張文娟， 朱雨彤

（同濟大學 機械與能源工程學院，上海 201804）

復雜的制造生產(chǎn)活動需要消耗大量能源，然而隨著能源成本上升，全球制造業(yè)競爭力增強，環(huán)境問題日益突出，能源在現(xiàn)代制造業(yè)扮演著愈加重要的角色［1-2］。研究表明制造車間內(nèi)有85%的能源都被消耗在生產(chǎn)無關(guān)的活動上，如機器堵塞、饑餓等，節(jié)能減耗勢在必行［3］。串聯(lián)生產(chǎn)線中一旦有設備發(fā)生故障，將導致整個系統(tǒng)停機，因此預防性維修對提高生產(chǎn)系統(tǒng)效率作用日益重要［4］。

早期維修方法中，大多數(shù)制造系統(tǒng)預防性維修研究主要基于可靠性等指標觸發(fā)，目標集中于降低成本，減少質(zhì)量損失，從而提高生產(chǎn)速率。Radhoui等［5］針對考慮緩沖區(qū)的生產(chǎn)系統(tǒng)，開發(fā)了一個聯(lián)合質(zhì)量控制和預防性維護的模型。將不合格品數(shù)量與閾值比較，決定是否采取維護措施，并以單位時間內(nèi)總成本最小為目標，利用生成的二階響應面確定最優(yōu)生產(chǎn)速率。能源消耗作為重要因素通常被忽略。在可持續(xù)發(fā)展理念下，能源消耗及能源利用效率在制造企業(yè)決策制定中占據(jù)越來越重要的地位［6］。開展有效維護活動不僅可以減少因突發(fā)性停機造成的生產(chǎn)損失，提高設備可靠度，而且可以使設備恢復至較良好的狀態(tài)，從而提高其能源利用效率。與此同時，能源效率（energy efficiency）作為一類新興的關(guān)鍵績效指標，開始在維修活動中受到廣泛關(guān)注［7］。Seow 等［8］提出能耗最小化設計（DFEM），在此基礎上建立能源仿真模型，進而提高生產(chǎn)過程中能源利用效率，并為設計人員提供參考；Xia等［9］提出了一種以能源為導向的維修方法，使生產(chǎn)線以節(jié)能的方式運行。在設備層對能源屬性建模，擴展多屬性模型。在系統(tǒng)層，則提出了一種新的節(jié)能窗口策略，目的是降低整個生產(chǎn)線的能耗；Zhou等［10］將系統(tǒng)有效產(chǎn)出與能源消耗結(jié)合起來，引入節(jié)能機會窗維修機制，提出了一種新的能耗效率指標EEE（effective energy efficiency）。

目前，靜態(tài)成組維修策略通過考慮制造系統(tǒng)在無限決策時間內(nèi)穩(wěn)定運行，根據(jù)長期運行積累的系統(tǒng)歷史信息，制定的靜態(tài)維修規(guī)則在決策時間內(nèi)保持不變，這存在一定程度的不合理。蘇春等［11］采用滾動窗口方法完成維修活動的動態(tài)調(diào)度，以隨機停機事件作為風力機成組維修的機會，并動態(tài)更新原有的維修計劃；在俞夢琦等［12］的機會維修決策模型中，以單設備達到最優(yōu)維修周期作為其余設備提前維修的判斷條件，將傳統(tǒng)單窗策略擴展為雙時間窗策略；在Lin 等［13］的研究中可以發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)將最先達到最佳維修周期設備的維修活動適當延遲，對當前周期內(nèi)的該設備成本影響比較小，還可有效降低系統(tǒng)在規(guī)劃期內(nèi)整體的維修成本。

在目前的制造系統(tǒng)預防性維修文獻中，大多在系統(tǒng)層和設備層進行獨立研究，僅針對能耗或產(chǎn)出某一個因素展開研究，且大多數(shù)成果都是基于單一的隨機過程建立預防性維護模型。然而，在實際生產(chǎn)中，每一個隨機過程都有其特定的應用范圍，隨著設備退化機制的復雜化和產(chǎn)品功能的多樣化，由單一隨機過程構(gòu)建的退化維護決策模型開始出現(xiàn)準確性與適用性不佳等問題。

目前少有論文結(jié)合Tweedie 指數(shù)分布，并聯(lián)合設備層和系統(tǒng)層對可持續(xù)發(fā)展目標開展研究。因此，本文針對現(xiàn)有研究的不足，面向多設備連續(xù)生產(chǎn)串聯(lián)系統(tǒng)，令各設備的隨機退化服從Tweedie 指數(shù)散布過程，并提出能源效率指標EEI，通過引入設備能耗、產(chǎn)出和次品率等要素，求解系統(tǒng)層的目標函數(shù)，提出節(jié)約能耗型基于延遲時間窗口策略機會維修模型，在有效降低多設備隨機退化系統(tǒng)的能耗同時并減少系統(tǒng)總生產(chǎn)損失。

1 問題描述

數(shù)學模型各參數(shù)見表1。如圖1所示，是一個由n臺設備組成的串聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)，其中第l臺設備為額定加工速率最慢的設備Ml。為進一步研究問題域，假設：

圖1 串行生產(chǎn)線Fig.1 Serial production line

表1 數(shù)學模型參數(shù)Tab.1 Mathematical model parameter

⑴生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)，各設備生產(chǎn)過程相對穩(wěn)定，當某臺設備停機時，整個生產(chǎn)線停止。

⑵各臺設備在加工的過程中逐漸發(fā)生退化，且退化到一定程度時設備發(fā)生故障。

⑶周期性檢查各個設備狀態(tài)，檢查時無故障發(fā)生，檢查時間不計，各個設備的退化狀態(tài)信息完全可通過檢查得到。

⑷設備在生產(chǎn)過程存在產(chǎn)出次品的情況，且設備退化程度的加劇會導致產(chǎn)出損失逐漸增大。

⑸在同一時間點有且僅有一臺設備需要預防性維修或完美更換，即不會有兩臺及以上的設備同時進行維修。

⑹設備在運行和維修、完美更換時都要消耗一定的能源，且進行維修和完美更換活動時的單位能耗大于運行狀態(tài)下的單位能耗。

⑺系統(tǒng)中各個設備的額定工作速率為pi，i=1，2，...，n，其中Ml為瓶頸，l=arg min{pi，i=1，2，...，n}，即額定加工速率最慢的設備。

⑻生產(chǎn)系統(tǒng)的維修周期是指系統(tǒng)從此次維修開始時刻到下一次維修開始時刻之間的時間間隔。

基于上述假設，首先對系統(tǒng)中設備的能耗、節(jié)能延遲時間窗、退化過程進行建模，接著根據(jù)最早達到預防性維修時間點的設備，計算出此次維修的時間窗組合后，以系統(tǒng)層目標函數(shù)最小化為目標，尋找最優(yōu)的延遲窗決策點，由此構(gòu)建隨機退化維修模型。

2 隨機退化延遲決策點模型構(gòu)建

2.1 設備能耗

根據(jù)設備不同的工作狀態(tài)，設備的單位時間能耗變化可分為幾個階段：啟動、預熱階段、正常運行階段、待機及停機階段。設備在正常運行時的單位能耗為，那么預熱時的單位能耗值為當設備處于待機狀態(tài)時的單位能耗值為，此時h＜1或h＞1；停機狀態(tài)下能耗為0。

2.2 設備連續(xù)退化過程及不完全維修建模

目前在描述生產(chǎn)系統(tǒng)退化軌跡的研究中，一般采用單隨機過程建模，每種隨機過程都有其特定的應用范圍。在以往針對串行生產(chǎn)系統(tǒng)的維修建模中，大多研究不考慮能耗和產(chǎn)出損失，或直接假設能耗恒定，并未考慮生產(chǎn)系統(tǒng)中的能耗和次品率隨著退化發(fā)生遞增的情況，且都以單一指標作為維修決策依據(jù)，存在一定的局限性。

隨著智能化高速發(fā)展，制造業(yè)中的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)也越來越多樣化，本文在此背景下提出的串行生產(chǎn)系統(tǒng)考慮了能耗和產(chǎn)出損失都隨設備退化而遞增，并引入新型指標能耗效率（EEI），因此相較于傳統(tǒng)串行生產(chǎn)系統(tǒng)，其退化機理更為復雜，采用單一隨機過程建立的退化模型會存在準確性不佳、適用性不足等問題；利用模型選擇準則從多個備選退化模型中確定合適模型的方法，容易出現(xiàn)模型誤判且提升了工作的復雜度；而在現(xiàn)有模型上加入更多的影響因子，會顯著增加計算與估計的難度，從而降低其易用性。針對上述不足，為了拓寬退化模型的應用范圍，提高其可用性，基于指數(shù)散布型隨機過程提出一類Tweedie 指數(shù)散布退化模型（TEDM）［14］。Tweedie指數(shù)散布過程（TEP）通過改變特定參數(shù)的值，可以將其轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布、伽馬分布、逆高斯分布等常見的隨機過程。由于TEDM模型似然函數(shù)結(jié)構(gòu)的不確定性，基于鞍點近似法（SAM）極大似然估計方法給出了未知參數(shù)估計值。

2.2.1 Tweedie 指數(shù)散布過程

令t時刻的退化量為X(t)，若X(t)～EDP(αt，β)，其中α稱為偏移參數(shù)，β為散布參數(shù)，且兩個參數(shù)之間互相獨立，則隨機過程{X(t)|t＞0}稱為指數(shù)散布型過程（exponential-dispersion process， EDP），且X(t)滿足

（1）X(0)=0；

（2）{X(t)|t＞0}具有獨立增量；

對 任 意 的 Δt≥0，有 ΔX=X(t+Δt)—X(t)～EDP(α(t+Δt)—α(t)，β)，且概率密度函數(shù)為

式中：k(·)是標準化函數(shù)；?(·)為適應度函數(shù)。

一般而言若一個指數(shù)散布型過程可用其方差函數(shù)定義，則稱此指數(shù)散布型隨機過程為Tweedie指數(shù)散布過程，其中方差函數(shù)可用式（2）表示

參數(shù)χ不同時，其適應度函數(shù)?(·)的表達式可由其唯一確定。當χ取不同值時，Tweedie 指數(shù)散布過程可分別退化為常見的伽瑪函數(shù)、逆高斯函數(shù)、正態(tài)分布以及復合泊松分布等。

在對Tweedie 指數(shù)型散布隨機過程（TEP）定義了解的基礎上，考慮用TEP 模型對本文中的生產(chǎn)系統(tǒng)進行退化過程建模，可以通過靈活變化參數(shù)χ的值描述生產(chǎn)線上不同設備的退化過程。設初始時刻為全新狀態(tài)，即初始退化量Xi(0)=0，則在時刻Xi(t)退化量用TEP模型表示為

對于給定的失效閾值Dfi，相應的失效時間Li的分布函數(shù)為

TEP 模型結(jié)構(gòu)復雜，故設備首達失效時間分布難以確定，此處采用Birnbaum-Saunders 分布近似設備首達時間分布，所以L關(guān)于模型參數(shù)θ=(α，β，χ)的累積分布函數(shù)（CDF）為

式中：Φ(·)是標準正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。設備的模型參數(shù)一般是未知的，可結(jié)合歷史退化數(shù)據(jù)用極大似然估計方法得到。由于適應度函數(shù)?(·)會隨著χ波動而變化，所以模型中的顯性表達式也無法確定，進一步參數(shù)的估計也無法繼續(xù)。此處使用鞍點近似法先推導出概率密度函數(shù)（ PDF）的近似表達式，確定似然函數(shù)的表達式后，再用極大似然估計法得到模型參數(shù)θ=(α，β，χ)的預估值。

2.2.2 TEDM模型未知參數(shù)的似然函數(shù)

模型未知參數(shù)為θ=(α，β，χ)，假設共有n個樣本，第i個樣本在時間ti，j時退化量為Xi，j，1 ≤i≤n，1 ≤j≤G，G為測量次數(shù)。設兩次退化測量值之間的增量為ΔXi，j=Xi，j—Xi，(j—1)，j≥1；兩次測量的時間增量可表示為Δti，j=ti，j—ti，(j—1)，j≥2，其中Δti，1=ti，1。 對 第i個 樣 本 ， 記 ΔXi=(ΔXi，1，ΔXi，2，...，ΔXi，m)T，fΔXi(Δxi)為退化量增量的聯(lián)合概率密度函數(shù)。由于TEDM模型的增量具有獨立平穩(wěn)的性質(zhì)，因此聯(lián)合概率分布函數(shù)fΔXi(Δxi)可表示為

考慮到樣本之間相互獨立，給定n個樣本的退化數(shù)據(jù)ΔX={ΔXi}i，則關(guān)于TEDM未知參數(shù)θ的似然函數(shù)為

當TEDM 模型中的方差函數(shù)Var(α)=αχ變化時，適應度函數(shù)?(·)的形式也隨之變化，這極大地增加了似然函數(shù)L(θ|Δx)的復雜度。一般的極值求解方法無法解決關(guān)于L(θ|Δx)的極值優(yōu)化問題，因此以下提出一種基于鞍點近似參數(shù)估計方法。

2.2.3 鞍點近似法（SAM）

鞍點近似法起源于復變函數(shù)，有效用于漸近分析。Barndorff-Nielson 及Cox［15］于1979 年給出了基于極大似然估計法的密度函數(shù)的鞍點近似表達式，因此也被稱為Barndorff-Nielson 公式。鞍點近似法優(yōu)勢在于，即使樣本量較小，也可以將原密度函數(shù)單調(diào)區(qū)間和趨勢描述得很好，近似效果仍準確［16］。所以當存在某個分布函數(shù)形式復雜并難以計算時，可以采用SAM得到密度函數(shù)的近似表達式。

該公式要求函數(shù)服從指數(shù)分布，且其分布函數(shù)的數(shù)學表達式滿足一定的假設條件。所以，采用鞍點近似法來對TEDM模型中的退化量增量的概率密度函數(shù)進行簡化，然后再利用極大似然近似法求出模型參數(shù)的估計值。

TEP模型的單位偏差可表示為

故真實退化增量ΔX的概率密度函數(shù)可寫為

定理假設存在一個β0，使得對于所有的?β＞β0，概率密度函數(shù)式（9）都有界，則相應的鞍點近似表達式滿足

證明：式（9）的特征函數(shù)可表示為

再由傅里葉反演定理，可得增量Δx的概率密度函數(shù)為

將式（14）代入式（13）中的指數(shù)表達式中，并對用泰勒公式，得到式（15）

再將式（15）代入式（13），概率密度函數(shù)變?yōu)?/p>

其中，

定理得證。

用鞍點近似法得到概率密度函數(shù)的近似表達式的基礎上，可再用極大似然近似法求得模型未知參數(shù)α，β，χ的值。

對于給定n個樣本，G次測量，第i個樣本在時間tij時退化量為Xi，j(1 ≤i≤n，1 ≤j≤G)，n個樣本的退化量測量數(shù)據(jù)ΔX={ΔXi}i，關(guān)于模型未知參數(shù)θ的對數(shù)似然函數(shù)的近似表達式為

對式（19）求偏導，并令偏導數(shù)為0，則得到α?的極大似然估計值為

將?代入式（19）中就可以得到β和χ的估計值，即?和?。

接下來考慮對生產(chǎn)線上各設備運用的預防性維修（PM）策略及維修效果。普遍來說，在真正的生產(chǎn)活動中，即使對達到維修閾值的設備進行了PM 活動，其修復后效果往往并不能使其恢復到起始全新狀態(tài)，而只是令其恢復到任一中間狀態(tài)。

定義［17］設X，Y為兩個隨機變量，假設對?α，均有P(X＞α)≥P(Y＞α)，則稱變量X隨機的大于變量Y，記作X≥stY。

定理：假設隨著維修次數(shù)的增大，第j+1次PM活動可使設備恢復到退化狀態(tài)X(Mj+1)都隨機的大于 前 一 次 的 維 修 效 果X(Mj)， 即X(Mj+1)≥stX(Mj)，那么第j+1個維修周期的期望長度（維修間隔）比第j個維修周期的期望長度短。

其中，關(guān)于設備的預防性維修時間建模如下：假設設備Mi的預防性維修時間wip服從參數(shù)為λi的指數(shù)分布，一般來說，設備的退化程度越大，則PM所需時間越長，這里假設λi∝1Xip。于是，wip的概率密度函數(shù)為

式（22）中：d為比例系數(shù)，d＞0。

本節(jié)利用Tweedie 指數(shù)型散布隨機過程對各臺設備運行狀態(tài)下的退化過程進行了建模，考慮PM修復效果恢復非新，且隨著維修次數(shù)的增加，設備維修周期的期望間隔越來越短，每次PM時間和維修時間點的退化閾值呈正相關(guān)。

2.3 設備產(chǎn)出損失

由假設3 可知，隨著設備的退化，產(chǎn)品的質(zhì)量也相應損失。本文用關(guān)于設備退化水平的次品率函數(shù)來衡量生產(chǎn)系統(tǒng)中由質(zhì)量損失引起的相應損失為

式中：p0為設備全新時初始狀態(tài)下的次品率，其中τ為生產(chǎn)線上質(zhì)量退化的邊界值；δ，μ均為正常數(shù)。

設備質(zhì)量損失為

式中：twi，j表示設備i在第j個維修周期的運作時間。

參考文獻［18］中關(guān)于質(zhì)量損失與產(chǎn)出損失兩者間函數(shù)關(guān)系，可得

式中：W(X(t))代表由質(zhì)量損失引起的產(chǎn)出損失；b1，b2為相關(guān)系數(shù)。

3 基于節(jié)能延遲時間窗口的預防性維修策略

3.1 設備能耗效率目標函數(shù)建模

基于節(jié)能延遲時間窗口這一概念及前文構(gòu)建的狀態(tài)退化模型，提出一種基于延遲時間窗口的機會維修策略，以便在降低生產(chǎn)系統(tǒng)能源消耗的同時盡可能提高系統(tǒng)的有效產(chǎn)出，設備的維修活動通常分為預防性維修、完美更換，這意味著維修周期Ti，j中能耗包括設備運行能耗Eiw，j、預防性維修能耗Eip，j、完美更換能耗Eis，j。一般說來，完美更換一臺嚴重老化的機器比一臺新機器要耗費更多的時間，完美更換的時間與設備已被維修過次數(shù)、退化量有關(guān)，所以，假設設備i在第j次更新時完美更換耗費時間wis，j為

式中：f，v為更換時間參數(shù)，且滿足f＞1，0 ＜v＜1。f，v可通過已有數(shù)據(jù)進行函數(shù)擬合求出。

設備磨損是耗能的過程，而在其劇烈磨損時（需更換），可認為此時能耗等同于設備完美更換時的能耗，設備完美更換能耗與磨損關(guān)系可寫為其中，W為磨損量。引入磨損量函數(shù)W=owsi，j+?eφt，其中o、?、φ都是常數(shù)。故有

在此基礎上，單臺設備i在第j個維修周期中的能源消耗效率EEIi，j可表示為

將式（25）～式（27）代入式（28）得

3.2 系統(tǒng)最優(yōu)維修策略決策建模

串行系統(tǒng)中的維修周期即系統(tǒng)從此次維修開始時刻到下次維修開始時刻這其中的時間間隔。串行系統(tǒng)規(guī)劃期內(nèi)的總能耗同樣由運行能耗Ewsys、預防性維修能耗Epsys和完美更換能耗Essys組成，其中系統(tǒng)中各個設備在規(guī)劃期T內(nèi)所經(jīng)歷的維修周期總次數(shù)為kip，本文的目標函數(shù)為最小化系統(tǒng)的能源效率指數(shù)EEIsys，在上節(jié)構(gòu)建的Tweedie 指數(shù)型散布隨機過程退化模型前提下，提出一種基于延遲時間窗口的機會維修策略，以達到在降低串行生產(chǎn)系統(tǒng)能源消耗的同時盡可能增大系統(tǒng)的有效產(chǎn)出。系統(tǒng)最優(yōu)維修策略決策建模可表示為

以總能源消耗效率EEIsys最小為最終目標函數(shù)進行求解，即可得到ΔO和Δo的最優(yōu)值，即系統(tǒng)的最優(yōu)維修策略。

3.3 基于節(jié)能延遲時間窗口的維修決策

時間窗口維修策略的原理是以設備的隨機停機事件作為多設備串聯(lián)系統(tǒng)成組維修的機會，對設備維修活動進行有機集成，并動態(tài)調(diào)整原有的維修計劃。由于整個系統(tǒng)會隨著設備的維修活動停機，為減少生產(chǎn)系統(tǒng)的停機時間和停機損失，本文采用節(jié)能延遲時間窗（energy saving delay time window）方法完成維修活動的動態(tài)調(diào)度。

對于一個由n臺設備組成的串聯(lián)系統(tǒng)，一旦對系統(tǒng)中任一設備進行維修，整個系統(tǒng)都會停機。此時維修時間窗應起到整合的作用，串聯(lián)系統(tǒng)的維修作業(yè)根據(jù)維修時間窗進行作業(yè)合并。傳統(tǒng)的單窗策略中，停機時刻由系統(tǒng)中最早達到最優(yōu)維修時刻的設備決定，其他需要機會維修的設備也在該停機時刻同時進行維修活動。而在節(jié)能延遲時間窗維修策略中，將這一停機時刻改為了機會維修決策觸發(fā)時刻。

如圖2 所示，設ti，j為設備i進行第j次維修的時刻，對應系統(tǒng)整體進行第k次維修所在時刻tk，即ti，j=tk。分別用ΔO表示設備維修組合的時間窗，Δo表示決策維修時機的時間窗。由節(jié)能延遲時間窗概念，該設備維修周期j對應系統(tǒng)的第k個維修階段，因此，tiw，j亦為設備i在系統(tǒng)第k個維修階段內(nèi)的最優(yōu)維修時刻。即tiw，j=tk。此時可用時間窗ΔO確定機會維修設備組合。系統(tǒng)在第k個維修階段內(nèi)的機會維修范圍所在區(qū)間為[tk*，tk*+ΔO]。此時如果設備i的最優(yōu)維修時刻tiw，j滿足tiw，j≤tk*+ΔO，則對設備i進行機會維修，否則不進行維修。

圖2 節(jié)能延遲時間窗口Fig2 Energy saving delay time window

下面考慮節(jié)能延遲時間窗的計算方法。決策過程如下：

（1） 系統(tǒng)初始化，從零時開始運行；

（2） 設設備i的預防性維修閾值Dpi=εDfi，由式（9）可得到設備i達到預防性維修閾值時刻，即單設備i在第j個維修周期內(nèi)的最優(yōu)維修時刻tiw，j；

（3） 以系統(tǒng)里當前最早到達最優(yōu)維修時刻的設備i為準，其最優(yōu)維修時刻作為現(xiàn)階段的系統(tǒng)維修決策觸發(fā)點，即ΔO的起始時刻，記為tk*，令其他最優(yōu)維修時刻落在區(qū)間[tk*，tk*+ΔO]內(nèi)的設備參與本次機會維護；

（4） 在確定系統(tǒng)第k個維修階段內(nèi)的維修設備組合后，進行該階段維修時刻的決策。延遲時間窗策略下的維修時刻的決策觸發(fā)時間點是tk*，令其作為Δo的起點時刻，使設備實際的維修時刻向后推遲Δo，即系統(tǒng)在第k個維修階段的最后維修決策時刻為tk=t*k+Δo。通過對比不同ΔO和Δo值下的系統(tǒng)能源效率指標值（EEIsys），其中令EEIsys最小的ΔO和Δo的值為最優(yōu)解(ΔO*，Δo*)，進一步得到多設備生產(chǎn)系統(tǒng)機會維修最優(yōu)維修時刻tk。

接下來的目標就是要尋找最優(yōu)解(ΔO*，Δo*)，建立以單位時間內(nèi)的系統(tǒng)能源效率指標值（energy efficiency indicator， EEI）最小化為目標的數(shù)學優(yōu)化約束模型。

4 算例分析

4.1 蒙特卡洛仿真算法

由于各臺設備的預防性維修時間tiw，j、維修時長wip，j及維修周期個數(shù)kip都是隨機變量，很難用解析方法求解。隨著系統(tǒng)預防性維修周期的變化，系統(tǒng)的實際產(chǎn)出和預防性維修能耗均會隨之變化，本文目標是使單位能耗轉(zhuǎn)化的系統(tǒng)實際產(chǎn)出最大。因此采用蒙特卡洛仿真方法對該串聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)進行建模，在假設各臺設備退化服從Tweedie 指數(shù)型散布隨機過程的基礎上，隨機產(chǎn)生各設備達到維修閾值所經(jīng)歷的工作時間及相應的預防性維修時間，并通過最早達到最優(yōu)維修時刻的設備來確定系統(tǒng)的機會維修組合窗起始點。根據(jù)蒙特卡洛抽樣原理可知，當仿真時長足夠長時，在特定時間窗閾值下的系統(tǒng)有效能源效率值將趨于真實值。因此，采用仿真算法進行迭代計算以尋求最優(yōu)的ΔO和Δo閾值，從而最小化整個系統(tǒng)的能源效率，如圖3，具體步驟如下。

圖3 基于節(jié)能延遲時間窗口的機會維修策略仿真流程Fig.3 Simulation process of opportunistic maintenance based on energy saving delay time window

步驟1確定各個設備所服從TEP 的參數(shù)αi、βi和χi，更換時間參數(shù)f和v，磨損參數(shù)o、?、φ。參數(shù)可通過各設備歷史故障數(shù)據(jù)擬合得到。并確定各設備正常工作時單位時間的能耗，單位時間預防性維修能耗epi。初始化各設備的運行時間、運行能耗、維修時間、維修能耗均為0。

步驟2設設備i的預防性維修閾值Dpi=εDfi，由式（9）可得到各個設備達到預防性維修閾值時刻tiw，j。

步驟3記Mr為系統(tǒng)中最早到達最優(yōu)維修時刻的設備，將trw，j作為當前階段的系統(tǒng)機會維修組合窗決策點，即ΔO的起始時刻，記作tk*，所有最優(yōu)維修時刻滿足tiw，j≤tk*+ΔO的設備即為參與此次機會維修的設備組合。

步驟4對系統(tǒng)內(nèi)滿足這次機會維修所有設備的組合窗ΔO確定后，更新參加此次維修活動的設備維修周期j=j+1。

步驟5計算系統(tǒng)實際實施維修的時刻tk=tk*+Δo。根據(jù)式（21）、式（22）和式（26）產(chǎn)生設備Mi進行預防性維修所需時間wip和完美更換時間wis，j。

步驟6分別記錄Mi正常運行和預防性維修所消耗的能源：

步驟7更新系統(tǒng)維修階段k=k+1。

步驟8若tk*＞T，根據(jù)式（30）計算出整個串聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)的能效指標并記錄結(jié)束整個仿真過程，否則，返回步驟2。

4.2 基于仿真的遺傳算法優(yōu)化

遺傳算法（genetic algorithm，GA）是根據(jù)大自然中生物體進化規(guī)律而設計提出的一類自適應隨機迭代搜索算法，具有自組織、自學習、自適應的智能特征，尋優(yōu)過程具有并行性，可有效避免陷入局部最優(yōu)，目前已被廣泛應用于機器學習、信號處理、自適應控制和人工生命、組合優(yōu)化等領(lǐng)域優(yōu)化問題的求解。遺傳算法通過模擬達爾文生物進化論的自然選擇和遺傳學機理的生物進化過程來搜索最優(yōu)解，利用計算機仿真運算，將問題的求解過程轉(zhuǎn)換成類似生物進化中的染色體基因的自然選擇、交叉、變異等過程，實現(xiàn)個體適應性的提高，使問題的解不斷進化，以求得最優(yōu)或近似最優(yōu)解。在求解較為復雜的組合優(yōu)化問題時，相對一些常規(guī)的優(yōu)化算法，通常能夠較快地獲得較好的優(yōu)化結(jié)果。

由于本文模型中含有較多帶有不確定因素的隨機變量，以及整數(shù)變量和連續(xù)變量，是一個隨機混合整數(shù)優(yōu)化問題，難以用解析方法求解，所以用設計啟發(fā)式并嵌入蒙特卡洛仿真方法求解。具體的算法流程描述如下：

遺傳算法中，把一個問題的可行解從其解空間轉(zhuǎn)換到遺傳算法所能處理的搜索空間的轉(zhuǎn)換方法稱為編碼。目前的編碼方法主要有二進制編碼、十進制編碼和實數(shù)編碼。實數(shù)編碼是將問題的解用實數(shù)表示。實數(shù)編碼解決了二進制和十進制編碼對算法精度和存儲量的影響，同時便于優(yōu)化中引入問題的相關(guān)信息。實數(shù)編碼可以直觀表達解的含義，極大減小搜索空間，因此運算速度提高，節(jié)約了運算時間。本文中優(yōu)化問題的決策變量組合(ΔO，Δo)，通過實數(shù)編碼方案將其編碼為染色體X，每個決策變量構(gòu)成X的每個基因。維護的解用一串整數(shù)表示，如m1，m2，…mi…，mn，n代表需要維護的設備數(shù)量，這一整數(shù)串代表了設備維護的先后順序，由于串聯(lián)系統(tǒng)中每個設備生產(chǎn)速率和能耗速率不同，不同的維護順序會導致系統(tǒng)能耗效率不同。

為保證種群的多樣性，采用隨機化的方式生成初始種群，gp表示算法第p次迭代后的種群。

將系統(tǒng)能耗效率解X=(x1，x2)的適應度定義為f(X)=E(x1，x2)—1，其中E(x1，x2)由蒙特卡洛仿真算法計算得出。

選用輪盤賭法進行選擇，步驟如下：

⑴計算每條染色體X的適應度值f(X)=E(x1，x2)—1；

⑵計算群體的適應度總和，設種群數(shù)為M：

⑶計算每個染色體X的選擇概率Pi：

⑷計算每個染色體X的累積概率Qi：

⑸生成［0，1］之間的隨機數(shù)r，如果r＞Q1，就選擇染色體X1，否則選擇第i個染色體Xi(2 ≤i≤M)，使得Qi≤r≤Q1。

在本文優(yōu)化中，采取次序交叉。首先隨機產(chǎn)生兩個交換點，定義兩交換點之間的區(qū)域為匹配區(qū)，再對兩個父代的匹配區(qū)進行交換。如圖4，次序交叉的具體操作步驟如下：

圖4 交叉示意圖Fig.4 Illustration of crossover

⑴隨機產(chǎn)生兩個交換點，交換中間的基因片段，并將此基因片段放入子代里，基因在染色體中的位置不變。

⑵在父代個體中刪除從另一個父代個體交換過來的基因片段中的基因，將剩余的基因按順序保存。

⑶將剩余基因按逆序方式，從子代第2交叉位置后開始填入。

在生物自然進化的過程中，染色體可能產(chǎn)生某些復制差錯，變異產(chǎn)生新的染色體，表現(xiàn)出新的性狀，產(chǎn)生新的個體。變異操作主要有互換變異、逆序變異、插入變異等，本文中的變異操作采用逆序變異，首先隨機確定兩個位置，然后將這兩個位置之間的基因順序顛倒。如圖5，父代個體為［1 2 5 10 9 6 4 12 8 11 3］，逆序位置隨機確定為2 和6，則變異后的子代個體為［1 2 4 6 9 10 5 12 8 11 3］。

圖5 逆序變異示意圖Fig.5 Illustration of inverse mutation

如圖6，當算法總的迭代次數(shù)達到設定迭代次數(shù)時，遺傳算法終止。

圖6 基于仿真的優(yōu)化算法流程Fig.6 Optimization algorithm flow based on simulation

遺傳算法運行參數(shù)中包含種群規(guī)模大小、最大迭代次數(shù)（算法終止條件）、交叉概率和變異概率等。合理選擇參數(shù)能提高算法有效性，提升遺傳算法性能，并增大運行效率，有效優(yōu)化蒙特卡洛得到的近似結(jié)果。針對上文遺傳算法中提到的各項相關(guān)參數(shù)，進行以下設置：

⑴交叉：過程中僅包含交叉概率一個參數(shù)。交叉概率決定著種群中進行交叉的頻率，取值范圍通常在0.5～1。交叉概率設置較大時，對種群的擾動效果也較大，可以使新產(chǎn)生的個體更好地融入群體中，但此時算法的收斂速度會變慢。另一方面，較小的交叉概率擾動不足，可能會使算法早熟，收斂到局部最優(yōu)解。針對以上兩個原因，將交叉概率設置為pc=0.7。

⑵變異：變異過程中包含變異概率pm（決定變異的染色體條數(shù)）和變異率mu（決定每條染色體變異的基因數(shù)）。變異概率取值范圍一般為0.001～0.1。取值太大時易使算法退化為隨機搜索算法，難以收斂，而過小則對增加種群多樣性的效果不大。綜合考慮本文研究模型的規(guī)模，將變異概率設為0.1，變異率設為0.15。

⑶種群大小和終止條件：種群大小應根據(jù)研究問題的規(guī)模決定。若種群較大，為保證種群多樣性，但運算量也會增大，搜索過程變慢；而種群大小過小時不利于全局收斂。種群大小的取值范圍一般為20～200。針對能耗效率生產(chǎn)系統(tǒng)模型，種群規(guī)模的大小初步設定為20。終止條件也與研究問題的規(guī)模有關(guān)?？紤]到研究問題規(guī)模受限于時間和空間，遺傳算法不可能無限長時間運行，因此，最大迭代次數(shù)設定為50。

4.3 數(shù)值仿真實驗

利用蒙特卡洛仿真方法對生產(chǎn)系統(tǒng)進行建模，實例基于文獻［19］中的第四章節(jié)算法實例部分開發(fā)得來，以5 臺不同類型的生產(chǎn)設備（車床、鉆機、塔式銑床、立式銑床、磨床）組成的批量生產(chǎn)系統(tǒng)為例，5 臺設備組成的串行連續(xù)制造生產(chǎn)線，T=500，o=0.2，?=0.5，φ=0.8，γ=0.3，ε=20%，f=2，v=0.6。

TEP模型可以通過參數(shù)的變化而涵蓋多種常見的隨機過程，因此其在工程中的適用范圍很廣，TEP模型中系數(shù)χ與幾類常見隨機過程模型的轉(zhuǎn)換關(guān)系見表2。

表2 Tweedie指數(shù)型散布隨機過程Tab.2 Tweedie exponential-dispersion stochastic processes

由于各個設備退化過程是累積增長的漸變過程，具有非負獨立增量性質(zhì)，而伽馬過程是一個獨立增量服從相同尺度參數(shù)的連續(xù)隨機過程。為此，選取伽馬過程對設備的連續(xù)退化過程進行建模。令χi=2，即設備的退化過程服從參數(shù)不同的伽馬分布，各設備的參數(shù)見表3。

表3 串聯(lián)系統(tǒng)中各設備參數(shù)Tab.3 Production parameters of each machine in serial system

最終，經(jīng)遺傳算法迭代后，得到最優(yōu)解為ΔO*=18d，Δo*=5d，系統(tǒng)能源效率指數(shù)收斂于EEIsys(18，5)=1.452，見圖7。

圖7 遺傳算法迭代進化過程Fig.7 The Evolution diagram of genetic algorithm

圖8給出了延遲窗策略下串行生產(chǎn)系統(tǒng)中各個設備在維修周期計次下運行時間變化情況。

圖8 設備運行時間Fig.8 Operating time in devices

設備運行時間為0 時代表設備在此維修周期中不參與機會維修。根據(jù)圖8，我們可得系統(tǒng)在1～17個維修周期中停機時刻，見表4。

將預防性維修閾值從20%提高到60%，記錄基于不同時間窗下的EEIsys和維修集成窗最優(yōu)值ΔO*繪制成圖9?？梢钥闯觯瑹o論哪種維修策略下的EEIsys是都是隨著PM 閾值先增后減的，PM 閾值較低時進入機會維修范圍內(nèi)設備較多，導致維修能耗的增加。PM 閾值增大，設備到達PM 閾值時刻所需時間越長，進行維修活動的次數(shù)減少，維修能耗因此降低。最優(yōu)維修組合時間窗ΔO*在一定范圍內(nèi)，由于預防性維修閾值變大，設備運行時間、維修時間以及更新時間都會增加，需要通過增大維修集成時間窗ΔO*的值使各設備盡可能地同時維修，以減少系統(tǒng)的整體停機次數(shù)，從而減少由生產(chǎn)質(zhì)量損失導致的產(chǎn)出損失。當維修閾值增加到一定數(shù)值時，此時所有設備都在集成窗維修范圍內(nèi)，ΔO*不受維修閾值變化影響，取值趨于穩(wěn)定。

圖9 不同時間窗下的EEIsys 和維修集成窗最優(yōu)值ΔO*隨PM 閾值的變化情況Fig.9 EEIsysof two different time window and the optimal value of maintenance integration windowΔO*under different PM thresholds

一般來說，基于傳統(tǒng)時間窗的預防性維修中，設備突發(fā)停機經(jīng)常會使正常的生產(chǎn)安排紊亂，降低串行生產(chǎn)系統(tǒng)的有效產(chǎn)出?；谖墨I［19］中的第五章節(jié)算法實例部分開發(fā)得來，以7臺不同類型的生產(chǎn)設備（車床、鉆機、塔式銑床、鉆機、塔式銑床、立式銑床、磨床）組成的批量生產(chǎn)系統(tǒng)為例，將設備數(shù)增加至8臺，具體參數(shù)見表5并以傳統(tǒng)單窗維修策略為對照，為驗證延遲時間窗的有效性，控制其他參數(shù)及變量不變，傳統(tǒng)時間窗口策略中的t*k即為維修觸發(fā)點。模擬結(jié)果顯示，傳統(tǒng)時間窗策略下，ΔO*=27d時，EEIsys=2.751；延遲時間窗下，ΔO*=21d，Δo*=4d時有EEIsys=2.036?？芍獋鹘y(tǒng)時間窗策略下的預防性維修活動能源效率更高，即延遲窗策略在維修時的能耗節(jié)約效率方面更優(yōu)于單窗策略。

表5 增加設備后的參數(shù)設置Tab.5 Parameters setting after increasing the number of machines

5 結(jié)論

（1）以多設備串聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)為研究對象，在令系統(tǒng)中各設備退化服從Tweedie 指數(shù)散布過程及不完全維修的基礎上，考慮了生產(chǎn)過程中的產(chǎn)出損失，引入了“延遲時間窗”的機會維修策略，令傳統(tǒng)時間窗中最早到達最優(yōu)維修時刻決策點成為維修組合窗決策點，提出了一種基于延遲時間窗的延遲式預防性維修策略。

（2）通過最小化系統(tǒng)在規(guī)劃期內(nèi)的能源消耗效率為目標構(gòu)建機會維修模型，利用蒙特卡洛仿真算法迭代求解出最佳的維修窗組合和預防性維修策略，并探究了不同的維修閾值對不同機會維修窗口下能耗效率指標和維修集成窗最優(yōu)值的影響，結(jié)果表明在減少系統(tǒng)總能源消耗和提高系統(tǒng)有效產(chǎn)出方面，該機會維修模型切實可行。

（3）本文主要研究了串聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)中設備退化、能耗因素、質(zhì)量損失與維護策略的優(yōu)化問題。但在實際生產(chǎn)過程中，串并混聯(lián)作為現(xiàn)代制造系統(tǒng)最普遍使用的配置型式，較串聯(lián)系統(tǒng)而言，串并聯(lián)系統(tǒng)加工過程中能耗情況、質(zhì)量損失與維護決策要復雜得多，未來研究中可以考慮具體的質(zhì)量和能耗特性指標在多階段串并聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)中的傳遞性。

作者貢獻聲明：

張文娟：提出研究選題，設計研究思路和論文框架；

朱雨彤：設計研究思路，完成實驗設計并實施，分析數(shù)據(jù)，撰寫論文。