徐文達,許李燦,于非凡,劉素莉

(1.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長春 130012; 2.香港浸會大學(xué) 工商管理學(xué)院,香港 999077)

目前,關(guān)于傳染病模型的研究已有很多結(jié)果,包括時滯微分方程、隨機微分方程和偏微分方程模型等[1-5].Viguerie等[6]提出了一個基于偏微分方程耦合非均勻擴散模型的SEIRD數(shù)學(xué)模型; 賈繼偉等[7]通過建立脈沖微分方程模型研究了考慮境外輸入病例情況下的病毒傳播行為和影響; 錢蓉等[8]分析了分數(shù)階SIR傳染病模型的動力學(xué)行為.文獻[9]研究表明,在傳染病建模中應(yīng)關(guān)注無癥狀感染者的影響.本文基于傳染病人群中無癥狀感染者一部分會轉(zhuǎn)化為確診病例、另一部分會直接自愈的現(xiàn)象,構(gòu)建SEI1I2QR傳染病模型,并分析傳染病滅絕和爆發(fā)的閾值條件,最后結(jié)合真實病例數(shù)據(jù),通過數(shù)值模擬對模型參數(shù)進行靈敏度分析.

1 SEI1I2QR傳染病模型的建立

圖1 SEI1I2QR模型的傳播示意圖Fig.1 Schematic diagram of transmission of SEI1I2QR model

本文將總?cè)丝诜譃?個倉室: 易感者S、潛伏期人群E、無癥狀感染者I1、有癥狀感染者I2、隔離人群Q和移除人群R.進一步,將隔離人群Q又分為: 無癥狀感染者I1進入倉室Q1進行隔離觀察,隔離觀察期間無癥狀感染者可能病情加重進入倉室Q2進行治療; 有癥狀感染者I2確診后進入倉室Q2進行隔離治療.由于傳播2019新型冠狀病毒(COVID-19)的奧密克戎毒株感染者大多是無癥狀感染者,具有傳染率高但致死率低的特點,因此本文不考慮人口出生和死亡,即假設(shè)總?cè)丝?S+E+I1+I2+Q1+Q2+R)(t)=N.對確診病例進行流行病學(xué)調(diào)查和必要的全民核酸檢測,有利于快速發(fā)現(xiàn)潛伏感染者和無癥狀感染者,從而加快感染者的確診和隔離進程.本文根據(jù)COVID-19傳播規(guī)律建立一類考慮無癥狀感染者及兩類隔離倉室的SEI1I2QR模型,如圖1所示.圖1中:f=f(S,E,I1,I2)表示3類具有傳染性的群體與易感染者接觸的傳染項,

f(S,E,I1,I2)=(β0E+β1I1+β2I2)S,

式中β0,β1,β2分別表示處于不同感染狀態(tài)E,I1,I2的感染率,且β0≤β2≤β1,即處于潛伏期的感染者具有最弱的傳染性,無癥狀感染者的傳染性最強,有癥狀感染者的傳染性居于二者之間; 單位時間內(nèi)新感染者以α1,α2,α3的概率分別進入感染階段E,I1,I2,αi∈(0,1),i=1,2,3且α1+α2+α3=1;k1,k2表示隔離率;δ表示隔離倉室之間的轉(zhuǎn)化率;γ1,γ2表示移出率; 1/θ表示疾病的平均潛伏時間;p是概率參數(shù),且p∈(0,1).

基于如上假設(shè)建立的模型可表示為常微分方程組:

(1)

其滿足初值條件:

S(0)=S0>0,E(0)=E0>0,I1(0)=I10>0,I2(0)=I20>0,Q1(0)=Q2(0)=R(0)=0,

其中S0+E0+I10+I20=N.分析表明,Q1,Q2,R不影響模型的動力學(xué)行為,從而可考慮簡化的SEI1I2模型:

(2)

2 模型分析

通過分析模型,易得如下結(jié)論.

引理1對于任意非負的初值,系統(tǒng)(2)的解是非負的,即非負錐

是正不變的.

引理2系統(tǒng)(2)的解是一致有界的,即

0≤S(t)

引理3極限

存在,且0≤S(∞)

F是一個非負矩陣,V是非奇異M-矩陣,其逆矩陣V-1是非負的,且

根據(jù)下一代矩陣法,可定義模型的基本再生數(shù)為R0=ρ(FV-1),其中ρ(A)表示矩陣A的譜半徑.

定理1令

(w1,w2,w3)=(β0,β1,β2)V-1,

(3)

則基本再生數(shù)可表示為R0=α1w1+α2w2+α3w3.

證明: 矩陣F可表示為

F=S0(α1,α2,α3)T(β0,β1,β2).

(4)

在式(4)兩端右乘V-1,有

FV-1=(α1,α2,α3)T(w1,w2,w3).

易見矩陣FV-1的秩為1,譜半徑等于其唯一的正特征值,即α1w1+α2w2+α3w3.證畢.

于是模型的基本再生數(shù)為

(5)

定理2當R0<1時,傳染病不會爆發(fā); 當R0>1時,傳染病會爆發(fā).

證明: 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

L=w1E+w2I1+w3I2,

其中wi(i=1,2,3)由式(3)確定.將函數(shù)L關(guān)于t求導(dǎo)得

(6)

結(jié)合矩陣F,V的定義,有

從而

定理2表明,傳染病是否會爆發(fā)完全由基本再生數(shù)R0決定.

3 靈敏度分析與數(shù)值模擬

SEI1I2QR模型中的參數(shù)含義及其取值列于表1.下面基于建立的SEI1I2QR傳染病動力學(xué)模型,驗證定理2的正確性并分析隔離無癥狀感染者和核酸檢測這兩項措施對病例數(shù)的影響,通過改變參數(shù),設(shè)置對照組進行評價.

表1 SEI1I2QR模型中的參數(shù)含義及其取值

3.1 R0<1和R0>1時的疫情爆發(fā)情況

用MATLAB軟件對系統(tǒng)(1)進行數(shù)值模擬,驗證本文結(jié)果的準確性.根據(jù)表1的參數(shù)選取,在系統(tǒng)(1)中取S0=15,S0=150,此時其模型預(yù)測分析結(jié)果如圖2所示.由圖2(A)可見,E,I1,I2隨著時間t的增加而減小到0,傳染病不會爆發(fā); 由圖2(B)可見,E,I1,I2先增加然后減小到0,傳染病會爆發(fā).從而驗證了引理3和定理2的正確性.

圖2 R0<1(A)和R0>1(B)時的模型預(yù)測分析結(jié)果Fig.2 Prediction analysis results of model when R0<1 (A) and R0>1 (B)

圖3 2022-03-04—2022-05-21的每日新增確診人數(shù)和無癥狀感染者人數(shù)Fig.3 Number of newly diagnosed and asymptomatic infections per day from March 4,2022 to May 21,2022

3.2 隔離無癥狀感染者的靈敏度分析

由于有癥狀感染者會迅速被進行確診、隔離治療,所以本文主要討論隔離無癥狀確診者的情況.無癥狀感染者很難被發(fā)現(xiàn),但又同時具有傳染力,所以隔離無癥狀感染者,是防止病毒傳播極其有效的方法.本文數(shù)據(jù)來源于長春市衛(wèi)生健康委員會獲取的長春市2022-03-04—2022-05-21的COVID-19的確診人數(shù)及無癥狀感染者人數(shù).根據(jù)長春市統(tǒng)計局獲取2022年長春第7次人口普查中的常住人口數(shù)據(jù),目前長春市常住人口超過906.69萬人.病例數(shù)據(jù)如圖3所示.

圖4 隔離無癥狀感染者的防控效果預(yù)測Fig.4 Prediction of prevention and control effect of isolating asymptomatic infections

采用SEI1I2QR模型,取不同的隔離系數(shù)k1=0.4,0.6,0.8,1,對照不同隔離系數(shù)下的新冠疫情傳播情況即研究I1的變化趨勢,通過MATLAB軟件得到的仿真模擬結(jié)果如圖4所示.由圖4可見,若對無癥狀感染者及時精準地發(fā)現(xiàn)并隔離,可明顯降低確診人數(shù),并且隔離系數(shù)k1越大,疫情規(guī)模越小,增長速度越慢.而隨著隔離系數(shù)k1的增大,疫情峰值會顯著下降.

3.3 核酸檢測措施的靈敏度分析

奧密克戎毒株具有很強的潛伏期和隱秘性,潛伏期感染者體內(nèi)病毒濃度很低同樣無癥狀,所以如果不進行核酸檢測,則會感染更多的易感者.核酸檢測的主要作用是控制傳染源,切斷COVID-19的傳播途徑,保護易感者人群,能更及時地從潛伏期感染者中篩選出無癥狀感染者和有癥狀感染者.

但在實際應(yīng)用中核酸檢測的覆蓋率和有效率不能保證100%,所以本文通過改變參數(shù)值研究其對疫情傳播的影響.下面對核酸檢測概率參數(shù)設(shè)置對照組:θ=0.4,0.6,0.8,1.0,通過改變θ研究其對疫情傳播的影響.核酸檢測出無癥狀感染者和有癥狀感染者的防控效果預(yù)測如圖5所示,圖6為圖5峰值的放大圖.由圖5和圖6可見,核酸檢測對病毒傳播具有明顯的抑制作用,系數(shù)θ越大越容易更快地篩選出感染人群,系數(shù)θ越小感染人群被發(fā)現(xiàn)得越慢.

圖5 核酸檢測出無癥狀感染者(A)和有癥狀感染者(B)的防控效果預(yù)測Fig.5 Prediction of prevention and control effect of asymptomatic (A) and symptomatic infections (B) detected by nucleic acid

圖6 核酸檢測出無癥狀感染者(A)和有癥狀感染者(B)防控效果預(yù)測的峰值放大圖Fig.6 Enlarged views of predicted peak value of prevention and control effect of asymptomatic (A) and symptomatic infections (B) detected by nucleic acid

綜上,本文根據(jù)建立的SEI1I2QR疫情傳染病模型,利用長春市2022年3—5月間的真實疫情數(shù)據(jù)模擬了在不同參數(shù)下疾病傳播的變化趨勢,并對比了不同防控政策下疾病傳播的變化趨勢.結(jié)果表明,對風(fēng)險人群科學(xué)精準排查,盡早對無癥狀感染者進行隔離診治以及核酸檢測等措施對遏制疾病傳播有積極效果.