徐瀅 張小正 王帥 董光旭 畢傳興

摘要 偶極聲源的指向性是影響聲源識別結(jié)果的關(guān)鍵因素。目前，偶極聲源的識別方法通常是基于聲源的指向性信息先驗假設(shè)，然而在實際偶極聲源識別中，很難事先獲得聲源的指向性信息；此外，聲源分布在二維平面上的假設(shè)通常不適用于實際的氣動系統(tǒng)。為了準確識別指向性信息未知的偶極聲源，并獲得聲源的三維成像結(jié)果，提出了一種基于加權(quán)迭代L1最小化算法的等效源方法。該方法將聲源指向矢量作為未知參數(shù)，從測量聲壓與等效源源強的傳遞函數(shù)中分離出來，并通過加權(quán)迭代L1最小化算法將聲源指向矢量與等效源源強一起求解出來，進而利用這些求解獲得的聲源信息進一步預測聲場。與以往的偶極聲源識別方法不同，該方法可以實現(xiàn)指向性信息未知偶極聲源的三維成像。指向性信息未知偶極聲源的三組仿真案例和自制類偶極聲源的實驗研究驗證了該方法的有效性和魯棒性。

關(guān)鍵詞 偶極聲源; 指向性信息; 三維成像; 等效源方法

引 言

在過去幾十年里，隨著航空、地面運輸和風力渦輪機等工程領(lǐng)域的迅速發(fā)展，伴隨而來的氣動噪聲也越來越受到人們的關(guān)注。準確定位和量化氣動噪聲源對于氣動噪聲控制至關(guān)重要。自Billingsley等［1］建立傳聲器陣列的理論基礎(chǔ)以來，許多基于傳聲器陣列測量的方法因其強大的定位和測量能力被廣泛應(yīng)用于氣動噪聲源的識別研究中［2?4］。其中，波束形成方法［5?7］和逆方法［8］由于其理論簡單且測量過程靈活，在處理復雜環(huán)境下的氣動聲學問題上具有很大優(yōu)勢，因此成為氣動噪聲源識別的常用方法。偶極聲源作為許多氣動系統(tǒng)中的主要聲源類型，通常是氣動噪聲源識別研究的重要目標［9?10］。與單極聲源相比，偶極聲源在產(chǎn)生機理和傳播特性上存在很大差異，具體表現(xiàn)在偶極聲源具有清晰的指向性。值得注意的是，在偶極聲源識別中，聲源指向性通常是影響識別結(jié)果的關(guān)鍵因素，采用基于單極聲源假設(shè)的識別方法會導致對聲源位置和源強的錯誤估計。因此，在偶極聲源識別中考慮聲源指向性的影響具有重要意義。

目前，在偶極聲源識別研究中考慮聲源指向性信息的方式主要有以下兩種：（1）在偶極聲源識別過程中假設(shè)聲源指向性信息已知；（2）在未知指向性信息情況下，通過一些信號處理手段消除指向性對聲源識別結(jié)果的影響。基于第一種方式，Liu等［11］比較了單極聲源和偶極聲源在聲傳播過程中的差別，并提出了一種偶極波束形成方法，實現(xiàn)了偶極聲源位置的準確估計。由于聲源指向性信息通常未知且難于準確預判［12?13］，近年來未知聲源指向性信息的偶極聲源識別研究引起了越來越多學者的關(guān)注。Jordan等［14］基于線陣列對單個偶極聲源輻射的聲壓信號進行測量，提出了一種基于信號修正的波束形成方法，該方法通過檢測并修正潛在偶極聲源輻射聲壓的相位來定位指向性信息未知的偶極聲源。Avarvand等［15］提出了一種基于多信號分類算法的修正方法，該方法假設(shè)聲源和傳聲器之間的相位延遲已知，通過求解所構(gòu)建的哈密頓特征方程對聲源信號的幅值進行擬合，從而定位指向性信息未知的偶極聲源。Suzuki［16］提出了一種基于廣義逆波束形成的多極分解方法來識別指向性信息未知的偶極聲源。Pan等［17］假設(shè)聲源彼此不相干，并且具有正交的輻射模式，將多極正交波束形成與反演方法相結(jié)合，實現(xiàn)了對指向性信息未知偶極聲源的準確識別。最近，Gao等［18］發(fā)展了另一種修正的波束形成方法，該方法通過計算每個掃描點的最大輸出方向來實現(xiàn)指向性信息未知偶極聲源的定位。

上述偶極聲源識別方法最常見的配置是將感興趣區(qū)域定義為一個平面，這就隱含了一個假設(shè)，即所有的噪聲源都位于這個平面上。然而在實際氣動系統(tǒng)中，聲源通常體型較大，并且分布在三維空間中。因此很多學者開展了氣動聲源的三維成像研究［19?22］。與聲源平面成像研究相比，聲源三維成像研究更為復雜。一方面，在各個方向上都需要良好的空間分辨率；另一方面，問題的規(guī)模（即感興趣區(qū)域中潛在源的數(shù)量）大幅增加。常規(guī)波束形成方法在陣列中心徑向上的空間分辨率較差，且旁瓣水平較高，因此不適用于三維成像。反卷積技術(shù)，如CLEAN?SC，DAMAS等技術(shù)［20?21］能夠在各個方向上實現(xiàn)良好的空間分辨率和精度。Sarradj［21］基于不同導向矢量公式的CLEAN?SC技術(shù)實現(xiàn)良好的聲源三維成像，但是這些方法的計算成本很高。隨后，Porteous等［22］基于正交陣列測量發(fā)展了一種乘法波束形成方法，可以準確定位空間中的偶極聲源，并獲得聲源的三維成像結(jié)果，然而在該方法中需要已知聲源的指向性信息。

等效源方法理論簡單，計算效率高，近年來被廣泛地應(yīng)用在氣動噪聲源識別研究中［23?28］，然而目前關(guān)于氣動聲源的三維成像研究通常是基于單極聲源傳播假設(shè)［29?31］。因此，本文提出一種基于加權(quán)迭代L1最小化算法的等效源方法，用于三維空間中指向性信息未知偶極聲源的識別研究。與以往的氣動噪聲源識別方法不同，該方法基于偶極聲源傳播假設(shè)，并可以在聲源指向性信息未知的情況下實現(xiàn)聲源的三維成像。

1 基于加權(quán)迭代L1最小化算法的等效源方法

之所以偶極聲源的指向性會影響聲源的識別結(jié)果，是因為在偶極聲源識別過程中，聲源指向矢量始終存在于傳遞函數(shù)當中。Liu等［11］假設(shè)聲源指向性信息已知，通過將指向矢量的特征項與單極格林函數(shù)相乘發(fā)展了偶極傳遞函數(shù)，利用該函數(shù)可以準確估計偶極聲源的位置。相反，本文是將偶極傳遞函數(shù)中所含的指向矢量分離出來，因此聲源的識別過程中可以不需要指向性的先驗信息。

假設(shè)包含真實聲源的三維區(qū)域被離散成N個等效源，用包含M個傳聲器的陣列去測量聲壓，第n個等效源對第m個傳聲器所測聲壓的貢獻可以表示為：

式中 xm和yn分別表示第m個傳聲器和第n個等效源的位置矢量，其中，m=1，2，…，M；n=1，2，…，N；ω為聲源角頻率；αn表示第n個等效源源強；gm（yn，ω）表示第n個等效源與第m個傳聲器之間的傳遞函數(shù)，對于偶極聲源，它可以表示成：

式中 k表示波數(shù)；rmn表示第n個聲源到第m個傳聲器的距離矢量；rmn表示距離矢量rmn的模，即rmn=|rmn|=|xm?yn|；ξn為偶極聲源的指向矢量，即ξn=（ξnxξnyξnz）。

為了消除指向性對偶極聲源識別過程的影響，將偶極聲源的指向矢量視為未知參數(shù)，從傳遞函數(shù)中分離出來，則式（1）可以進一步表示為：

式中 αmn，βmn和γmn分別表示rmn與笛卡爾坐標系中的x，y和z軸的夾角。

從式（3）中可以看出，聲源的指向矢量已經(jīng)從gm（yn，ω）中被分離到ln中。

因此，第m個傳聲器所測得的總聲壓可以表示為：

式中 ψmx（y1，ω），ψmy（y1，ω）和ψmz（y1，ω）分別表示ψm（y1，ω）在笛卡爾坐標系中的三個分量；l1x，l1y和l1z分別表示l1在笛卡爾坐標系中的三個分量。

所有傳聲器測得的聲壓與等效源源強之間的傳遞關(guān)系可以表示為：

式中 P（ω）為一個M維列向量；G（ω）為M×3N （M<3N）傳遞矩陣。

經(jīng)過上述處理，在聲源識別過程中雖然不需要考慮聲源的指向性信息，但是待求解的未知數(shù)相應(yīng)地增加了3倍。考慮到在實際中聲源通常是稀疏分布的，然而常規(guī)的等效源方法在采用Tikhonov正則化求解這種空間稀疏聲源分布問題時往往無法獲得最優(yōu)解，其重建結(jié)果的空間分辨率不高，因此本文將反求源強和指向矢量的問題轉(zhuǎn)化到稀疏框架下進行，在求解過程中引入Candès等［32］所提出的加權(quán)范數(shù)算法，求解過程如下：

輸入：傳遞矩陣G（ω），聲壓向量P（ω），最大迭代數(shù)smax。

輸出：源強矢量Ls。

初始化：迭代序號s=0，權(quán)重系數(shù)向量ws中的元素為w（0）i=1;i=1，…，3N。

步驟1：求解以下加權(quán)L1范數(shù)最小化問題：

式中 ε為可調(diào)節(jié)的數(shù)據(jù)保真度約束，通常為信號范數(shù)的20%～30%；s為迭代次數(shù)。

步驟2：更新加權(quán)系數(shù)向量中的元素：

步驟3：更新迭代序號s=s+1。如果s=smax，迭代停止，否則返回到步驟1。

公式（12）是基于加權(quán)迭代L1最小化算法的等效源方法的目標方程。在根據(jù)公式（13）更新加權(quán)系數(shù)向量的過程中，引入分母項δ>0，以避免某些點源源強為0時分母為0的存在，保證ws+1i的存在性。

2 數(shù)值仿真與驗證

為了研究本文方法在聲源定位精度、聲源源強估計和聲源指向估計等方面的性能，下面將開展三維空間中指向性信息未知偶極聲源的仿真研究，并進一步研究該方法在不同聲源頻率和不同信噪比下的性能。

理想的偶極聲源輻射聲壓的仿真數(shù)據(jù)由下式得到：

式中 rms表示偶極聲源到第m個傳聲器的距離矢量；rms表示距離矢量rms的模，即rms=|rms|=|ys?xm|；ξs為偶極聲源的指向矢量；αs表示偶極聲源源強。

為了模擬實測的聲壓數(shù)據(jù)，在仿真聲壓信號中加入30 dB的高斯白噪聲?？紤]到平面陣列的空間識別精度較差，這里采用兩個相互正交的傳聲器陣列進行聲學測量，如圖1所示。兩個子陣列分別位于y=0.5 m和z=0.5 m的平面上，每個子陣列包含30個傳聲器，以五個環(huán)形模式排列，半徑分別為0.08，0.16，0.24，0.32和0.4 m。同樣排列模式的一個預測平面位于y=0.8 m的平面上。在正交陣列中間顯示的是體積為0.4 m×0.4 m×0.4 m的三維掃描網(wǎng)格，網(wǎng)格包含729個等效源點，兩個相鄰等效源點之間的間隔為0.05 m。在三維空間中布置了兩個偶極聲源，其位置分別是（-0.05 m，-0.05 m，-0.05 m）和（0.05 m，0.05 m，0.05 m），分別對應(yīng)第274和456個掃描點。

下面將通過三組仿真案例研究所提方法的性能。為了更清晰地展示目標聲源，這里給出了三組案例中偶極聲源的空間分布示意圖，如圖2（a），3（a）和4（a）所示。案例一中兩個偶極聲源的指向矢量分別是（0，1，0）和（0，0，1）；案例二中兩個偶極聲源的指向矢量分別是（0，0.8，0.6）和（0.707，0，0.707）。案例一和案例二的聲源頻率都是4 kHz。案例三中兩個偶極聲源的指向矢量分別是（0，0.8，0.6）和（0，1，0），聲源頻率為1 kHz。三組案例中偶極聲源源強都是1。由于在仿真中已知偶極聲源的真實位置、源強和指向性信息，因此它們可以作為參考，與所提方法重建的聲源信息進行比較，進而評估所提方法的重建精度。此外，基于給定的聲源信息，預測面上的參考聲壓可以通過公式（14）計算獲得。

案例一、二和三中偶極聲源的識別結(jié)果分別如圖2～4所示。圖2（b），3（b），圖4（b）分別給出了三組案例中所提方法重建的所有等效源源強，從圖中可以看出，三組案例中等效源源強均在第274和第456個等效源點處出現(xiàn)了突出的峰值，這與真實聲源的位置一致。此外還可以觀察到在案例一中峰值處等效源源強的估計值分別是0.9890和0.9981，案例二中的峰值處等效源源強的估計值分別是1.001和0.9999，案例三中的峰值處等效源源強的估計值分別是1.02和0.9933，與真實聲源源強非常接近。此外，在三組案例中，其他等效源點處的源強估計值幾乎都趨近于零。這里聲源的指向性信息和聲源源強一起被求解，案例一中兩個偶極聲源的指向矢量分別求解為（0，1，0）和（0，0，1），案例二中兩個偶極聲源的指向矢量分別求解為（0，0.7985，0.6019）和（0.7105，0，0.7037），案例三中兩個偶極聲源的指向矢量分別求解為（0，0.8067，0.6241）和（0，0.9933，0）。上述結(jié)果表明該方法能夠準確地重建指向性信息未知的偶極聲源源強，并估計出這些聲源的指向。為了更清晰地顯示偶極聲源的定位結(jié)果，圖2（c），3（c），圖4（c）給出了三維空間內(nèi)所有等效源的分布，從圖中可以看出，所提方法可以準確地定位到偶極聲源。

所提方法重建的聲源信息除了可以用于聲源的定位外，還可以用于聲場預測。圖2（d），3（d）和4（d）分別給出了所提方法在案例一、二和三中所有預測點的預測聲壓，此外理論聲壓也在圖2（d），3（d）和4（d）中給出以供參考，從圖中可以看出，在不同預測點處預測值與理論值吻合得很好，驗證了所提方法預測指向性信息未知偶極聲源輻射聲場的準確性。

為了量化重建誤差，將預測點的聲壓重建誤差定義為：

式中 pre和pth分別表示聲壓的重建值和理論值。

圖5顯示了所提方法在不同聲源頻率（0～5000 Hz）和不同信噪比（5～30 dB）下的重建性能。從圖5中可以觀察到，信噪比越低，所提方法對指向性信息未知偶極聲源的重建誤差越大，主要原因是信噪比過低會嚴重破壞源信號，因此造成很大的重建誤差。盡管如此，該方法在信噪比高于10 dB的很大范圍內(nèi)仍具有較好的適用性。此外，圖5還給出了聲源頻率對重建誤差的影響，從圖中可以觀察到，所提方法對低頻的重建能力將變?nèi)?，主要原因是當聲源頻率很低時，傳遞矩陣的列相關(guān)性會增強，在相同陣列布置條件下，聲源的重建誤差將增大。雖然所提方法對于低頻的重建能力較弱，但是在信噪比高于10 dB，且聲源頻率高于800 Hz的很大范圍內(nèi)，該方法可以準確重建指向性信息未知偶極聲源的聲場，其重建誤差均低于10%。

3 實驗研究

下面在半消聲室中開展實驗以檢驗所提方法識別指向性信息未知的偶極聲源的性能，實驗布置如圖6所示。實驗中采用的類偶極聲源是由兩個揚聲器緊密地面對面安裝并以反相位驅(qū)動形成。為了更清晰地展示實驗過程，這里給出了實驗原理圖，如圖7所示。實驗測試中采用24個均勻分布在4個環(huán)上的傳聲器陣列來測量聲壓。通過固定參考傳聲器，將陣列移動三次，得到三組相互垂直平面上的聲壓數(shù)據(jù)，采樣頻率為20.48 kHz，采樣時間為0.8 s。每個數(shù)據(jù)集被分割成8塊，每塊的長度為8192，頻率分辨率為2.5 Hz。

在實驗測試之前，對自制的類偶極聲源的聲輻射模式進行了測量，以檢驗它的偶極特性。如圖8所示，在與聲源高度相同的平面上，將24個傳聲器均勻布置在以聲源為中心，半徑為1 m的圓上；圖9顯示的聲場輻射模式測量結(jié)果表明，所設(shè)計的類偶極聲源具有清晰的偶極指向性。

本文開展了單個偶極聲源和兩個偶極聲源兩組實驗。在實驗一中，偶極聲源位于（0.1 m，0.1 m， -0.1 m），聲源頻率為4 kHz。在實驗二中，兩個偶極聲源分別位于（-0.1 m，-0.1 m，0 m）和（0.1 m，0.1 m，-0.2 m），聲源頻率均為4 kHz。

圖10和11分別顯示了兩組實驗中的類偶極聲源的識別結(jié)果和聲場預測結(jié)果。需要指出的是，由于實驗中的類偶極聲源的真實源強難以測量，因此無法直接評價所重建的聲源源強和指向矢量的精度。因此，從72個測量點中隨機抽取47個測量點，并用這些測點處的聲壓數(shù)據(jù)重建出偶極聲源源強和指向性信息；然后采用所重建的聲源信息預測出剩余25個測量點處的聲壓，并與這25個測點的聲壓數(shù)據(jù)進行比較，間接評估所提方法對于指向性信息未知偶極聲源的重建精度。

圖10（a）和11（a）給出了偶極聲源的空間分布示意圖，圖10（b）和11（b）給出了兩組實驗中所提方法重建的所有等效源源強。從圖10（b）和11（b）中可以觀察到，實驗一中與真實聲源位置對應(yīng)的第223個掃描格點以及實驗二中與真實聲源位置對應(yīng)的第62和第364個掃描格點處均出現(xiàn)了突出的峰值，并且這些峰值處的等效源源強分別估計為0.9937，1.484和0.842，它們的指向矢量同時也被求解出來，分別為（0，1，0），（1，0，0）和（1，0，0），其余等效源源強均趨近于0，遠低于真實聲源處的等效源源強。圖10（c）和11（c）分別展示了實驗一和二中采用重建的所有等效源源強進行偶極聲源空間定位的結(jié)果。實驗結(jié)果表明，所提方法可以準確地定位到指向性信息未知的偶極聲源。

圖10（d）和圖11（d）分別給出了所提方法在實驗一和二中所有預測點的預測聲壓與實測聲壓之間的比較，從圖中可以看到，預測聲壓曲線與實測聲壓曲線基本吻合，從而從實驗的角度驗證了所提方法預測指向性信息未知偶極聲源輻射聲場的準確性，同時也進一步表明所提方法重建的偶極聲源源強和指向性信息的準確性。

4 結(jié) 論

本文提出一種基于加權(quán)迭代L1最小化算法的等效源方法來識別三維空間中指向性信息未知的偶極聲源。該方法將聲源指向矢量作為未知參數(shù)，從測量聲壓與等效源源強的傳遞函數(shù)中分離出來，通過加權(quán)迭代L1最小化算法進行反演求解出聲源指向矢量和等效源源強，進而利用這些聲源信息可以預測聲場。與以往的偶極聲源識別方法不同，該方法可以準確識別指向性信息未知的偶極聲源，并獲得聲源三維成像結(jié)果。對三組指向性信息未知偶極聲源的案例進行了數(shù)值研究，并對自制的類偶極聲源進行了實驗研究。結(jié)果表明，該方法能夠準確定位指向性信息未知的偶極聲源、估計聲源指向和源強，并預測偶極聲源的輻射聲場。此外，在數(shù)值仿真中還進行了聲源頻率、信噪比等參數(shù)的討論，結(jié)果表明，該方法在聲源頻率大于800 Hz，且在信噪比大于10 dB時可以獲得較高的聲場重建精度。本文所提方法將有助于分析偶極聲源的產(chǎn)生機理和輻射特性，并進一步指導氣動噪聲的控制。

此外，在實際工程中，常常會遇到與理想偶極指向性特征有偏差的類偶極聲源，盡管本文方法是建立在理想偶極聲源的聲輻射理論基礎(chǔ)之上，但本文方法的求解思路可為類偶極聲源的識別提供借鑒，即通過建立類偶極聲源的聲輻射計算模型，然后采用本文等效源方法反演求解的思路實現(xiàn)類偶極聲源的識別。另外，對于三維空間中存在多種類型的聲源（單極子、指向性信息未知的偶極子或四極子）的情況，同樣可以修正所提方法的理論模型，并采用等效源方法反演求解的思路進行相應(yīng)的聲源識別研究。

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The equivalent source method for identifying dipoles with unknown directivity in three-dimensional free space

XU Ying ?ZHANG Xiao-zhengWANG ShuaiDONG Guang-xuBI Chuan-xing ?

Institute of Sound and Vibration Research， Hefei University of Technology， Hefei 230009， China

Abstract The source directivity is a crucial factor affecting the dipole source identification. At present， the identification methods of dipole sources are usually based on the prior directivity assumption. However， it is difficult to accurately obtain the directivity information of a dipole source in advance. Moreover， the assumption that sources are usually located on a single surface at a certain distance from the microphone array may be not suitable for the actual aeroacoustic system. In order to accurately identify the dipole source under the condition that the directivity of the source is unknown， the equivalent source method based on the reweighted iterative L1 minimization algorithm is proposed in this paper. In this method， the source directivity vector is treated as an unknown quantity and separated from the transfer function relating the measured pressures to the equivalent source strengths， which is solved together with the equivalent source strengths via the weighted iterative L1 minimization algorithm. Then the sound field can be predicted in term of the solved source information. Different from the previous dipole source identification methods， the proposed method can realize three-dimensional volumetric imaging for the dipole sources with unknown directivity. Numerical simulations with three cases of dipole sources with unknown directivities and experiments with the dipole-like sources examine the validity and robustness of the proposed method.

Keywords dipole source; directivity; three-dimensional volumetric imaging; equivalent source method