董 睿, 鴉 婧, 俞竹青

(常州大學(xué) 機(jī)械與軌道交通學(xué)院,江蘇 常州 213100,E-mail:dong1996r@163.com)

隨著機(jī)構(gòu)理論的深入發(fā)展,并聯(lián)機(jī)構(gòu)也漸漸成為機(jī)械應(yīng)用的主體[1]。并聯(lián)機(jī)構(gòu)一般為:上平臺用2個或者2個以上的分支相連,機(jī)構(gòu)具有2個或2個以上的自由度,并通過多驅(qū)動機(jī)構(gòu)并聯(lián)驅(qū)動來控制機(jī)構(gòu)的末端達(dá)到想達(dá)到的位姿。但從另一角度出發(fā),只要是多自由度的,驅(qū)動器分配在不同的環(huán)路上的并聯(lián)多環(huán)機(jī)構(gòu)都可以稱之為并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

與串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比,并聯(lián)機(jī)構(gòu)有如下優(yōu)點:首先并聯(lián)機(jī)構(gòu)有多跟桿支撐,結(jié)構(gòu)穩(wěn)定;第二,剛度大,承載能力大;第三,關(guān)節(jié)活動誤差不會積累和放大,誤差小,精度高;第四,驅(qū)動模塊任意放在機(jī)構(gòu)末端,系統(tǒng)慣性小[2]。

目前并聯(lián)機(jī)構(gòu)已經(jīng)吸引了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注,其在穩(wěn)定平臺中已經(jīng)得到了廣泛發(fā)應(yīng)用。趙萬卓等[3]提出了一種3-RPS并聯(lián)穩(wěn)定平臺,主要解決越野救護(hù)車和醫(yī)療運(yùn)輸過程中所受到的外界環(huán)境干擾問題。浙江大學(xué)鄭祥譜[4]基于Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)提出了可應(yīng)用于普通光學(xué)相機(jī)上的穩(wěn)定平臺,可以抵消拍照時手抖動對相片質(zhì)量的干擾問題。羅二娟[5]提出了基于3-RPD機(jī)構(gòu)的車載穩(wěn)定平臺,用于抵消運(yùn)輸過程中路面顛簸對精密儀器設(shè)備等損壞。

本文在之前的研究基礎(chǔ)上提出一種新型并聯(lián)穩(wěn)定平臺,主要應(yīng)用于艦載方面。其能實現(xiàn)兩自由度的轉(zhuǎn)動,主要抵消海浪對艦身的橫搖和俯仰的擾動,這里稱之為2R(兩轉(zhuǎn)動自由度)型并聯(lián)穩(wěn)定平臺。此2R型并聯(lián)機(jī)構(gòu)在只需要兩自由度的轉(zhuǎn)動的應(yīng)用場景里面,相比較與前面提出的Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)等,結(jié)構(gòu)上更緊湊可靠,成本上更經(jīng)濟(jì),控制精度上更精確。

本文我們將對此種基于2R型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定平臺進(jìn)行分析。先對2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述,并運(yùn)用Kutzbach Gruble公式進(jìn)行自由度校驗。緊接著對此2R型并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行位姿反解,求運(yùn)動平臺位姿與驅(qū)動器的對應(yīng)關(guān)系;再結(jié)合Matlab進(jìn)行靜力學(xué)求解,求得各桿件在各位姿點受力大小圖以及各構(gòu)件在設(shè)定載重下最大受力值;接下來結(jié)合算法在Matlab上進(jìn)行仿真,求得位置逆解時各驅(qū)動器伸縮長度與對應(yīng)位姿的映射關(guān)系。

1 2R型并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型

▲圖1 2R型并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖

2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡如圖1如示,包括一個動平臺(上)ΔABC,靜平臺(下)ΔDEF,一條RPS型驅(qū)動支鏈 ,一條SPS型驅(qū)動支鏈和一個固定桿構(gòu)成(R,P,S分別代表轉(zhuǎn)動副,移動副和球面副)。其中桿L1為固定桿,方向垂直向上,下端與靜平臺固定連接,上端由球絞和動平臺鉸接。RPS支鏈為,桿L2通過球絞與動平臺連接,通過移動副與桿L3鏈接,桿L3再通過轉(zhuǎn)動副與靜平臺連接;SPS支鏈為,桿L4通過球絞分別與動平臺鉸接,通過移動副與桿L5連接,桿L5再通過球絞與靜平臺連接。

設(shè)計此2R型并聯(lián)穩(wěn)定平臺,通過兩個移動副驅(qū)動桿L2,L4的移動來達(dá)到控制動平臺繞X,Y軸旋轉(zhuǎn)的角度,以實現(xiàn)動平臺的水平穩(wěn)定。

下面對其進(jìn)行自由度分析

改機(jī)構(gòu)共有兩個自由度,分別為繞X,軸和Y軸的旋轉(zhuǎn)。采用黃真修正的Kutzbach Gruble公式[6],驗算機(jī)構(gòu)自由度,即

(1)

式中:M表示機(jī)構(gòu)的自由度;n為包括機(jī)架在內(nèi)的構(gòu)件數(shù)目;g表示運(yùn)動副數(shù)目;機(jī)構(gòu)無公共約束,因此機(jī)構(gòu)的階數(shù)d=6;fi代表第i個運(yùn)動副的自由度數(shù);機(jī)構(gòu)無并聯(lián)冗余約束和局部自由度,故ν=0,ζ=0。

這驗算結(jié)果與設(shè)計的自由度完全相同,所以自由度可靠。

2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解分析

▲圖2 機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系圖

為方便平臺的位姿求解,在機(jī)構(gòu)中建立坐標(biāo)系。在靜平臺中建立靜坐標(biāo)系,以靜平臺上D點為坐標(biāo)原點O,按右手法則以此建立靜坐標(biāo)系O-XYZ,記作靜坐標(biāo)系{O};在動平臺中建立動坐標(biāo)系以動平臺上A點為坐標(biāo)原點O′,按右手法則以此建立動坐標(biāo)系O′-X′Y′Z′,記作動坐標(biāo)系{O’},如圖2所示。

當(dāng)機(jī)構(gòu)的動平臺保持水平時,以坐標(biāo)的方式展現(xiàn)構(gòu)件之間的尺寸關(guān)系。機(jī)構(gòu)上各點在靜坐標(biāo)系{O}中的坐標(biāo)位置如下:A=(0,0,h);B=(a,0,h);C=(a/2,b,h) ;D=(0,0,0);E=(a,0,0);F=(a/2,b,0)。

動平臺上各點在動坐標(biāo)系{O′}中的位置為:A′ =(0,0,0);B′=(a,0,0);C′=(a/2,b,0) 。

與串連機(jī)構(gòu)不同的是,在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置分析中,位姿反解比較簡單。這里可以用反解的方法解開并聯(lián)機(jī)構(gòu),通過給定位置和姿態(tài)來求解桿L2,L3的伸縮量。在得知位姿與桿長之間的對應(yīng)關(guān)系,我們便可以反過來,通過控制驅(qū)動桿的桿長來控制動平臺的位姿。

對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆解方法,是將動坐標(biāo)系中任一點的位置通過坐標(biāo)變換方法變換到靜坐標(biāo)系中的位置,便可解出驅(qū)動桿的伸縮量[7]。

目前對坐標(biāo)空間變換的描述的主要方法有:歐拉角法,方向余弦矩陣法和四元數(shù)法。這里用到歐拉角法:任何空間坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)可以分解為繞三個互相垂直軸的三次連續(xù)旋轉(zhuǎn)組成的序列。值得注意的是:三次旋轉(zhuǎn)軸組合的次序不同,會導(dǎo)致結(jié)果不同。這里采用常用的順序,即先繞Z軸旋轉(zhuǎn),再繞Y,X軸旋轉(zhuǎn)的順序。所以,任何一個旋轉(zhuǎn)都可以表示為,依次繞Z,Y,X軸三個相互垂直的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的三個角度的組合,這三個角度成為歐拉角。

設(shè)平臺繞Z軸旋轉(zhuǎn)角度為ψ,繞Y軸旋轉(zhuǎn)的角度為θ,繞X軸旋轉(zhuǎn)的角度為φ。

根據(jù)歐拉角求旋轉(zhuǎn)矩:

(2)

式中:c: cos;s: sin。

將歐拉角中繞Y軸旋轉(zhuǎn)的稱為偏航角,繞X軸旋轉(zhuǎn)的角成為俯仰角,繞Z軸旋轉(zhuǎn)的角成為翻滾角。

因為此并聯(lián)機(jī)構(gòu)穩(wěn)定平臺只有偏航角和俯仰角兩自由度的旋轉(zhuǎn),不存在Z軸翻滾角的自由度。所以令翻滾角φ=0,帶入上述公式中。

此時旋轉(zhuǎn)矩陣變化為

Rot(0,θ,φ)=Rot(y,θ)Rot(x,φ)=

(3)

該機(jī)構(gòu)無論上平臺發(fā)生什么運(yùn)動,該平臺的動坐標(biāo)原點A在靜坐標(biāo)的位置并沒有改變?？梢酝ㄟ^如下公式計算出,當(dāng)動平臺發(fā)生任一位置變化是,其上任意一點在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)位置[8]。

p′=R*p+T

(4)

式中:R為旋轉(zhuǎn)矩陣;p為平臺上某點在動坐標(biāo)系中的坐標(biāo)位置,p′為該點靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)位置;T為動坐標(biāo)系原點在靜坐標(biāo)系中的位置,這里即為A點在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

將參數(shù)帶入式中即表示為

(5)

式中:B′,C′∈R3×1

動平臺上B,C點發(fā)生了繞X,Y軸轉(zhuǎn)動后而成的點B′,C′,其在靜坐標(biāo)系中的位置如上。當(dāng)B′,C′點的坐標(biāo)知道且E,F點坐標(biāo)不動,則分別對B′E,C′F取求模,便得出桿的總長量。

(6)

此刻移動副所產(chǎn)生的驅(qū)動長度記作Y1,Y2,則當(dāng)需要X軸,Y軸分別產(chǎn)生φ,θ角度的旋轉(zhuǎn)來抵消外界的干擾時,移動副所需驅(qū)動的長度分別表示為:

(7)

3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜力分析

機(jī)構(gòu)為一確定結(jié)構(gòu),其受力情況分析如下。

設(shè)計中,擬定上平臺所能承載的垂直載荷記為G。當(dāng)平面傾覆時,測得X,Y軸傾角分別為α,β。

驅(qū)動支鏈RPS上端是球絞連接,下端是轉(zhuǎn)動副連接,忽略桿轉(zhuǎn)動時關(guān)節(jié)所受的摩檫力,則兩端對此驅(qū)動支鏈各施加一個力,所以支鏈RPS是二力桿,受力方向沿桿的方向。

在之前的位置逆解工作中,支鏈的首端B′末端E在靜坐標(biāo)中的位置坐標(biāo)已知。通過對支鏈的方向向量單位化,便得出驅(qū)動支鏈RPS的方向向量,記作θ2,則:

(8)

驅(qū)動支鏈SPS上下兩端皆是球絞連接,忽略桿轉(zhuǎn)動時關(guān)節(jié)所受的摩檫力,則兩端連接處對此支鏈僅施加一個外力,所以支鏈SPS也是二力桿,受力方向沿桿的方向[9-10]。

▲圖3 固定桿受力圖

同樣,可以求出驅(qū)動支鏈SPS的單位方向向量記作θ3,則:

(9)

固定桿上端是球絞連接,下端是固定端約束。受力分析如圖3所示,其上端受一個大小,方向皆未知的力,下端固定端受來三個方向的轉(zhuǎn)矩和力。

綜上所訴,B,C點處受力是一個大小未知的力,記作F2,F3。F2,F3的矢量方向是沿桿方向,將其沿X,Y,Z軸方向分解,得到的其在X,Y,Z各方向分力記作:F2x,F2y,F2z,F3x,F3y,F3z

(10)

▲圖4 動平臺A點受力示意圖

A點處受力是大小和方向皆未知的力,將其沿X,Y,Z軸方向分解為方向已定,大小待定的分力。如圖4所示,分別記作:F1x,F1y,F1z。

動平臺在任意姿態(tài)的總體受力圖如圖5所示。

動平臺上各點尺寸關(guān)系如圖6所示。

▲圖5 動平臺受力示意圖

▲圖6 動平臺尺寸示意圖

根據(jù)空間任意力系平衡方程知,當(dāng)動平臺處于靜力學(xué)平衡時滿足如下平衡方程:

(11)

在動平臺的A點建立靜平衡方程,將上述變量帶入帶入公式中,列出如下六個平衡方程:

(12)

將平衡方程以如下矩陣形式表達(dá):

(13)

式中:H(α,β)∈R6×5

整理得H(α,β)式如下

(14)

分析知矩陣秩r[H(α,β)]恒為5.未知力是F1x,F1y,F1z,F2,F3,故恒有解。

方程解得。

(15)

整理得每桿受力關(guān)于角度α,β的方程

(16)

結(jié)合上文,對上式的計算結(jié)果的意義進(jìn)行分析知,RPS支鏈的受力為二力桿件,上式計算出的力F2即為該支鏈?zhǔn)艿降膲毫?。同理SPS支鏈也是二力桿,上式中計算出的力F3即為該支鏈所受到的壓力。固定桿上端分解出的力F1Z也是固定桿受到的壓力。進(jìn)一步對其進(jìn)行分析得出內(nèi)應(yīng)力,便于我們對材料 的強(qiáng)度進(jìn)行校核。

4 基于Matlab的仿真驗證

機(jī)構(gòu)各支鏈最大受力點以及位姿與受力大小的映射關(guān)系能夠幫助我們更合理的設(shè)計與使用該并聯(lián)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定平臺。因此計算各支鏈的位姿與受力映射是分析研究機(jī)構(gòu)的重要環(huán)節(jié)。目前對機(jī)構(gòu)受力求解的主要方法有數(shù)值分析法(極限搜索法),有限元分析法等。本文中在Matlab平臺通過搜索算法研究各支鏈最大受力值。

前面的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù),現(xiàn)擬定如下,a=60 cm,b=40 cm,h=40 cm,G=5 000 N。結(jié)合穩(wěn)定平臺的在艦載使用工況下工作要求,擬定橫滾角,即繞X軸的旋轉(zhuǎn)角α∈(-10°,10°),,俯仰角,即繞Y軸的旋轉(zhuǎn)角β∈(-20°,20°)。結(jié)合算法在Matlab平臺仿真。獲得的平臺位姿與受力關(guān)系如圖7所示[11]。

▲圖7 各支鏈?zhǔn)芰εc位姿關(guān)系圖

在α∈(-10°,10°),β∈(-20°,20°)范圍內(nèi),求出兩支鏈和固定桿所受正壓力以及固定桿所受的彎曲力的最大值及此時動平臺對應(yīng)的位姿,記錄于如下表1所示[12]。

表1 活動范圍內(nèi)各桿件最大受力/N

基于前面的結(jié)構(gòu)參數(shù),結(jié)合數(shù)值分析算法在Matlab平臺計算出兩移動副的驅(qū)動伸縮量與動平臺的位姿關(guān)系如圖8所示。

▲圖8 移動副位移與位姿關(guān)系

當(dāng)我們需要計算某角度位姿的桿伸長量與各桿受力時,也同樣可以在該matlab仿真中獲得。例如,當(dāng)動平臺在靜坐標(biāo)系中的角度姿態(tài)為ψ,θ,φ為{0,15.6°,-6.8°},經(jīng)matlab計算移動副的伸縮量為13.19(負(fù)數(shù)表示收縮,正數(shù)表示伸長);移動副的伸縮量為-3.5。固定桿所受的正壓力為1.058 kN;固定桿所受彎曲力為0.329 24 N; SPS支鏈所受壓力為2.059 kN;RPS支鏈所受壓力為0.806 2 kN。

5 總結(jié)

(1) 提出一種新型基于2-R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的艦載穩(wěn)定平臺,機(jī)構(gòu)由動平臺,定平臺,固定桿RPS支鏈和SPS支鏈構(gòu)成?？梢詫崿F(xiàn)兩自由度的旋轉(zhuǎn)以抵消海浪對艦身的橫搖和俯仰的擾動。

(2) 通過對驅(qū)動支鏈與動平臺位姿關(guān)系的分析給出機(jī)構(gòu)位置逆解的解析式。并在Matlab平臺仿真得驅(qū)動器伸縮量與動平臺的位姿關(guān)系圖。

(3) 通過建立靜力學(xué)平衡公式求得各桿件受力大小與位姿的解析表達(dá)式。建立算法通過Matlab平臺仿真,求得各桿和支鏈所受彎曲力以及正壓力與位姿的關(guān)系圖。并通過搜索算法找出各組受力中最大值,以便后期校核桿件的強(qiáng)度。