常博源 楊京衛(wèi) 張路

近年來，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)逐漸成為非線性動力系統(tǒng)研究的一個熱點. 對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的混沌行為的產(chǎn)生機(jī)制及其對系統(tǒng)參數(shù)的依賴進(jìn)行研究可以為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的混沌控制提供理論基礎(chǔ). 本文研究了一種新的Duffing-WS型小世界網(wǎng)絡(luò)的混沌行為. 本文首先利用變分法推導(dǎo)其最大李雅普諾夫指數(shù)，并將其作為混沌判據(jù)討論了混沌行為對系統(tǒng)參數(shù)的依賴. 結(jié)果顯示，該網(wǎng)絡(luò)具有比單個Duffing方程復(fù)雜得多的混沌行為.

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)； Duffing-WS型小世界網(wǎng)絡(luò)； 混沌

O29A2023.021005

收稿日期： 2022-07-11

基金項目： 國家重點研發(fā)計劃（2020YFA0714000）

作者簡介： 常博源（1998-）， 男， 山東淄博人， 碩士研究生， 主要研究方向為不確定性處理的數(shù)學(xué). E-mail： changboyuan@live.cn

通訊作者： 張路. E-mail： zhanglumail@gmail.com

Chaotic behaviors of a Duffing-WS small world network

CHANG Bo-Yuan， YANG Jing-Wei， ZHANG Lu

（School of Mathematics， Sichuan University， Chengdu 610064， China）

Recently， complex networks become a hot topic of nonlinear dynamical systems. The emergence and parameter dependence of chaotic behaviors is the basis of the chaotic control of a complex network. In this paper， we consider the chaotic behaviors of a new Duffing-WS type small world network. Firstly， we derive an expression for the maximum Lyapunov index by using the variation method. Then we investigate the emergence of chaos by using the Lyapunov index as the criterion. Finally， the dependence of chaotic behaviors on the system parameters is discussed. It is shown that this network possesses more complicated chaotic behaviors than the classic Duffing equation.

Complex network； Duffing-WS type small-world network； Chaos

1 引 言上世紀(jì)七八十年代以來，國際上形成了復(fù)雜性科學(xué)的研究熱潮. 許多復(fù)雜性問題都可以歸結(jié)為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究［1］. 起初，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究主要集中于規(guī)則網(wǎng)絡(luò)或完全隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)［2］， 但這兩種網(wǎng)絡(luò)都是理想化模型，現(xiàn)實場景中的系統(tǒng)則往往介于有序和無序之間，即小世界網(wǎng)絡(luò). 小世界網(wǎng)絡(luò)通常含有大量的局部連邊，同時也有少量的長程連邊.這些長程連邊有效地降低了網(wǎng)絡(luò)中任意兩個節(jié)點之間的距離.

1998年，Watts及Strogatz提出了經(jīng)典的Watts-Strogatz （WS）型小世界網(wǎng)絡(luò)模型［3］.該網(wǎng)絡(luò)在規(guī)則網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)上將每條邊以概率p進(jìn)行斷邊重連.作者利用該模型模擬了傳染病在人群中的傳播，發(fā)現(xiàn)相較于規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，小世界網(wǎng)絡(luò)的傳播能力明顯要快得多. 隨后，眾多研究者對各種小世界網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)特性展開了研究［3-7］. 例如， 2001年，Zhuo研究了小世界網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)共振現(xiàn)象［4］，發(fā)現(xiàn)其隨機(jī)共振效應(yīng)比普通規(guī)則網(wǎng)絡(luò)要強(qiáng). 2002年，Hong等研究了小世界網(wǎng)絡(luò)的同步性， 發(fā)現(xiàn)各振子間的同步性隨重連概率的增大而顯著提高［5］. 2001年，Yang對一個非線性時滯混沌小世界網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的傳播要比規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的速度更快［6］. 2012年，Ning提出了一個基于小世界網(wǎng)絡(luò)的離散復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，研究其分叉和混沌等動力學(xué)行為， 發(fā)現(xiàn)小世界網(wǎng)絡(luò)的混沌現(xiàn)象在適當(dāng)?shù)膮?shù)下會受到控制［7］.

本文進(jìn)一步研究小世界網(wǎng)絡(luò)中的混沌行為. 我們首先提出一個以WS小世界網(wǎng)絡(luò)方式連接的Duffing復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（簡稱Duffing-WS型小世界網(wǎng)絡(luò)），利用變分法推導(dǎo)其最大李雅普諾夫指數(shù)，并以龐加萊截面分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)為工具研究該網(wǎng)絡(luò)是否能產(chǎn)生混沌. 同時，我們還分析了網(wǎng)絡(luò)重連度K、重連概率p和耦合強(qiáng)度ε等對混沌行為的影響. 結(jié)果顯示，Duffing-WS型小世界網(wǎng)絡(luò)的各個粒子輸出呈現(xiàn)出小尺度周期運(yùn)動、倍周期分岔、混沌和大尺度周期運(yùn)動等多種狀態(tài)，混沌的參數(shù)范圍較單個Duffing方程更為復(fù)雜，且各參數(shù)對混沌區(qū)的影響也與傳統(tǒng)的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)明顯不同.

3.3 耦合強(qiáng)度ε對混沌區(qū)的影響

圖2a～2c給出了不同的耦合強(qiáng)度ε下平均最大LE指數(shù)隨幅度A的變化曲線，重連概率均為p=0.5. 在圖2a中K=2， 可以見到當(dāng)耦合強(qiáng)度ε較小時（如ε=0，0.2，0.4），混沌區(qū)隨ε的增大而擴(kuò)大；當(dāng)耦合強(qiáng)度ε較大（如ε=0.6，0.8，1，2）時，混沌區(qū)隨ε的增加逐漸收縮，混沌受到抑制. 這種情況是由于重連度非常小， 節(jié)點之間的連接程度不夠，小耦合強(qiáng)度的增強(qiáng)反而增強(qiáng)了系統(tǒng)的混沌運(yùn)動. 反之，只有耦合強(qiáng)度大到一定程度，更大的耦合強(qiáng)度使得系統(tǒng)協(xié)同性增強(qiáng)之后，才能抑制系統(tǒng)的混沌運(yùn)動.

在圖2b中K=20， 可以看到，當(dāng)ε=0時，小世界網(wǎng)絡(luò)退化成獨立的N個Duffing系統(tǒng)，此時混沌區(qū)最大; 當(dāng)ε>0時，小世界網(wǎng)絡(luò)各個節(jié)點之間存在耦合作用，網(wǎng)絡(luò)的混沌區(qū)收縮. 此時由于重連度K值較大，平均LE指數(shù)隨幅度A變化的曲線在不同的耦合強(qiáng)度ε下基本一致，即此時小世界網(wǎng)絡(luò)的混沌區(qū)對耦合強(qiáng)度ε具有魯棒性. 在圖2c中K=48， 同樣可以看到，混沌區(qū)隨ε增加的變化同樣不明顯.

綜上，不同于傳統(tǒng)的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，Duffing-WS型小世界網(wǎng)絡(luò)的耦合強(qiáng)度ε對混沌區(qū)的影響是非線性的，當(dāng)重連度K較小時混沌區(qū)隨耦合強(qiáng)度的增加先擴(kuò)大后縮小，K較大時ε的增強(qiáng)對混沌區(qū)域影響則不明顯.

3.4 重連度K對混沌的影響

圖3a～3c給出了不同重連度K下平均LE指數(shù)隨幅度A變化的曲線，耦合強(qiáng)度均為ε=0.5.在圖3a中，p=0，耦合網(wǎng)絡(luò)為規(guī)則的最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò). 可以看到，當(dāng)重連度K較小時（K=2，4，6，8，10），隨著重連度K的增加，LE指數(shù)大于0的混沌區(qū)先擴(kuò)大后收縮，當(dāng)K=4時混沌區(qū)達(dá)到最大；隨后，當(dāng)重連度K增加到一定程度后（K=20，30，40，48），混沌區(qū)隨著K值的增加而有略微地縮小，但總體上差異不大. 這說明，對于規(guī)則網(wǎng)絡(luò)只有足夠大的重連度才會抑制系統(tǒng)混沌，較小的重連度反而增加系統(tǒng)的混沌運(yùn)動.

在圖3b中，p=0.5，此時網(wǎng)絡(luò)為標(biāo)準(zhǔn)的小世界模型.當(dāng) K=2時，LE曲線所對應(yīng)的混沌區(qū)最大，LE指數(shù)在各個振幅處的值也最高，可見重連度K較低時更容易產(chǎn)生較大的混沌區(qū).當(dāng) K=4，6時，相比K=2的LE曲線，其大于0的區(qū)域明顯縮小，即重連度的增加明顯抑制網(wǎng)絡(luò)的混沌運(yùn)動；隨著K值進(jìn)一步增加，系統(tǒng)LE曲線幾乎沒有變化. 這是因為當(dāng)重連度足夠高時系統(tǒng)各節(jié)點輸出間差異很小，混沌區(qū)幾乎一致.

在圖3c中，p=1，此時網(wǎng)絡(luò)為完全的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò). 可以看出，K足夠大時LE曲線的一致性會被打破，重連度對混沌區(qū)的控制作用不再呈現(xiàn)明顯規(guī)律. 當(dāng)K=2時，混沌區(qū)反而最小，而中間大小的重連度（K=4，6，8，10）混沌區(qū)卻較大. 同時，對比完全規(guī)則網(wǎng)絡(luò)（p = 0）與小世界網(wǎng)絡(luò)（p = 0.5），完全隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的混沌區(qū)更大且LE指數(shù)更低.

綜上， 類似于完全規(guī)則的網(wǎng)絡(luò)，Duffing-WS型小世界網(wǎng)絡(luò)當(dāng)重連度K越大時混沌區(qū)越小，即K的增大同樣對混沌控制起積極作用，但K增大到一定程度之后這種抑制效果不再明顯. 對于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，重連度K對其混沌區(qū)的影響也呈現(xiàn)非單調(diào)性.

3.5 重連概率p對混沌的影響

圖4a～4c給出了不同的重連概率p下平均LE指數(shù)隨幅度A變化的曲線，耦合強(qiáng)度均為ε=0.5. 在圖4a中，K=2，在圖4b中K=20， 可以看到，不同重連概率p對混沌區(qū)的影響不明顯，差異主要體現(xiàn)在LE指數(shù)的高低上，重連概率p越大，LE指數(shù)值越小. 在圖4a中，K=48， 這種情形下混沌區(qū)明顯后移. 總的來說，此時小世界網(wǎng)絡(luò)的混沌區(qū)對重連概率p具有魯棒性.

4 結(jié) 論

本文研究了一種新的Duffing-WS型小世界網(wǎng)絡(luò)模型的混沌行為，通過變分法計算其最大李雅普諾夫指數(shù)，進(jìn)而分析了不同參數(shù)對其混沌區(qū)的影響. 我們發(fā)現(xiàn)，Duffing-WS型小世界網(wǎng)絡(luò)具有比單個Duffing-方程更為復(fù)雜的混沌行為，且系統(tǒng)重連概率、重連度以及耦合強(qiáng)度對系統(tǒng)混沌區(qū)域的影響也有別于傳統(tǒng)的規(guī)則網(wǎng)絡(luò).

（i） 網(wǎng)絡(luò)耦合強(qiáng)度ε對混沌區(qū)的影響并不是單調(diào)的. 當(dāng)網(wǎng)絡(luò)重連度K較小時，耦合強(qiáng)度的增強(qiáng)反而會促進(jìn)系統(tǒng)的混沌. 只有在重連度K增大到一定程度之后，較強(qiáng)的耦合強(qiáng)度才會對混沌起到控制作用，但是當(dāng)重連度K足夠大后系統(tǒng)再次產(chǎn)生混沌.

（ii） 網(wǎng)絡(luò)重連度K在不同重連概率p下對混沌有明顯的影響. 對于規(guī)則網(wǎng)絡(luò)（p = 0）和小世界網(wǎng)絡(luò)（0< p <1），足夠大的重連度會抑制系統(tǒng)的混沌，較小的重連度則促進(jìn)系統(tǒng)的混沌運(yùn)動. 與前面兩種網(wǎng)絡(luò)相比，完全隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)（p = 1）的混沌區(qū)則更大，重連度K對其混沌區(qū)的影響也呈現(xiàn)非單調(diào)性，隨著重連度K的增加，其混沌區(qū)先增加后減小.

（iii） 網(wǎng)絡(luò)重連概率p對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)混沌區(qū)的影響不明顯.

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