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基于學(xué)習(xí)路徑分析的“有余數(shù)的除法”單元整體教學(xué)

2023-06-04 15:47:21邵蓓瑜章勤瓊麻永侃
關(guān)鍵詞:學(xué)習(xí)路徑單元整體教學(xué)豎式

邵蓓瑜 章勤瓊 麻永侃

【摘 要】豎式記錄每一步計(jì)算的過程。要理解其算理,就要在教學(xué)中做好情境意義、操作過程與豎式記錄的關(guān)聯(lián)?!坝杏鄶?shù)的除法”單元的核心目標(biāo)有兩個(gè):(1)理解有余數(shù)的除法的含義以及余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系;(2)理解除法豎式的合理性并掌握除法豎式。從有余數(shù)的除法開始學(xué)習(xí)除法豎式,能讓學(xué)生更好地理解除法豎式的合理性。同時(shí),學(xué)習(xí)除法豎式的過程,又能幫助學(xué)生更好地理解除法含義。

【關(guān)鍵詞】學(xué)習(xí)路徑;單元整體教學(xué);有余數(shù)的除法;豎式

除法的本質(zhì)是不斷地對(duì)不同單位的總數(shù)進(jìn)行平均分的過程,分了之后對(duì)剩余的進(jìn)行轉(zhuǎn)化,與下面的單位進(jìn)行合并,然后再重復(fù)這樣的過程。[1]因此,除法豎式需要記錄每次平均分過程的“分什么?要分多少份(每份分多少)?每份分多少(能分多少份)?分了多少?還余多少?”五個(gè)步驟。如果有不同單位的多次均分,還需要處理“余下的怎么辦”的問題,并繼續(xù)記錄這一過程。這樣的除法豎式不僅是在記錄計(jì)算的過程,還與整個(gè)算理理解和思考過程對(duì)應(yīng)。[2]在“有余數(shù)的除法”單元教學(xué)中,教師容易忽視豎式記錄的關(guān)聯(lián)性,即沒有做好情境意義、計(jì)算過程與豎式記錄的關(guān)聯(lián),導(dǎo)致學(xué)生停留在淺層次的程序化記憶中,失去了理解除法豎式的合理性與深化理解除法意義的機(jī)會(huì)。在教學(xué)時(shí),該如何幫助學(xué)生進(jìn)行有意義的豎式記錄,進(jìn)而理解除法豎式的合理性,明晰除法意義呢?本文通過基于學(xué)習(xí)路徑的“有余數(shù)的除法”單元整體設(shè)計(jì)來進(jìn)行說明。

一、理解學(xué)習(xí)目標(biāo)

(一)單元目標(biāo)概述

1.人教版教材單元目標(biāo)

(1)通過操作、觀察、對(duì)比等活動(dòng),使學(xué)生發(fā)現(xiàn)日常生活中在分物時(shí)存在著分不完有剩余的情況,借此理解余數(shù)及有余數(shù)的除法的含義,初步培養(yǎng)學(xué)生全面思考問題的意識(shí)。(2)通過操作、計(jì)算、比較等活動(dòng),讓學(xué)生經(jīng)歷除法豎式(含表內(nèi)除法的豎式)的書寫過程,理解豎式中每個(gè)數(shù)所表示的意思,初步培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析能力以及恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)的能力。(3)使學(xué)生初步掌握試商的基本方法,并能較熟練地進(jìn)行有余數(shù)的除法的口算和筆算,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。(4)使學(xué)生初步學(xué)會(huì)用有余數(shù)的除法解決生活中的簡(jiǎn)單問題,初步感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系,繼續(xù)掌握解決問題的基本思路和基本方法。[3]

2.北師大版教材單元目標(biāo)

(1)能在教師的指導(dǎo)下,從日常生活中提出簡(jiǎn)單的除法問題;在解決實(shí)際問題和對(duì)結(jié)果的實(shí)際意義進(jìn)行解釋的過程中,進(jìn)一步體會(huì)除法的意義,感受除法與生活的密切聯(lián)系。(2)能讀懂情境圖中蘊(yùn)含的信息,初步學(xué)習(xí)畫圖、列表等多樣化的解決問題的策略,知道同一個(gè)問題可以有不同的解決方法,并運(yùn)用有余數(shù)的除法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。(3)認(rèn)識(shí)余數(shù)并經(jīng)歷探索余數(shù)和除數(shù)關(guān)系的過程;掌握商是一位數(shù)的除法豎式的書寫格式,了解除法豎式各部分的意思;經(jīng)歷有余數(shù)除法的試商過程,進(jìn)一步體會(huì)余數(shù)一定要比除數(shù)小。(4)樂于參加數(shù)學(xué)活動(dòng),初步形成對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和探索欲望。[4]

兩個(gè)版本教材的單元目標(biāo)都包含三個(gè)板塊的內(nèi)容和要求:(1)理解有余數(shù)的除法的含義及余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系;(2)理解除法豎式的合理性并掌握除法豎式;(3)運(yùn)用有余數(shù)的除法解決問題。

(二)確定核心目標(biāo)

根據(jù)單元目標(biāo)可知,理解有余數(shù)的除法的含義是學(xué)習(xí)除法豎式的基礎(chǔ),同時(shí),除法豎式的學(xué)習(xí)又能幫助學(xué)生進(jìn)一步理解有余數(shù)的除法的含義,促進(jìn)學(xué)生用有余數(shù)的除法解決問題。因此,本單元的核心目標(biāo)是:(1)理解有余數(shù)的除法的含義及余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系;(2)理解除法豎式的合理性并掌握除法豎式。

(三)核心目標(biāo)具體化

確定上述核心目標(biāo)后,還需根據(jù)運(yùn)算意義以及豎式記錄過程,分析核心目標(biāo)的內(nèi)涵,形成具體的表現(xiàn)性目標(biāo)。

1.理解有余數(shù)的除法的含義

能理解平均分后有剩余的情境;能用自己的方式表征平均分的過程并能結(jié)合情境作解釋;能在理解、比較不同方法的基礎(chǔ)上,用有余數(shù)的除法算式表征情境,并理解除法算式各部分的含義;理解余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系。

2.理解除法豎式的合理性并掌握除法豎式

能結(jié)合情境意義和平均分的過程,用除法豎式進(jìn)行記錄;能結(jié)合情境,借用除法橫式對(duì)除法豎式進(jìn)行解釋、篩選;能理解除法豎式的合理性,理解除法豎式各部分的含義。

根據(jù)核心目標(biāo)可知,明晰有余數(shù)的除法的含義能幫助學(xué)生理解除法豎式記錄的必要性,而除法豎式記錄過程又能促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的理解。教學(xué)時(shí)應(yīng)建立情境意義、計(jì)算過程、豎式記錄三者之間的聯(lián)系,使除法豎式的學(xué)習(xí)成為理解算理、掌握算法的過程,凸顯豎式的作用與價(jià)值。

二、確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)

根據(jù)具體化目標(biāo),學(xué)生對(duì)平均分的過程和除法含義的理解是本單元的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。因此,筆者設(shè)計(jì)了兩道表現(xiàn)性評(píng)價(jià)的題目,對(duì)二年級(jí)41名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試,并根據(jù)SOLO分類理論對(duì)學(xué)生的答題情況進(jìn)行水平分層的分析。

測(cè)試題1:將50顆糖果平均分給4個(gè)人,你是怎么分的?請(qǐng)你用圖或文字等形式把分的過程清楚地記錄下來。

本題考查學(xué)生對(duì)“有剩余的平均分過程”的理解情況。根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn),其理解水平可以劃分為4個(gè)水平層次,測(cè)查結(jié)果如表1所示。

測(cè)試題2:算式“12÷4=3”中的12表示12個(gè)蘋果,這個(gè)算式可以用來解決什么問題?請(qǐng)寫出你覺得可能解決的問題。

本題是為了考查學(xué)生對(duì)除法的兩種含義(等分和包含)的理解情況。學(xué)生的表現(xiàn)可分為4個(gè)水平層次,測(cè)查結(jié)果如表2所示。

由這兩道測(cè)試題可以看出,約20%的學(xué)生(表1中水平0和水平1)對(duì)有余數(shù)的除法均分過程的理解存在困難,因此,在教學(xué)中需要適當(dāng)進(jìn)行提示,以明晰學(xué)生的思維過程;約56%的學(xué)生(表2中水平0和水平1)對(duì)除法兩種含義的理解不足,因此在教學(xué)時(shí)要建立情境意義和運(yùn)算過程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,促進(jìn)學(xué)生對(duì)除法含義的理解。

三、分析學(xué)習(xí)路徑

學(xué)生在第一次學(xué)習(xí)除法豎式時(shí),不僅需要知道豎式怎么列,還要在理解算理的情況下,將情境意義、計(jì)算過程以及豎式記錄進(jìn)行關(guān)聯(lián),理解豎式為什么這么列。通過有余數(shù)的除法來學(xué)習(xí)除法豎式,能讓學(xué)生更好地理解除法豎式的合理性。由此,筆者確定了本單元的學(xué)習(xí)路徑,并在學(xué)生運(yùn)用有余數(shù)的除法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題前,根據(jù)核心目標(biāo)的具體表現(xiàn)設(shè)計(jì)了相應(yīng)的教學(xué)任務(wù)。

(一)理解有余數(shù)的除法的含義

任務(wù)一,理解“有剩余的平均分過程”的情境。例如,通過操作活動(dòng)“用12根小棒擺三角形,結(jié)果怎樣?用13根小棒擺三角形,結(jié)果怎樣?”直觀理解算理。任務(wù)二,能用自己的方式表征平均分的過程并能結(jié)合情境作解釋。例如,對(duì)于用13根小棒擺三角形,學(xué)生可能會(huì)列出不同的算式:13-3-3-3-3=1(個(gè))、3×4+1=13(個(gè))、13÷3=4(個(gè))……1(根)。教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)情境意義和平均分的過程解釋不同算式的含義。任務(wù)三,根據(jù)操作過程來比較不同的表征方式,明確有余數(shù)的除法算式可用于表示 “分什么?要分多少份(每份分多少)?每份分多少(能分多少份)?分了多少?還余多少?”五個(gè)步驟,理解有余數(shù)的除法的內(nèi)涵,聯(lián)系平均分的過程理解橫式中各部分的含義。任務(wù)四,理解除數(shù)與余數(shù)的關(guān)系。首先,讓學(xué)生理解情境的意義,用13根小棒搭正方形,并用除法算式表示。其次,讓學(xué)生用除法算式直接表示用14根、15根、16根小棒搭正方形的情況,并通過比較學(xué)生的易混點(diǎn),如16÷4=3(個(gè))……4(根)和16÷4=4(個(gè)),引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)情境意義和分的過程進(jìn)行數(shù)學(xué)說理,體會(huì)除數(shù)與余數(shù)的關(guān)系。再次,讓學(xué)生用除法算式表示17根、18根、19根、20根小棒搭正方形的情況,檢查學(xué)生的掌握情況。最后,組織學(xué)生觀察、比較、分析“用13~16根”和“用17~20根”小棒搭正方形的兩組除法算式的相同點(diǎn)和不同點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系,感受除法算式中被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的變化規(guī)律。

以上四個(gè)任務(wù)分為兩個(gè)課時(shí),其中任務(wù)一、任務(wù)二、任務(wù)三為一課時(shí),主要結(jié)合操作過程幫助學(xué)生直觀理解算理,再用不同的算式引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)有余數(shù)的除法,理解有余數(shù)的除法的含義。任務(wù)四為一課時(shí),主要結(jié)合情境,讓學(xué)生通過操作活動(dòng)和除法算式之間的規(guī)律,理解余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系。

(二)理解除法豎式的合理性并掌握除法豎式

任務(wù)一,有13根小棒,每4根分1組,操作后列出算式,并用豎式進(jìn)行記錄。任務(wù)二,結(jié)合情境和操作過程,對(duì)列出的豎式的合理性進(jìn)行解釋。任務(wù)三,關(guān)聯(lián)情境意義、計(jì)算過程與豎式記錄,理解豎式記錄的合理性,理解豎式各部分的含義。

四、核心課時(shí)任務(wù)設(shè)計(jì)

計(jì)算教學(xué)要強(qiáng)調(diào)算理和算法之間的關(guān)聯(lián)。以“除法豎式”為例,要理解除法豎式記錄的合理性,就要在理解算理的基礎(chǔ)之上,有效關(guān)聯(lián)情境意義、計(jì)算過程和豎式記錄。具體教學(xué)任務(wù)如下。

首先,教師出示任務(wù):“有13根小棒,每4根分1組,結(jié)果怎樣?”讓學(xué)生畫一畫,并寫出除法算式。在這個(gè)任務(wù)中,教師需要借助情境,幫助學(xué)生直觀地理解平均分的過程,并將分的過程與除法橫式建立聯(lián)系,為學(xué)生能夠根據(jù)情境和除法橫式寫出不同的除法豎式做鋪墊。

其次,結(jié)合情境意義,讓學(xué)生嘗試用豎式記錄平均分的過程,并鼓勵(lì)學(xué)生寫出不同形式的除法豎式。再引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合平均分的過程及除法橫式的含義,對(duì)寫出的除法豎式進(jìn)行篩選和排除。例如,學(xué)生可能會(huì)寫出如圖1的三種豎式。教師要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合前面平均分的過程,全面觀察除法豎式的記錄過程,從而發(fā)現(xiàn)方法(1)只記錄了“分了3組”,而缺少了“還余1根”,導(dǎo)致記錄的過程不完整。再分析方法(2)和方法(3),尋找豎式記錄的五個(gè)步驟:“分13根,每份4根,分3份,分了12根,還余1根?!北嫖龇椒ǎ?)中是否記錄下了“分了12根”的內(nèi)容,從而理解“分了12根”是思維過程中必不可少的部分。之后,對(duì)比方法(2)和方法(3),理解把“分了12根”記錄下來,才能與之前分的過程真正對(duì)應(yīng)起來。學(xué)生經(jīng)歷這樣的對(duì)比和分析過程,才能理解除法豎式記錄的合理性,從而更好地理解除法的運(yùn)算過程。

最后,關(guān)聯(lián)情境意義、計(jì)算過程和豎式記錄,讓學(xué)生理解除法豎式各部分的含義。通過“有余數(shù)的除法”的教學(xué),在學(xué)生充分理解了除法豎式的合理性之后,再讓他們嘗試解決沒有余數(shù)的除法的問題,并用豎式記錄計(jì)算過程,能幫助學(xué)生直觀地理解算理,將計(jì)算過程和豎式記錄進(jìn)行對(duì)應(yīng),理解除法豎式各部分的實(shí)際意義。

參考文獻(xiàn):

[1] 章勤瓊,唐娟.為什么除法豎式不一樣:兼談豎式的記錄功能及不同形式[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版(數(shù)學(xué)),2019(10):56-59.

[2]章勤瓊,杜依銘. 運(yùn)算教學(xué)中如何做到“法理兼顧”:略談運(yùn)算教學(xué)的三個(gè)要點(diǎn)[J]. 福建教育,2022 (10):28-31.

[3]人民教育出版社課程教材研究所小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心. 義務(wù)教育教科書教師教學(xué)用書:數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊(cè)[M].北京:人民教育出版社,2016:143.

[4]劉堅(jiān),孔企平,張丹.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書:二年級(jí)下冊(cè)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2013:2.

(1.浙江省溫州市永嘉縣實(shí)驗(yàn)小學(xué) 2.福建師范大學(xué)教育學(xué)院)

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