王玉磊 李彩娟 苑倩倩

（信陽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院）

一、引言

在高等數(shù)學(xué)教材中涉及變限積分函數(shù)這一知識(shí)點(diǎn)的地方不是太多，如果教師不能及時(shí)拓寬知識(shí)面，那么學(xué)生對(duì)這方面內(nèi)容的理解就僅局限于定義及其基本的求導(dǎo)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用[1-2]。在教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)這方面的知識(shí)了解的不夠，尤其是變限積分函數(shù)變化型的求導(dǎo)方法掌握欠佳，容易出錯(cuò)。關(guān)于變限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題的研究，文獻(xiàn)[3-7]已經(jīng)從常見的變限積分函數(shù)及含參量積分函數(shù)兩個(gè)方面給出了一些相對(duì)較好的結(jié)果，這為學(xué)生能更好的掌握變限積分函數(shù)求導(dǎo)提供了相應(yīng)保證，但是對(duì)于涉及變限積分函數(shù)在其它問題方面的應(yīng)用卻不是很多，因此學(xué)生在遇到稍微綜合性的題目時(shí)，往往不能夠靈活應(yīng)用，從容應(yīng)對(duì)。本文結(jié)合具體問題歸納總結(jié)了變限積分函數(shù)在求分段函數(shù)的不定積分、積分換序及證明積分不等式等不同方面的應(yīng)用，目的是幫助學(xué)生進(jìn)一步理解變限積分函數(shù)的實(shí)質(zhì)和內(nèi)涵，為學(xué)生更好的掌握該知識(shí)點(diǎn)提供一定的參考。

二、概念與定理

在高等數(shù)學(xué)教材中，有如下的定義及定理：

定義1[1]設(shè)函數(shù)f(x) 是區(qū)間[a,b] 上的可積函數(shù)，則由

定義了一個(gè)以積分上限x為自變量的函數(shù)，稱為變上限的定積分，也稱變上限積分函數(shù)。

不難看出，變上限積分函數(shù)φ(x) 和變下限積分函數(shù)ψ(x) 是函數(shù)F(x) 取特殊值時(shí)的變限積分函數(shù)。

定理1[2]設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，u(x) 與v(x) 均為可導(dǎo)函數(shù)，且可實(shí)行復(fù)合f?u與f?v，則也可導(dǎo)，且

特別地，如果將F(x) 分別換成φ(x) 和ψ(x) ，也能得到類似的結(jié)果。定理2[3]設(shè)f(x,t)，在區(qū)間[a,b] 上連續(xù)，φ(x) ，ψ(x)在區(qū)間[a,b] 上可導(dǎo)，則函數(shù)在區(qū)間[a,b]上也可導(dǎo)，且

在該定理中，如果將被積函數(shù)的積分上限或者積分下限換成常數(shù)，也可以相應(yīng)的結(jié)果。

三、應(yīng)用舉例

（一）分段函數(shù)的不定積分問題

在學(xué)生學(xué)習(xí)該知識(shí)點(diǎn)的過程中，發(fā)現(xiàn)他們?cè)谇蠼夥侄魏瘮?shù)的不定積分時(shí)，要么把要積分限變量與積分變量的取值范圍搞混淆，要么不知道該如何選擇被積函數(shù)相應(yīng)的表達(dá)式，最終導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。通常在處理這種問題時(shí)，首先從積分限變量的取值入手，找到分段函數(shù)變量的分段點(diǎn)，然后將積分限變量的取值范圍分成若干區(qū)間，最后在每一個(gè)區(qū)間上分別做定積分。尤其要注意當(dāng)積分限變量與積分變量的取值在同一范圍內(nèi)或者積分限變量取值大于積分變量取值的最大值時(shí)，需要通過區(qū)間可加性將原積分再分成兩個(gè)積分。

例1 設(shè)函數(shù)

解 當(dāng)0≤x≤1 時(shí)，

當(dāng)1

因此，

注 積分變量的取值范圍及積分限變量的取值是解決這類問題的重點(diǎn)。該題型常出現(xiàn)在由密度函數(shù)求分布函數(shù)中。

（二）變限積分函數(shù)求導(dǎo)問題

變限積分函數(shù)的求導(dǎo)問題一直是教師在教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，當(dāng)被積函數(shù)表達(dá)式變得復(fù)雜時(shí)，對(duì)它求導(dǎo)的難度也就隨之增大。變限積分函數(shù)在研究生入學(xué)考試及各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)，對(duì)它進(jìn)行求導(dǎo)也尤其重要，但是因其形式多變，不易求解，很多學(xué)生不能很好的掌握處理這類問題的方法。下面將對(duì)變限積分函數(shù)的求導(dǎo)問題分成三個(gè)方面，通過具體的實(shí)例求解進(jìn)行方法探究。

1.直接求導(dǎo)

如果變限積分函數(shù)中的被積函數(shù)只是純粹關(guān)于積分變量的函數(shù)，那么直接借助定理1 進(jìn)行求導(dǎo)即可，但是公式不要記錯(cuò)，尤其是積分下限是一個(gè)函數(shù)時(shí)，一定要注意在積分下限函數(shù)代入被積函數(shù)再乘以積分下限函數(shù)之后，前面的符號(hào)應(yīng)該是減號(hào)。這種類型往往比較簡(jiǎn)單，只要細(xì)心便不會(huì)出錯(cuò)，這里不再舉例。

2.換元后求導(dǎo)

如果變限積分函數(shù)的被積函數(shù)是關(guān)于積分限變量與積分變量的函數(shù)，我們就不能盲目的直接利用定理1 對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)。這時(shí)需要先考查被積函數(shù)表達(dá)式的構(gòu)造形式，若被積函數(shù)表達(dá)式是可以直接將積分限變量與積分變量分離的函數(shù)，則只需先將含有積分限變量的那一部分直接寫到積分號(hào)外面，然后根據(jù)乘積函數(shù)的求導(dǎo)法則直接進(jìn)行求導(dǎo)即可；若被積函數(shù)表達(dá)式是不能直接將積分限變量與積分變量分離的函數(shù)，一般需要先通過換元法，將兩個(gè)變量分離，之后再利用乘積函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)。當(dāng)然對(duì)于上述兩種類型也可以不用將被積函數(shù)表達(dá)式變量分離，直接利用定理2 的求導(dǎo)公式進(jìn)行求導(dǎo)。

類型I 被積函數(shù)可直接變量分離

例2 設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，求f)1( .

解 因?yàn)?/p>

又當(dāng)x=1 時(shí)，

注 該題目也可以直接利用定理2，無需變量分離，直接對(duì)x求導(dǎo)后得到φ′(x) 的具體表達(dá)式。對(duì)于該類型，這兩種方法均可以快速求解，學(xué)生只需根據(jù)自身實(shí)際情況選擇一種方法即可。

類型II 被積函數(shù)不可直接變量分離

例3[4]設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f(0 )≠0，

注 本例也可以利用定理2進(jìn)行求解，具體可以參照文獻(xiàn)[4]的結(jié)果，但是文獻(xiàn)[4]在利用定理2 求導(dǎo)后，并不能最終避免變量替換的步驟，同樣還是需要利用換元法進(jìn)一步轉(zhuǎn)換。相比之下，用上述先換元再求導(dǎo)的解法求解會(huì)更直接了當(dāng)，更有利于學(xué)生掌握。

雖然上述兩個(gè)例題均可以利用定理1 和定理2 進(jìn)行處理導(dǎo)數(shù)問題，但是不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)變限積分函數(shù)的被積函數(shù)為具體函數(shù)時(shí)，兩種方法都可以，用利用定理2 進(jìn)行求解也是很簡(jiǎn)潔的；當(dāng)變限積分函數(shù)的被積函數(shù)含有等 這些形式函數(shù)時(shí)，我們直接利用換元法求解會(huì)更方便一些。

3.拆分再求導(dǎo)

被積函數(shù)含有絕對(duì)值的積分問題是學(xué)生最容易出錯(cuò)的一種類型，學(xué)生在處理這種問題時(shí)，往往無從下手，不知道用什么方式解決.其實(shí)這類問題的處理方法與求解分段函數(shù)的不定積分相似，抓住該問題的本質(zhì)，首先要根據(jù)積分限變量與積分變量的取值范圍將積分變量的區(qū)間進(jìn)行拆分，其次把所求積分成若干個(gè)積分(去絕對(duì)值)，再次利用變限積分的求導(dǎo)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，最后利用極值的第二充要條件進(jìn)行判定。

解

令I(lǐng)′(t)=0，

（三）變限積分換序問題

在求解一些定積分時(shí)，如果被積函數(shù)是一個(gè)關(guān)于變限積分函數(shù)的表達(dá)式，那么所求的定積分也可以看成是一種累次積分。當(dāng)累次積分中里面一層不容易積分時(shí)，我們可采用交換積分次序來進(jìn)行求解。

解

（四）用變限積分函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)的問題

在全國(guó)研究生數(shù)學(xué)考試中，對(duì)微分中值定理的考查經(jīng)常是以證明題的形式出現(xiàn)，解決這種問題最大的難點(diǎn)就在于對(duì)輔助函數(shù)的構(gòu)造，下面就給出一種可以構(gòu)造變限積分函數(shù)為輔助函數(shù)的例子，用以說明該部分內(nèi)容。

證 明： 在(0,)π內(nèi) 至 少存 在 兩 個(gè) 不 同 的 點(diǎn)1ξ，2ξ，使

對(duì)h(x)在[0 ,]π上應(yīng)用羅爾定理，可知存在η∈(0,)π，使 得從而g(η)=0.

在[ ]η,0 和[ ]πη, 上對(duì)g(x) 應(yīng)用羅爾定理，

注 在一般情況下，對(duì)于判斷函數(shù)的零點(diǎn)問題，往往利用零點(diǎn)定理和函數(shù)的單調(diào)性就能解決，但是如果所給題目中只給出了“函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)”的條件或者在證明題當(dāng)中的條件或結(jié)論涉及到的是定積分，那么我們可以優(yōu)先考慮構(gòu)造變限積分函數(shù)為輔助函數(shù)。

（五）構(gòu)造變限積分函數(shù)證明積分不等式的問題

積分不等式的證明也是全國(guó)研究生數(shù)學(xué)考試中一個(gè)考查的知識(shí)點(diǎn)。處理這種問題時(shí)，常常需要較多的技巧，不易總結(jié)其規(guī)律，但是有一些積分不等式可以采取常數(shù)變量化的思想進(jìn)行證明。一般分為三個(gè)步驟：首先利用變限積分函數(shù)構(gòu)造合適的輔助函數(shù)，然后對(duì)變限積分函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，最后再通過函數(shù)單調(diào)性達(dá)到問題的證明。這種證明方法思路清晰，構(gòu)造輔助函數(shù)的方法規(guī)律也較明顯，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的能力。

證明 令

則

又F(a)=0，

注 欲證明這類問題，先要觀察不等式左右兩邊的上下限，根據(jù)變上限積分下限固定上限變化的特點(diǎn)，構(gòu)造變限積分函數(shù)F(x)，再對(duì)其求導(dǎo)，通過單調(diào)性的判別法則可以得到函數(shù)F(x)的單調(diào)性，最后在所給區(qū)間上應(yīng)用單調(diào)性的定義即證?？梢?，構(gòu)造合適的變上限積分函數(shù)是證明這類題目的關(guān)鍵。

四、結(jié)語

分清積分限變量與積分變量是學(xué)習(xí)變限積分函數(shù)的基礎(chǔ)。理解變限積分函數(shù)的含義，掌握變限積分函數(shù)求導(dǎo)理論并熟練使用公式做題是教學(xué)上的一個(gè)重要任務(wù)。在講述這一知識(shí)點(diǎn)時(shí)，教師在課堂上可以借助幾何圖形，從定積分的幾何意義入手，通過對(duì)定積分的分析進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)變限積分函數(shù)的規(guī)律，在課后也可以將與變限積分函數(shù)相關(guān)的知識(shí)進(jìn)一步歸納整理,讓學(xué)生通過實(shí)戰(zhàn)練習(xí)逐步形成一種定勢(shì)思維，使學(xué)生能夠有效的運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決這方面的難題,最終達(dá)到提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果的目的。