章建躍

一、總體評價

本次活動堅持以習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想為指導(dǎo)，全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務(wù).

本次活動全面落實育人方式改革任務(wù)，著眼優(yōu)化教學(xué)方式，強化課堂教學(xué)主陣地作用，提升學(xué)生課堂學(xué)習(xí)效率，切實減輕學(xué)生過重的課業(yè)負(fù)擔(dān)，提升課堂教學(xué)質(zhì)量.

本次活動根據(jù)深化課程改革推進(jìn)育人方式變革的新要求，聚焦當(dāng)前新課程標(biāo)準(zhǔn)、新教材、新高考改革中的熱點和難點問題積極探索、大膽創(chuàng)新，特別是在數(shù)學(xué)基本思想、基本活動經(jīng)驗、發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、綜合實踐活動等方面開展深入研究與實踐，涌現(xiàn)了一批具有示范意義的課例.

本次活動展示的課例注重把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，努力發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科獨特的育人價值，加強單元教學(xué)設(shè)計基礎(chǔ)上的課時教學(xué)設(shè)計研究，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性，積極探索基于情境和問題導(dǎo)向的互動式、啟發(fā)式、探究式、體驗式等課堂教學(xué)，努力創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫?，提出合適的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生開展系列化數(shù)學(xué)活動，通過積極主動的數(shù)學(xué)思考和交流，獲得“四基”、提高“四能”，從而使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實在課堂教學(xué)中.

本次活動展示的課例堅持教學(xué)相長，努力做到“該講的講清楚，該放的放到位”. 注重講清重點和難點，通過先行組織者、課堂小結(jié)等各種方式幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系，引導(dǎo)學(xué)生主動思考、積極提問、自主探究.

本次活動展示的課例融合運用傳統(tǒng)與現(xiàn)代技術(shù)手段，重視情境教學(xué)；積極探索基于數(shù)學(xué)學(xué)科的課程綜合化教學(xué)，大膽開展研究型、項目化、合作式學(xué)習(xí). 精準(zhǔn)分析學(xué)情，重視差異化教學(xué)和個別化指導(dǎo).

本次活動取得預(yù)期效果，必將有力推動我國高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革的深入發(fā)展.

二、本次活動的一些特點

1. 聚焦重點、難點課題，提供典型豐富課型

本次活動的課型非常豐富，有起始課、概念課、 性質(zhì)課、公式法則課、練習(xí)課、試卷講評課、數(shù)學(xué)推理課（探究數(shù)學(xué)內(nèi)部問題的綜合實踐活動課）、數(shù)學(xué)建模課（用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實問題的綜合實踐活動課）等.

本次活動有16節(jié)“概率與統(tǒng)計”相關(guān)課例. 指定課題注重在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上有較大意義的、體現(xiàn)教育信息化要求的、普遍存在教學(xué)疑難的選題，并考慮函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動的內(nèi)容平衡.

2. 單元-課時教學(xué)設(shè)計的理念深入人心

本次活動展示課例的教學(xué)設(shè)計比較好地體現(xiàn)了中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會（以下統(tǒng)稱“中數(shù)專委會”）頒發(fā)的“標(biāo)準(zhǔn)”的要求，課例按照“教學(xué)內(nèi)容解析”“教學(xué)目標(biāo)設(shè)置”“學(xué)生學(xué)情分析”“教學(xué)策略分析”“教學(xué)過程設(shè)計”五維度框架，或按照“內(nèi)容和內(nèi)容解析”“目標(biāo)和目標(biāo)分析”“教學(xué)問題診斷”“教學(xué)媒體設(shè)計”“教學(xué)過程設(shè)計”“目標(biāo)檢測設(shè)計”六維度框架進(jìn)行設(shè)計，使教學(xué)設(shè)計質(zhì)量得到了基本保證.

此外，本次活動展示的課例按照“單元設(shè)計基礎(chǔ)上的課時教學(xué)設(shè)計”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，追求從“四基”“四能”到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)結(jié)果. 通過教學(xué)設(shè)計，幫助學(xué)生掌握核心知識，領(lǐng)悟內(nèi)容蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法，感悟用數(shù)學(xué)的方式觀察、思考與表達(dá)，學(xué)會有邏輯地思考，發(fā)展理性思維. 同時，教學(xué)設(shè)計注重學(xué)習(xí)結(jié)果的可遷移性，舉一反三、觸類旁通；解決數(shù)學(xué)內(nèi)外問題，在綜合實踐活動中形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3. 明確基本套路，增強數(shù)學(xué)整體性

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一大特點是整體性，這種整體性主要表現(xiàn)在如下幾個方面.

（1）同一主題內(nèi)容中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)整體性——縱向聯(lián)系，主要包括一個內(nèi)容的不同認(rèn)知層次、不同角度認(rèn)識之間內(nèi)在的一致性和關(guān)聯(lián)性，以及認(rèn)識不同方面內(nèi)容所采用的類似過程與思想方法.

（2）具有內(nèi)在聯(lián)系的不同內(nèi)容之間的實質(zhì)性關(guān)聯(lián)所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)整體性——橫向聯(lián)系.

（3）不同領(lǐng)域的融合所體現(xiàn)的整體性——綜合貫通，主要是幾何與代數(shù)之間的融合，體現(xiàn)了不同數(shù)學(xué)思想與方法之間的融合，形成具有統(tǒng)一性、內(nèi)在一致性的數(shù)學(xué)一般觀念，這是在最高層面上體現(xiàn)的數(shù)學(xué)整體性，其統(tǒng)攝性最強、適用性最廣.

學(xué)科知識整體架構(gòu)如圖1所示.

4. 發(fā)揮一般觀念引領(lǐng)作用，提升課堂教學(xué)品位

所謂一般觀念，是對內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想和方法的進(jìn)一步提煉和概括，是對數(shù)學(xué)對象的定義方式有哪些、幾何性質(zhì)指什么、代數(shù)性質(zhì)指什么、函數(shù)性質(zhì)指什么、概率性質(zhì)指什么等問題的一般性回答，是研究數(shù)學(xué)對象的方法論，對學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的方式對事物進(jìn)行觀察、思考、分析，以及發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題等都具有指路明燈的作用.

能自覺運用一般觀念指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與探究活動是實現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”跨越的表現(xiàn)，是理性思維得到良好發(fā)展的表現(xiàn)，也是學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)的標(biāo)志.

5. 學(xué)生主體意識進(jìn)一步加強

本次活動展示的課例，注重創(chuàng)設(shè)體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展需要、數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系的情境，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的必然性；注重精心設(shè)計學(xué)生活動，采取問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)的方式，讓學(xué)生帶著問題開展探索活動，將轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式落在實處.

本次活動展示的課例普遍采用啟發(fā)式、互動式、探究式教學(xué)，注重學(xué)生參與，讓學(xué)生有主動學(xué)習(xí)的機(jī)會，教師采用追問的方式推動學(xué)生的數(shù)學(xué)理解.

6. 以邏輯連貫、具有思維挑戰(zhàn)性的問題串引導(dǎo)學(xué)生開展系列化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動

問題的水平體現(xiàn)了思維教學(xué)的水平，高水平的問題存在以下要點.

（1）反映當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì).

（2）在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，對學(xué)生的思維形成挑戰(zhàn)性——“窗戶紙”不能捅破.

（3）具有可發(fā)展性，形成系列問題.

（4）具有可模仿性，實現(xiàn)從“問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生思維”到“學(xué)生自主提問，展開創(chuàng)新學(xué)習(xí)”的過渡.

在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生的基礎(chǔ)上才能提出高水平的問題.

7. 遵循概念認(rèn)知規(guī)律，經(jīng)歷完整學(xué)習(xí)過程

注重遵循認(rèn)知心理學(xué)關(guān)于概念獲得的相關(guān)理論，普遍注重以概念形成的方式安排學(xué)習(xí)過程，完成“情境與問題—共性分析與歸納—抽象本質(zhì)特征、下定義—關(guān)鍵詞辨析—簡單應(yīng)用—聯(lián)系與綜合”的過程，讓學(xué)生在觀察與實驗、分析與綜合、歸納與概括中經(jīng)歷概念的抽象過程，把數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng)滲透其中.

引入的必要性、概念抽象的過程性得到比較好的體現(xiàn).

8. 定理、法則、公式等注重自主發(fā)現(xiàn)

教學(xué)設(shè)計中，在“如何使學(xué)生想得到”上下了較多的功夫，力爭通過問題情境促使學(xué)生實現(xiàn)自主發(fā)現(xiàn). 例如，本次活動的指定課題，都要求通過恰當(dāng)?shù)膯栴}情境引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題成為必然而不是“撞大運”.

9. 展示教師表現(xiàn)良好

展示教師充分準(zhǔn)備，克服了許多困難，高質(zhì)量、圓滿地完成了指定課題和展示任務(wù).

在本次活動中，參加展示的教師都表現(xiàn)出很強的親和力，自然大方，有激情. 課堂氣氛比較生動活潑，教學(xué)效果普遍較好. 對“錄像課展示與自述”到底“展示”什么、“自述”什么，理解到位的教師也在增加，各地區(qū)教師間的差異越來越不明顯.

10. 學(xué)術(shù)委員工作認(rèn)真負(fù)責(zé)

為了做好點評工作，各小組建立了學(xué)術(shù)委員微信群，多次召開專家組會議. 通過微信群明確點評任務(wù)，研討點評工作，形成共識.

本次活動線上舉行，遇到各種不熟悉的技術(shù)問題，大家群策群力，相互幫助，在中國教師研修網(wǎng)的強大技術(shù)力量支持下，圓滿解決問題，為大會直播奠定了良好的基礎(chǔ).

學(xué)術(shù)委員們事先觀看了完整的課堂錄像，預(yù)先寫好了點評提綱，并做好PPT，再結(jié)合選手的現(xiàn)場表現(xiàn)給予認(rèn)真點評. 點評效果很好，得到了廣大教師的普遍好評.

部分學(xué)術(shù)委員克服身體不適，堅持工作，非常令人感動.

三、今后需要努力的一些方面

1. 深刻認(rèn)識數(shù)學(xué)的育人價值：不僅僅是為了分?jǐn)?shù)和升學(xué)

數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用. 數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每個人應(yīng)該具備的基本素養(yǎng). 數(shù)學(xué)教育承載著落實立德樹人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能. 數(shù)學(xué)教育幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)知識、技能、思想和方法；提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)思維思考世界、會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界（以下統(tǒng)稱“三會”）；促進(jìn)學(xué)生思維能力、實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展，探尋事物變化規(guī)律，增強社會責(zé)任感；在學(xué)生形成正確的人生觀、價值觀和世界觀等方面發(fā)揮著獨特的作用.

2. 將育德和育智統(tǒng)一在課堂教學(xué)中

以數(shù)學(xué)知識技能為載體，創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生開展獨立思考、自主探究、合作交流，獲得“四基”，提高“四能”，形成數(shù)學(xué)的思維方式，培養(yǎng)理性思維和科學(xué)精神.

要防止貼標(biāo)簽式德育，防止庸俗化德育，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人特點，用數(shù)學(xué)的方式育人才有力量.

3. 大力加強思維教學(xué)

林崇德先生認(rèn)為，在核心素養(yǎng)的文化基礎(chǔ)方面有兩個問題，一個是人文底蘊，一個是科學(xué)精神. 人文底蘊與科學(xué)精神是核心素養(yǎng)中的兩大素養(yǎng)，其中的關(guān)鍵是思維教學(xué). 其中，科學(xué)精神包括理性思維、質(zhì)疑批判、勇于探索. 理性思維的重點是：崇尚真知，能理解和掌握基本的科學(xué)原理和方法；尊重事實和證據(jù)，有實證意識和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那笾獞B(tài)度；邏輯清晰，能運用科學(xué)的思維方式認(rèn)識事物、解決問題、指導(dǎo)行為等. 質(zhì)疑批判的重點是：具有問題意識；能獨立思考、獨立判斷；思維縝密，能多角度、辯證地分析問題，作出選擇和決定等. 勇于探索的重點是：具有好奇心和想象力；能不畏困難，有堅持不懈的探索精神；能大膽嘗試，積極尋求有效的問題解決方法等. 可以看到，科學(xué)精神發(fā)展的關(guān)鍵在于思維發(fā)展.

促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展是數(shù)學(xué)教學(xué)的永恒主題.“三會”作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，沒有離開新中國成立以來我國數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的發(fā)展軌跡，是在繼承基礎(chǔ)上的發(fā)展. 智力、能力發(fā)展的核心都是思維的發(fā)展；培養(yǎng)思維能力的關(guān)鍵在于培養(yǎng)抽象與概括能力；智力、能力發(fā)展的突破口是邏輯性（深刻性）、靈活性、創(chuàng)造性、批判性、敏捷性等思維品質(zhì)的培養(yǎng). 無論數(shù)學(xué)課程再怎么改，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展都是數(shù)學(xué)教學(xué)永恒的主題.

4. 理解數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)在路上

教學(xué)中出現(xiàn)的問題大多數(shù)源于對數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解不到位. 教學(xué)的站位不高，思想性不強，糾纏于細(xì)枝末節(jié)，導(dǎo)致培養(yǎng)核心素養(yǎng)乏力，原因在于對內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想和方法的理解深度不夠. 許多教師不知道該如何進(jìn)行“內(nèi)容解析”.

教學(xué)內(nèi)容主要指《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”中所規(guī)定的數(shù)學(xué)知識及由內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法，是實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的主要載體. 教學(xué)內(nèi)容解析的目的是在準(zhǔn)確理解內(nèi)容的基礎(chǔ)上做到教學(xué)的準(zhǔn)、精、簡. 這是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)、有效開展課堂教學(xué)、提高課堂教學(xué)質(zhì)量的前提.

教學(xué)內(nèi)容解析要做到：正確闡述教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)涵及由內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想和方法，并闡明其核心，明確教學(xué)重點；正確闡述當(dāng)前教學(xué)內(nèi)容的上位知識、下位知識，明確知識的來龍去脈；從知識發(fā)生發(fā)展過程角度分析內(nèi)容所蘊含的思維教學(xué)資源和價值觀教育資源.

內(nèi)容解析的基本結(jié)構(gòu)是：教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)涵；由內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想和方法；當(dāng)前教學(xué)內(nèi)容的上、下位知識，明確知識的來龍去脈；內(nèi)容的育人價值（從知識發(fā)生發(fā)展過程角度分析內(nèi)容中所蘊含的思維教學(xué)資源和價值觀教育資源）.

5. 加強對學(xué)生學(xué)習(xí)方式的研究

（1）課堂互動和課堂討論的質(zhì)量還有待提高.

教師缺乏對學(xué)習(xí)方式的研究，對課堂提問和課堂討論的相關(guān)理論知識了解不夠，缺乏有效組織學(xué)生自主、合作學(xué)習(xí)的方法，教師的指導(dǎo)能力有待提高.

（2）學(xué)習(xí)方式的變化.

調(diào)動各種感官參與數(shù)學(xué)認(rèn)知過程，通過學(xué)生自己的觀察、操作、實驗，獲得抽象數(shù)學(xué)概念、原理所需要的現(xiàn)實材料，在此基礎(chǔ)上開展歸納、類比，抽象、概括活動抽取共性獲得概念，發(fā)現(xiàn)規(guī)律獲得原理、性質(zhì)，獲得解決問題的方法的啟發(fā).

推行體驗式學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念、原理抽象概括的直接體驗，不僅有數(shù)學(xué)對象的要素、概念的內(nèi)涵的歸納，法則、性質(zhì)、公式等的歸納和發(fā)現(xiàn)，而且有“如何研究”“如何發(fā)現(xiàn)”的方法論感悟；使數(shù)學(xué)知識成為學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，為理解數(shù)學(xué)知識奠定堅實的基礎(chǔ)，同時對應(yīng)用知識的背景條件形成完整的認(rèn)識；使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為學(xué)生自己可以掌控的過程. 教之道在于度，學(xué)之道在于悟.“悟”是需要時間的，教師要學(xué)會等待，不要急于“自答”.

發(fā)揮非認(rèn)知因素的作用，激發(fā)學(xué)生的興趣、好奇心，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生以一種積極的態(tài)度投入探究活動中. 積極的情感體驗是激發(fā)靈感的強大動力，可以促使創(chuàng)造性思維的產(chǎn)生.

（3）教師要有正確的學(xué)生觀.

對未知事物的探索是學(xué)生的天性，需要教師倍加愛護(hù). 教師常常因為自己對學(xué)生心理的無知，低估學(xué)生的創(chuàng)造力而無意間扼殺了這種天性.

學(xué)生的創(chuàng)新思維需要教師激發(fā)，使學(xué)生學(xué)會思考是數(shù)學(xué)教育的意義所在.

要激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，教師自己應(yīng)該先學(xué)會思考，歸納、類比、推廣、特殊化是基本的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新之道.

以一般觀念為指導(dǎo)，通過問題引導(dǎo)思考，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)獨立概括概念、性質(zhì)、公式、法則的機(jī)會，這是教師的教學(xué)智慧所在.

6. 情境設(shè)計能力需要進(jìn)一步提高

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，教學(xué)情境包含生活情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境等. 情境單一的現(xiàn)象比較普遍，而且存在不適當(dāng)?shù)厥褂蒙钋榫澈涂茖W(xué)情境的情況. 主要問題如下.

（1）引入環(huán)節(jié)刻意聯(lián)系實際，不夠自然——幾乎所有的課都“從現(xiàn)實問題出發(fā)”.

（2）刻意設(shè)計探究、討論等活動環(huán)節(jié)等.

（3）情境設(shè)計不適切的情況仍然存在.

案例1：利用單位圓的性質(zhì)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì).

環(huán)節(jié)1：生活情境引入.

師：大家有沒有坐過摩天輪？老師在暑假的時候坐過一次摩天輪. 摩天輪是一直在勻速轉(zhuǎn)動的……

環(huán)節(jié)2：發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題.

師：如果把這個座艙抽象成在圓上轉(zhuǎn)動的點，把圓放在平面直角坐標(biāo)系中，直接取它的半徑為1，那就是我們熟悉的單位圓，如果再將這個點定義為角x的終邊與單位圓的交點，那么角x的三角函數(shù)值與點P的坐標(biāo)之間存在什么關(guān)系？

師：這就是單位圓中三角函數(shù)的定義，單位圓與三角函數(shù)有著天然的聯(lián)系，其實我們已經(jīng)從單位圓中得出了三角函數(shù)的同角關(guān)系和誘導(dǎo)公式. 今天這節(jié)課，我們繼續(xù)通過單位圓來研究正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì).

案例2：函數(shù)奇偶性的引入.

學(xué)生課前活動1：生活中，具有對稱性的圖形無處不在. 在建筑學(xué)中，簡單的結(jié)構(gòu)因?qū)ΨQ的應(yīng)用而恢宏穩(wěn)定，給人一種平衡、和諧的視覺感受. 對稱是中國建筑最大的特色之一. 在品牌標(biāo)志中，簡單的圖形因?qū)ΨQ的應(yīng)用而紛繁美麗，有利于快速樹立品牌形象，打造知名度. 大家課前搜索資料，將你熟悉的具有對稱性的建筑或品牌標(biāo)志的圖片上傳到問卷星鏈接中.

學(xué)生課前活動2：畫冪函數(shù)的圖象.

在課堂中，巧設(shè)情境，引入新知.

如果我們將圖2中廈門海滄隧道（世界十大跨海公路隧道）的雙連拱部分和圖3中中國移動標(biāo)識的淺色部分分別抽象成曲線，并按照圖4和圖5的方式建立平面直角坐標(biāo)系，就會發(fā)現(xiàn)這兩條曲線對應(yīng)的函數(shù)的圖象分別關(guān)于y軸和原點對稱.

【設(shè)計意圖】通過具有對稱性的中國建筑物和國產(chǎn)品牌標(biāo)志的真實情境連接教學(xué)內(nèi)容和現(xiàn)實生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引出研究函數(shù)圖象的對稱性的必要性，即研究函數(shù)奇偶性的目的是什么.

【點評】數(shù)學(xué)教學(xué)情境應(yīng)當(dāng)具有豐富性，不僅僅是現(xiàn)實生活情境，還可以是數(shù)學(xué)情境，也可以是科學(xué)情境，要看教學(xué)內(nèi)容的需要. 在數(shù)學(xué)對象的引入階段，需要創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實生活情境、科學(xué)情境等，因為函數(shù)、幾何與代數(shù)、統(tǒng)計、概率等都有明確的現(xiàn)實生活背景或科學(xué)背景. 在數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程中，要加強從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問題的思考，多用特殊化、類比、推廣等策略. 例如，基本初等函數(shù)的性質(zhì)、圖形的性質(zhì)、概率的性質(zhì)等一般不要用現(xiàn)實背景，如果用現(xiàn)實背景，反而會破壞數(shù)學(xué)研究的內(nèi)在邏輯，不能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)科特點——基于概念的推理.

上面兩個案例，都是在研究函數(shù)的性質(zhì). 從概念到性質(zhì)應(yīng)該是基本的研究路徑，直接提出“這類函數(shù)有怎樣的變化規(guī)律”即可，不需要從現(xiàn)實生活背景出發(fā).

7. 提問能力需要進(jìn)一步提高——在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生的基礎(chǔ)上設(shè)計問題

案例3：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系中的提問.

問題1：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有相等關(guān)系. 那么，終邊相同的角的不同三角函數(shù)值之間是否也有某種關(guān)系？為什么？

生1：終邊相同的角的三個三角函數(shù)值是由同一個點得到的，所以它們必然有關(guān)系．

【設(shè)計意圖】終邊相同的角的三個三角函數(shù)值之間如果沒有關(guān)系，則沒有研究的必要，通過問題引導(dǎo)學(xué)生明確探索的方向，堅定探索的信心．

問題2：終邊相同的角有無窮多個，那么，如何研究多個角的三角函數(shù)值的關(guān)系？

生2：因為終邊相同的角的三個三角函數(shù)值分別相等，所以只要用一個角代替所有終邊相同的角即可．

【設(shè)計意圖】利用誘導(dǎo)公式一，簡化探究內(nèi)容．

問題3：如何探索？已知什么？能得到什么？

生3：已知三角函數(shù)的定義，易得[tanα=yx=sinαcosα.]

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生利用聯(lián)系的觀點進(jìn)行探索，利用運算發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)關(guān)系．

問題4：還有什么關(guān)系？三角函數(shù)是用點P的坐標(biāo)定義的，那么坐標(biāo)的含義是什么？啟發(fā)我們?nèi)绾翁骄浚?/p>

生4：坐標(biāo)的含義啟發(fā)我們利用幾何意義進(jìn)行探究.

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生利用聯(lián)系的觀點，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題．

問題5：如圖6，[MP]和[OM]有什么關(guān)系？

生5：根據(jù)勾股定理，得到[MP2+OM2=1.] 所以sin2α + cos2α = 1．

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生通過幾何直觀聯(lián)系直角三角形，從而聯(lián)系勾股定理，得到線段長的數(shù)量關(guān)系，探究三角函數(shù)的平方關(guān)系．

問題6：[x]就是[OM，y]就是[MP]嗎？

生6：不是，絕對值才是．

問題7：[MP2+OM2=1]任何時候都成立嗎？

生7：不是，要有直角三角形，也就是點P不在坐標(biāo)軸上．點P在坐標(biāo)軸上時，結(jié)論依然成立．

問題8：[tanα=sinαcosα]任何時候都成立嗎？

生8：不是，[tanα]要有意義，[cosα≠0，] 也就是角[α]的終邊不在y軸上，即[α≠π2+kπ k∈Z.]

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，思考推理的嚴(yán)謹(jǐn)性.

探究流程：發(fā)現(xiàn)問題—明確問題—簡化問題—研究關(guān)系—得出結(jié)論—結(jié)果精細(xì)化.

【點評】這個教學(xué)過程存在的不足是：問題瑣碎導(dǎo)致碎片化學(xué)習(xí).

這里的教學(xué)要注意如下幾個方面：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式是三角函數(shù)的性質(zhì)；從定義出發(fā)研究性質(zhì)是數(shù)學(xué)研究的“基本之道”；單位圓是三角函數(shù)定義的“腳手架”，所以在發(fā)現(xiàn)問題“三個三角函數(shù)定義是基于同一個背景的，那么它們一定有內(nèi)在聯(lián)系”，明確“只要探究同一個角的三個三角函數(shù)之間的關(guān)系”后，應(yīng)該畫出單位圓，通過幾何直觀得出單位圓中相關(guān)線段的關(guān)系，后續(xù)的對稱性也是這樣. 特別提醒，“相同背景下的幾個事物之間一定有內(nèi)在聯(lián)系”，這是指引發(fā)現(xiàn)的一般觀念.

8. 進(jìn)一步增強課堂的開放性

我們的課堂仍然比較封閉，往前走一步，才能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維：不能總是教師提出一個任務(wù)，學(xué)生去完成.

對于學(xué)生會做的事情和學(xué)生經(jīng)過努力可以解決的問題，要放手讓學(xué)生自己去做. 這個道理教師都懂，但是在實際教學(xué)中做起來卻是另一回事. 要發(fā)揮一般觀念的思維引領(lǐng)作用，在方法乃至方法論上多加點撥，不要輕易把“窗戶紙”捅破.

案例4：斐波那契數(shù)列的教學(xué).

活動1：如果一對兔子每月能生一對小兔子（一雄一雌），而每一對小兔子在它出生后的第三個月里，又能生一對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，由一對初生的小兔子開始，1年后會有多少對兔子？

具體數(shù)據(jù)如表1所示.

除了遞推公式的性質(zhì)外，還有什么性質(zhì)？

我們來看看相鄰項之比怎么樣. 隨后，教師用信息技術(shù)計算“后項與前項之比”“前項與后項之比”，讓學(xué)生觀察規(guī)律.

【點評】這里的關(guān)鍵問題是什么？是如何想到“做比值”的？其實在指數(shù)函數(shù)的概念、等比數(shù)列等教學(xué)中都有這方面的經(jīng)驗. 要發(fā)揮“代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運算”這一一般觀念的統(tǒng)領(lǐng)作用，引導(dǎo)學(xué)生思考“從哪些角度研究”“研究哪些問題”等.

這里的規(guī)律，靠觀察無法發(fā)現(xiàn)，只有靠實實在在地計算，從加、減、乘、除、乘方、開方等入手，讓學(xué)生自己動手.

9. 提高處理“預(yù)設(shè)”與“生成”關(guān)系的能力

問題提出后教師急于引導(dǎo)、提示，留給學(xué)生獨立思考的時間和空間不夠. 對于超出預(yù)設(shè)的學(xué)生回答或提問，教師不予理睬. 教師講得多、講得不得法的現(xiàn)象仍然存在. 有些教師把有思維含金量的內(nèi)容都留給自己講解了.

10. 提升課堂小結(jié)的思想性和思維層次

課堂小結(jié)的基本結(jié)構(gòu)：“四基” + “四能”. 也就是說，可以按照如下結(jié)構(gòu)設(shè)計小結(jié)的問題.

（1）學(xué)習(xí)了哪些知識？是按照怎樣的過程學(xué)習(xí)的？

（2）掌握了哪些技能？具體步驟是怎樣的？

（3）領(lǐng)悟到了哪些思想方法？是在解決什么問題中領(lǐng)悟到的？

（4）學(xué)習(xí)中，對今后有啟發(fā)借鑒意義的學(xué)習(xí)經(jīng)驗有哪些？

要注意，知識的回顧應(yīng)該包含過程，而不僅僅是知識點的羅列.

師：今天我們學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想方法呀？

生：我們學(xué)了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想……

脫離內(nèi)容的數(shù)學(xué)思想方法是沒有力量的.“今天我們發(fā)展了如下核心素養(yǎng)”之類的總結(jié)更是非常離譜！

小結(jié)中應(yīng)該有反思性問題、批判性問題.（我們是如何發(fā)現(xiàn)……的？這個方法是如何想到的？你認(rèn)為研究直線與平面垂直的性質(zhì)就是要研究什么？你覺得還可以研究哪些問題？……）

小結(jié)是課堂教學(xué)的一部分，完整的學(xué)習(xí)過程非常重要.

沒有反思、總結(jié)、歸納、概括的學(xué)習(xí)會導(dǎo)致“入寶山卻空手而返”，這是教學(xué)效率低下的根源之一.

11. 加強過程性評價和形成性評價研究

課堂教學(xué)中的評價反饋比較薄弱，主要表現(xiàn)在如下方面.

（1）有的教師在課堂上對學(xué)生回答問題的反饋指導(dǎo)性和針對性不強，沒能及時指出學(xué)生回答中存在的問題，或?qū)W(xué)生課堂上的生成不能合理回應(yīng).

（2）過程性評價的語言比較貧乏，大量出現(xiàn)“你真棒，掌聲鼓勵”.

（3）作業(yè)布置還比較傳統(tǒng)，作業(yè)的內(nèi)容和形式都有局限性，離“提高作業(yè)設(shè)計質(zhì)量，精心設(shè)計基礎(chǔ)性作業(yè)，適當(dāng)增加探究性、實踐性、綜合性作業(yè)”的要求還有距離.

案例5：直線與方程單元復(fù)習(xí)課.

師：我們用斜率來刻畫直線的方向，結(jié)合給定的點，得到了點斜式；通過給定的兩個點，我們得到了兩點式. 除此之外，還有哪些方程的形式呢？

生1：還有斜截式和一般式.

師：有人說“直線的其他形式都是點斜式的推論”，你同意嗎？

生2：我不同意. 因為這幾個方程的適用范圍不同.

師：如果說這幾個方程在各自的范圍內(nèi)，你認(rèn)為這幾個方程能否用點斜式推導(dǎo)呢？

生2：由直線的點斜式方程推導(dǎo)直線的斜截式方程，就是讓一個點取在[y]軸上. 其他形式的直線方程也都可以通過這種轉(zhuǎn)換方式得到. 所以可以由直線的點斜式方程推導(dǎo)得到其他形式的直線方程.

師：剛才生2談到，由直線的點斜式方程經(jīng)過特殊化處理可以得到直線的斜截式方程. 那么，將直線的兩點式方程特殊化為直線與兩個坐標(biāo)軸的交點，我們就得到了直線的截距式方程. 事實上，直線上的兩點確定也就相當(dāng)于確定了這條直線的方向，所以直線的兩點式方程也可以由直線的點斜式方程推導(dǎo)出來. 而我們知道，這幾種形式的直線方程都可以化為一般式. 這樣看來，這種說法確實有一定的道理.

【點評】在這段對話中，教師幫助學(xué)生解決了“直線的其他方程形式都是直線的點斜式方程的推論”的認(rèn)識問題. 所以，在最后，教師不應(yīng)該自己說“這樣看來，這種說法確實有一定的道理”，而應(yīng)該用問題“你現(xiàn)在還不同意嗎？”問一問學(xué)生，讓學(xué)生自己說出“這是有道理的”.

案例6：余弦函數(shù)的對稱軸.

生1：我們通過探究得到，余弦函數(shù)的對稱軸不是只有x = 0 一條. 當(dāng)[k∈N]時，x = 2kπ，x = 2kπ + π也是余弦函數(shù)的對稱軸. 綜合一下，[x=kπ k∈N]都是余弦函數(shù)的對稱軸.

師：非常好！生1稍微有點口誤，應(yīng)該是角的終邊逆時針轉(zhuǎn)動一周角時，角增加2π. 他發(fā)現(xiàn)在單位圓中不僅可以得到余弦函數(shù)的奇偶性，而且還可以推廣到余弦函數(shù)的所有對稱軸都可以從單位圓中得到……

【點評】教師在這里應(yīng)該回應(yīng)什么？

要從本質(zhì)上引導(dǎo)學(xué)生思考，從而提高學(xué)生對周期函數(shù)的認(rèn)識水平. 余弦函數(shù)的對稱軸是[x=kπ k∈N，]有無數(shù)條，具有循環(huán)往復(fù)的特征，體現(xiàn)了余弦函數(shù)的周期性.

12. 要防止的一些現(xiàn)象

（1）總是全班齊答問題.

（2）讓學(xué)生各自證明，教師又采取自己的方式完成講解.

（3）較多錄像課上學(xué)生沒有帶教材.

（4）幾何內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計一張圖都沒有.

……