時(shí)天昊, 白銀山, 沈 堤, 沈志遠(yuǎn)

(1.南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院,南京,211106;2.94116部隊(duì),新疆和田,848000;3.空軍工程大學(xué)空管領(lǐng)航學(xué)院,西安,710051)

根據(jù)《“十四五”民用航空發(fā)展規(guī)劃》,預(yù)計(jì)到2025年,民用運(yùn)輸機(jī)場(chǎng)數(shù)量達(dá)到270個(gè)以上,保障起降架次1 700萬(wàn)。民航的快速發(fā)展導(dǎo)致機(jī)場(chǎng)終端區(qū)的頻譜資源需求及安全隱患大大增加,對(duì)頻譜的快速高效監(jiān)測(cè)可以指導(dǎo)頻譜的智能管理。在機(jī)場(chǎng)終端管制區(qū)認(rèn)知無(wú)線電技術(shù)可以包括:利用信號(hào)能量檢測(cè)實(shí)現(xiàn)信號(hào)狀態(tài)感知及稀疏化處理,將電磁信號(hào)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制信號(hào),并將二進(jìn)制信號(hào)作為測(cè)量信號(hào),引入寬帶壓縮頻譜感知模型,利用壓縮感知[1](compressed sensing,CS)算法進(jìn)行信號(hào)傳遞后的重構(gòu)工作。壓縮感知可以在較小的采樣頻率的情況下對(duì)頻譜進(jìn)行高精度監(jiān)測(cè),同時(shí)在廣播式自動(dòng)相關(guān)監(jiān)視(automatic dependent surveillance-broadcast, ADS-B)的來(lái)波信號(hào)估計(jì)、干擾抑制、空管數(shù)據(jù)處理等方面也有著廣泛的應(yīng)用。

壓縮感知算法是一種高效的信號(hào)采集及重構(gòu)算法,該算法在采樣頻率遠(yuǎn)低于奈奎斯特頻率情況下依然有著優(yōu)秀的重構(gòu)精度,大大降低了信號(hào)的傳輸量,在圖像重建[2]、遠(yuǎn)距離通信[3]等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景。對(duì)于壓縮感知的研究主要集中在測(cè)量矩陣構(gòu)造、信號(hào)稀疏表示、重構(gòu)算法3個(gè)方面[4]。重構(gòu)算法的選擇直接影響著信號(hào)恢復(fù)的精度及速度。重構(gòu)算法主要有組合類算法、凸優(yōu)化類算法和貪婪追蹤類算法3種[5]。貪婪類算法憑借復(fù)雜度低,重構(gòu)效果好,收斂速度快等特點(diǎn)得到了廣泛應(yīng)用。貪婪算法需要較多的先驗(yàn)信息,然后在每次迭代過(guò)程中,不斷地將迭代目標(biāo)像原始信號(hào)靠近,并通過(guò)設(shè)定一個(gè)收斂條件來(lái)結(jié)束算法,從而達(dá)到具有較高重構(gòu)精度的信號(hào)。常用的貪婪類算法包括匹配追蹤[6]、正交匹配追蹤[7]、正則化正交匹配追蹤[8]、分段正交匹配追蹤[9]、壓縮采樣匹配追蹤[10]、子空間追蹤算法[11]。但是上述介紹的算法一般需要先驗(yàn)參數(shù)稀疏度K來(lái)確定迭代的次數(shù),在實(shí)際運(yùn)用中不具備較高的應(yīng)用性,為了解決這個(gè)問(wèn)題,文獻(xiàn)[12]提出了稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤算法(sparsity adaptive matching pursuit,SAMP),該算法在稀疏度未知的情況下依舊具有較高的重構(gòu)精度。SAMP算法在迭代過(guò)程中的原子篩選標(biāo)準(zhǔn)均采用的是內(nèi)積匹配準(zhǔn)則,有時(shí)會(huì)導(dǎo)致2個(gè)相似原子信息的丟失,降低重構(gòu)精度。SAMP-RB算法[13]在原子篩選階段采用了正則化回溯的思想,用正則化進(jìn)行原子的二次篩選,大大提高了重構(gòu)精度,但是由于增加了二次篩選,其算法運(yùn)行時(shí)間也大大增加。文獻(xiàn)[14]提出的DSAMP算法用Dice系數(shù)代替了SAMP算法中的內(nèi)積匹配準(zhǔn)則進(jìn)行原子篩選,Dice系數(shù)可以更好地突出殘差信號(hào)中的重要元素組成部分,更準(zhǔn)確的選擇符合信號(hào)重構(gòu)的原子,大大提高了重構(gòu)精度。同時(shí),SAMP算法在運(yùn)行前需要進(jìn)行一個(gè)固定步長(zhǎng)設(shè)置,過(guò)大的步長(zhǎng)設(shè)置會(huì)導(dǎo)致算法的精度達(dá)無(wú)法達(dá)到理想效果,而過(guò)小的步長(zhǎng)設(shè)置會(huì)降低算法的運(yùn)行效率。文獻(xiàn)[15]將變步長(zhǎng)的思想引入到算法之中,作者利用Sigmoid函數(shù)作為變步長(zhǎng)的判斷條件,利用大步長(zhǎng)逼近,小步長(zhǎng)漸進(jìn)的方法提高了算法的重構(gòu)精度及運(yùn)行效率。SAMP-PVRB[16]不僅采用了正則化回溯的思想,還將拋物線函數(shù)和變步長(zhǎng)思想結(jié)合,函數(shù)的變化率與算法迭代過(guò)程中步長(zhǎng)的大小變化呈正相關(guān),取得了良好的效果。在變步長(zhǎng)思想中增加初始稀疏度估計(jì)有助于大小步長(zhǎng)的設(shè)置,降低算法的迭代次數(shù),Gao[17]根據(jù)定理:稀疏度小于等于測(cè)量數(shù)的1/4時(shí),信號(hào)可以完全準(zhǔn)確地重建。將初始稀疏度大小設(shè)置為測(cè)量數(shù)的1/4進(jìn)行取根號(hào)處理,與未設(shè)置初始稀疏度情況相比重構(gòu)效率大大提高。

由于民航終端區(qū)頻譜資源態(tài)勢(shì)復(fù)雜,以上方法在解決頻譜感知等問(wèn)題時(shí)的精度及效率還未達(dá)到要求,為解決上述問(wèn)題,本文提出了一種基于SAMP算法改進(jìn)的算法:JTVS-SAMP(J代表廣義Jaccard系數(shù),T代表t-平均相關(guān)系數(shù),VS代表變步長(zhǎng)思想)。該算法在原子篩選過(guò)程中,利用廣義Jaccard系數(shù)代替了SAMP算法中的內(nèi)積匹配準(zhǔn)則,并引入t-平均相關(guān)系數(shù)對(duì)初始稀疏度進(jìn)行預(yù)測(cè)來(lái)確定算法迭代的初始步長(zhǎng),同時(shí)引入了變步長(zhǎng)的思想來(lái)優(yōu)化算法的重構(gòu)效率和重構(gòu)精度。

1 壓縮感知

1.1 壓縮感知的概述

壓縮感知的流程如圖1所示[18],主要分為3步:信號(hào)稀疏表示、信號(hào)采樣、信號(hào)重構(gòu)。

圖1 壓縮感知流程圖

常用的信號(hào)稀疏化處理包括小波變換[19]、曲波變換[20]、離散傅里葉變換[21]等。圖1中,Ψ是N×N維稀疏表示陣,x∈RN是長(zhǎng)度為N的一維信號(hào),經(jīng)過(guò)稀疏表示陣處理后,信號(hào)就具備了稀疏性,數(shù)學(xué)表達(dá)為:

y=ΦΨx=Θx

(1)

式中:y∈RM為壓縮信號(hào);Φ表示測(cè)量矩陣;Θ=ΦΨ為M×N的感知矩陣。

如果一個(gè)信號(hào)本來(lái)就具備稀疏性且為一維的,那就可以直接使用一個(gè)測(cè)量矩陣來(lái)對(duì)信號(hào)進(jìn)行測(cè)量,數(shù)學(xué)表達(dá)為:

y=Φx

(2)

式中:Φ∈RM×N,M?N為測(cè)量矩陣;y是被測(cè)量矩陣測(cè)量后的測(cè)量信號(hào)。

在信號(hào)的采樣過(guò)程中,會(huì)丟棄原始信號(hào)x大量的無(wú)用信息,因此測(cè)量信號(hào)會(huì)有一定程度上的能量缺失,Tao和Candès證明了稀疏度為K的測(cè)量信號(hào)要從M個(gè)測(cè)量值準(zhǔn)確的進(jìn)行信號(hào)重構(gòu),就要保證測(cè)量矩陣Φ滿足有限等距特性[22](restricted isometry property,RIP)。

信號(hào)重構(gòu)過(guò)程即對(duì)式(2)的逆向求解過(guò)程。在式中M?N,因此x的解會(huì)有無(wú)窮多個(gè),考慮到x具有稀疏性,可以把信號(hào)重構(gòu)過(guò)程轉(zhuǎn)換成l0范數(shù)問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算[23],信號(hào)重構(gòu)的數(shù)學(xué)模型可表示為:

(3)

式中:‖·‖0是一個(gè)非凸函數(shù),代表輸入信號(hào)中非零元素?cái)?shù)量,對(duì)于公式的求解屬于NP(non-deterministic polynomial,NP)難問(wèn)題,無(wú)法直接求解,文獻(xiàn)[24]將L0范數(shù)最小化問(wèn)題轉(zhuǎn)換成了更加簡(jiǎn)單的L1范數(shù)最小化問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)了從非凸向凸的轉(zhuǎn)變,計(jì)算式如下:

(4)

1.2 SAMP算法

SAMP算法是貪婪類算法的一種,該算法不需要稀疏度K等先驗(yàn)信息,更符合自然界信號(hào)的實(shí)際情況。算法步驟流程如下:

表1 SAMP算法步驟

2 JTVS-SAMP算法

2.1 算法改進(jìn)

2.1.1 基于廣義Jaccard系數(shù)的原子篩選

傳統(tǒng)的SAMP算法采用了內(nèi)積匹配準(zhǔn)則[25]來(lái)作為原子篩選標(biāo)準(zhǔn),原子與迭代過(guò)程中的殘差匹配度越高,其內(nèi)積計(jì)算結(jié)果越大,將該原子加入到支撐集中就可以更快地逼近原始信號(hào),可以達(dá)到較為優(yōu)秀的重構(gòu)精度,內(nèi)積匹配準(zhǔn)則表達(dá)式為:

(5)

式中:x=(x1,x2,…,xn);y=(y1,y2,…,yn)。

由于內(nèi)積匹配準(zhǔn)則更多地考慮了原子和信號(hào)殘差之間角度的差距,缺乏對(duì)信號(hào)本身的關(guān)注,這會(huì)導(dǎo)致在原子篩選過(guò)程中會(huì)忽略2個(gè)相似度較高的原子,造成信號(hào)丟失,降低重構(gòu)質(zhì)量。為了避免上述情況的出現(xiàn),引用了廣義jaccard系數(shù)來(lái)代替內(nèi)積匹配準(zhǔn)則[23],計(jì)算式如下:

(6)

由式(6)可以看出,廣義jaccard系數(shù)可以反應(yīng)出2個(gè)向量之間的相似度。分母上放大了2個(gè)原子的差異部分,減去了兩者的相似部分,使得原子不容易混淆,減少了重要信息的丟失,使得重構(gòu)精度大大提升。

2.1.2 初始稀疏度的預(yù)估計(jì)

準(zhǔn)確合適的初始稀疏度估計(jì)可以指導(dǎo)設(shè)置初始步長(zhǎng),有效地減少迭代次數(shù),提高運(yùn)行效率,本文采用的稀疏估計(jì)策略基于如下性質(zhì)[26]:

當(dāng)滿足RIP條件的測(cè)量矩陣Φ在稀疏度K下有以下規(guī)定時(shí):

(7)

式中:‖Λ‖0=K0,則K0

式(7)中RIP系數(shù)δK計(jì)算復(fù)雜,不容易通過(guò)計(jì)算得出準(zhǔn)確結(jié)果。δK與矩陣的正交性呈正相關(guān),其值的大小與信號(hào)采樣過(guò)程中保留的原始信號(hào)信息有關(guān),與0越靠近代表保存的原始信息更完整。根據(jù)上述特點(diǎn),引入了t-平均相關(guān)系數(shù)來(lái)代替RIP系數(shù)δK,可以在保證稀疏度估計(jì)精確度的同時(shí)大大降低計(jì)算復(fù)雜度,如式(8)所示:

(8)

式中:μt(Φ)是測(cè)量矩陣Φ的t-平均相關(guān)系數(shù)。

t-平均相關(guān)系數(shù)作為測(cè)量矩陣的評(píng)價(jià)指標(biāo),定義如下[27]:

(9)

由此,可以對(duì)初始稀疏度K0進(jìn)行估計(jì),初始化K0=1,代入式(8)進(jìn)行驗(yàn)證,如果滿足條件,則K0=K0+1,繼續(xù)代入公式驗(yàn)證,否則就結(jié)束迭代并輸出K0。

2.1.3 迭代過(guò)程中的變步長(zhǎng)處理

在測(cè)量矩陣滿足RIP條件的前提下,測(cè)量信號(hào)y與原始稀疏信號(hào)x滿足以下關(guān)系[17]:

(10)

雖然考慮了大小步長(zhǎng)變化的方法來(lái)平衡重構(gòu)效率及重構(gòu)精度之間的平衡,但是由于稀疏度K的未知性,無(wú)法準(zhǔn)確地確定算法迭代的次數(shù),若在最后一次迭代計(jì)算時(shí),步長(zhǎng)S仍然有著較大的值,可能會(huì)導(dǎo)致過(guò)估計(jì)[28]的現(xiàn)象,為了避免出現(xiàn)上述情況,結(jié)合回溯的思想,本文提出了一種步長(zhǎng)S的處理方法。若最后一次迭代過(guò)程中,步長(zhǎng)S=1,就不進(jìn)行額外處理;若S>1,則將迭代中的參數(shù)回溯至上次迭代的數(shù)據(jù),然后以步長(zhǎng)S=1繼續(xù)迭代,直到再一次滿足迭代結(jié)束條件,經(jīng)過(guò)回溯處理后,重構(gòu)信號(hào)的誤差會(huì)大大降低。

2.2 算法步驟

根據(jù)以上改進(jìn)措施,本文在SAMP算法的基礎(chǔ)上提出了JTVS-SAMP算法,步驟流程如下:

表2 JTVS-SAMP算法步驟

3 仿真結(jié)果及對(duì)比分析

為了比較本算法和其他算法重構(gòu)精度及重構(gòu)效率上的優(yōu)越性,本文選擇一維高斯隨機(jī)稀疏信號(hào)來(lái)模擬算法所需的測(cè)量信號(hào),該信號(hào)可以有效的模擬機(jī)場(chǎng)終端區(qū)信號(hào)經(jīng)過(guò)能量檢測(cè)處理后的信道狀態(tài)[27]。測(cè)量矩陣Φ選擇為高斯隨機(jī)矩陣進(jìn)行信號(hào)采樣,實(shí)驗(yàn)中所采用的對(duì)比算法為實(shí)驗(yàn)選用OMP、CoSaOMP、SP、gOMP、SAMP,參數(shù)設(shè)置見(jiàn)表3。

表3 仿真參數(shù)表

本文所有實(shí)驗(yàn)運(yùn)行的平臺(tái)為MATLAB R2022a,計(jì)算機(jī)配置為Intel i5-6500 CPU @ 3.20Hz,8.00 GB RAM,Windows 7。為避免額外因素干擾,程序運(yùn)行期間保證后臺(tái)其余程序全部關(guān)閉。

3.1 不同觀測(cè)值下的算法重構(gòu)成功率

每種算法實(shí)驗(yàn)重復(fù)500次,運(yùn)行結(jié)果見(jiàn)圖2。

圖2 不同觀測(cè)值信號(hào)重構(gòu)成功率

從圖中的曲線我們可以看出,隨著測(cè)量數(shù)M的的增加,各個(gè)算法的信號(hào)重構(gòu)成功率都有較大的提升。50

3.2 不同稀疏度下的算法重構(gòu)成功率

圖3 不同稀疏度信號(hào)重構(gòu)成功率

從圖3可以看出,在測(cè)量值為定值的情況下,隨著稀疏度K的增加,所有的算法信號(hào)重構(gòu)成功率均呈現(xiàn)不同程度的下降。JTVS-SAMP算法下降速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)慢于其它算法,在稀疏度K=65的時(shí),依然保持著一定的信號(hào)重構(gòu)成功率,而SAMP算法的重構(gòu)成功率已經(jīng)接近0。

3.3 不同算法的重構(gòu)誤差比較

為了驗(yàn)證JTVS-SAMP算法及SAMP算法在信號(hào)重構(gòu)成功情況下其重構(gòu)精度的優(yōu)劣,我們引入了重構(gòu)誤差這個(gè)指標(biāo)來(lái)表示重構(gòu)信號(hào)和原始信號(hào)的相似性,重構(gòu)誤差越大,代表信號(hào)重構(gòu)效果越差,計(jì)算公式如下:

(11)

選擇K=30,35,40共3個(gè)稀疏度。SAMP算法的步長(zhǎng)設(shè)置由2～8,選取步長(zhǎng)為4和8兩種情況進(jìn)行對(duì)比分析。對(duì)每個(gè)特定K值條件下仿真1 000次,統(tǒng)計(jì)仿真結(jié)果計(jì)算信號(hào)的平均重構(gòu)誤差,見(jiàn)表4。

表4 重構(gòu)誤差對(duì)比表

由表格可得,隨著稀疏的K的增加,JTVS-SAMP、SAMP-4和SAMP-8的重構(gòu)誤差都會(huì)逐漸增大,SAMP-4相比于SAMP-8,采用了更小的步長(zhǎng)設(shè)置,在算法迭代過(guò)程中具有更高的精度,因此其重構(gòu)誤差小于SAMP-8的重構(gòu)誤差。JTVS-SAMP的重構(gòu)誤差略優(yōu)于SAMP-4算法,這是因?yàn)镴TVS-SAMP算法利用廣義Jaccard系數(shù)篩選原子、小步長(zhǎng)逼近等措施,使得該算法具有較高的精度。

3.4 不同信號(hào)采樣率情況下的重構(gòu)精度分析

信號(hào)采樣率的大小是測(cè)量數(shù)與信號(hào)長(zhǎng)度的比值,代表了采集過(guò)程中的所需的信號(hào)采集數(shù)量。為了證明算法在不同信號(hào)采樣率情況下的重構(gòu)性能,引入均方誤差(MSE)作為評(píng)價(jià)指標(biāo),其計(jì)算公式如下:

(12)

在壓縮感知中,測(cè)量信號(hào)K≤M/4是稀疏信號(hào)完全恢復(fù)的充分條件[17]。因此在本次仿真實(shí)驗(yàn)中,設(shè)置測(cè)量信號(hào)稀疏度K=M/4。采用SAMP算法作為對(duì)比算法,其步長(zhǎng)設(shè)置分為4和8兩種情況,探討采樣率為0.1,0.2,0.3,0.4,0.5情況下的改進(jìn)算法與對(duì)比算法的重構(gòu)精度,結(jié)果見(jiàn)圖4。

圖4 不同采樣率下的算法均方誤差比較圖

從圖4可以看出,隨著采樣率的增加,3種算法的均方誤差數(shù)值在逐漸減小,當(dāng)采樣率大于0.3時(shí),所有的算法均可以完成高精度信號(hào)重構(gòu),但在低采樣率的信號(hào)重構(gòu)過(guò)程中,JTVS-SAMP算法相比于SAMP算法,具有更高的誤差控制能力,表明了算法在低采樣率情況下也具有較高的算法穩(wěn)定性。

3.5 算法重構(gòu)時(shí)間的比較

為了驗(yàn)證JTVS-SAMP算法的重構(gòu)效率的優(yōu)越性,使用Matlab軟件進(jìn)行算法用時(shí)統(tǒng)計(jì),與步長(zhǎng)設(shè)置為4、8的SAMP-4、SAMP-8算法進(jìn)行比較。采樣信號(hào)固定測(cè)量數(shù)M=128,設(shè)置稀疏度K從5開(kāi)始,步長(zhǎng)為10增加到40。進(jìn)行循環(huán)200次處理計(jì)算平均運(yùn)行時(shí)間,仿真結(jié)果見(jiàn)圖5。

圖5 平均運(yùn)行時(shí)間對(duì)比圖

由圖5可以看出,隨著稀疏的K的增加,3種算法的平均運(yùn)行時(shí)間都在增加,這是由于信號(hào)重構(gòu)的內(nèi)容增多,其耗費(fèi)的時(shí)間也在逐漸增加。SAMP-4的平均運(yùn)行時(shí)間大于其余兩種算法,是由于其步長(zhǎng)設(shè)置較小導(dǎo)致的效率偏低。JTVS-SAMP算法在效率方面略優(yōu)于SAMP-4算法,這是因?yàn)镴TVS-SAMP算法對(duì)初始稀疏度進(jìn)行了預(yù)測(cè),且采用了變步長(zhǎng)的思想,在大步長(zhǎng)階段的快速迭代,大大降低了算法所需時(shí)間。

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于的SAMP算法,通過(guò)融合廣義Jaccard系數(shù)、t-平均相關(guān)系數(shù)、變步長(zhǎng)思想,提出了JTVS-SAMP算法。相比于SAMP,COSaOMP,gOMP等傳統(tǒng)壓縮感知算法,在使用二進(jìn)制信號(hào)模擬信號(hào)能量檢測(cè)后的機(jī)場(chǎng)電磁信號(hào)時(shí),JTVS-SAMP算法在同稀疏度不同觀測(cè)值、不同稀疏度同觀測(cè)值下的情況下,算法重構(gòu)的成功率表現(xiàn)更為優(yōu)秀,且與其原算法SAMP相比,在重構(gòu)誤差、低采樣率信號(hào)穩(wěn)定性、重構(gòu)時(shí)間等方面均有了明顯的提高。該改進(jìn)算法未來(lái)可在機(jī)場(chǎng)終端區(qū)頻譜分析、波達(dá)方向估計(jì)等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。