孫慶芳

所謂的“數(shù)學概念”學習理論，一是指教師要理解核心概念、數(shù)學理念、編寫意圖等數(shù)學概念要素，弄清楚它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，充分利用配套資源，提高備課質(zhì)量和效率，減輕備課壓力，提高課堂教學質(zhì)量。二是指教師要充分理解《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）中的理念，培養(yǎng)學生 “會用數(shù)學的眼光觀察世界，會用數(shù)學的思維分析世界，會用數(shù)學的語言描述世界”。只有把這些最基礎(chǔ)的、最核心的數(shù)學概念、數(shù)學思想內(nèi)化成教學本能，教師專業(yè)水平向上發(fā)展的空間才能打開，學生的可持續(xù)學習和發(fā)展才能得到基本保障，才能真正實現(xiàn)教學相長的良性發(fā)展。當教師腦海中有了數(shù)學概念的引領(lǐng)，我們的數(shù)學課就有了靈魂，就有了方向。下面以北師大版數(shù)學教材為例，通過不同教學設(shè)計策略的比較，來解析如何在數(shù)學概念指導下進行教學設(shè)計。

一、以數(shù)量關(guān)系發(fā)展學生的數(shù)學思維

要弄清最基礎(chǔ)的、最核心的數(shù)學概念和數(shù)學思想，我們就要從源頭上進行研究，即“數(shù)學”是什么？新課標在開篇就明確指出：“數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學?！边@一看似簡單的定義，整體把握住了學習數(shù)學的出發(fā)點和目標。“數(shù)學”定義的高度概括，充分展現(xiàn)其高度的抽象性和廣泛的應用性，這就賦予了小學數(shù)學教學一項根本任務(wù)，即營造安全寬松的學習環(huán)境，引領(lǐng)學生感悟所處空間及事物間的數(shù)量關(guān)系。

數(shù)量關(guān)系指的是數(shù)字與數(shù)字之間、數(shù)字與未知數(shù)之間、未知數(shù)與未知數(shù)之間的等量、大小等關(guān)系。數(shù)量關(guān)系是最基礎(chǔ)的數(shù)學概念，在實際教學中，很多教師采取的教學設(shè)計只關(guān)注規(guī)律的獲得，卻忽視了分析數(shù)量關(guān)系的方法和經(jīng)驗的理解與積累，這對發(fā)展學生的數(shù)學思維來說是不利的。

例如，有一位教師在教學北師大版數(shù)學教材五年級上冊“圖形中的規(guī)律”的課始階段進行了如下設(shè)計。

首先，引入新知，揭示課題。

課件演示：用小棒擺1個三角形，要幾根小棒？（3根）擺2個三角形，要幾根小棒？（6根）如果擺n個三角形，要幾根小棒？（3n根）

導入：這節(jié)課我們通過擺小棒的方式共同探究一些圖形中的規(guī)律。

揭題：圖形中的規(guī)律。

其次，組織探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

師：下面，我們來探究三角形的規(guī)律。剛才用6根小棒擺成兩個三角形，現(xiàn)在只給你5根小棒，能擺出兩個三角形嗎？說說為什么可以節(jié)省1根小棒？這根小棒到哪兒去了？由于這根小棒被兩個三角形公用了，因此我們把這根小棒所組成的這條邊叫做兩個三角形的公共邊。

師：如果換一種方法來擺三角形，需要幾根小棒呢？現(xiàn)在請同桌兩人合作，一個人擺，一個人記錄。

之所以選擇這一節(jié)課來分析，是源于在調(diào)查過程中我發(fā)現(xiàn)，很多教師都把這節(jié)課的重點定在規(guī)律的尋找上，但是它的核心本質(zhì)應是分析數(shù)量關(guān)系，因為隨著數(shù)量之間關(guān)系的結(jié)構(gòu)性呈現(xiàn)，規(guī)律就會隨之而來。在實際教學中，教師要借助好玩的數(shù)學活動，引導學生獲得分析數(shù)量關(guān)系的基本方法和基本經(jīng)驗。上述過程是很多教師經(jīng)常采取的教學設(shè)計方式，這種設(shè)計雖然能夠通過各種不同方法把規(guī)律分析出來，進而實現(xiàn)教學目標的達成，但是學生在分析數(shù)量關(guān)系的方法和對經(jīng)驗的理解與積累上是缺失的。如果在大的“數(shù)學觀”指導下，在這里加一個問題并板書，變成下面我們所陳述的這個案例，就能以數(shù)量關(guān)系發(fā)展學生的數(shù)學思維。

首先，引入新知，揭示課題。

課件演示：用小棒擺1個三角形，要幾根小棒？（3根） 擺兩個三角形，要幾根小棒？（6根）如果擺n個三角形，要幾根小棒？（3n根）

師：三角形個數(shù)與什么有關(guān)系？

生：三角形個數(shù)、小棒根數(shù)。（教師根據(jù)學生的回答進行板書）

師：這節(jié)課我們通過擺小棒的方式，共同探究一些圖形中三角形個數(shù)與小棒之間的變化規(guī)律。

揭題：圖形中的規(guī)律。

其次，組織探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

師：現(xiàn)在只給你5根小棒，你能擺出兩個三角形嗎？那么還是二倍關(guān)系嗎？

師：如果是這樣擺3個、4個……n個三角形，各需要幾根小棒呢？請你依據(jù)老師的板書提示思考，怎樣能把你的操作過程完整記錄下來？請繼續(xù)思考和歸納，看看它們之間有沒有什么共性的東西？現(xiàn)在請小組內(nèi)精心討論并設(shè)計統(tǒng)計方式，再進行擺圖形操作，一個人擺，一個人記錄，其他同學觀察思考如何找規(guī)律。

這樣改完之后，學生就在研究數(shù)量關(guān)系的指導下，開啟數(shù)學學習的探究。當然，本課是五年級的課程，教師應從一年級就開始引導學生進行這樣的學習，把研究數(shù)量關(guān)系這一學習目標，逐漸地浸潤到學生的腦海中，使之形成本能的思維習慣。

二、以“三會”培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)

新課標提出，數(shù)學課程要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)包括“三會”：會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界?！叭龝迸囵B(yǎng)目標的達成，需要教師立足數(shù)學概念中的思想、理念、方法，通過在課堂中的逐漸滲透，像春雨一樣慢慢滋養(yǎng)學生的心田。這就要求教師要扎扎實實地把教材所蘊含的思想、理念、方法都學透、悟透，抓住數(shù)學概念本質(zhì)，確定教學重難點。

下面以北師大版數(shù)學教材五年級上冊“圖形中的規(guī)律”交流反饋階段的教學設(shè)計為例，通過對比分析，探究數(shù)學概念指導下進行教學設(shè)計的策略。有一位教師進行了如下設(shè)計。

首先，校對答案是否正確，展示不同學生的列式計算方法。

其次，通過總結(jié)學生的擺、畫、算過程，提問：你有什么發(fā)現(xiàn) （每多一個三角形，小棒就增加2根）？

師：說一說通過觀察，你發(fā)現(xiàn)三角形個數(shù)與小棒的根數(shù)之間有什么關(guān)系？

教師課件同步演示規(guī)律一。第一個三角形3根小棒，后面每多一個三角形，小棒就增加2根，從而總結(jié)出一般性規(guī)律：3+（三角形的個數(shù)-1）×2=小棒根數(shù)。

演示規(guī)律二。第一個三角形的第一根小棒先不看，每個三角形都可以看成2根小棒，這樣就可以總結(jié)出一般性規(guī)律：1+三角形的個數(shù)×2=小棒根數(shù)。

演示規(guī)律三。兩個三角形有1根小棒重復，3個三角形有2根小棒重復，總結(jié)出一般性規(guī)律：三角形的個數(shù)×3-重復的根數(shù)=小棒根數(shù)。

師：如果這樣繼續(xù)擺30個三角形，需要幾根小棒？如果擺n個三角形，需要幾根小棒？你能用含有字母的式子來表示嗎？哪種更好理解？

再次，規(guī)律應用。

師：找到了規(guī)律，就要學會應用，你能馬上告訴我這樣擺37個三角形需要幾根小棒嗎？笑笑用了37根小棒，你知道她擺了幾個三角形嗎？

最后，遷移運用。

師：如果像這樣擺一排正方形，它的個數(shù)與小棒根數(shù)之間又會有什么規(guī)律呢？如果擺20個正方形，需要多少根小棒？

之所以說這篇案例具有一定的共性，就是因為它把分析所謂的找規(guī)律作為重點、難點來處理了，而本課實質(zhì)是借助“數(shù)學好玩”單元，在數(shù)學好玩的情境中，從感悟數(shù)量到分析數(shù)量關(guān)系，再到會用數(shù)學的眼光觀察世界、會用數(shù)學的思維分析世界、會用數(shù)學的語言描述世界，把一個完整的數(shù)學學習過程展現(xiàn)給學生。

如果把操作中的擺、畫、算的過程，改為列表、擺圖形、記錄、算法研究、概括，就可以把新課標所提倡的“三會”觀點完整地呈現(xiàn)出來。

首先，教師根據(jù)各組學生設(shè)計表格項目的情況，組織他們進行交流匯報，互相評論，把各組的優(yōu)點討論清楚之后再設(shè)計完整的統(tǒng)計表格。在匯報、評論、討論的過程中，“數(shù)量關(guān)系”應是整個學習過程的核心。

其次，擺圖形。這個步驟與前面的教學過程相比看似簡單了，但是由于前面提到了3個、4個……n個的設(shè)問，所以學生一定會從3個三角形擺起，而教師在這里不妨給他們先“挖個坑”，不做提示，讓他們繼續(xù)擺下去。

再次，記錄。數(shù)據(jù)的記載是最基礎(chǔ)的教學方法，也是最重要的教學方法，是教學重點、難點的突破口，更是大有學問。最初級的數(shù)數(shù)階段，即5根、7根、9根……雖然也呈現(xiàn)出有規(guī)律的變化，但遠遠不夠；教師應引導學生把數(shù)據(jù)變化的過程都一一記錄下來，即3+2=5、3+2+2=7……這是重中之重的學習環(huán)節(jié)。

再次，算法研究。這是整個教學過程的難點，這個難點的突破，取決于前面記錄的方法，如果前面記錄得科學，那么整個數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)化呈現(xiàn)就會清晰明了，規(guī)律就會十分自然地顯現(xiàn)，下面學生的學習就會水到渠成，課程內(nèi)容的展現(xiàn)和學習目標的達成就會一致了。

最后，概括過程。概括既是抽象的過程，又是推理的過程，同時還是建模的過程和點睛的過程。這一環(huán)節(jié)的重點在于教師引導學生把所看到的規(guī)律用符號表述出來，使學生體會數(shù)學語言的多樣性。

如何把整個過程科學完整地展開？這就需要教師把前面設(shè)置的“坑”填好。在交流反饋的環(huán)節(jié)中，根據(jù)學生的實際，無外乎出現(xiàn)兩種情況：完整的情況，即學生擺的三角形個數(shù)是1、2、3、4……；不完整的情況，即學生擺的三角形個數(shù)是3、4、5……這時，教師要引導學生討論——你所找到的規(guī)律包含了一個、兩個三角形的情況嗎？教師通過及時的問題引導，讓學生明白——要想尋找事物變化規(guī)律，就要從初始狀態(tài)開始。這樣就可以達成培養(yǎng)學生觀察思考的嚴密性的目標，其中在學生學習遇到普遍性問題時，教師的主導作用必須要及時體現(xiàn)。

數(shù)據(jù)記錄的呈現(xiàn)是豐富多彩的，教師要根據(jù)實際情況，組織學生充分進行比對分析，看看哪種方法能更好地呈現(xiàn)出有規(guī)律的變化（如表1所示）。

表1 數(shù)據(jù)記錄呈現(xiàn)

[三角形個數(shù) 小棒根數(shù) 三角形個數(shù) 小棒根數(shù) 三角形個數(shù) 小棒根數(shù) 1 3 1 3 1 1+2 2 5 2 3+2 2 1+2+2 3 7 3 3+2+2 3 1+2+2+2 ]

教師要引導學生依據(jù)數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)性呈現(xiàn)，概括出解決問題的一般算法，形成具有普遍意義的模型，再利用這種方法去解決更廣泛的問題。

通過以上設(shè)計，就可把單純的算轉(zhuǎn)變成豐富多彩的、富有挑戰(zhàn)的數(shù)學學習，使學生在知識、能力、思想、經(jīng)驗等方面得到全面發(fā)展。

三、以“情境+問題串”促進學生的數(shù)學理解

北師大版數(shù)學教材的一個顯著特色就是“情境+問題串”，教師要把這一特點在教學設(shè)計中凸顯出來，要緊扣分析數(shù)量關(guān)系這一根本，把“三會”的思想無聲地滲透在每一個環(huán)節(jié)中。實際上，教材已經(jīng)把這個問題處理得非常到位了，但是由于相當多的教師在認知中并沒有“三會”思想這一知識儲備，再加上對教材研讀不到位，所以在很多教學設(shè)計中并沒有顯示出來。

同時，北師大版數(shù)學教材“情境+問題串”的設(shè)計，也把“四個過程一致”這個特點展現(xiàn)得淋漓盡致，教師把“四個過程一致”理解到位了，備課就輕松了。因為它既是教案又是學案，隨著課程內(nèi)容的展開，教與學有機地交融到一起，隨著課程結(jié)束，教學目標達成。所以，教師備課時不需要再設(shè)計框架、環(huán)節(jié)、問題、練習……要考慮的應是如何把思想、理念、方法融入教學中。

例如，在教學北師大版數(shù)學教材三年級上冊“搭配問題”一課時，有一位教師對本節(jié)課“情境”這一環(huán)節(jié)認識不到位，還只是停留在例子、導入的認知水平，所以處理起來基本就是：看看能提出什么數(shù)學問題，并以此導入新課。

師：同學們，你們早上起床第一件要做的事是什么呢？洗漱完之后，你又會做什么呢？

師：吃完早飯，我們就高高興興地去哪里？在平時的穿衣、吃飯、走路中，有沒有我們要研究的數(shù)學問題呢？這節(jié)課我們就一起走進“搭配中的學問”，解決穿衣、吃飯、走路中的數(shù)學問題。

而教材創(chuàng)設(shè)的情境是馬戲團小丑服裝的搭配，之所以選擇馬戲團，編者的意圖就是借助小丑這一特定角色，激發(fā)學生的興趣，看看怎么搭配小丑的服裝才更有喜劇效果。在備課時，教師絕不能把學生引導到喜劇過程中去，而是應適時地引導到“上衣的數(shù)量與褲子的數(shù)量，決定了演出服飾穿法的數(shù)量”的分析上來。教師要緊扣“數(shù)量分析”這一核心，同時還要淡化馬戲小丑這一情境，實現(xiàn)“去情境”。由情境的導入到“去情境”，是實現(xiàn)“會用數(shù)學的眼光觀察世界”的學習過程，即在歡快的學習環(huán)境中完成一次抽象的學習過程。而在這位教師的教學中，則是把“問題串”簡化成一問一答的平鋪直敘，把 “問題串”中的邏輯關(guān)系弱化了，把蘊藏其中的“三會”的數(shù)學思想弱化了，把學生應該得到的思維發(fā)展的體驗弱化了。

實際上，北師大版數(shù)學教材中“問題串”的設(shè)計，基本都體現(xiàn)了“發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題”的全過程。而且教材中的“問題串”都緊扣了數(shù)量關(guān)系的分析，把“三會”思想滲透和培養(yǎng)貫穿其中。

以北師大版數(shù)學教材四年級下冊“優(yōu)化”一課的“問題串”設(shè)計來做分析，教師要引導學生體會新課標中“從與課程內(nèi)容有內(nèi)在聯(lián)系的特定情境出發(fā)，展開一組問題，學生在教師的引導下理解情境、解決問題的過程就是學習數(shù)學、發(fā)展數(shù)學、實現(xiàn)數(shù)學課程目標的過程”的設(shè)計編排。

問題一：為媽媽沏杯茶，怎樣安排可以節(jié)省時間？這個問題中，要使沏茶時間最短可以分成幾個步驟？每個步驟要用多長時間？每個步驟之間的內(nèi)在關(guān)系是什么？這些問題既滲透了“做事情要心中有數(shù)”的教育，同時又滲透了“有序”“包含”思想的教學處理。

問題二：在沏茶的過程中什么事情可以同時做？這一問題引導學生圍繞可以同時做的事情進行深入探討，其本質(zhì)就是把“有序”“包容”的思想轉(zhuǎn)化為學習行動。一是討論事物之間內(nèi)在的、必然的、有序的聯(lián)系；二是對可包含的事物之間時間大小不同的分析。通過兩個維度來優(yōu)化程序可以節(jié)省大量教學時間。同時，教材又通過一個流程圖滲透了思維可視化的設(shè)計方案，使學生懂得陳述語言的多樣性。

問題三：需要多長時間？這個問題通過計算不同程序所需時間，引導學生進一步體會優(yōu)化思想。此外，還引導學生從“做事情從心中有數(shù)”開始，通過分析事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，回歸到利用對數(shù)的計算，得出最優(yōu)化的解決方案。

通過三個緊密關(guān)聯(lián)的問題，形成了一整套解決問題的一般方法，完成了“三會”思想指導下的完整的學習過程，使學生的學習成為一個可持續(xù)發(fā)展的過程。

總之，教師可以借助對案例的分析來深入探討新課標要求，充分利用教學用書、挖掘教材所富含的教育思想和方法。備課時，教師要深入理解數(shù)學概念本質(zhì)，以數(shù)學概念為指導，優(yōu)化教學設(shè)計，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。

（責任編輯：楊強）