種理論依據(jù)。下面給出UE的一些基本性質(zhì)。

3 UE模式下的最佳下近似集

本部分和第4部分主要討論以UE為度量模式的變精度粗糙集的逼近性能。其基本思想是以UE為基礎(chǔ)來分析何種粗糙精度的上（下）近似集具有較好的逼近性能。對X?U，X≠?，β ∈(0.5， 1]，若記

定理2 設(shè)(U，R)為近似空間，U/R={U1，U2，…，Um}，X ? U，X ≠ ?，β ∈(0.5， 1]，w∈[0，1]，αi=D(Ui? X)，i∈{1，2，…，m}，(U/R，X，(0.5，1))={Ui|i∈{1，2， …， m} }且 0.5<αi<1。

2.1 ） 當(dāng) w<0.5 且存在 s∈{ 1， 2， …， r } 使 得 αs?1<1? w ≤ αs時 ，H(X，(X，β)，w)=H(X，(X，1?w)，w ) 對 任 何 β ∈(αs?1， αs] 恒 成 立 ， 且 H(X，(X，1 ? w)，w)=

2.2 ） 當(dāng) w<0.5 且不存在 s∈{ 1， 2， …， r }使 得 αs?1<1?w≤αs時 ，H(X，(X，β)，w)=H(X，(X，1?w)， )w 對任何 β∈(αr， 1]恒成立，且

2.2 ） 由 不 存 在 s∈{1，2，…，r} 使 得 αs?1<1?w≤ αs成 立 可 知 αk<1?w 對 任 何k∈{1，2，…，r}，恒 成 立 ，由此及引理 1 可 得(R， X， β)>0 對 任 何 β ∈(0.5， 1]恒 成 立 ，H(X，(X， 1 ? w)， w)= min{H(X，(X， β)， w)|0.5< β ≤ 1}。

2.3 ） 由 w≥0.5可 知 αk>1?w 對 任 何 k∈{ 1， 2，…， r }恒 成 立 ，由 此 及 引 理 1可 得 ：①(R， X， β)<0 對 任 何 β ∈(0.5，1]恒 成 立 ；②(R，X，β)關(guān) 于 β 在 (0.5，1]上 單 調(diào) 不 減 ；③H(X，(X，β)，w)=H(X，(X，α1)，w)對 任 何 β ∈(0.5，α1]恒 成 立 ；④ H(X，(X， α1)， w)=min{H(X，(X， β)， w)|0.5< β ≤ 1}。

定理2給出了各種情形下逼近效果最佳的下近似集以及相對應(yīng)的粗糙精度范圍。若記Best((X， β))? min{H(X，(X， β)， w)| 0.5< β ≤ 1}（即 X 關(guān)于近似空間(U，R)的逼近效果最佳的下近似集，簡稱為最佳下近似集），并采用定理2的相關(guān)符號約定，則定理2可以系統(tǒng)地表述為：

4 UE模式下的最佳上近似集

2.1 ） 由 αs≤1?w<αs+1可知 αk≤1?w 對任何 k∈{1，2，…，s}恒成立，αk>1?w 對任何k∈{s+1，s+2，…， r}恒成立 ，由 此 及 引 理 2 可得：① 當(dāng) 1?β∈[0，α1)（即 β∈(1?α1，1]）時，(U/R， X， β)={Ui|i∈{1， 2，…， m} 且 0< αi≤ 1? β }=?，(R， X， β)=0；② 當(dāng) 1 ? β ∈[αk，αk?1)（即 β ∈(1 ? αk+1，1 ? αk]），k∈{1，2，…，r}時，

2.2 ） 由不存在 s∈{1，2，…，r}使得 αs≤1? w< αs+1成立可知 αk>1?w（即 αk+w? 1>0）對 任 何 k∈{ 1， 2， …， r } 恒 成 立 ，由此及引理2可得知(R， X， β)=H(X，(X， β)， w)?H(X，(X， 1)， w)>0 對任何 β∈(0.5，1]恒成立，H(X，(X，w)，w)=min{H(X，(X，β)，w)|0.5<β≤1}。

2.3 ） 由w≤0.5可知αk<1?w（即αk+w?1<0）對任何k∈{1，2，…，r}恒成立，由此及引理2 可 得 ：①(R，X，β)=H(X，(X，β)，w)? H(X，(X，1)，w)<0 對 任何 β∈(0.5，1]恒 成 立 ；②(R，X，β)關(guān)于 1-β 在[0，0.5]上單調(diào)不減（即關(guān)于 β 在 ( 0.5， 1 ]上單調(diào)不增）；③ H(X，(X， 1?αr)， w)=H(X，(X， β)， w) 對任何 1? β ∈[αr，0.5)（ 即 β ∈(0.5，1? αr]） 恒成立 ； ④H(X，(X， 1 ? α1)， w)=min{H(X，(X， β)， w)|0.5< β ≤ 1}。

綜合上面的分析可以看出，在UE模式下，目標(biāo)集X的最佳上（下）近似集與效用權(quán)重密切相關(guān)、且均具有具體的表示形式。由于效用權(quán)重是刻劃偏差處理意識的參數(shù)，在具體的數(shù)據(jù)決策（數(shù)據(jù)處理）問題中可以認為是事先給定的數(shù)值，因而，定理2和定理3在本質(zhì)上解決了最佳上（下）近似集的計算問題。

5 算例分析

本部分將結(jié)合一個具體算例來進一步分析不同粗糙精度的上（下）近似集的逼近性能。

其具體取值如表1。

由表1、定理2和定理3可知：

3） X1和X2的幾種不同偏差效用下的最佳上（下）近似集如表2和表3；4）X1和X2的幾種不同偏差效用和不同粗糙精度下的上（下）近似集效用誤差如表4。

自表2―4可以看出：

1） 最佳上（下）近似集隨著偏差效用的變化而變化，甚至有較大的差異（比如：w=0.2時，Best((X2， β ))=U7；w=0.8 時，Best((X2， β ))=U3∪ U6∪ U7∪ U8∪ U9）；

2） 不同的偏差效用對應(yīng)的最佳上（下）近似集可能相同，但對應(yīng)的效用誤差不同（比如，w=0.4 與 w=0.6 時 ， 都有(X1，β?)=U1∪U4∪U6∪U8∪U9，但 H(X1，(X1，β?)，0.4)=0.23，H(X1，(X1，β?)，0.6)=0.22）；

3） 相同偏差效用下，同一集合的最佳上近似集和最佳下近似集的粗糙精度不一定相同（比如，w=0.5 時，

4） 對于給定的偏差效用，最佳上（下）近似集的效用誤差一定是最小的（比如：

上述事實進一步反映了效用粗糙集的特征以及最佳上（下）近似集的有效性，與第4-5部分的理論分析完全一致。

6 結(jié)論

本文針對變精度粗糙集的逼近性能問題，以“錯找到”和“未找到”的作用價值不同為背景，建立了一種集合的效用誤差（UE）度量模式，討論了UE模式下變精度粗糙集的逼近性能，給出了不同情況下的最佳上（下）近似集的具體形式及確定步驟，同時給出了最佳粗糙精度的范圍，最后結(jié)合具體算例分析了上（下）近似集的變化特征。理論分析和實例計算表明，UE具有良好的結(jié)構(gòu)特征和可解釋性，可以簡捷地將誤差效應(yīng)融入到度量體系中。由于數(shù)據(jù)集之間的差異性度量是不確定環(huán)境下的數(shù)據(jù)決策必須面對的問題，因而，本文的討論不僅在一定程度上豐富了現(xiàn)有的相關(guān)理論，而且在數(shù)據(jù)挖掘、資源管理、模式識別等眾多領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用價值。但值得注意的是本文的討論僅適用于一個目標(biāo)集的情形，而對于多個目標(biāo)集的情況，可以結(jié)合各目標(biāo)集的特征，通過各目標(biāo)集的綜合效用誤差度量來考慮最佳逼近問題。該方面的工作將另行文討論。