喻鳴　趙建平　常博博

摘要：模擬濾波器是信號(hào)監(jiān)測(cè)、控制等領(lǐng)域不可或缺的前端去噪方法，一般用硬件電路實(shí)現(xiàn)，其中巴特沃茲型濾波器應(yīng)用較為廣泛?，F(xiàn)總結(jié)了設(shè)計(jì)和采用電路實(shí)現(xiàn)高階巴特沃茲型濾波器的方法，首先根據(jù)工程設(shè)計(jì)指標(biāo)確定其階數(shù)，求取其傳遞函數(shù)，再將高階傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為多個(gè)低階傳遞函數(shù)級(jí)聯(lián)，最后采用運(yùn)放和阻容等器件實(shí)現(xiàn)其對(duì)應(yīng)的濾波器。通過(guò)設(shè)計(jì)實(shí)例仿真及電路測(cè)試，證實(shí)了設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)方法的正確性與精準(zhǔn)性，能夠?yàn)楦咝阅軓?fù)雜模擬濾波器設(shè)計(jì)提供參考。

關(guān)鍵詞：模擬濾波器；硬件電路實(shí)現(xiàn)；巴特沃茲型濾波器；傳遞函數(shù)

中圖分類號(hào)：TP29；TN713? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? 文章編號(hào)：1671-0797（2023）09-0045-03

DOI：10.10.19514/j.cnki.cn32-1628/tm.2023.09.013

0? ? 引言

濾波器按處理信號(hào)類型分為模擬濾波器（Analog Filter）和數(shù)字濾波器（Digital Filter）。模擬濾波器用模擬電路實(shí)現(xiàn)，數(shù)字濾波器用計(jì)算機(jī)、數(shù)字芯片進(jìn)行相關(guān)數(shù)字處理，通過(guò)一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)的頻譜分布[1]。模擬濾波器由于處理信號(hào)范圍大，不需要運(yùn)算資源，一般作為信號(hào)采集處理的前級(jí)，消除噪聲、干擾，為后級(jí)采集提供需要頻段的信號(hào)輸入，多采用硬件電路直接實(shí)現(xiàn)，是信號(hào)監(jiān)測(cè)、控制設(shè)備必需的硬件電路，應(yīng)用極為廣泛。

對(duì)一些干擾嚴(yán)重或有用信號(hào)微弱的場(chǎng)合，需要高階模擬濾波器消除干擾，提高采集的信噪比，而高階濾波器參數(shù)很多，計(jì)算非常復(fù)雜，難以與設(shè)計(jì)指標(biāo)要求精確對(duì)應(yīng)。因此，本文主要研究設(shè)計(jì)一套簡(jiǎn)便的計(jì)算方法，并能通過(guò)計(jì)算機(jī)自動(dòng)計(jì)算，提高設(shè)計(jì)的自動(dòng)化水平，以便快捷地設(shè)計(jì)出精準(zhǔn)的高階模擬濾波器。

1? ? 模擬濾波器

1.1? ? 模擬濾波器分類

僅由無(wú)源器件（電容、電感、電阻）組成的濾波電路，稱為無(wú)源濾波器；由無(wú)源器件和有源器件（晶體管、MOS管、運(yùn)算放大器等）組成的濾波電路，稱為有源濾波器。無(wú)源濾波器由于其通帶放大倍數(shù)和截止頻率隨負(fù)載變化，往往不符合信號(hào)處理要求[2]，為了精確進(jìn)行信號(hào)濾波去噪，多采用有源濾波器。

1.2? ? 模擬濾波器的傳遞函數(shù)

要精確分析有源濾波器，需要通過(guò)“拉氏變換”求取輸出量Uo（s）與輸入量Ui（s）之比，即傳遞函數(shù)H（s），其形式如下：

中：s為拉氏變量；aj和bj為網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)確定的實(shí)常數(shù)。

線性網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定條件：bi＞0，n≥m。n為階數(shù)，階數(shù)越大，通帶外衰減越快。

根據(jù)傳遞函數(shù)理論，對(duì)于實(shí)系數(shù)的傳遞函數(shù)，式（1）可以改寫(xiě)為：

式（2）中，M或N為奇數(shù)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)其對(duì)應(yīng)二次分式退化為一次分式的情況，即ai2或bj2為0。該式表明任何復(fù)雜的濾波網(wǎng)絡(luò)都可以等效為多個(gè)簡(jiǎn)單的一階和二級(jí)濾波器級(jí)聯(lián)[3]。

根據(jù)傳遞函數(shù)不同，模擬濾波器常用的有巴特沃茲（Butterworth）型濾波器、切比雪夫（Chebyshev）型濾波器和橢圓型（Elliptic）濾波器[3]。巴特沃茲型濾波器由于其通帶內(nèi)比較平坦，不像其他濾波器通帶紋波起伏較大，且計(jì)算簡(jiǎn)單，實(shí)現(xiàn)方便，因此應(yīng)用最為廣泛。

巴特沃茲低通濾波器幅度平方函數(shù)如下：

式中：|H（jω）|為信號(hào)幅值；ω為角頻率；ωc為截止角頻率；n為濾波器階數(shù)。

巴特沃茲高通濾波器幅度平方函數(shù)如下：

1.3? ? 模擬濾波器的指標(biāo)要求

模擬低通濾波器的工程技術(shù)指標(biāo)如圖1所示，圖中ωp為通帶上限截止頻率，ωs為阻帶下限頻率。

設(shè)通帶最大允許衰減為ap，阻帶最小允許衰減為as，其定義如下：

2? ? 模擬濾波器設(shè)計(jì)

一個(gè)低通模擬濾波器就是根據(jù)ωp、ωs、ap、as確定濾波器的傳遞函數(shù)，然后根據(jù)傳遞函數(shù)分解為多個(gè)一階、二階濾波器的級(jí)聯(lián)。由于有源一階、二階濾波器形式比較固定，一般由運(yùn)放和電阻、電容等器件組成，這些簡(jiǎn)單的濾波器就可以根據(jù)確定的傳遞函數(shù)按圖索驥確定阻容參數(shù)，從而搭建出來(lái)。

高通濾波器類似，也是由ωp、ωs、ap、as確定濾波器的傳遞函數(shù)，并確定級(jí)聯(lián)低階濾波器的。而帶通濾波器則是由低通和高通濾波器級(jí)聯(lián)，只要分別設(shè)計(jì)低通和高通濾波器即可。

2.1? ? 歸一化設(shè)計(jì)思想

為簡(jiǎn)化計(jì)算，需要用到歸一化設(shè)計(jì)的思想。頻率歸一化是指將所有頻率都除以基準(zhǔn)頻率，即濾波器截止頻率，并將|H（j0）|歸一化到1，則得到Ha（*），即歸一化后的濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)：

計(jì)算實(shí)際電路參數(shù)時(shí)需要將歸一化頻率乘以截止頻率，進(jìn)行反歸一化。

2.2? ? 確定濾波器階數(shù)和截止頻率

首先根據(jù)低通濾波器工程指標(biāo)要求確定階數(shù)n，n滿足下式并需要向上取整：

如果要計(jì)算高通濾波器，式（9）中分母變?yōu)棣豴/ωs。

再求取截止頻率ωc，取下面兩個(gè)式子中計(jì)算的較小值：

如果要計(jì)算高通濾波器，上面兩式中的-1/2n應(yīng)改寫(xiě)為1/2n，同樣是取計(jì)算出的較小值作為截止頻率。

2.3? ? 求Ha（s）并反歸一化處理

將s=jω代入低通巴特沃茲型濾波器公式（3），求取歸一化極點(diǎn)sk，構(gòu)造Ha（s）。

由于每次計(jì)算極點(diǎn)sk比較麻煩，一般根據(jù)階數(shù)n，Ha（s）的分母可以通過(guò)查詢巴特沃茲歸一化低通濾波器分母多項(xiàng)式系數(shù)表得到，并且分母多項(xiàng)式還可以通過(guò)查詢分母多項(xiàng)式因式分解表進(jìn)行因式分解，從而將Ha（s）的低階級(jí)聯(lián)濾波器傳遞函數(shù)求出。

求出低通濾波器的Ha（s）后需要進(jìn)行反歸一化，即將Ha（s）中的s用s/ωc代替，從而得到最終的低通濾波器傳遞函數(shù)。如果求取的是高通濾波器，則將Ha（s）中的s用ωc/s代替即可。

3? ? 模擬濾波器實(shí)現(xiàn)和仿真驗(yàn)證

以某高通模擬濾波器為例，詳細(xì)描述其設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)過(guò)程。該濾波器要求通帶下限為10 Hz，通帶內(nèi)幅值起伏不超過(guò)2%，阻帶上限3 Hz，阻帶內(nèi)需要將信號(hào)衰減到10%以內(nèi)。因此可以得到：ωp=10 Hz，ωs=3 Hz，ap=0.175 5 dB，as=20 dB。

代入公式（9），求得n=3.232 4，向上取整n=4，即需要4階高通濾波器才能滿足要求。

根據(jù)公式（10）和（11），求得ωc=33.477 7，注意計(jì)算時(shí)將公式中的-1/2n改寫(xiě)為1/2n。

接著查表得到4階歸一化濾波器傳遞函數(shù)G，求出G后將G中的s用ωc/s代替，即可求出真正的高通濾波器傳遞函數(shù)G0。

利用Matlab可以快速有效地設(shè)計(jì)出所需的濾波器[4]。為了快速求取G，可以使用Matlab計(jì)算，代碼如下：

wph = 2 * pi * 10;

wsh = 2 * pi * 3;

Rph = 0.1755;

Ash = 20;

[N，wc] = buttord（wph， wsh， Rph， Ash， 's'）;

[B，A] = butter（N， wc，'high'，'s'）;

G=tf（B，A）

根據(jù)程序求出的G求出G0。為了能夠電路實(shí)現(xiàn)，還需要將G0因式分解為兩個(gè)二階濾波器級(jí)聯(lián)，最終結(jié)果如下：

由此可以設(shè)計(jì)出如圖2形式的兩個(gè)二階有源高通濾波器級(jí)聯(lián)，最終實(shí)現(xiàn)滿足工程指標(biāo)要求的濾波器。

計(jì)算每個(gè)二階高通濾波器中阻容參數(shù)時(shí)，由于電容型號(hào)較少，可以先固定電容值并讓兩個(gè)電容值相等，再確定電阻值。計(jì)算得到的組成上面電路的一組阻容參數(shù)為：R11=11 427 Ω，R12=78 064 Ω，C11=1 μF，C12=1 μF；R21=27 591 Ω，R22=32 331 Ω，C21=1 μF，C22=1 μF。

在Matlab中對(duì)G0進(jìn)行仿真，得到結(jié)果如圖3所示，可以看到在3 Hz已經(jīng)將信號(hào)衰減到-20 dB，在10 Hz以上通帶內(nèi)信號(hào)起伏不超過(guò)0.027 7 dB，滿足指標(biāo)要求。

根據(jù)本設(shè)計(jì)選擇高精度阻容搭建電路，經(jīng)驗(yàn)證濾波指標(biāo)誤差不超過(guò)2%，滿足工程設(shè)計(jì)要求。

4? ? 結(jié)論

模擬濾波器是信號(hào)監(jiān)測(cè)、控制等領(lǐng)域不可或缺的前端去噪方法，一般用硬件電路實(shí)現(xiàn)，其中巴特沃茲型濾波器應(yīng)用較為廣泛。本文總結(jié)了設(shè)計(jì)和采用電路實(shí)現(xiàn)高階巴特沃茲型濾波器的方法，首先根據(jù)工程設(shè)計(jì)指標(biāo)確定其階數(shù)，并求取其傳遞函數(shù)，經(jīng)高階傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為多個(gè)低階傳遞函數(shù)級(jí)聯(lián)，并分別選取合適的運(yùn)放和阻容等器件實(shí)現(xiàn)。通過(guò)設(shè)計(jì)實(shí)例仿真和電路測(cè)試，證實(shí)了設(shè)計(jì)的正確性和精準(zhǔn)性，能夠?yàn)楦咝阅軓?fù)雜模擬濾波器設(shè)計(jì)提供參考。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 馬忠麗，周雪梅，蔡成濤.傳感器及信號(hào)檢測(cè)轉(zhuǎn)換技術(shù)[M].哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)出版社，2016.

[2] 童詩(shī)白，華成英.模擬電子技術(shù)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3] 史燕.用Matlab改進(jìn)電子技術(shù)課程濾波器實(shí)驗(yàn)[J].實(shí)驗(yàn)技術(shù)與管理，2014，31（12）：107-109.

[4] 王大偉，賈榮叢，王劃一.基于Matlab的巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2012，35（21）：71-72.

收稿日期：2023-02-06

作者簡(jiǎn)介：喻鳴（1981—），男，陜西人，高級(jí)工程師，研究方向：航空嵌入式計(jì)算機(jī)。