劉曉民,楊耀天,張紅武,王文娟

(1.內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué) 水利與土木建筑工程學(xué)院,呼和浩特 010018; 2.黃河流域內(nèi)蒙段水資源與水環(huán)境綜合治理協(xié)同創(chuàng)新中心,呼和浩特 010018; 3.清華大學(xué) 黃河研究中心,北京 100084;4.內(nèi)蒙古金華源環(huán)境資源工程咨詢有限責任公司,呼和浩特 010020)

1 研究背景

冰凌是一種自然現(xiàn)象,主要發(fā)生在我國黃河流域和東北地區(qū)等北方高寒地區(qū)。黃河凌汛已成為我國冬春季節(jié)大江大河中最突出、最主要的汛情之一[1],尤其黃河流域內(nèi)蒙古段是冰凌洪水經(jīng)常發(fā)生的區(qū)域(見圖1)。河冰的出現(xiàn)改變了河流的水力條件、熱力條件和邊界幾何條件等[2],冰蓋或冰塞的形成,改變了河流的運動狀態(tài),由原來的明流變成了覆蓋流,過水斷面濕周和阻力明顯增加,斷面平均流速大幅減小,導(dǎo)致水沙輸移特征發(fā)生變化,產(chǎn)生了明顯異于明渠流的特有泥沙輸移現(xiàn)象。

圖1 黃河內(nèi)蒙古段位置Fig.1 Location of the Yellow River in Inner Mongolia reach

目前,明渠流條件下的泥沙起動流速公式已有很多研究[3],但是,關(guān)于冰蓋流泥沙輸移的研究成果并不多見。同明渠相比,冬季河道中冰蓋的存在影響了水流的水力特性,比如流速分布、剪切應(yīng)力分布、泥沙濃度等,進而也改變了原有水沙輸移特性及規(guī)律。Turcotte等[4]討論了在河冰形成過程中不同形態(tài)的冰對泥沙輸移產(chǎn)生的影響;馬子普等[5]基于Einstein假定[6],采用指數(shù)形式的流速分布公式,推導(dǎo)得到了適用于明渠流及冰蓋流的統(tǒng)一的非黏性泥沙顆粒起動流速公式;王軍等[7]、陳建國等[8]在室內(nèi)水槽試驗中模擬探討了冰蓋流輸沙特性及受力規(guī)律;全棟等[9]、宋本輝等[10]利用頭道拐水文站資料與野外觀測采樣相結(jié)合,探究了冰下泥沙輸移特性及泥沙沖淤規(guī)律。

從上述認識出發(fā),本文基于Einstein假定[6],在前人研究的基礎(chǔ)上,考慮了冰蓋流下冰蓋糙率變化對泥沙起動流速的影響,采用泥沙滾動起動模型,運用概率論與力學(xué)相結(jié)合的分析方法,初步提出了冰蓋流泥沙起動流速公式,并探討了該式在明渠流條件下泥沙起動的適用性。

2 公式推導(dǎo)

2.1 冰蓋流泥沙起動標準探討

一般學(xué)者多在力學(xué)分析的基礎(chǔ)上,結(jié)合概率統(tǒng)計理論等來推導(dǎo)泥沙起動的臨界條件。目前,對于明渠水流泥沙起動臨界條件的研究,公認的是水流底部的瞬時流速u0近似服從正態(tài)分布[11]。本文基于Einstein阻力劃分原則,即冰蓋流流速分布以最大流速線為界將流動沿水深方向分為冰蓋區(qū)和河床區(qū)2層(如圖2),并將2層分別等效成明流對數(shù)分布[12]。假定冰蓋流和明流造床機理相同,故在探討分析冰蓋流泥沙起動過程中,可認為冰蓋流河床區(qū)與明渠泥沙起動瞬時流速分布理論相似。

注:H0為冰蓋下流動的總水深,Yb為河床區(qū)水深,Yi為冰蓋區(qū)水深,nb為河床糙率,ni為冰蓋糙率,u為時均流速。圖2 冰蓋流沿水深方向流速分布Fig.2 Velocity of ice-covered flow along the depth direction

明渠水流底部的瞬時流速分布函數(shù)f(u0)為

(1)

類似的,冰蓋下水流河床區(qū)的瞬時流速分布函數(shù)f(ub)為

(2)

同時,竇國仁[11]提出了瞬時底速與平均底速的關(guān)系,即

(3)

式中β為與起動標準相應(yīng)的參數(shù),其中β為3、2、1、0分別表示弱動、中動、普動、強動。

目前,明渠流中大多以弱動(床面上有很少的泥沙在運動,β=3)作為泥沙起動的臨界判別標準,基于此,本文以β=3作為判別冰蓋流泥沙起動臨界標準的臨界條件。

2.2 受力分析與起動模式

2.2.1 受力分析

無論是明渠流還是冰蓋流,床面上泥沙顆粒起動所受力的種類并無差別。如圖3所示,在水流作用下,粗顆粒泥沙起動時一般受力有水流拖曳力FD、上舉力FL及水下重力G,計算公式分別為:

注:Fμ為黏結(jié)力,FN為附加下壓力,a為水流拖曳力FD與泥沙顆粒中心之間的垂直距離,b為水流上舉力FL與泥沙顆粒中心之間的水平距離。圖3 泥沙顆粒起動受力分析Fig.3 Analysis of forces on incipient sediment particles

(4)

(5)

G=αw(γS-γ)D3。

(6)

式中:αL、αD分別為與水流拖曳力、上舉力相應(yīng)的面積系數(shù),一般取值π/4;αw為與水下重力相應(yīng)的體積系數(shù),取值π/6;CD為水流拖曳力系數(shù),取值0.4;CL為水流上舉力系數(shù),取值0.1[13-14];ρ為水的密度;γS、γ分別為泥沙顆粒及水的重度;D為泥沙顆粒的粒徑;g為重力加速度。無論是明渠流還是冰蓋流,達到泥沙起動的瞬時流速是相同的。

對于細顆粒泥沙,除受到以上3種力的作用外,還受到顆粒間黏結(jié)力Fμ、附加下壓力FN的作用[15],如圖3所示。FN的表達式為

(7)

此式在以往附加下壓力的表達式中引入冰蓋糙率與河床糙率的比值n來修正冰凌期不同時段冰蓋糙率變化對某一粒徑泥沙顆粒附加下壓力的影響。在Calkins等[16]構(gòu)建的糙率比值與水深比值關(guān)系的基礎(chǔ)上,考慮到實際河道中冰蓋厚度相對于水深影響較小,將n表達式簡化為

(8)

Fμ的表達式為

式中:αN、αμ分別為與附加下壓力與黏結(jié)力相應(yīng)的面積系數(shù);γ′為淤積物的干重度;γ′c為淤積物的穩(wěn)定干重度,γ′/γ′c≈0.85[3];κ*為黏結(jié)力影響系數(shù);δ為薄膜水厚度,按照竇國仁[11]交叉石英絲試驗成果取為0.213×10-4cm;υ為水流運動黏滯性系數(shù),與溫度變化相關(guān)。

基于對多年水溫和氣溫實測數(shù)據(jù)的分析,就黃河冰封內(nèi)蒙古段而言,干流各段及其支流的年平均水溫都略高于當?shù)氐哪昶骄鶜鉁?但差值不大,一般為1～2 ℃,冬季多年平均水溫和氣溫差值較大,約在2 ℃以上[17]。黃河內(nèi)蒙古段暢流期平均氣溫7.3～7.9 ℃,則水溫基本為8.3～9.9 ℃,本次簡化取均值9.1 ℃,查水的運動黏滯系數(shù)取值表得υ=0.013 cm2/s。同時,根據(jù)黃河內(nèi)蒙古段穩(wěn)定封凍區(qū)域4個主要水文站的實測資料,當旬平均氣溫<-5 ℃時,開始封河;當旬平均氣溫<-2 ℃時,開始流凌[18]?；诩进櫶m[17]的研究,封凍期黃河內(nèi)蒙古段的水溫接近-3～0 ℃,通過溫度和黏滯系數(shù)的關(guān)系計算式[19],可得黃河內(nèi)蒙古段冰封期黏滯系數(shù)υ的取值范圍為0.017 7 ～0.019 7 cm2/s,本文簡化取均值0.018 7 cm2/s。

2.2.2 起動模式

本文起動模式采用滾動模式,泥沙顆粒繞某支點滾動的平衡方程為

FLLL+FDLD=GLw+FμLμ+FNLN。

(10)

式中LD、LL、Lw、Lμ、LN分別為與水流拖曳力、上舉力、水下重力、黏結(jié)力及附加下壓力相應(yīng)的力臂。

本文參考張紅武[3]對于附加下壓力與黏結(jié)力作用力臂和面積系數(shù)的處理方法,令awLw=C,假定C1、C2為附加下壓力及黏結(jié)力面積系數(shù)和力臂的乘積與重力G的修正系數(shù),代入式(10)得

FLLL+FDLD=αwLw(G+C1FN+C2κ*Fμ) 。

(11)

式中:C1=0.035 2;κ*C2=6.59。

本文研究的水流對床面泥沙作用力及作用力的力臂大小是通過床面泥沙顆粒間的相對暴露度來反映的。韓其為[20]首先提出了相對暴露度Δ′(Δ′=Δ/D)的概念,其中Δ為絕對暴露度,用床面泥沙顆粒的最低點至兩顆粒接觸點的距離來表示,如圖3所示。相對暴露度取值范圍的理論研究目前尚無定論,不同學(xué)者有著不同的觀點,周雙等[21]通過試驗觀察,發(fā)現(xiàn)相對暴露度取值范圍為0～0.5,與楊奉廣等[22]對于相對暴露度的取值范圍一致。基于此,考慮到河床泥沙顆粒分布與相對暴露度取值的隨機性,為簡化計算復(fù)雜程度,假定相對暴露度符合均勻分布[21],采用相對暴露度均值代表河床床面泥沙顆粒分布的平均情況,即Δ′=0.25,并以相對暴露度Δ′均值對應(yīng)的位置關(guān)系進行泥沙起動力臂計算。

故繞實際滾動支點A(如圖3所示),將作用力力臂表達式代入式(11)得

式中:a為正面推移力至泥沙顆粒中心的垂直距離,參考文獻[23]取值,a=D/10;b為上舉力至泥沙顆粒中心的水平距離,根據(jù)韓其為[20]的研究,b=D/6。

將式(4)—式(7)、式(9)代入式(12),整理得冰蓋流泥沙瞬時流速公式,即

(13)

2.3 構(gòu)建冰蓋流泥沙起動公式

冰蓋流垂線流速分布可近似等同于紊流粗糙管垂線流速分布,紊流粗糙管流速常用對數(shù)分布公式表示,即

(14)

類似的,冰蓋流河床的過水斷面垂向流速為

(15)

式中:u*為冰蓋下摩阻流速(m/s);y0、yb分別為明渠流及冰蓋流距離底部的垂向距離(m);κs為渠壁粗糙度(m)。

一般在床面粗糙區(qū),可認為y0=κs=D,又因為冰蓋下水流分布與紊流粗糙區(qū)(阻力平方區(qū))相似,故可簡化認為yb=κs=D。則在床面顆粒的頂端,冰蓋流的時均流速與摩阻流速的關(guān)系可簡化為:

(16)

(17)

式中τ為冰蓋下水流切應(yīng)力。

考慮水流作用在顆粒上的作用點,取底流速作用點的位置為(2/3)D[14],則作用于泥沙顆粒上的時均底流速可表示為

(18)

基于韓其為等[15]的研究, 明渠垂線平均流速ν0與u*之間的關(guān)系為

(19)

根據(jù)已有研究成果,冰蓋流垂線流速分布隨冰蓋糙率改變而改變。王軍等[7]通過室內(nèi)試驗,以中垂線平均流速來表示泥沙起動流速,構(gòu)建了冰蓋流與明流泥沙起動流速的比值與冰蓋與河床糙率比值的函數(shù)表達式,即

(20)

當ni=0時,冰蓋流泥沙起動流速即化為明渠泥沙起動流速。

vb=ξv0。

(21)

類似的,冰蓋流垂線平均流速vb與u*的關(guān)系可表示為

(22)

由式(3)、式(16)、式(19)、式(22)代入式(13)整理得冰蓋流泥沙起動垂線平均流速為

(23)

考慮到天然泥沙顆粒形狀對起動產(chǎn)生的影響,引入韓其為等[15]提出的扁度函數(shù)f(λ)對上述公式進行修正,其中λ為扁度系數(shù),則底部起動作用流速為

(24)

參考韓其為等[15]給出的f(λ)取值表,本文取f(λ)=1.1,則

(25)

冰蓋的存在,改變了垂線上的流速分布。故當泥沙顆粒起動流速以垂線平均流速來表示時,相應(yīng)會改變。本文公式在推導(dǎo)過程中,考慮了冰蓋流糙率變化對垂線流速的影響,及泥沙顆粒間的相對暴露度與細顆粒泥沙間黏結(jié)力和附加下壓力對泥沙起動的影響,初步探討提出了適用于明渠流及冰蓋流泥沙起動流速公式。

3 合理性分析

王軍等[7]通過在泡沫板中插入竹簽的方法來率定不同階段冰蓋糙率,進行了冰蓋下散粒體泥沙起動流速的試驗研究,其中冰蓋有光滑冰蓋(ni=0.021 2)、稀疏冰蓋(ni=0.032 2)、密集冰蓋(ni=0.034 7)3種不同類型,相對應(yīng)通過在河床鋪設(shè)不同粒徑的泥沙顆粒,率定河床糙率依次為0.010 9(D50=0.32 mm)、0.012 8(D50=0.85 mm)、0.013 8(D50=1.32 mm)。

本文根據(jù)王軍等[7]試驗所得數(shù)據(jù),將本文公式與馬子普公式[5](圖4中簡寫為馬式)的計算值繪入圖4中。并通過計算泥沙起動流速相對誤差,對本文公式的合理性進行檢驗,見表1。表1給出了本文公式、馬子普公式[6]與王軍等[7]試驗資料起動流速對比分析結(jié)果,可以看出本文公式計算值與試驗資料的吻合度更好,平均相對誤差均<10%,說明本文所引用的部分經(jīng)驗公式和經(jīng)驗取值是合適的。另外,隨著河床泥沙顆粒粒徑的增大,馬子普公式計算值與試驗值平均相對誤差相比于本文公式更小,這說明本文公式的適用性還有待進一步檢驗,且馬子普公式[6]更適用于粗顆粒泥沙。

表1 冰蓋流泥沙起動流速不同公式計算值與試驗值的平均相對誤差Table 1 Average relative error between the calculated values of different formula and the test values for incipient velocity of sediment under ice-covered flow

圖4 冰蓋流起動流速公式計算值與試驗值對比及相對誤差分析Fig.4 Comparison between calculated values and observed data of incipient velocity of sediment under ice-covered flow and analysis of relative error

圖4顯示,本文公式和馬子普公式[6]的計算值與王軍等[7]試驗值整體上符合良好。本文公式的相對誤差均在0%～22%之間,且大多數(shù)集中在1%～10%之間,相對誤差較小,滿足計算精度要求。

與試驗實測值相比,本文公式計算值在小水深時較實測值偏大,而大水深時偏小。初步分析原因可能是冰封初期,冰蓋形成的結(jié)構(gòu)復(fù)雜,冰蓋下方的水流常常伴隨著冰花運動[24]。由于目前尚不能表述清楚冰花的生長過程,若冰花顆粒被帶入紊動水流中,會形成浮冰,波動水流中浮冰之間相互摩擦,改變水流運動參數(shù)和流速分布,而本文公式在推導(dǎo)過程中用中垂線平均流速來表征泥沙運動狀態(tài),與水深變化關(guān)聯(lián)密切,不同水深下河床近底流速大小不同,而近底水流流速是決定泥沙起動的主要水流參數(shù),具體改進方法還有待在此基礎(chǔ)上進一步研究。

同時,限于王軍等[7]的試驗均是粗顆粒泥沙在冰蓋糙率ni均大于河床糙率nb情況下進行的,相當于所得泥沙起動公式僅檢驗了ni>nb一種情形。關(guān)于冰蓋下細顆粒泥沙起動的研究,由于目前缺少有關(guān)的試驗數(shù)據(jù),故對于公式的普適性,還有待進一步檢驗。

4 討 論

(1)前人的研究大多集中在明渠泥沙起動問題上,對冰下泥沙起動則研究較少。本文公式基于Einstein假定,在竇國仁[11]提出的3種泥沙起動狀態(tài)間關(guān)系、韓其為等[15]提出的相對暴露度概念等前人研究成果的基礎(chǔ)上,考慮糙率變化對泥沙起動的影響,通過力學(xué)分析與概率統(tǒng)計理論相結(jié)合的方法,推導(dǎo)得到了冰蓋流泥沙起動公式,并與試驗數(shù)據(jù)對比驗證,相對誤差較小,能夠滿足計算要求,補充了已有研究成果對泥沙起動問題研究的不足。

(2)冰蓋流與明流造床機理相同,床面上泥沙顆粒所受力的種類并無差別,冰蓋的存在僅改變了床面附近以及整個垂線上的流速分布。當本文公式中冰蓋糙率ni為0時,即可退化為明渠流泥沙起動流速公式。采用竇國仁整理的平坡水槽試驗資料[25]及長江河道實測資料[26]對本文明渠流泥沙起動流速公式進行驗證,并與沙玉清公式及武漢水利電力學(xué)院公式[27]的計算值一起繪入圖5。

圖5 明渠流起動流速公式計算值與實測值比較及相對誤差分析Fig.5 Comparison between calculated values and observed data of incipient velocity of sediment under open channel flow and analysis of relative error

由圖5看出,本文推導(dǎo)的明渠流泥沙起動流速公式計算值與竇國仁等[25]試驗值整體上符合良好,相對誤差范圍為0%～0.86%,滿足計算精度要求。但是,在顆粒粒徑D≤0.03 mm的范圍內(nèi),本文公式計算值與實測值相比偏小;分析原因可能是黏性細顆粒泥沙比表面積較大,界面化學(xué)效應(yīng)突出,水體化學(xué)條件變化導(dǎo)致其結(jié)構(gòu)變化[28],相比非黏性泥沙顆粒間受力分析更為復(fù)雜,本文公式推導(dǎo)引用的部分經(jīng)驗公式和經(jīng)驗取值可能對計算黏性細顆粒泥沙起動流速有一定影響,有待進一步檢驗。

(3)本文公式在張紅武泥沙起動公式[3]基礎(chǔ)上,引入糙率變化系數(shù)對附加下壓力的表達式作了修正。當床面泥沙粒徑D=0.32、0.85、1.32 mm時,本文公式計算值與實測值平均相對誤差基本<10%,說明本文公式整體結(jié)構(gòu)合理,基本能夠描述冰蓋下河床泥沙起動規(guī)律。不過在驗證本文公式計算精度時,限于目前冰蓋下泥沙起動的相關(guān)研究較少,僅對比了粗顆粒泥沙在ni>nb條件下起動流速與實測數(shù)據(jù),缺少對于細顆粒泥沙在冰蓋條件下的試驗資料和變化規(guī)律的驗證,故本文公式對于冰蓋流細顆粒泥沙起動的適用性和可行性,還需進一步研究和驗證。

5 結(jié) 論

(1)本文基于Einstein假定,采用滾動起動模型,在前人研究的基礎(chǔ)上,考慮了冰蓋流糙率變化對泥沙起動流速的影響,提出了冰蓋流泥沙起動流速公式。并與王軍等[7]試驗數(shù)據(jù)驗證,相對誤差集中在1%～10%之間,滿足計算精度要求,可用于天然河流條件下泥沙起動流速的計算。

(2)冰封初期,冰蓋特征復(fù)雜,影響冰蓋糙率變化的因素有很多,對于本文公式計算值與試驗數(shù)據(jù)的相對誤差,現(xiàn)有的研究較難給出理論分析,對其作用機理研究的還不夠深入,還需進一步通過野外和室內(nèi)系統(tǒng)的原型觀測和模擬試驗分析河床泥沙演變過程,精確率定泥沙顆粒起動公式中的系數(shù),優(yōu)化表達式,使其更符合實際。

(3)本文探討了冰蓋流條件下床面上泥沙起動的力學(xué)機制,與明渠流條件下河床泥沙受力類型相同,冰蓋的存在只是改變了床面附近以及整個垂線上的流速分布。當本文公式中冰蓋糙率為0時,即轉(zhuǎn)化為明渠流泥沙起動流速公式,并與竇國仁等整理的試驗數(shù)據(jù)對比,相對誤差范圍為0%～0.86%,滿足計算精度要求,補充了已有研究成果對泥沙起動問題研究的不足。