唐啟科

【摘 要】“數(shù)的認(rèn)識”整理與復(fù)習(xí)，是對小學(xué)階段所學(xué)“數(shù)的知識”進(jìn)行整理歸納。對于小數(shù)和分?jǐn)?shù)，有爭議也有認(rèn)識誤區(qū)，本文從“分?jǐn)?shù)的意義是什么？小數(shù)的意義是什么？小數(shù)是分?jǐn)?shù)的另一種形式嗎？”這三個(gè)問題出發(fā)，分析提升，得出：由于小學(xué)階段沒有學(xué)習(xí)除π以外的無理數(shù)，因此，學(xué)生認(rèn)為分?jǐn)?shù)和小數(shù)是一致的，但實(shí)際上學(xué)了無理數(shù)后，學(xué)生知道有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)能用分?jǐn)?shù)表示，無限不循環(huán)小數(shù)，如π不能用分?jǐn)?shù)表示。

【關(guān)鍵詞】數(shù)的分類 小數(shù) 分?jǐn)?shù)

一、緣起

每到六年級第二學(xué)期，數(shù)學(xué)教師就開始準(zhǔn)備進(jìn)行小學(xué)階段總復(fù)習(xí)的備課了，復(fù)習(xí)的第一項(xiàng)內(nèi)容就是“數(shù)的認(rèn)識整理與復(fù)習(xí)”，這是對小學(xué)階段所學(xué)“數(shù)的知識”進(jìn)行系統(tǒng)的歸納整理，對中學(xué)學(xué)習(xí)也有一定的鋪墊作用。通過系統(tǒng)整理復(fù)習(xí)，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識和分類進(jìn)行回顧，而且要引發(fā)學(xué)生新的思考。但每次進(jìn)行集體備課時(shí)，教師們都有很多爭議，也存在認(rèn)識誤區(qū)。爭議主要集中在以下幾方面：

1.小數(shù)是分?jǐn)?shù)的另外一種表現(xiàn)形式嗎？

2.數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩大類還是整數(shù)和小數(shù)兩大類，或者分為整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)三大類？

3.對于小數(shù)、分?jǐn)?shù)意義的表述，相比較而言，學(xué)生對什么是分?jǐn)?shù)理解得較好，但在復(fù)習(xí)階段讓學(xué)生說小數(shù)的意義，學(xué)生幾乎難以表達(dá)清楚。

在復(fù)習(xí)階段，教師應(yīng)以什么方式讓學(xué)生對數(shù)的意義有系統(tǒng)理解和歸納？很多教師匆忙中直接百度，并未對其中內(nèi)容進(jìn)行甄別就加以使用。如對數(shù)的分類，有些教師直接使用了思維導(dǎo)圖（見圖1）。

這個(gè)思維導(dǎo)圖很容易給學(xué)生一種錯(cuò)覺：數(shù)分為整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)三類。實(shí)際上我們提出數(shù)的分類時(shí)，很多學(xué)生都會(huì)脫口而出：數(shù)分為整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)。

二、思考

在六年級畢業(yè)前，學(xué)生要對小學(xué)階段知識進(jìn)行整理復(fù)習(xí)，這是為接下來的中學(xué)學(xué)習(xí)做好知識儲(chǔ)備。因此，在整理復(fù)習(xí)時(shí)，教師既要引導(dǎo)學(xué)生對小學(xué)階段所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整體的復(fù)習(xí)，又要引導(dǎo)學(xué)生對中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容有一個(gè)大致了解。筆者認(rèn)為，要對小學(xué)階段的“數(shù)”進(jìn)行準(zhǔn)確分類并讓學(xué)生理解，首先要解決三個(gè)問題：

1.分?jǐn)?shù)的意義是什么？

2.小數(shù)的意義是什么？

3.小數(shù)是分?jǐn)?shù)的另一種形式嗎？

三、分析

【教學(xué)片段1】

師：老師有4個(gè)蘋果，平均分給兩個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友可以分多少個(gè)蘋果？

生：4÷2=2，每個(gè)小朋友2個(gè)蘋果。

師：如果老師有2個(gè)蘋果，平均分給兩個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友可以分多少個(gè)蘋果？

生：2÷2=1，每個(gè)小朋友1個(gè)蘋果。

師：那如果老師只有1個(gè)蘋果，要平均分給兩個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友可以分多少個(gè)蘋果？

生：半個(gè)蘋果。

師：你們能用喜歡的方式表示半個(gè)嗎？

生1：我畫了一個(gè)蘋果，把它從中間分開。

師：你畫得可真形象，是個(gè)小畫家，這樣表示一半特別直觀。

生2：我就寫了一個(gè)字——半。

師：你寫這個(gè)“半”字，一豎下來就能體現(xiàn)出從中間分開。

生1：我用1/2表示。

師：同學(xué)們可真有辦法，用自己喜歡的方法表示一半，不過，一半更科學(xué)的表示方法就是用表示，你們知道這是什么數(shù)嗎？

生：分?jǐn)?shù)。

分?jǐn)?shù)的意義是什么？教材中這樣描述：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)，叫作分?jǐn)?shù)。大部分?jǐn)?shù)學(xué)教材在安排分?jǐn)?shù)的意義教學(xué)時(shí)，都安排了“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”兩部分內(nèi)容，學(xué)生對“一個(gè)物體或者一個(gè)圖形的幾分之一、幾分之幾”的意義是理解的，建立了比較準(zhǔn)確的表象，但對“一些物體或一些圖形的幾分之一、幾分之幾”的意義理解并不深刻。對于為什么要學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，教材交代得不是很清楚。分?jǐn)?shù)與除法、比的關(guān)系，北師大版數(shù)學(xué)教材針對這一內(nèi)容做了幾次修訂。其實(shí)學(xué)完這些內(nèi)容后，很多學(xué)生對于這幾種關(guān)系仍然難以理解。張奠宙先生認(rèn)為：把除法和分?jǐn)?shù)的模型簡單化，對于解釋數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是有害的，除法有“等分除”和“包含除”之分，分?jǐn)?shù)有“量的意義”和“率的意義”之分，教師和學(xué)生都要明白。的確，分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)是人類文明史上具有里程碑意義的一件事，從多角度來研究分?jǐn)?shù)的教學(xué)也是一個(gè)值得研究的課題。也就是說，目前學(xué)生對于分?jǐn)?shù)概念的建構(gòu)，基本是建立在“分蘋果”等簡單模型上，理解得并不是很深入。

小數(shù)的意義是什么？這個(gè)問題如果在六年級的復(fù)習(xí)課上提出，幾乎沒有學(xué)生能回答出來。學(xué)生四年級時(shí)學(xué)習(xí)了小數(shù)意義，但對這個(gè)概念的理解還是比較淺的。對于小數(shù)的意義，教材是這樣描述的：把單位“1”平均分成10份、100份、1000份……這樣的1份或幾份是十分之幾，百分之幾，千分之幾……像這樣的分?jǐn)?shù)可以用小數(shù)表示。北師大版數(shù)學(xué)教材從人民幣的元、角、分來引進(jìn)小數(shù)，然后引導(dǎo)學(xué)生將抽象的數(shù)“1”進(jìn)行十等分，主要通過數(shù)的改寫來認(rèn)識小數(shù)。小數(shù)和整數(shù)在形式上是統(tǒng)一的，小數(shù)的出現(xiàn)也使得十進(jìn)制計(jì)數(shù)法從整數(shù)擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)，數(shù)的內(nèi)涵更加豐富了。數(shù)的表現(xiàn)形式改變了，但其中不變的是相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率還是10。

小數(shù)是分?jǐn)?shù)的另一種形式嗎？其實(shí)小數(shù)并不是將分?jǐn)?shù)改寫而成的，而是自然數(shù)的十進(jìn)位值計(jì)數(shù)規(guī)則進(jìn)行擴(kuò)展的結(jié)果，0.1是1/10的一種新的表述方法，但是為什么要將1/10寫為0.1呢？實(shí)際上，這是為了與自然數(shù)的寫法匹配。針對小數(shù)的教學(xué)，一些教材是先講一部分分?jǐn)?shù)內(nèi)容，再講小數(shù)，便于學(xué)生更好地理解小數(shù)的意義。北師大版數(shù)學(xué)教材先講分?jǐn)?shù)再講小數(shù)，講小數(shù)時(shí)不強(qiáng)求概念的嚴(yán)密準(zhǔn)確，而是結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)采用描述性定義的方法講小數(shù)，符合小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。因?yàn)樵谛W(xué)階段學(xué)生沒有學(xué)習(xí)無理數(shù)，所以在有理數(shù)的范疇內(nèi)分?jǐn)?shù)和小數(shù)是一致的，因此教師并不能簡單地告訴學(xué)生小數(shù)是分?jǐn)?shù)的另一種形式。

那么在小學(xué)階段，數(shù)應(yīng)該怎么分類呢？

【教學(xué)片段2】

師：在小學(xué)階段，我們學(xué)過哪些數(shù)？誰來說一說？

生1：我們學(xué)過整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、自然數(shù)、負(fù)數(shù)。

師：還有嗎？

生2：正數(shù)、0、百分?jǐn)?shù)、奇數(shù)、合數(shù)。

師：你們能用思維導(dǎo)圖把小學(xué)階段學(xué)過的數(shù)進(jìn)行整理嗎？

生3：我們小組通過整理，把數(shù)分為整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)三類。

師：與這一小組同學(xué)想法一樣的同學(xué)請舉手。（占了班級半數(shù)以上）還有其他想法嗎？

生4：我們小組把數(shù)分為正數(shù)、0、負(fù)數(shù)三類。

生5：我們小組把數(shù)分為整數(shù)、分?jǐn)?shù)……

生6：我們小組把數(shù)分為整數(shù)、小數(shù)……

師：請大家看老師整理的思維導(dǎo)圖（出示教材思維導(dǎo)圖），你們有什么想法？

生7：我發(fā)現(xiàn)，數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，但是小數(shù)為什么沒有出現(xiàn)？

師：你這個(gè)問題提得真好，大家請看，我把小數(shù)添加在分?jǐn)?shù)里了。在小學(xué)階段，因?yàn)槲覀儧]有學(xué)習(xí)除π以外的無理數(shù)，所以我們認(rèn)為分?jǐn)?shù)和小數(shù)是一致的，因此在圖中用“分?jǐn)?shù)（小數(shù)）”表示（見圖2）。

數(shù)學(xué)新課標(biāo)指出，整體把握教學(xué)內(nèi)容，在小學(xué)階段要重視對數(shù)與運(yùn)算主題的整體理解，重視數(shù)的抽象性，通過打通不同數(shù)集之間的關(guān)聯(lián)，體會(huì)計(jì)數(shù)的規(guī)律，感受十進(jìn)制數(shù)的意義，把握整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的一致性。在數(shù)的認(rèn)識結(jié)構(gòu)上，教師應(yīng)該整體把握數(shù)集內(nèi)部的一致性和數(shù)集間的一致性，數(shù)內(nèi)部的一致性即數(shù)的意義、表示方式、大小等，其核心是數(shù)的意義。整體把握不僅有助于深刻理解數(shù)的概念的本質(zhì)，還能遷移到數(shù)的運(yùn)算過程中。學(xué)生在感悟數(shù)的一致性過程中，學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，培養(yǎng)了科學(xué)精神和理性思維。

北師大版數(shù)學(xué)教材是按圖2的思維導(dǎo)圖進(jìn)行整理的，將數(shù)分成整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩個(gè)維度，強(qiáng)調(diào)在小學(xué)階段因?yàn)閷W(xué)生沒有學(xué)習(xí)除π以外的無理數(shù)，所以在有理數(shù)范疇內(nèi)分?jǐn)?shù)和小數(shù)是一致的，因此在圖中用“分?jǐn)?shù)（小數(shù)）”來表示。實(shí)際上分?jǐn)?shù)和小數(shù)是有區(qū)別的，有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)能用分?jǐn)?shù)表示，無限不循環(huán)小數(shù)，如π不能用分?jǐn)?shù)表示，分?jǐn)?shù)多是有理數(shù)，而小數(shù)中，有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)。那么還可以怎么分類呢？筆者在教學(xué)中出示了教材中的思維導(dǎo)圖，并結(jié)合接下來七年級學(xué)習(xí)的實(shí)際情況，給學(xué)生整理出了思維導(dǎo)圖（見圖3）：

【教學(xué)片段3】

師：同學(xué)們，你們很快就將步入中學(xué)學(xué)習(xí)，老師根據(jù)中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，給大家整理出了思維導(dǎo)圖，你們有什么想法？

生1：為什么要將分?jǐn)?shù)括在有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)后？

生2：不能直接把有限小數(shù)、無限小數(shù)括在一起嗎？

師：為什么要將分?jǐn)?shù)括在有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)后，而分?jǐn)?shù)又不包括無限不循環(huán)小數(shù)？這個(gè)問題你們到了中學(xué)后就能明白了，老師期待到時(shí)候同學(xué)們能想起老師的這種分法，并進(jìn)行解釋。

教師應(yīng)讓學(xué)生帶著問題去探究，帶著問題進(jìn)入下一階段的學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)用整體的、發(fā)展的眼光去探究問題，這樣學(xué)生才能獲得全面的發(fā)展。