張志超 曹靜 高配峰

摘要 本文基于Levinson梁理論和單向耦合的非傅里葉熱傳導(dǎo)理論，在不同邊界條件下研究了均勻微梁的熱彈性阻尼（thermoelastic damping，TED）。忽略溫度的軸向梯度引起的熱流，給出了Levinson微梁橫向自由振動(dòng)的熱彈性耦合微分方程，與微梁不考慮熱彈性阻尼時(shí)的自由振動(dòng)方程進(jìn)行比較，從方程形式的相似性上得到了復(fù)頻率的解析解，進(jìn)而求得了代表微梁結(jié)構(gòu)熱彈性阻尼的逆品質(zhì)因子。在此基礎(chǔ)上，采用有限元方法計(jì)算了微梁結(jié)構(gòu)考慮非傅里葉熱傳導(dǎo)時(shí)的逆品質(zhì)因子，并將有限元結(jié)果和理論分析結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證。通過(guò)數(shù)值計(jì)算結(jié)果定量分析了微梁的幾何尺寸、邊界條件以及頻率階數(shù)對(duì)微梁熱彈性阻尼的影響規(guī)律。計(jì)算結(jié)果表明：在不同頻率階數(shù)時(shí)，微梁的熱彈性阻尼最大值不變，臨界厚度均隨著頻率階數(shù)的增大而減小；不同邊界條件下微梁熱彈性阻尼最大值對(duì)應(yīng)的臨界厚度隨著支座約束剛度的增大而減小；忽略軸向的溫度梯度引起的熱流，在梁尺寸較小時(shí)會(huì)帶來(lái)一定誤差。

關(guān)鍵詞 自由振動(dòng); 微梁; 熱彈性阻尼; 非傅里葉熱傳導(dǎo)

引 言

隨著集成電路技術(shù)的發(fā)展，機(jī)電系統(tǒng)的微小型化受到了廣泛的關(guān)注。微（納）機(jī)電系統(tǒng)（Micro/Nano?Electro?Mechanical System，MEMS/NEMS）由于其微型化、智能化、多功能、耗能少、集成度高等技術(shù)優(yōu)勢(shì)，在醫(yī)學(xué)儀器、航空航天、機(jī)械自動(dòng)化、信息技術(shù)以及軍事科技等眾多領(lǐng)域，有著十分廣泛的應(yīng)用前景［1?7］。微（納）機(jī)電系統(tǒng)中主要的工作系統(tǒng)是諧振器，而諧振器的力學(xué)模型一般可以簡(jiǎn)化成微（納）尺度的梁［8?9］、板［10?12］或環(huán)［13?14］，但諧振器的尺寸在微（納）米量級(jí)時(shí)，宏觀上可以忽略的微弱效應(yīng)，如結(jié)構(gòu)的熱彈性阻尼，會(huì)顯現(xiàn)出來(lái)并對(duì)結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能產(chǎn)生重要影響。

熱彈性阻尼（TED）是由諧振器在振動(dòng)過(guò)程中拉伸和壓縮產(chǎn)生的不可逆熱流而引起的內(nèi)摩擦。Zener［15?16］首次提出熱彈性阻尼這個(gè)概念，并系統(tǒng)研究了各向同性的熱彈性矩形截面梁沿著厚度方向的彎曲振動(dòng)，通過(guò)解析的方法給出了熱彈性阻尼的近似解。材料在受拉區(qū)域溫度升高，在受壓區(qū)域溫度降低，出現(xiàn)的溫度差使熱量從高溫一側(cè)流向低溫一側(cè)，隨著熱傳導(dǎo)過(guò)程的進(jìn)行，機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。這種能量轉(zhuǎn)換過(guò)程造成系統(tǒng)整體熵的增大，導(dǎo)致微梁振動(dòng)周期內(nèi)的機(jī)械能損失，使得振動(dòng)幅度逐漸衰減。當(dāng)諧振器的尺寸達(dá)到微納尺度時(shí)，這種熱彈性耦合的能量耗散會(huì)更加顯著，這將使得系統(tǒng)的效能顯著降低。因此，TED是決定諧振器熱品質(zhì)的重要因素，對(duì)微結(jié)構(gòu)的熱彈性阻尼進(jìn)行定量研究和評(píng)估，了解熱彈性阻尼的變化規(guī)律，具有重要的現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)作用。Lifshitz等［17］在Zener［15?16］模型的基礎(chǔ)上建立了更合理的Euler?Bernoulli微梁熱彈性阻尼分析模型，通過(guò)復(fù)頻率法給出了均勻材料微梁橫向振動(dòng)時(shí)頻散關(guān)系解析式與精確的逆品質(zhì)因子解。隨后，大量的學(xué)者采用不同解析方法和數(shù)值方法對(duì)微梁熱彈性阻尼進(jìn)行了深入研究［17?22］。

需指出的是，由于微梁尺寸較小時(shí)自由振動(dòng)的頻率較大，導(dǎo)致梁不同區(qū)域冷、熱轉(zhuǎn)變較快，采用傳統(tǒng)傅里葉熱傳導(dǎo)模型可能會(huì)帶來(lái)誤差。Guo等［23?24］推導(dǎo)出微梁基于廣義熱彈性單相位遲滯理論的熱彈性阻尼解析解，研究表明當(dāng)梁的縱橫比增加，單相位遲滯TED模型與經(jīng)典模型之間的誤差變大。Deng等［25］對(duì)石墨烯納米梁的熱彈性阻尼進(jìn)行了分析，考慮了熱傳導(dǎo)延滯效應(yīng)和尺度效應(yīng)，研究了長(zhǎng)細(xì)比、松弛時(shí)間、熱傳導(dǎo)系數(shù)對(duì)熱彈性阻尼的影響。文獻(xiàn)［26?27］研究了廣義熱彈性理論下微梁諧振器的熱彈性阻尼，分別考慮弛豫時(shí)間參數(shù)、梁厚對(duì)TED的影響。同時(shí)，經(jīng)典的Euler?Bemoulli梁理論（EBT）適用于細(xì)長(zhǎng)梁，描述長(zhǎng)厚比較小的梁的自由振動(dòng)時(shí)會(huì)帶來(lái)一定的誤差［28］。

本文針對(duì)Levinson微梁諧振器的熱彈性阻尼特性，以廣義熱力耦合熱傳導(dǎo)理論研究厚度、邊界條件以及特征頻率階數(shù)對(duì)微梁諧振器TED的影響規(guī)律。本文給出了基于廣義熱彈性理論的Levinson微梁諧振器的運(yùn)動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程，在忽略梁沿軸線方向的熱流的條件下得到了微梁的特征頻率解析解；說(shuō)明了采用有限元方法對(duì)這一熱力耦合問(wèn)題的求解過(guò)程；給出了金屬鎳（Ni）組成的微梁熱彈性阻尼的解析解和有限元結(jié)果，分析比較了不同厚度、模態(tài)、邊界條件對(duì)熱彈性阻尼的影響并給出了部分結(jié)論。

1 基于非傅里葉熱傳導(dǎo)定理的Levinson梁熱彈性阻尼解析解

1.1 運(yùn)動(dòng)方程

現(xiàn)有研究微梁的廣義熱彈性理論模型大都基于經(jīng)典梁理論模型，較少考慮高階剪切變形的影響，在梁長(zhǎng)厚比較小時(shí)有必要考慮梁內(nèi)部剪切變形對(duì)結(jié)構(gòu)熱彈性阻尼的影響。本文研究長(zhǎng)度為l（0≤x≤l），截面高度為h（?h/2≤z≤h/2），寬度為b（?b/2≤y≤b/2）的矩形截面彈性各向同性微梁的振動(dòng)；由于各物理量在厚度方向上無(wú)變化，因此b可取為任意寬度，如圖1所示。

在平衡狀態(tài)下，梁沒(méi)有應(yīng)力、變形，并保持在均勻的參考溫度T0。根據(jù)Levinson［29］剪切變形理論，梁內(nèi)部位移可以寫為：

式中 t為時(shí)間；φ為橫截面轉(zhuǎn)角；u0和w0分別為梁幾何中面x方向和z方向的位移；β=4/（3h2）。

根據(jù)上述位移假設(shè)，可以得到應(yīng)變?yōu)椋?/p>

式中 εx表示梁內(nèi)任一點(diǎn)沿著x方向的正應(yīng)變；γxz為切應(yīng)變。

材料為線彈性，忽略溫度和應(yīng)力之間的弛豫時(shí)間，則考慮溫度時(shí)梁橫截面上正應(yīng)力σx和切應(yīng)力τxz分別為：

式中 E和ν分別為彈性模量和泊松比；α為熱膨脹系數(shù)；θ=T?T0表示溫度的變化值，其中T表示瞬態(tài)溫度場(chǎng)。

由平面應(yīng)力問(wèn)題的平衡方程在梁橫截面上積分，可得合力形式的自由振動(dòng)方程：

將式（3）和（4）代入內(nèi)力計(jì)算公式之后，可以得到位移表示的軸力、彎矩、剪力分別為：

熱軸力FNT和熱彎矩MT的定義為：

將式（5）代入式（4）中，運(yùn)動(dòng)方程可以簡(jiǎn)化為位移形式的微分方程：

利用式（7c）對(duì)方程（7b）進(jìn)行消元整理，得到關(guān)于中面撓度w0的微分方程：

1.2 熱傳導(dǎo)方程

經(jīng)典的傅里葉熱傳導(dǎo)理論表明熱流和溫度梯度在同一時(shí)刻形成，兩者之間沒(méi)有時(shí)間差。非傅里葉熱傳導(dǎo)理論中的單相位遲滯熱傳導(dǎo)模型考慮了熱流的相位遲滯時(shí)間，而雙相位遲滯熱傳導(dǎo)模型不僅考慮熱流的相位遲滯時(shí)間，還考慮溫度梯度的相位遲滯時(shí)間，因此雙相位遲滯理論更具有普遍性。本文采用Tzou等［30］所提出的雙相位遲滯非傅里葉熱傳導(dǎo)模型如下：

式中 T（r，t+τT）為瞬時(shí)溫度場(chǎng)函數(shù)；q（r，t+τq）為熱流矢量；t為時(shí)間；r為位置矢量；κ為材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)；τq為熱流的相位遲滯時(shí)間；τT為溫度梯度的相位遲滯時(shí)間。

根據(jù)熵變方程，熱彈性各向同性物體的熱流密度、溫度和體積應(yīng)變具有以下關(guān)系：

式中 e表示體積應(yīng)變，e=εx+εy+εz+2（1+ν）αθ。

由溫度改變引起的體積應(yīng)變?yōu)?（1+ν）αθ，而在梁的振動(dòng)過(guò)程中，體積應(yīng)變?cè)斐傻臏囟雀淖儲(chǔ)纫h(yuǎn)遠(yuǎn)小于參考溫度T0，溫度變化引起的體積應(yīng)變要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于梁機(jī)械振動(dòng)引起的體積變形，因此可以忽略溫度改變引起的體積應(yīng)變，即e=εx+εy+εz。熱彈耦合熱傳導(dǎo)可由式（10）和（11）導(dǎo)出：

同時(shí)，假設(shè)沿梁厚度方向的熱流要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于沿梁軸向的熱流，那么，Levinson梁的熱傳導(dǎo)方程可以改寫為［15?17］：

溫度邊界條件為上下表面的絕熱邊界：

1.3 特征頻率的解析解

引入調(diào)和振動(dòng)模式：

振動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程可以化簡(jiǎn)為：

式中

對(duì)于熱傳導(dǎo)微分方程（16b），其邊界條件亦為齊次的，因此可以由疊加法得到其通解為：

式中 A，B為待定常數(shù)。θ?應(yīng)滿足式（14）中上下表面的絕熱邊界條件，解得：

由方程（4a）可知，在自由振動(dòng)過(guò)程中忽略軸向慣性力時(shí)，可知軸力為常量。無(wú)論是簡(jiǎn)支邊界、自由邊界還是夾支邊界，梁的軸向約束力均考慮為零。因此，可令FN=0，由式（5a）得：

同時(shí)由式（7c）及方程（15）可得：

可得方程通解為：

式中

將式（22）代入運(yùn)動(dòng)方程（17a），可以得到：

式中

上述方程可以改寫為：

可以解得：

同時(shí)，相同材料的均勻Euler?Bernoulli梁的自由振動(dòng)方程為：

對(duì)于簡(jiǎn)支邊界的Levinson梁，在方程形式類似的條件下，其邊界條件的數(shù)學(xué)形式和Euler?Bernoulli梁在簡(jiǎn)支邊界條件下相同。很顯然對(duì)于兩種梁模型能夠得到相同的復(fù)特征值。實(shí)際上，對(duì)于簡(jiǎn)支邊界的Euler?Bernoulli梁和Levinson梁，至少能找到一個(gè)相同的特征值。因此，在簡(jiǎn)支邊界條件下方程（27）和（25）的復(fù)特征值有如下關(guān)系［32?33］：

根據(jù)方程（28），可以解得唯一結(jié)果：

對(duì)于其他邊界條件的Euler?Bernoulli梁和Levinson梁，由于Levinson梁考慮了高階剪切變形，軸向位移、撓度、轉(zhuǎn)角之間相互耦合，除兩邊簡(jiǎn)支邊界條件，其他邊界條件的數(shù)學(xué)形式無(wú)法完全解耦，因此式（28）在其他邊界條件下并不完全成立。對(duì)式（21）積分可知，均勻Levinson梁的轉(zhuǎn)角φ?與w?'相差一個(gè)慣性項(xiàng)，此慣性項(xiàng)與梁的振動(dòng)頻率和撓度相關(guān)［33］：當(dāng)梁振動(dòng)頻率和變形較大時(shí)，慣性項(xiàng)的影響更為顯著；振動(dòng)頻率較低或變形較小時(shí)慣性項(xiàng)的影響可以忽略不計(jì)。當(dāng)梁邊界約束較強(qiáng)或振動(dòng)模態(tài)階數(shù)較高，梁自由振動(dòng)的頻率較大，此時(shí)如采用式（28）會(huì)帶來(lái)一定的誤差。但是對(duì)于梁的低階振動(dòng)模態(tài)，在平衡位置附近振動(dòng)時(shí)，各位移分量和振動(dòng)頻率均相對(duì)較小，此時(shí)可忽略截面上慣性力引起的轉(zhuǎn)角增量，在邊界上近似認(rèn)為梁的轉(zhuǎn)角φ?≈w?'。因此，對(duì)于梁的低階模態(tài)，可以近似認(rèn)為L(zhǎng)evinson梁邊界條件與Euler?Bernoulli梁邊界條件形式相同，式（28）近似成立。

方程（29）為關(guān)于特征頻率ω的隱式方程，在計(jì)算過(guò)程中可將等號(hào)右邊隱含的ω以ω0近似代替以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，求解過(guò)程中需注意ω實(shí)部為正。根據(jù)復(fù)頻率方法，均勻Levinson微梁的逆品質(zhì)因子解析解可以表示為：

2 自由振動(dòng)微梁熱彈性阻尼的有限元求解

本文建立的三維有限元模型，根據(jù)G?L廣義熱彈性理論的本構(gòu)關(guān)系，各向同性材料的應(yīng)變分量εij與應(yīng)力分量σij和溫度的增量有關(guān)：

式中 τ為溫度和熱應(yīng)變之間的弛豫時(shí)間；σkk表示主應(yīng)力之和；δij為Kronecker函數(shù)。

考慮到弛豫時(shí)間和諧振器的振動(dòng)周期相比較小，可以將式（31a）簡(jiǎn)化為：

式（31b）為本文求解的熱力耦合本構(gòu)關(guān)系。現(xiàn)有有限元軟件中，均內(nèi)置有類似的模塊解決此類熱彈性問(wèn)題?？紤]簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，溫度改變量θ滿足：

此時(shí)三維熱傳導(dǎo)方程可以寫為如下特征方程：

式中 θ，ii為三個(gè)空間坐標(biāo)方向的三階導(dǎo)數(shù)之和。

由于現(xiàn)有商業(yè)軟件中沒(méi)有廣義熱傳導(dǎo)模塊，故無(wú)法進(jìn)行有關(guān)廣義熱傳導(dǎo)問(wèn)題的計(jì)算。本文擬在商業(yè)軟件的基礎(chǔ)上進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)以實(shí)現(xiàn)廣義熱傳導(dǎo)問(wèn)題的計(jì)算。利用Comsol軟件建立梁長(zhǎng)為l，梁厚為h，梁寬為b的三維微梁模型并定義微梁材料性質(zhì)參數(shù)，采用軟件內(nèi)部?jī)?nèi)置的固體力學(xué)和偏微分方程模塊共同實(shí)現(xiàn)這一特征值問(wèn)題的求解。微梁不同的邊界條件可通過(guò)設(shè)置微梁兩端的約束和位移條件實(shí)現(xiàn)。如簡(jiǎn)支約束時(shí)（simply supported constraint，S），可通過(guò)約束微梁一端截面中性軸的位移為零實(shí)現(xiàn)；夾支約束時(shí)（clamped supported constraint，C），通過(guò)設(shè)置微梁兩端截面的位移為零實(shí)現(xiàn)，自由端（free supported constraint，F(xiàn)）邊界受力為零。

微梁非傅里葉熱傳導(dǎo)熱彈性耦合問(wèn)題通過(guò)選取Comsol軟件中固體力學(xué)模塊與系數(shù)形式偏微分方程模塊，將求解多場(chǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解方程組問(wèn)題。在采用Comsol求解這一方程組的特征頻率ω之后，我們可以根據(jù)復(fù)頻率法得到表征結(jié)構(gòu)熱彈性阻尼大小的物理量逆品質(zhì)因子Q?1。圖2給出了梁長(zhǎng)l=300 μm，梁厚h=20 μm，梁寬b=5 μm的均勻材料Ni微梁在兩端簡(jiǎn)支時(shí)有限元軟件中的網(wǎng)格劃分示意圖，其中完整網(wǎng)格包含950個(gè)域單元，求解的自由度數(shù)為39952個(gè)。

3 數(shù)值結(jié)果分析與討論

考慮微梁材料為金屬鎳（Ni），表1給出了鎳（Ni）的材料參數(shù)。本節(jié)將采用解析方法和有限元方法討論不同約束條件下微梁熱彈性阻尼隨厚度改變而變化的規(guī)律。

圖3給出了均勻材料鎳（Ni）微梁在兩端夾支（C?C）邊界條件下一階振動(dòng)模態(tài)有限元軟件Comsol的計(jì)算結(jié)果示例。示例中梁長(zhǎng)l=300 μm，梁厚h=20 μm，梁寬b=5 μm。通過(guò)有限元軟件計(jì)算得到結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)的一階模態(tài)，從圖中色彩深淺可以看出微梁振動(dòng)時(shí)的一階模態(tài)溫度變化情況。圖中箭頭表示熱流矢量，可以看出熱流矢量不僅有沿梁厚度方向的分量，同時(shí)還有沿梁軸向的分量。同時(shí)可以看出，在梁拉應(yīng)變的區(qū)域溫度下降，梁受到壓應(yīng)變的區(qū)域溫度升高。由于溫度梯度的存在，導(dǎo)致熱量從高溫區(qū)域向低溫區(qū)域的轉(zhuǎn)移，從而導(dǎo)致梁機(jī)械能的耗散。

對(duì)于均質(zhì)鎳（Ni）微梁的TED，將基于Levinson微梁的廣義熱彈性理論下TED的解析解與三維非傅里葉熱傳導(dǎo)模型有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。圖4～7分別給出了兩端簡(jiǎn)支（S?S）、兩端夾定（C?C）、一端夾定一端簡(jiǎn)支（C?S）、一端夾定一端自由（C?F）這四種邊界條件下微梁在前三階模態(tài)下振動(dòng)時(shí)的逆品質(zhì)因子Q?1隨梁厚h的變化曲線，在計(jì)算時(shí)固定梁的長(zhǎng)度為300 μm。從圖4～7可以看出，解析解模型的計(jì)算結(jié)果與有限元模型的計(jì)算結(jié)果吻合較好，這也互相驗(yàn)證了兩種求解方法的可靠性。兩種理論的計(jì)算結(jié)果均可以看出，微梁在不同邊界和不同振動(dòng)模態(tài)下的TED具有類似的變化規(guī)律，即熱彈性阻尼隨厚度的增大先增加達(dá)到最大值后再減小。將TED最大值對(duì)應(yīng)的微梁厚度稱為臨界厚度，可以看出臨界厚度隨振動(dòng)模態(tài)階數(shù)的增加而減小，在低階模態(tài)時(shí)同樣厚度的梁復(fù)頻率相對(duì)較小，此時(shí)梁在較大厚度時(shí)達(dá)到熱彈性阻尼最大值；而高階模態(tài)的復(fù)頻率較大，可以在較小的厚度達(dá)到熱彈性阻尼的極值。同一邊界條件下前三階模態(tài)階數(shù)的熱彈性阻尼最大值對(duì)應(yīng)的臨界厚度，從大到小依次排序?yàn)椋阂浑A、二階、三階。

圖8～10分別給出了一階模態(tài)、二階模態(tài)和三階模態(tài)下，基于Levinson微梁的廣義熱彈性模型的解析近似解與有限元計(jì)算結(jié)果在四種不同邊界下微梁熱彈性阻尼隨厚度的變化曲線。可以看出，計(jì)算結(jié)果中熱彈性阻尼的最大值不受邊界條件和模態(tài)階數(shù)的影響。在同階模態(tài)下，不同邊界條件所得到的熱彈性阻尼最大值所對(duì)應(yīng)的臨界厚度均不同，當(dāng)約束為S?S時(shí)熱彈性阻尼最大值對(duì)應(yīng)厚度最大，約束為C?C時(shí)熱彈性阻尼對(duì)應(yīng)臨界厚度最小，而C?F和C?S兩種邊界下臨界厚度在兩者之間。這四種邊界條件下，當(dāng)研究微梁的幾何尺寸相同時(shí)，兩端夾支（C?C）時(shí)微梁受到的邊界約束最強(qiáng)，微梁的臨界厚度最小；而一端夾支一端自由時(shí)（C?F）微梁受到的邊界約束僅次于兩端夾支的情況，微梁的臨界厚度大于兩端夾支的情況；當(dāng)減小邊界約束剛度，邊界條件依次改為兩邊簡(jiǎn)支（S?S）、一端夾支一端簡(jiǎn)支（C?S）時(shí)，熱彈性阻尼對(duì)應(yīng)的臨界厚度也隨之增大?？梢钥闯?，微梁臨界厚度隨邊界約束剛度增大而逐漸減小，臨界厚度從小到大依次為：C?C，C?S，S?S，C?F。不同邊界條件下熱彈性阻尼峰值所對(duì)應(yīng)的臨界厚度均隨著頻率階數(shù)的增加而減小，且對(duì)應(yīng)的臨界厚度逐漸靠近。

圖11給出了兩端夾支的金屬鎳（Ni）微梁在給定長(zhǎng)厚比l/h=10時(shí)，逆品質(zhì)因子Q-1隨梁厚h的變化曲線。從圖中可以看出，當(dāng)梁厚度大于16 μm時(shí)，兩種模型得到的熱彈性阻尼結(jié)果雖有一定的誤差，但仍可接受；當(dāng)梁厚度小于16 μm時(shí)，有限元模型的計(jì)算結(jié)果逐漸偏離解析結(jié)果，隨著梁厚度的進(jìn)一步降低，誤差也隨之增大。主要原因是在解析解的推導(dǎo)過(guò)程中假設(shè)梁軸向的溫度梯度很小，忽略了梁沿軸向的熱流。本論文給出的是基于準(zhǔn)一維熱傳導(dǎo)方程的廣義熱傳導(dǎo)理論的解析解，而有限元方法求解的方程是三維的熱彈耦合控制方程，并沒(méi)有引入額外假設(shè)。這也說(shuō)明，忽略軸向的溫度梯度引起的熱流在梁尺寸較小時(shí)候會(huì)帶來(lái)一定的誤差。

為了進(jìn)一步明確不同邊界條件和模態(tài)對(duì)逆品質(zhì)因子Q-1最大值的影響規(guī)律，表2給出了不同情況下Q-1最大值的解析解和有限元方法的結(jié)果對(duì)比，并給出了兩種結(jié)果的相對(duì)誤差。從表2中可以看出，均質(zhì)Ni微梁熱彈性阻尼最大值的解析方法預(yù)測(cè)結(jié)果在1.35×10-3附近，其最大值預(yù)測(cè)結(jié)果并不受邊界條件以及梁模態(tài)階數(shù)的影響，這與現(xiàn)有文獻(xiàn)中的結(jié)論類似［28，34］。解析結(jié)果與有限元結(jié)果相比，有限元分析得到的Q-1最大值偏小，最小相對(duì)誤差為0.71%，最大相對(duì)誤差為7.74%，進(jìn)一步說(shuō)明本文所述方法的可行性。在四種不同類型的邊界條件中，兩邊簡(jiǎn)支梁相對(duì)誤差最小，兩邊夾支梁相對(duì)誤差較大?？梢钥闯?，隨著邊界約束剛度的增加，采用式（28）得到的結(jié)果與有限元結(jié)果誤差逐漸增大。這主要是由于在利用式（28）的關(guān)系計(jì)算特征頻率時(shí)，式（28）在兩邊簡(jiǎn)支的情況外均為近似成立，Euler?Bernoulli梁和Levinson梁在兩邊夾支邊界條件下的數(shù)學(xué)表達(dá)式差異最大，給計(jì)算結(jié)果帶來(lái)了誤差。

4 結(jié) 論

本文基于廣義熱傳導(dǎo)理論，推導(dǎo)了采用非傅里葉熱傳導(dǎo)模型時(shí)均質(zhì)Levinson微梁的熱彈耦合運(yùn)動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程，給出了Levinson微梁振動(dòng)時(shí)復(fù)頻率的解析近似計(jì)算方法，通過(guò)得到的復(fù)頻率求出熱彈性阻尼的逆品質(zhì)因子。針對(duì)金屬鎳（Ni）構(gòu)成的均質(zhì)微梁，在得到運(yùn)動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程的基礎(chǔ)上進(jìn)行有限元建模分析，通過(guò)對(duì)比解析解與有限元結(jié)果之間的差異，驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性，研究了不同幾何尺寸、邊界條件和振動(dòng)模態(tài)等因素對(duì)微梁熱彈性阻尼的影響。研究發(fā)現(xiàn)，熱彈性阻尼最大值所對(duì)應(yīng)的厚度（臨界厚度）隨著模態(tài)階數(shù)的增大而逐漸減??；相同頻率階數(shù)下，微梁臨界厚度隨邊界約束剛度增大而逐漸減小，在S?S，C?C，C?F和C?S這四種邊界條件下，當(dāng)微梁為C?F邊界時(shí)臨界厚度最大，微梁為C?C邊界時(shí)微梁臨界厚度最小，C?F和C?S邊界得到的微梁臨界厚度位于兩者之間。本文將解析解與有限元模擬結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)兩者相差不大，說(shuō)明這兩種求解方法在一定使用范圍內(nèi)均能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)微梁熱彈性阻尼，基于廣義熱傳導(dǎo)模型的解析近似方法中對(duì)熱傳導(dǎo)方程的準(zhǔn)一維簡(jiǎn)化是可行的，但是在梁尺寸較小時(shí)可能帶來(lái)誤差。

參考文獻(xiàn)

1Zhang H L， Kim T， Choi G， et al. Thermoelastic damping in micro- and nanomechanical beam resonators considering size effects［J］. International Journal of Heat and Mass Transfer， 2016， 103： 783-790.

2Lin S M. Analytical solutions for thermoelastic vibrations of beam resonators with viscous damping in non-Fourier model［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2014， 87： 26-35.

3Seymour J P， Wu F， Wise K D， et al. State-of-the-art MEMS and microsystem tools for brain research［J］. Microsystems & Nanoengineering， 2017， 3（1）： 16066.

4Tai Y P， Li P， Zuo W L. An entropy based analytical model for thermoelastic damping in micromechanical resonators［J］. Applied Mechanics and Materials， 2012， 1706（159）： 46-50.

5Nourmohammadi Z， Prabhakar S， Vengallatore S.Thermoelastic damping in layered microresonators： critical frequencies， peak values， and rule of mixture［J］. Journal of Microelectromechanical Systems， 2013， 22 （3）：747-754.

6Hendou R H， Mohammadi A K. Transient analysis of nonlinear Euler-Bernoulli micro-beam with thermoelastic damping， via nonlinear normal modes［J］. Journal of Sound and Vibration， 2014， 333（23）： 6224-6236.

7Fernández L J， Wiegerink R J， Flokstra J， et al. A capacitive RF power sensor based on MEMS technology［J］. Journal of Micromechanics and Microengineering， 2006， 16（7）：1099?1107.

8Guo X， Yi Y B. Suppression of thermoelastic damping in MEMS beam resonators by piezoresistivity［J］. Journal of Sound and Vibration， 2014， 333（3）： 1079-1095.

9Li S R， Xu X， Chen S. Analysis of thermoelastic damping of functionally graded material beam resonators［J］. Composite Structures， 2017， 182： 728-736.

10Grover D. Damping in thin circular viscothermoelastic plate resonators［J］. Canadian Journal of Physics， 2015， 93（12）： 1597-1605.

11Fang Y M， Li P， Zhou H Y， et al. Thermoelastic damping in rectangular microplate resonators with three-dimensional heat conduction［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2017， 133： 578-589.

12Zuo W L， Li P， Zhang J R， et al. Analytical modeling of thermoelastic damping in bilayered microplate resonators［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2016， 106： 128-137.

13Youssef H M， El-Bary A A. The reference temperature dependence of Youngs modulus of two-temperature thermoelastic damping of gold nano-beam［J］. Mechanics of Time-Dependent Materials， 2018， 22（4）：435-445.

14Li S R， Ma H K. Analysis of free vibration of functionally graded material micro-plates with thermoelastic damping［J］. Archive of Applied Mechanics， 2020， 90（6）： 1285-1304.

15Zener C. Internal friction in solids I： theory of internal friction in reeds［J］. Physical Review， 1937， 52（3）： 230-235.

16Zener C. Internal friction in solids II： general theory of thermoelastic internal friction［J］. Physical Review， 1938， 53（1）： 90-99.

17Lifshitz R， Roukes M L. Thermoelastic damping in micro- and nanomechanical systems［J］. Physical Review B， 2000， 61（8）： 5600-5609.

18Kakhki E K， Hosseini S M， Tahani M. An analytical solution for thermoelastic damping in a micro-beam based on generalized theory of thermoelasticity and modified couple stress theory［J］. Applied Mathematical Modelling， 2016， 40（4）： 3164-3174.

19Emami A A， Alibeigloo A. Exact solution for thermal damping of functionally graded Timoshenko microbeams［J］. Journal of Thermal Stresses， 2016， 39（2）： 231-243.

20Li P， Zhou H Y， Yang L F. Effect of boundary conditions on thermoelastic damping in microbeam resonators with exponentially varying thickness［A］. Proceedings of 5th International Conference on Control， Automation and Robotics （ICCAR）［C］.Beijing：Thermoelastic Damping， 2019： 8813357.

21Borjalilou V， Asghari M. Size-dependent analysis of thermoelastic damping in electrically actuated microbeams［J］. Mechanics of Advanced Materials and Structures， 2021， 28（9）： 952-962.

22Kakhki E K， Hosseini S M， Tahani M. An analytical solution for thermoelastic damping in a micro-beam based on generalized theory of thermoelasticity and modified couple stress theory［J］. Applied Mathematical Modelling， 2016， 40（4）： 3164-3174.

23Guo F L. Thermo-elastic dissipation of microbeam resonators in the framework of generalized thermo-elasticity theory［J］. Journal of Thermal Stresses， 2013， 36（11）： 1156-1168.

24Guo F L， Wang G Q， Rogerson G A. Analysis of thermoelastic damping in micro-and nanomechanical resonators based on dual-phase-lagging generalized thermoelasticity theory［J］. International Journal of Engineering Science， 2012， 60： 59-65.

25Deng W M， Li L， Hu Y J， et al. Thermoelastic damping of graphene nanobeams by considering the size effects of nanostructure and heat conduction［J］. Journal of Thermal Stresses， 2018，41（9）：1182?1200.

26Kumar R， Kumar R. A study of thermoelastic damping in micromechanical resonators under unified generalized thermoelasticity formulation［J］.Noise & Vibration Worldwide， 2019， 50（6）： 169-175.

27Kumar H， Mukhopadhyay S. Thermoelastic damping in micro and nano-mechanical resonators utilizing entropy generation approach and heat conduction model with a single delay term［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2020， 165： 105211.

28Vengallatore S. Analysis of thermoelastic damping in laminated composite micromechanical beam resonators［J］. Journal of Micromechanics & Microengineering， 2005， 15（12）： 2398?2404.

29Levinson M. A new rectangular beam theory［J］. Journal of Sound and Vibration， 1981， 74（1）： 81-87.

30Tzou D Y， Zhang Y S. An analytical study on the fast-transient process in small scales［J］. International Journal of Engineering Science， 1995， 33（10）： 1449-1463.

31Zhang J C， Huang X P， Yue Y N， et al. Dynamic response of graphene to thermal impulse［J］. Physical Review B， 2011， 84： 235416.

32王瑄， 李世榮. 功能梯度Levinson梁自由振動(dòng)響應(yīng)的均勻化和經(jīng)典化表示［J］. 振動(dòng)與沖擊， 2017，36（18）： 70-77.

Wang X， Li S R. Homogenized and classical expression for the response of free vibration of simply supported FGM Levinson beams［J］. Journal of Vibration and Shock， 2017，36（18）： 70-77.

33王瑄. Levinson理論下功能梯度梁板結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)分析［D］. 揚(yáng)州： 揚(yáng)州大學(xué)， 2017.

Wang X. Free vibration analysis of functionally graded material beam and plate structures based on the Levinson theory［D］. Yangzhou： Yangzhou University， 2017.

34Bishop J E， Kinra V K. Elastothermodynamic damping in laminated composites［J］. International Journal of Solids and Structures， 1997， 34（9）： 1075-1092.

Generalized thermoelastic coupling analysis of thermoelastic damping of Levinson micro beam resonator

ZHANG Zhi-chao 1 CAO Jing 1GAO Pei-feng 2

1. School of Civil Science and Engineering， Yangzhou University， Yangzhou 225127， China；

2. College of Civil Engineering and Mechanics， Lanzhou University， Lanzhou 730000， China

Keywords free vibration; micro beam; thermoelastic damping; non-Fourier heat conduction