王福謙 譚 浩 于學東 卿建東 張 玉

（四川西南航空職業(yè)學院機務學院 成都 610400）

1 引言

電容式傳感器是一個具有可變參數(shù)的電容器。在現(xiàn)有文獻［1～5］中，關于變面積型平板電容傳感器的討論，均未計及其極板的邊緣效應，對由此帶來的測量誤差的研究也未見涉及。為此，本文擬將理論分析與計算機數(shù)值模擬相結合，利用保角變換法和格林函數(shù)法，研究變面積型平板電容傳感器的電場和電容，以消除傳感器極板所引起的橫向邊緣效應，得到精確度較高的電場和電容量的表達式，并利用軟件Matlab繪制出該傳感器電容量與動極板線位移之間的變化曲線，通過數(shù)值模擬分析影響該傳感器輸出特性的因素及不計極板邊緣效應情形下減小測量誤差的途徑。

2 變面積型平板電容傳感器的電場與電容

2.1 變面積型平板電容傳感器的電場

變面積型平板電容傳感器由間距為d的兩相同平行極板組成，電勢分別為U0和-U0，極板的長度和寬度分別為L和l，且L遠大于l，上極板相對于下極板向右發(fā)生水平位移X，其橫截面如圖1所示。因在垂直于極板長度方向的所有截面上的電場分布都相同，則該傳感器的靜態(tài)場為平行平面場，故可取任一截面為z平面來討論電勢和場強在其上的分布，如圖1所示。因為指數(shù)函數(shù)可將z平面上0 ＜Imz＜d水平帶域變換為ζ平面的上半平面，所以，為了利用格林函數(shù)法計算z平面上變面積型平板電容傳感器內(nèi)的電勢和場強的分布，可作如下的保角變換［6］：

圖1 變面積型平板電容傳感器的橫截面

經(jīng)變換式（1），z平面上由兩平行極板位置所限定的水平帶形域0 ＜Imz＜d，就映射為ζ平面的上半平面，變換后的ζ平面上兩極板橫截面的位置及其坐標可由式（2）確定，如圖2所示。

圖2 變換后的上半平面及各極板端點的位置

經(jīng)此變換后，z平面上的變面積型平板電容傳感器內(nèi)的電勢分布就變換為ζ平面上的位于其上半平面的如下的邊值問題：

對式（3）應用格林函數(shù)法［7～8］，可得ζ平面上的電勢分布為

由式（1），有

將式（5）中的ξ、η代入式（4），則得z平面上變面積型平板電容傳感器內(nèi)的電勢分布為

由場強與電勢的微分關系E=-?φ，通過式（6）可得變面積型平板電容傳感器內(nèi)的場強分布為

為了給出變面積型平板電容傳感器電場分布影響的直觀圖像，下面通過式（6），利用軟件Matlab對其場分布進行數(shù)值模擬［9～10］，繪制出了其橫截面上的電場線和等勢線（面）圖（見圖3）。圖中的電場線與等勢線及極板均垂直，場線分布正確合理，說明上述研究方法正確。

圖3 變面積型平板電容傳感器橫截面上的電場(U0=100V，d=5cm，l=8cm，X=1cm)

2.2 變面積型平板電容傳感器的電容

變面積型平板板電容傳感器極板帶電量的計算。為簡便計，可設該傳感器的兩極板間的電壓為U0（設上極板電勢為U0，下極板電勢為0），取式（6）中的y=y1=y2=0，可得其下極板上的感應電荷面密度的大小為

在下極板上對σ積分，變面積型平板板電容傳感器極板的帶電量為

由上式結合圖1可得變面積型平板電容傳感器的電容量為

因為該傳感器內(nèi)的場強分布是通過格林函數(shù)法得到的，且已計及了傳感器極板橫向的邊緣效應，所以式（10）具有較高的精確度。

3 變面積型平板電容傳感器的輸出特性

下面利用Matlab［11～12］軟件的數(shù)值模擬功能，通過式（10）繪制出變面積型平板電容傳感器輸出特性曲線，見圖4。

圖4 變面積型平板電容傳感器輸出特性曲線(d=0.01m，l=0.02m，L=0.2m，εr=1)

3.1 變面積型平板電容傳感器的輸出特性分析

3.1.1 輸出特性與d的關系

Matlab 軟件的數(shù)值模擬結果表明：當該傳感器的l和L保持不變時，減小極板間距d的數(shù)值，可提高其線性度和平均靈敏度，輸出特性得到改善（見圖5）。

圖5 變面積型平板電容傳感器輸出特性曲線(l=0.0125m，L=0.1m，εr=1)

3.1.2 輸出特性與l的關系

Matlab 軟件的數(shù)值模擬結果表明：當該傳感器的d和L保持不變時，增大極板寬度l的數(shù)值，除該傳感器初始電容量增加之外，其線性度和靈敏度幾乎不變，輸出特性沒有明顯改變（見圖6）。

圖6 變面積型平板板電容傳感器輸出特性曲線(d=0.003m，L=0.1m，εr=1)

3.2 改善輸出特性的途徑

從以上數(shù)值模擬結果（圖5、6）可以看出，改善變面積型平板電容傳感器輸出特性的主要途徑是盡可能減小極板間距；而增大極板寬度，對傳感器輸出特性的影響不大。

4 不計邊緣效應的變面積型平板電容傳感器的誤差分析

在不計邊緣效應時，變面積型平板電容傳感器的上極板發(fā)生水平位移X，其電容量為

與式（10）比較可得變面積型平板電容傳感器在不計邊緣效應時引起的測量誤差為

利用Matlab［13～14］軟件，對式（10）和式（11），可繪制出變面積型平板電容傳感器，在計及和不計及邊緣效應兩種情況下的輸出特性曲線，其中實線曲線為計及邊緣效應時該傳感器的輸出特性曲線，點線曲線為不計邊緣效應時該傳感器的輸出特性曲線。由模擬結果可以看出，在極板寬度距l(xiāng)和測量范圍（0.015m）一定的情況下，極板的間距d越小，測量的誤差越小，見圖7（a）和（b）；在測量范圍（0.015m）一定的情況下，極板的寬度l越大，極板寬間距d越小，測量的誤差越小，見圖7（b）、（c）。在d很小和l足夠大時，兩者的誤差在一定測量范圍內(nèi)可以忽略，見圖7（d）。所以，減小測量誤差的有效方法是適度增大極板的寬度l和適度減小極板的寬度間距d。

圖7 不計與計及邊緣效應的變面積型平板電容傳感器的輸出特性曲線比較 (εr=1，L=0.1m)

5 結語

計算機數(shù)值模擬的研究方法已成為繼實驗研究和理論分析之外的第三種研究手段。本文將理論分析與計算機數(shù)值模擬相結合，研究了計及邊緣效應的變面積型平板電容傳感器的輸出特性，指出了改善該容傳感器輸出特性的途徑，并對不計邊緣效應的平板電容傳感器的測量誤差進行了分析，給出了減小測量誤差的方法。本文的研究的研究結論，對于提高變面積型平板電容傳感器的測量精度具有一定的理論意義和實用價值，也可供相關問題的研究參考。