孫青松 胡海波 程樹林

摘要：考慮到虛假信息要先于真實信息擴散且二者存在于同一個社會網(wǎng)絡中的現(xiàn)象，研究了真假信息競爭擴散模型，分析比較了各種概率、真實信息初始擴散時間和擴散節(jié)點數(shù)量的影響。結果發(fā)現(xiàn)，采取措施降低節(jié)點擴散虛假信息的可能性可以減少虛假信息擴散范圍，此外，僅當真實信息延遲擴散時間較短時，可通過增加節(jié)點擴散真實信息的可能性、增加擴散真實信息節(jié)點的數(shù)量或選擇度較大的節(jié)點來擴散真實信息的方式來減少虛假信息擴散范圍，并增加了真實信息覆蓋面。

關鍵詞：時滯；真實信息；虛假信息；競爭擴散

中圖分類號： G206.3文獻標識碼： A

收稿日期：2021-10-26；修回日期：2021-12-06

基金項目：國家自然科學基金面上項目（61973121）；安徽省高等學校自然科學研究重點項目（KJ2018A0362）；安徽省自然科學基金研究項目（2008085MF193）

第一作者：孫青松（1982-），男，安徽懷寧人，博士，講師，主要研究方向為復雜網(wǎng)絡，信息擴散。

通信作者：胡海波（1980-），男，山東萊西人，博士，副教授，主要研究方向為復雜網(wǎng)絡。

A Simulation Study of Competitive Diffusion of Real and Fake Information with Time-delaying

SUN Qingsong^{1， 2}， HU Haibo²， CHENG Shulin¹

（1.School of Computer and Information， Anqing Normal University， Anqing 246133， China； 2.School of Business， East China University of Science and Technology， Shanghai 200237， China）

Abstract：Considering the phenomenon that false information is diffused before real information in social networks， an information competition diffusion model is studied and the effects of different probabilities， the initial diffusion time of real information and the number of real information spreader nodes are analyzed and compared. It is found that reduing the probability of unknown nodes to diffuse false information can reduce the diffusion scope of false information. In addition， only when the delay diffusion time of real information is short， can the diffusion scope of false information be reduced and the coverage of real information be increased by increasing the probability of nodes to diffuse real information， increasing the initial number of real information spreader nodes and selecting nodes with greater degree to diffuse real information.

Key words： time-delaying; real information; fake information; competitive diffusion

0 引言

互聯(lián)網(wǎng)的廣泛使用使得在線社會網(wǎng)絡上各類信息不斷傳播擴散，社會網(wǎng)絡已成為人們獲取或傳播信息的重要渠道。2020年，互聯(lián)網(wǎng)在防控新冠肺炎疫情方面發(fā)揮了巨大作用，人們在手機網(wǎng)絡上就可以及時了解疫情的動態(tài)消息。同時，社會網(wǎng)絡中也常常有一些虛假信息在傳播擴散，造成不利的影響。

針對社會網(wǎng)絡中負面信息的擴散，部分研究從反駁謠言的角度出發(fā)，如Zhu等^[1]研究了辟謠機制的時滯效應對網(wǎng)絡謠言傳播的影響。朱霖河等^[2]研究了辟謠機制和時滯效應對謠言傳播的影響，辟謠機制通過一個線性參數(shù)來描述，不是通過在網(wǎng)絡中增加辟謠節(jié)點來研究。Huang等^[3]建立了一個雙層網(wǎng)絡來模擬傳染病傳播和信息競爭擴散之間的相互作用，結果表明，知識擴散對謠言具有一定的影響，社會網(wǎng)絡越密集越能抑制謠言擴散。Jiang等^[4]提出了一個謠言傳播-揭穿模型，將模擬與真實數(shù)據(jù)進行比較并進行驗證。Ma等^[5]考慮了積極和消極兩方面因素對謠言傳播進行研究，結果表明減少正面強化因素或增加負面強化因素能有效抑制謠言的傳播，這與一般的認識有所區(qū)別，但選擇度較大和權重較大的節(jié)點能夠較好地抑制謠言傳播。Huo等^[6]對科學知識擴散和謠言傳播的交互過程進行研究，結果發(fā)現(xiàn)科學知識擴散率和較低的謠言傳播率對阻止謠言傳播有明顯影響。張菊平等^[7]考慮到在謠言傳播過程中會出現(xiàn)真實信息傳播者，在該模型中僅有一類免疫節(jié)點，未對知道虛假信息的節(jié)點和后期會成為相信真實信息的節(jié)點進行區(qū)分，也未考慮謠言傳播和真實信息傳播的時間間隔對兩類信息擴散的影響。

部分研究考慮了時間因素，如Cheng等^[8]考慮了控制策略對謠言的影響，提出了謠言傳播規(guī)模最小的最優(yōu)控制問題，比較了時間延遲、最優(yōu)控制和媒體網(wǎng)絡對謠言傳播的影響。Zan等^[9]發(fā)現(xiàn)新謠言存在明確的最佳傳播時間，并通過仿真結果得出了雙重謠言傳播模式。Amirhosein等^[10]首先假設隨著時間的推移謠言逐漸失去影響力，仿真驗證了Twitter上謠言擴散的真實數(shù)據(jù)。Qian等^[11]采用獨立擴散者的概念來研究用戶獲得謠言的途徑，結果發(fā)現(xiàn)在無標度網(wǎng)絡中，當中心節(jié)點成為傳播者時，更容易廣泛地傳播謠言。Qiu^[12]考慮了外部的權威因素和用戶遺忘、以及用戶行為受時間影響等因素，針對SIR模型來研究這些因素對謠言傳播的影響。王家坤等^[13]考慮到謠言的時效性和用戶追隨性等特征，研究了一種基于線性閾值的謠言離散傳播模型。

一部分研究從節(jié)點或用戶角度來進行，例如，張金鑫等^[14]考慮了網(wǎng)絡中多個傳播謠言的節(jié)點因素，Hu等^[15]根據(jù)態(tài)度將謠言傳播者分成3類，結果發(fā)現(xiàn)，不同態(tài)度對謠言傳播具有不同的影響，但對謠言態(tài)度猶豫不決的人會對謠言傳播有積極的影響。Indu等^[16]提出了一種算法來識別謠言傳播過程中起主要作用的節(jié)點。Tian等^[17]提出了一種新的謠言傳播模型ILRD，該模型假定一個未知者在和傳謠者以及辟謠者聯(lián)系后，對謠言的態(tài)度有3種可能性。Yang等^[18]考慮了不同用戶在謠言傳播中的作用，提出了一種新的描述謠言傳播過程的模型。Adil等^[19]考慮人的因素如個人立場、社會影響、行為等，提出了HISB模型和一種活動策略，結果發(fā)現(xiàn)無論是在單個網(wǎng)絡中還是在多個網(wǎng)絡中，都能有效地減少謠言的影響。Bodaghi等^[20]根據(jù)推特上的謠言來研究謠言傳播過程中的用戶特征和基本模式，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)用戶只參與一次謠言傳播，且謠言傳播與反謠言傳播的間隔時間較大程度地影響謠言擴散。Mojgan等^[21]提出了一個謠言控制模型，研究認為向自己信任的朋友詢問可以避免謠言的傳播，實驗結果表明該機制在某些情況下可以更好地控制謠言傳播。

除此之外，Virginia等^[22]在DK模型中引入了以一定速率發(fā)生的否認因素來研究謠言傳播，通過數(shù)值分析研究各類節(jié)點的變化規(guī)律。Zhao等^[23]在SIR模型基礎上引入了傳播力參數(shù)來描述謠言傳播過程中的不確定性。Xia等^[24]考慮謠言內容的吸引力和模糊性以及遺忘因素，提出了一種新的謠言擴散模型，結果表明降低謠言內容的模糊度可以有效降低謠言的影響范圍。Zhang等^[25]考慮了群體結構的影響來研究謠言傳播，結論表明社區(qū)群體規(guī)模越大，謠言擴散速度也越大。Jia等^[26]提出了一個具有潛伏期的社交網(wǎng)絡謠言擴散模型，對謠言的傳播路徑、重新分享謠言的節(jié)點以及對謠言傳播起關鍵作用的節(jié)點進行研究，并利用微分方程的方法證明了模型的準確性。Huo等^[27]考慮到媒體報道對謠言傳播的影響，提出了一個新的非線性謠言數(shù)學模型。

對上述已有研究成果進行分析發(fā)現(xiàn)，尚未有學者結合真實信息發(fā)布的滯后性來研究真實信息和虛假信息的競爭擴散問題。虛假信息的擴散對企業(yè)的發(fā)展和人們的日常生活會產生不利影響，相關部門針對虛假信息在網(wǎng)絡中的擴散，有必要發(fā)布真實的信息進行反駁澄清，從而抑制虛假信息進一步擴散?，F(xiàn)實中存在這種現(xiàn)象，即虛假信息擴散一段時間后，真實信息才開始在網(wǎng)絡中擴散。例如，新冠病毒疫情剛開始傳播時，“雙黃連可以預防新冠病毒”的虛假信息被許多網(wǎng)民相信并傳播，隨后相關部門和人員發(fā)布了真實信息進行糾正。在一段時間內，真實信息和一些負面的謠言、詐騙等虛假信息呈現(xiàn)一種共同競爭擴散的現(xiàn)象。

本文在考慮實際現(xiàn)象和以往研究的基礎上，提出一種真實信息與虛假信息競爭擴散的模型，分析真實信息的擴散時間滯后于虛假信息時，哪些因素對兩類信息的擴散比例有明顯的影響。該模型有兩點不同之處：1）虛假信息在網(wǎng)絡中傳播一段時間后，加入一類傳播真實信息的節(jié)點，該節(jié)點會影響傳播虛假信息的節(jié)點，兩種信息在社會網(wǎng)絡中競爭擴散。2）不同于一些研究只設立一類免疫節(jié)點，本文對相信虛假信息的節(jié)點和相信真實信息的節(jié)點進行區(qū)分，因此，虛假信息擴散所導致的最終影響范圍可以更加具體。

1 信息擴散規(guī)則及模型

初始狀態(tài)下，網(wǎng)絡中只有一個節(jié)點S_F擴散虛假信息F，其余的為不知道任何一種信息的未知信息節(jié)點I。

考慮到虛假信息的擴散一般要早于真實信息，在一段時間內，網(wǎng)絡中僅虛假信息F擴散，模型如圖1所示。假定虛假信息擴散一段時間后，真實信息才開始擴散，網(wǎng)絡中有一個節(jié)點S_T擴散正面信息T來反駁虛假信息F，二者在社會網(wǎng)絡中共存一段時間，可構建一個競爭擴散模型，如圖2所示。因此，兩種信息擴散后，網(wǎng)絡中節(jié)點可能會具有5種狀態(tài)，分別是未知信息節(jié)點I、擴散虛假信息的節(jié)點S_F、擴散真實信息的節(jié)點S_T、相信信息F的節(jié)點B_F和相信信息T的節(jié)點B_T，B_T或B_F都分別不會擴散信息T或F。

具體的信息擴散規(guī)則為：1）圖1中，隨機選擇的擴散節(jié)點S_F擴散信息F后，它的未知信息的鄰居節(jié)點I以q_F的概率成為S_F，或者以p_F的概率成為B_F。節(jié)點S_F擴散信息F后，以β_F的概率成為B_F。2）在虛假信息擴散一段時間后，網(wǎng)絡中加入一個隨機選擇的擴散節(jié)點S_T擴散真實信息T，來對虛假信息進行反駁以減少社會影響，它的未知信息的鄰居節(jié)點I以q_T的概率成為S_T，或者以p_T的概率成為B_T。同時，虛假信息F也繼續(xù)擴散，擴散節(jié)點S_F擴散信息F后，它的未知信息的鄰居節(jié)點I以q_F的概率成為S_F，或者以p_F的概率成為B_F。3）擴散節(jié)點S_T也有可能接收到S_F擴散的虛假信息F，但擴散節(jié)點S_T擴散的是真實信息T，其不會成為擴散節(jié)點S_F。節(jié)點S_T擴散信息T后，以β_T的概率成為B_T。4）擴散節(jié)點S_F有可能接收到S_T擴散的真實信息T，并認識到之前信息內容的錯誤，因此擴散節(jié)點S_F以α的概率成為擴散節(jié)點S_T或者以θ的概率成為節(jié)點B_T。節(jié)點S_F擴散信息F后，以β_F的概率成為B_F。5）節(jié)點B_F有可能還會接收到擴散節(jié)點S_T所發(fā)送的真實信息，因此以概率γ成為節(jié)點B_T；節(jié)點B_T有可能還會接收到擴散節(jié)點S_F所發(fā)送的信息F，但它不會相信信息F的內容，因此不會成為節(jié)點B_F。6）信息擴散后，網(wǎng)絡中增加了兩類節(jié)點，分別是知道且相信真實信息T的節(jié)點B_T和知道且相信虛假信息F的節(jié)點B_F，B_T或B_F都分別不會再去擴散信息T或F。

模型微分方程為

其中，k為網(wǎng)絡的平均度，τ為真實信息延遲擴散的時間。基本再生數(shù)為再生矩陣的譜半徑FV^-1，且當ρ（FV^-1）<1時，無信息平衡點局部漸進穩(wěn)定。結合方程組（1）可知（1，0，0，0，0）是該系統(tǒng)的無信息擴散平衡點，在該平衡點處求解矩陣F和V。

2 實驗仿真及分析

本文利用Matlab R2014a在小世界網(wǎng)絡上進行仿真實驗，初始條件下，網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)N=4 000，平均度為8，重連概率為0.5，q_T=0.4，p_T=0.4，β_T=0.5，q_F=0.2，p_F=0.4，β_F=0.5，α=0.5，θ=0.4，γ=0.6。假設真實信息要比虛假信息延遲t個時間單位（t分別取1、5和15）才開始擴散，信息擴散過程持續(xù)30個時間單位，在相同參數(shù)下，實驗重復1 000次并取均值。

2.1 基本再生數(shù)檢驗

首先驗證模型的基本再生數(shù)。令β_T=β_F=0.8，考慮兩種場景，一是令q_F=0.05，將q_T值從0.01增大到0.25，根據(jù)上文，當q_T=0.1時，基本再生數(shù)為1；二是令q_T=0.05，將q_F值從0.01增大到0.25，當q_F=0.1時，基本再生數(shù)為1。網(wǎng)絡中兩類信息擴散比例達到穩(wěn)態(tài)時，其擴散比例之和如圖3所示?？梢?，比例之和在q_T≤0.1或q_F≤0.1時近似為0，大于0.1時則顯著增加，可證明計算的基本再生數(shù)正確。

2.2 真實信息的不同起始擴散時間對信息擴散范圍的影響

設真實信息T分別延遲1、5和15個時間單位開始擴散，從圖4可知，真實信息擴散的時間越早，其擴散范圍越大，虛假信息擴散的范圍越小。還可以看出，真實信息擴散的范圍是否大于虛假信息與真實信息的起始擴散時間有關：t=1時，真實信息擴散范圍基本上一直大于虛假信息；t=5時，真實信息擴散范圍在擴散時間持續(xù)到11時才大于虛假信息；t=15時，真實信息擴散范圍基本上和虛假信息一致。因此，對于輿情管控部門，盡早發(fā)布真實準確的信息有助于減少虛假信息的擴散范圍。

2.3 q_T和q_F對信息擴散范圍的影響

圖5a中真實信息延遲5個時間單位開始擴散。當q_T=0.6時，可見q_F的增加對真實信息擴散的比例有一定的抑制，且與虛假信息擴散比例的變化趨勢相反。當q_F=0.4時，隨著q_T逐漸增加，相比較于前述q_T不變時q_F逐漸增加，真實信息擴散比例較小幅度地逐漸增加，虛假信息擴散比例減少不明顯。因此可以表明，q_F的變化對兩類信息擴散范圍的影響要超過q_T的變化對兩類信息擴散范圍的影響。

圖5b中真實信息延遲1個時間單位開始擴散，圖5a中，真實信息延遲5個時間單位時，只有改變q_F才會對真實信息的擴散范圍產生顯著影響，而改變q_T幾乎不影響虛假信息的擴散范圍。與圖5a不同的是，在圖5b中，當q_T和q_F這二者增加時，分別會明顯減少另外一種信息的擴散比例。這不同于在正面信息延遲擴散且延遲時間較久時，應采取措施來降低未知節(jié)點成為擴散虛假信息節(jié)點的可能性；而當正面信息延遲時間較短時，采取措施來降低未知節(jié)點成為擴散虛假信息節(jié)點的可能性或者增加未知節(jié)點成為擴散真實信息節(jié)點的可能性，均有較明顯的效果。

2.4 β_T和β_F對兩類信息擴散比例的影響

如圖6所示，真實信息延遲1個或5個時間單位時，增加β_T值，真實信息的擴散比例均明顯增加，相比而言，虛假信息擴散比例的變化范圍較小。改變β_F值時，真實信息擴散比例的變化較小，且變化幅度要小于虛假信息擴散比例的變化幅度。

2.5 p_T和p_F對兩類信息擴散比例的影響

在圖7中，真實信息較早擴散，改變p_T對其擴散比例有一定的影響，而改變p_F對虛假信息的擴散比例影響有限。真實信息初始擴散時間在延遲5個時間單位時，其擴散比例隨p_T的增加而增加，虛假信息擴散比例變化幅度則較小。將p_F值逐漸增大，兩圖中均出現(xiàn)了真實信息擴散比例先減少后增加的現(xiàn)象。總體而言，改變p_T和p_F的值對網(wǎng)絡中兩類信息擴散比例的影響有限。

2.6 α對信息擴散范圍的影響

增加擴散虛假信息的節(jié)點成為擴散真實信息節(jié)點的概率，理論上使擴散真實信息的節(jié)點增加，從而增加真實信息的擴散范圍。但從圖8來看，改變α對兩類信息的最終擴散范圍幾乎沒有任何影響，這可能是由于擴散節(jié)點在網(wǎng)絡中的占比很低。因此，采取措施使傳播虛假信息的節(jié)點轉而去傳播真實信息的效果不夠明顯。

2.7 初始的S_T數(shù)量對信息擴散范圍的影響

從圖9a中可知，真實信息初始擴散時間滯后5個時間單位，即使逐漸增加初始擴散真實信息的節(jié)點數(shù)量，對兩類信息最終擴散范圍的影響仍十分有限。但在圖9b中，真實信息初始擴散時間延后了1個時間單位，改變初始節(jié)點數(shù)量，對最終擴散范圍有較明顯的影響。因此，對管控虛假信息擴散范圍而言，需要在早期增加初始傳播真實信息的節(jié)點數(shù)量。隨著時間延長，即使增加傳播真實信息節(jié)點數(shù)量，減少虛假信息擴散范圍和擴大真實信息擴散范圍的效果也會變差。

2.8 網(wǎng)絡平均度和規(guī)模對信息擴散范圍的影響

在圖10中，真實信息的初始擴散時間延遲1個時間單位，在不改變網(wǎng)絡規(guī)模的情況下，增加網(wǎng)絡平均度，可以發(fā)現(xiàn)真實信息與虛假信息的擴散比例均明顯增加，這是由于度的增加會使兩類信息的擴散節(jié)點將信息擴散給更多未知信息節(jié)點。而增加網(wǎng)絡規(guī)模但不改變平均度時，真實信息的擴散比例增加較小，相反，虛假信息的擴散比例則減少，比例變化也很小。

當真實信息的初始擴散時間延遲5個時間單位，僅增加網(wǎng)絡平均度時，真實信息的擴散比例明顯減少，而虛假信息的擴散比例則明顯增加。但僅改變網(wǎng)絡規(guī)模時，兩類信息的擴散比例沒有明顯變化。這是因為真實信息還未擴散時，虛假信息就因為網(wǎng)絡平均度的增加，得到了更大范圍的擴散，使得虛假信息擴散節(jié)點的數(shù)量增加較多，如在第5個時間單位時，虛假信息節(jié)點的比例增加較多，從而抑制了真實信息的擴散。

2.9 真實信息初始擴散節(jié)點的度值對信息擴散范圍的影響

圖11中，在初始參數(shù)下，選擇網(wǎng)絡中度最大的節(jié)點作為擴散真實信息的節(jié)點，對比圖4可知，延遲5個時間單位時，真實信息的擴散比例增加幅度明顯，虛假信息的擴散比例減少但幅度相對要小。同樣，在延遲15個時間單位時，真實信息的擴散比例同樣也增加，且超過了虛假信息的擴散比例，虛假信息擴散比例變化不明顯。管理者選擇度最大的節(jié)點擴散真實信息，有利于獲得輿論優(yōu)勢，同時減少虛假信息的擴散范圍，但隨著時間推遲，真實信息在網(wǎng)絡中所占的比例優(yōu)勢逐漸變小，虛假信息所占的比例逐漸變大。因此即使選擇度更大的節(jié)點來擴散真實信息，也應盡早進行。

3 結論

本文考慮了社會網(wǎng)絡中先有虛假信息擴散而后才有相關真實信息擴散的實際現(xiàn)象，構建了一個真實信息擴散時滯的兩類信息競爭擴散模型。模型考慮了擴散虛假信息的節(jié)點受到影響并相信真實信息，從而轉變成為擴散真實信息的節(jié)點，研究發(fā)現(xiàn)該因素的影響十分有限。考慮到相關部門要擴大真實信息的擴散范圍并抑制虛假信息的擴散范圍，仿真結果顯示，應盡可能較早地在網(wǎng)絡中擴散真實信息，增加初始擴散時真實信息節(jié)點的數(shù)量或選擇度較大的節(jié)點來擴散真實信息，采取措施降低未知節(jié)點成為擴散虛假信息節(jié)點的可能性或增加未知節(jié)點成為擴散真實信息節(jié)點的可能性。但如果虛假信息在網(wǎng)絡中擴散了較長時間后才開始擴散真實信息，可選擇的方式比較有限，即降低未知節(jié)點成為擴散虛假信息節(jié)點的可能性，且效果不夠顯著。

本文的研究設定在同一個社會網(wǎng)絡中，實際上真實信息和虛假信息可能在多個社會網(wǎng)絡中不同的時間點開始擴散，在多層社會網(wǎng)絡中考慮真實信息擴散的時滯因素來研究真實信息和虛假信息的競爭擴散是我們下一步的研究目標。

參考文獻：

[1]ZHU L H， YANG F， GUAN G，? et al. Modeling the dynamics of rumor diffusion over complex networks[J]. Information Sciences， 2020， 562（1）： 240-258.

[2]朱霖河， 李玲. 基于辟謠機制的時滯謠言傳播模型的動力學分析[J]. 物理學報， 2020， 69（2）： 020501.

ZHU L H， LI L. Dynamic analysis of rumor-spread-delaying model based on rumor refuting mechanism[J]. Acta Physica Sinica， 2020， 69（2）： 020501.

[3]HUANG H， CHEN Y H， MA Y F. Modeling the competitive diffusions of rumor and knowledge and the impacts on epidemic spreading[J]. Applied Mathematics and Computation， 2021， 388： 125536.

[4]JIANG M L， GAO Q W， ZHUANG J. Reciprocal spreading and debunking processes of online misinformation： a new rumor spreading-debunking model with a case study[J]. Physica A， 2021， 565（1）： 125572.

[5]MA J， LI D D， TIAN Z H. Rumor spreading in online social networks by considering the bipolar social reinforcement[J]. Physica A， 2016， 447： 108-115.

[6]HUO L A， SONG N X. Dynamical interplay between the dissemination of scientific knowledge and rumor spreading in emergency[J]. Physica A， 2016， 461： 73-84.

[7]張菊平， 郭昊明， 荊文君，等. 基于真實信息傳播者的謠言傳播模型的動力學分析[J].物理學報， 2019， 68（15）： 150501.

ZHANG J P， GUO H M， JING W J， et al. Dynamic analysis of rumor propagation model based on true information spreader[J]. Acta Physica Sinica， 2019， 68（15）： 150501.

[8]CHENG Y Y， HUO L A， ZHAO L J. Dynamical behaviors and control measures of rumor-spreading model in consideration of the infected media and time delay[J]. Information Sciences， 2021， 564（1）： 237-253.

[9]ZAN Y L. DSIR double-rumors spreading model in complex networks[J]. Chaos， Solitons & Fractals， 2018， 110： 191-202.

[10] AMIRHOSEIN B， SAMA G， MOSTAFA S. The number of followings as an influential factor in rumor spreading[J]. Applied Mathematics and Computation， 2019， 357： 167-184.

[11] TANG S T， QIAN Z， ZHANG X， et al. The independent spreaders involved SIR rumor model in complex networks[J]. Physica A， 2015， 429： 95-102.

[12] QIU X Y， ZHAO L J， WANG J J， et al. Effects of time-dependent diffusion behaviors on the rumor spreading in social networks[J]. Physics Letters A， 2016， 380 （24）： 2054-2063.

[13] 王家坤， 王新華. 一種基于線性閾值的網(wǎng)絡謠言離散傳播模型[J]. 情報科學， 2019， 37（6）：163-169.

WANG J K， WANG X H. A discrete propagation model of internet rumor based on linear threshold[J]. Information Science， 2019， 37（6）： 163-169.

[14] 張金鑫， 王麗婷， 張金華. 具有多個傳播源的網(wǎng)絡謠言傳播與導控模型研究[J]. 情報科學， 2020， 38（11）： 115-120.

ZHANG J X， WANG L T， ZHANG J H. Internet rumors spreading and control model with multiple propagation sources[J]. Information Science， 2020， 38（11）： 115-120.

[15] HU Y H， PAN Q H， HOU W B， et al. Rumor spreading model with the different attitudes towards rumors[J]. Physica A， 2018， 502： 331-344.

[16] INDU V， THAMPI S M. A nature-inspired approach based on Forest Fire model for modeling rumor propagation in social networks[J]. Journal of Network and Computer Applications， 2019， 125： 28-41.

[17] TIAN Y， DING X J. Rumor spreading model with considering debunking behavior in emergencies [J]. Applied Mathematics and Computation， 2019， 363： 124599.

[18] YANG A Z， HUANG X Y， CAI X M， et al. ILSR rumor spreading model with degree in complex network[J]. Physica A， 2019， 531： 121807.

[19] AIEHA B， KAN L A， SAA C. Minimizing rumor influence in multiplex online social networks based on human individual and social behaviors[J]. Information Sciences， 2020， 512： 1458-1480.

[20] BODAGHI A， OLIVEIRA J. The characteristics of rumor spreaders on twitter： a quantitative analysis on real data[J]. Computer Communications， 2020， 160： 674-687.

[21] ASKARIZADEH M， LADANI B T. Soft rumor control in social networks： modeling and analysis[J]. Engineering Applications of Artificial Intelligence， 2021， 100（10）： 104198.

[22] VIRGINIA G， SERENA S. Rumor spreading models with random denials[J]. Physica A， 2016， 461： 569-576.

[23] ZHAO Z J， LIU Y M，WANG K X. An analysis of rumor propagation based on propagation force[J]. Physica A， 2016， 443： 263-271.

[24] XIA L L， JIANG G P， SONG B， et al. Rumor spreading model considering hesitating mechanism in complex social networks[J]. Physica A， 2015， 437： 295-303.

[25] ZHANG R X， LI D Y. Rumor propagation on networks with community structure[J]. Physica A， 2017， 483： 375-385.

[26] JIA J W， WU W J. A rumor transmission model with incubation in social networks[J]. Physica A， 2018， 491： 453-462.

[27] HUO L A， WANG L， ZHAO X M. Stability analysis and optimal control of a rumor spreading model with media report[J]. Physica A， 2019， 517： 551-562.

（責任編輯 耿金花）