盧文娟, 李興艷, 孫迪賀, 曾嘉豪, 樊大寶, 曾達(dá)幸

(1.東莞理工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院,廣東 東莞 523808, E-mail: zengdx@dgut.edu.cn; 2.燕山大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,河北 秦皇島 066004)

自由度是機(jī)構(gòu)最基本的性質(zhì)之一,是綜合新機(jī)構(gòu)的先決條件,是運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ),是確定驅(qū)動(dòng)配置的前提[1-2]。自由度的研究已有一百多年的歷史,學(xué)者們從機(jī)構(gòu)組成、運(yùn)動(dòng)方程、雅可比矩陣零空間以及李群、李代數(shù)等多個(gè)角度提出了幾十種具有代表性的自由度公式[3]。隨著多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)[4]、折紙機(jī)構(gòu)[5]、變胞機(jī)構(gòu)[6]等新型復(fù)雜機(jī)構(gòu)的不斷涌現(xiàn),上述自由度計(jì)算公式不再具有普適性與準(zhǔn)確性[7]。究其原因,傳統(tǒng)自由度分析方法沒有考慮并聯(lián)機(jī)構(gòu)中同一構(gòu)件存在兩個(gè)或以上作用效果相同時(shí)產(chǎn)生的過約束問題,從而導(dǎo)致機(jī)構(gòu)的理論自由度和實(shí)際運(yùn)動(dòng)特征并不相符[8]。因此,如何解決機(jī)構(gòu)中出現(xiàn)的過約束問題便成為自由度分析方法的重中之重。

為了避開機(jī)構(gòu)存在的過約束問題,采用對(duì)機(jī)構(gòu)的分支運(yùn)動(dòng)和動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)求交集的方式對(duì)機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器的自由度進(jìn)行計(jì)算求解[9]。Gogu等[10]基于線性變換原理建立了自由度公式,其在對(duì)機(jī)構(gòu)連通度進(jìn)行求解的過程中采用了運(yùn)動(dòng)求交的思想;Rico等[11-12]基于李群、李代數(shù)建立了自由度公式,其關(guān)鍵參數(shù)的求解內(nèi)含了運(yùn)動(dòng)求交的思想,隨后又利用實(shí)例對(duì)其進(jìn)一步分析[13];楊廷力等[14]基于方位特征集建立了自由度公式,其方位特征方程的運(yùn)算規(guī)則主要基于運(yùn)動(dòng)求交思路建立;高峰等[15-17]基于GF集理論建立了運(yùn)動(dòng)求交運(yùn)算規(guī)則,并將其引入機(jī)構(gòu)綜合研究中。

上述運(yùn)動(dòng)求交思想的自由度分析方法無需建立機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程或運(yùn)動(dòng)螺旋,簡(jiǎn)化了機(jī)構(gòu)自由度求解過程,但其在機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動(dòng)耦合、分支不明確以及分支數(shù)目多等應(yīng)用場(chǎng)景下仍存在一定局限性[18]。基于此,運(yùn)用機(jī)構(gòu)約束力和約束元素求并集的自由度分析方法進(jìn)行補(bǔ)充。黃真等[19]引入反螺旋理論以分析機(jī)構(gòu)自由度,并從約束的角度提出修正的G-K公式;于靖軍等[20]在對(duì)約束線等效簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)上,運(yùn)用約束求并的思想建立了自由度分析的圖譜法;Li等[21]在幾何代數(shù)的框架下,基于約束求并思路提出了一種少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度分析方法,并利用幾何代數(shù)外積性質(zhì)判別和剔除冗余約束。顯然,約束求并思想在內(nèi)部約束復(fù)雜的機(jī)構(gòu)自由度分析中具有一定優(yōu)勢(shì),且其對(duì)運(yùn)動(dòng)求交思想的局限性進(jìn)行了有效擴(kuò)展[22]。

綜上,基于運(yùn)動(dòng)求交與約束求并思想的自由度分析方法各有優(yōu)勢(shì),結(jié)合兩種自由度分析思路在各自應(yīng)用場(chǎng)景中的特點(diǎn),本文建立了兩種自由度分析方法的統(tǒng)一表達(dá)形式,并提出了一種綜合運(yùn)動(dòng)求交和約束求并的機(jī)構(gòu)自由度分析方法,主要包括:借助數(shù)學(xué)符號(hào)描述機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特征和約束特征,明確分支和動(dòng)平臺(tái)相關(guān)參數(shù)的表示形式,闡述自由度分析求解的基本步驟;基于圖譜法的線圖元素清晰、直接的表達(dá)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)和約束的關(guān)系,從避開過約束的角度提出基于運(yùn)動(dòng)求交的機(jī)構(gòu)自由度分析方法;面向多自由度分支組成的并聯(lián)機(jī)構(gòu),將過約束視作一般約束,提出基于約束求并的機(jī)構(gòu)自由度分析方法;建立綜合運(yùn)動(dòng)求交與約束求并的機(jī)構(gòu)自由度分析方法,并通過兩種典型的機(jī)構(gòu)算例驗(yàn)證了其應(yīng)用于復(fù)雜機(jī)構(gòu)自由度分析的高效性和實(shí)用性。

1 自由度分析參數(shù)定義

1.1 基本概念

(1) 定義構(gòu)件L相對(duì)構(gòu)件M的構(gòu)件參數(shù)表示為

位置參數(shù)中α-Sa、β-Sb、γ-Sc可替換為α-li、β-lj、γ-lm,表示α、β、γ轉(zhuǎn)動(dòng)軸線經(jīng)過直線li、lj、lm;或者替換為α?AB、β?CD、γ?EF,表示α、β、γ轉(zhuǎn)動(dòng)軸線屬于平面AB、CD、EF?！?”符號(hào)表示屬于,“AB”符號(hào)表示包含AB的平面。規(guī)定若轉(zhuǎn)動(dòng)軸線位置是任意的,則在位置參數(shù)中不進(jìn)行表示。

根據(jù)上述構(gòu)件參數(shù)的定義,給出以下其他參數(shù)定義:

① 分支參數(shù):并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)、第k條分支、 定平臺(tái)構(gòu)成開式運(yùn)動(dòng)鏈,其中動(dòng)平臺(tái)相對(duì)定平臺(tái)的構(gòu)件參數(shù)稱為分支參數(shù),記作Gk,表示分支k輸出的運(yùn)動(dòng)空間;

② 動(dòng)平臺(tái)參數(shù):對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu),動(dòng)平臺(tái)相對(duì)定 平臺(tái)的構(gòu)件參數(shù)稱為動(dòng)平臺(tái)參數(shù),記作GB,表示動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)空間。

(2) 定義構(gòu)件L相對(duì)構(gòu)件M的構(gòu)件約束參數(shù)表示為

位置參數(shù)中x-Sa、y-Sb、z-Sc可替換為x-li、y-lj、z-lm,表示約束力x、y、z經(jīng)過直線li、lj、lm;或者替換為x?AB、y?CD、z?EF,表示約束力x、y、z在平面AB、CD、EF上。規(guī)定若約束力的位置是任意的,則在位置參數(shù)中不進(jìn)行表示。

根據(jù)上述構(gòu)件約束參數(shù)的定義,給出以下分支約束參數(shù)和動(dòng)平臺(tái)約束參數(shù)的定義:

1.2 參數(shù)求解

(1) 分支參數(shù)的求解

分支參數(shù)包括方向參數(shù)和位置參數(shù),其中方向參數(shù)可由分支螺旋系的二次反螺旋表示的運(yùn)動(dòng)方向確定;位置參數(shù)可通過二次反螺旋表示的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線位置得到。

(2) 分支約束參數(shù)的求解

分支約束參數(shù)也包括方向參數(shù)和位置參數(shù),其中方向參數(shù)由分支螺旋系的反螺旋表示的約束力和約束力偶方向確定;位置參數(shù)通過反螺旋表示的約束力位置得到。

2 運(yùn)動(dòng)求交方法

利用運(yùn)動(dòng)求交方法展開自由度分析過程,借助交空間中向量表示法[23]以及圖譜法中的線圖元素以數(shù)形結(jié)合的方式建立角速度求交規(guī)則和線速度求交規(guī)則,同時(shí)清晰的闡述自由度分析過程。

2.1 基本求交規(guī)則

在全局坐標(biāo)系下對(duì)所有分支參數(shù)求交,若分支參數(shù)中的第i個(gè)位置的速度元素為“0”,那么求交結(jié)果的第i個(gè)位置元素為“0”,若分支參數(shù)中存與第i個(gè)位置元素耦合的元素,則求交結(jié)果在耦合元素位置的元素也為“0”。

例如:

式中:G1的第2、3、5、6個(gè)位置的元素為“0”,G2的第3、4、5、6個(gè)位置的元素為“0”,則求交結(jié)果第2、3、4、5、6個(gè)位置的元素為“0”。G2的α1、β1元素的上角標(biāo)相同,表示相互耦合,因此求交結(jié)果第1個(gè)位置的元素為“0”。

2.2 角速度元素求交規(guī)則

在圖譜法理論中,表示機(jī)構(gòu)自由度和約束的圖譜元素集合稱為線圖。

圖譜元素如表1所示,約束線用點(diǎn)劃線表示,其中點(diǎn)劃線、兩端帶箭頭點(diǎn)劃線的物理意義分別為約束力、約束力偶,約束線圖由約束線張成;自由度線用直線表示,其中直線、兩端帶箭頭直線的物理意義分別為轉(zhuǎn)動(dòng)自由度、移動(dòng)自由度,自由度線圖由自由度線張成。直線和帶箭頭的直線分別對(duì)應(yīng)螺旋理論的線矢量、偶量。

表1 圖譜元素表示

在圖譜法理論中,一對(duì)相交的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度線可確定徑向線圓盤,如圖1所示?？臻g內(nèi)匯交的三條轉(zhuǎn)動(dòng)自由度線可確定徑向線球,如圖2所示。

基于上述圖譜法理論,角速度元素求交的過程可概括為首先在機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖上對(duì)角速度元素對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度線進(jìn)行標(biāo)記,得到每個(gè)分支轉(zhuǎn)動(dòng)自由度線在空間中的分布情況,然后可知各分支內(nèi)相交轉(zhuǎn)動(dòng)自由度線確定的徑向線圓盤、徑向線球,最后根據(jù)如表2所示的角速度元素求交規(guī)則確定所有分支轉(zhuǎn)動(dòng)自由度線的交集空間,交集空間的基對(duì)應(yīng)的角速度元素即為求交結(jié)果。

▲圖1 一對(duì)相交轉(zhuǎn)動(dòng)圖譜分析

▲圖2 空間內(nèi)匯交圖譜分析

表2 角速度元素求交規(guī)則

2.3 線速度元素求交規(guī)則

為了對(duì)線速度元素求交,首先介紹交空間中向量表示法:已知V1=L(a1,a2,…,ar)、V2=L(b1,b2,…,bs)是數(shù)域F上的n維子空間,a1,a2,…,ar是V1的基,b1,b2,…,bs是V2的基,存在x1,x2,…,xr,y1,y2m…,ys∈F,建立齊次線性方程組為

x1a1+x2a2+…+xrar-y1b2-…-ysbs=0

(2)

該齊次線性方程組系數(shù)矩陣為[a1a2…ar-b1-b2…-bs]。若方程組僅存在零解,則V1∩V2為空,若V1∩V2存在非零解,齊次方程組的基礎(chǔ)解系為

(3)

齊次方程組的解χ1、χ2、…χn為

(4)

借助上述交空間中向量表示法,建立線速度元素求交規(guī)則。不妨假設(shè)在全局坐標(biāo)系下,并聯(lián)機(jī)構(gòu)分支參數(shù)Gk中方向參數(shù)表示的線性無關(guān)的線速度為vk1、vk2、…、vkn(n≤3),則分支k輸出的移動(dòng)空間為Vk=L(vk1,vk2,…,vkn)。

于是建立線速度元素求交規(guī)則:若已知所有分支輸出的移動(dòng)空間V1、V2、…、Vk交集的基,則基中的列向量表示的線速度元素為分支參數(shù)中的線速度元素的求交結(jié)果。

移動(dòng)空間V1、V2、…、Vk交集的基可由交空間中向量表示法兩兩求交獲得,具體過程如下:

所有分支輸出移動(dòng)空間的交集為

V1∩V2∩…Vk={…[(V1∩V2)∩V3]…}∩Vk

(5)

根據(jù)交空間中向量表示法求出V1∩V2的基ε1,以基ε1建立移動(dòng)空間Vε1,此時(shí)式(5)變?yōu)?/p>

V1∩V2∩…Vk={…[(Vε1∩V3)∩V4]…}∩Vk

(6)

然后同理可得Vε1∩V3的基ε2,以基ε2建立運(yùn)動(dòng)空間Vε2,那么

V1∩V2∩…Vk={…[(Vε2∩V4)∩V5]…}∩Vk

(7)

以此類推可知:

V1∩V2∩…Vk=Vεk-2∩Vk

(8)

根據(jù)交空間中向量表示法求得Vεk-2∩Vk的基εk-1,εk-1為V1、V2、…、Vk交集的基。

基于圖譜法中轉(zhuǎn)動(dòng)軸線位置的推論確定完整的分支參數(shù),根據(jù)分支參數(shù)的求交規(guī)則可確定動(dòng)平臺(tái)參數(shù),得到機(jī)構(gòu)末端件自由度的符號(hào)解,即得到機(jī)構(gòu)末端件自由度分析的運(yùn)動(dòng)求交方法。

3 約束求并方法

利用約束求并方法展開自由度分析過程,以分支約束參數(shù)為出發(fā)點(diǎn)建立相應(yīng)的求并規(guī)則,使用相同的數(shù)學(xué)符號(hào)和幾何元素闡述求解過程,明確運(yùn)動(dòng)和約束之間的關(guān)系,間接確定動(dòng)平臺(tái)的方向和位置。

3.1 分支約束參數(shù)

分支約束參數(shù)求并規(guī)則包括約束力偶元素、約束力元素求并規(guī)則兩部分。

(1) 約束力偶元素求并規(guī)則

在全局坐標(biāo)系下,以分支約束參數(shù)中約束力偶元素為基構(gòu)建約束力偶空間。各個(gè)分支的約束力偶空間的并集為動(dòng)平臺(tái)的約束力偶空間。動(dòng)平臺(tái)的約束力偶空間的基是所有分支約束力偶空間的基組成的矩陣的極大無關(guān)組,對(duì)應(yīng)的約束力偶元素可作為各分支約束參數(shù)中約束力偶元素的求并結(jié)果。

則求解過程可以描述為在全局坐標(biāo)系下,將所有分支約束參數(shù)中約束力偶元素表示的約束力偶作為列向量組成矩陣,通過線性列變換求矩陣的極大無關(guān)組,則極大無關(guān)組列向量對(duì)應(yīng)的約束力偶元素為求并結(jié)果。

(2) 約束力元素求并規(guī)則

在不考慮約束力空間位置的情況下,類比約束力偶元素求并規(guī)則,建立約束力元素求并規(guī)則一:在全局坐標(biāo)系下,將所有分支約束參數(shù)中約束力元素表示的約束力作為列向量構(gòu)成矩陣,通過線性列變換分析矩陣的極大無關(guān)組,則極大無關(guān)組列向量對(duì)應(yīng)的約束力元素為部分求并結(jié)果。

在考慮約束力空間位置的情況下,建立約束力元素求并規(guī)則二:基于圖譜法,在機(jī)構(gòu)圖上標(biāo)記出約束力元素表示的力約束線,根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線與約束力相交或平行的位置關(guān)系,判斷是否存在被約束的轉(zhuǎn)動(dòng),若存在被約束的轉(zhuǎn)動(dòng),則約束力元素求并結(jié)果包括被約束轉(zhuǎn)動(dòng)方向的約束力偶元素。

3.2 動(dòng)平臺(tái)約束參數(shù)

將過約束視為一般約束,避開對(duì)過約束進(jìn)行特殊分析計(jì)算,根據(jù)運(yùn)動(dòng)空間與約束空間的對(duì)偶關(guān)系、轉(zhuǎn)動(dòng)軸線與約束力的位置關(guān)系,基于線性變換理論、圖譜法,建立了分支約束參數(shù)的求并規(guī)則。

4 自由度分析實(shí)例

▲圖3 3-RSR機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

基于運(yùn)動(dòng)求交與約束求并兩種自由度分析方法的統(tǒng)一表達(dá)形式、各自求交規(guī)則以及不同使用場(chǎng)景,分析兩者應(yīng)用于不同運(yùn)動(dòng)與約束關(guān)系機(jī)構(gòu)時(shí)自由度分析方法的有效性與差異性。

3-RSR機(jī)構(gòu)如圖3所示,機(jī)構(gòu)的三條分支對(duì)稱布置,球副連接的上下連桿長(zhǎng)度相等。分支一坐標(biāo)系o1-x1y1z1的原點(diǎn)與球副中心重合,x1軸沿轉(zhuǎn)動(dòng)副方向,z1軸豎直向上,y1軸由右手定則確定。其它分支坐標(biāo)系建立方式與分支一相同。直線l1、l2、l3經(jīng)過球心且沿各分支轉(zhuǎn)動(dòng)副方向。

4.1 運(yùn)動(dòng)求交分析

分支一螺旋系為

(9)

分支一的二次反螺旋系為

(10)

(11)

由于同三條分支完全相同,理可知在各分支坐標(biāo)系系下,分支約束參數(shù)G2、G3為

(12)

在分支參數(shù)通過螺旋理論計(jì)算得到后,使用分支參數(shù)求交規(guī)則分析機(jī)構(gòu)末端件自由度。

動(dòng)平臺(tái)參數(shù)GB為所有分支參數(shù)的交集,表示為

(13)

▲圖4 3-RSR機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度線示意圖

首先對(duì)角速度元素求交,各分支角速度元素對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度線如圖4所示。

轉(zhuǎn)動(dòng)自由度線G1(α)的位置任意,G1(β)經(jīng)過直線l1,G1(α)與G1(β)能在平面l1l2上任意一點(diǎn)相交,可確定在平面l1l2上任意位置的徑向線圓盤,同理G2(α)與G2(β)、G3(α)與G3(β)可確定在平面l1l2上任意位置的徑向線圓盤。因此根據(jù)角速度元素求交規(guī)則2,交集空間為平面l1l2內(nèi)的徑向線圓盤,如圖5所示。

▲圖5 3-RSR機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度線交集空間

建立全局坐標(biāo)系O-XYZ如圖5所示,原點(diǎn)O位于定平臺(tái)中心,Y軸平行于分支二的轉(zhuǎn)動(dòng)副,Z軸豎直向上。轉(zhuǎn)動(dòng)自由度線交集空間的基為平面l1l2內(nèi)X、Y方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度線,對(duì)應(yīng)的角速度元素為α、β,因此角速度元素求交結(jié)果為且α?l1l2、β?

式中:v11、v21、v31分別沿各分支坐標(biāo)系的y1、y2、y3方向。分支輸出移動(dòng)空間的交集為V1∩V2∩V3=V1∩(V2∩V3)。由交空間中向量表示法導(dǎo)出V1∩V2對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為

(14)

(15)

以ε1為基建立運(yùn)動(dòng)空間Vε1,由交空間中向量表示法導(dǎo)出Vε1∩V3對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為

(16)

(17)

(18)

動(dòng)平臺(tái)參數(shù)GB是機(jī)構(gòu)末端動(dòng)平臺(tái)自由度的符號(hào)解,表示動(dòng)平臺(tái)具有X、Y方向的轉(zhuǎn)動(dòng)及Z方向的移動(dòng),且轉(zhuǎn)動(dòng)軸線位于平面l1l2上。

4.2 約束求并分析

已知分支一螺旋系如式(24)所示,反螺旋為

(19)

(20)

(21)

(22)

進(jìn)行線性列變換,變換為

▲圖6 3-RSR機(jī)構(gòu)的力約束線圖

在機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖上表示約束力元素對(duì)應(yīng)的力約束線,如圖6所示。

(23)

(24)

根據(jù)式(18)與式(24)可知,使用約束求并方法得到的動(dòng)平臺(tái)參數(shù)GB與采用運(yùn)動(dòng)求交方法分析得到的結(jié)果一致。但采用約束求并的分析方法可直接得到此機(jī)構(gòu)Z方向轉(zhuǎn)動(dòng)被約束的結(jié)論,且求解過程相對(duì)簡(jiǎn)單,這充分顯示了約束求并思想在機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動(dòng)耦合、分支不明確以及分支數(shù)目多等情況下自由度分析的優(yōu)越性。

上述典型機(jī)構(gòu)自由度分析過程體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)求交與約束求并方法分別應(yīng)用于同一約束性質(zhì)機(jī)構(gòu)時(shí)的差異性與適應(yīng)性。結(jié)果表明,兩者均以直觀的符號(hào)作為表現(xiàn)形式,建立了邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊?guī)則,減小了符號(hào)運(yùn)算難度,易于理解和使用;且驗(yàn)證了綜合運(yùn)動(dòng)求交與約束求并方法面對(duì)復(fù)雜機(jī)構(gòu)自由度分析的高效性及其避開過約束計(jì)算的有效性。

5 結(jié)論

(1) 針對(duì)因機(jī)構(gòu)中過約束的存在而導(dǎo)致自由度的理論計(jì)算與實(shí)際運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)矛盾的問題,提出一種綜合運(yùn)動(dòng)求交與約束求并的自由度分析方法。借助數(shù)學(xué)符號(hào)描述了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特征和約束特征,明確了分支和動(dòng)平臺(tái)相關(guān)參數(shù)的表示形式,并闡述了自由度分析求解的基本步驟。

(2) 基于圖譜法的線圖元素清晰、直接的表達(dá)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)和約束的關(guān)系,從避開過約束的角度提出基于運(yùn)動(dòng)求交的機(jī)構(gòu)自由度直接分析方法與基于約束求并的機(jī)構(gòu)自由度間接分析方法,根據(jù)機(jī)構(gòu)分支運(yùn)動(dòng)與約束的特點(diǎn)選擇相應(yīng)的計(jì)算方法。

(3) 統(tǒng)一了兩種自由度分析方法的表達(dá)形式,建立了綜合運(yùn)動(dòng)求交與約束求并的機(jī)構(gòu)自由 度分析方法,并通過典型機(jī)構(gòu)算例驗(yàn)證了其應(yīng)用于復(fù)雜機(jī)構(gòu)自由度分析的高效性和實(shí)用性。該方法計(jì)算簡(jiǎn)單,邏輯嚴(yán)謹(jǐn),不僅為含過約束機(jī)構(gòu)的自由度求解提供了思路,也為后續(xù)的機(jī)構(gòu)綜合研究提供了參考。