蒲興龍 ，何天虎 ，朱前坤 ，杜永峰

（1.蘭州理工大學(xué) 防震減災(zāi)研究所，甘肅 蘭州，730050；2.河西學(xué)院 土木工程學(xué)院，甘肅 張掖，734000；3.蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院，甘肅 蘭州，730050）

隨著材料科學(xué)的發(fā)展，結(jié)構(gòu)的取材趨于輕質(zhì)、高強(qiáng)，輕質(zhì)樓蓋相比其他傳統(tǒng)樓蓋，其質(zhì)量更輕，更容易產(chǎn)生振動(dòng)舒適度問(wèn)題［1-4］.因此，在設(shè)計(jì)輕質(zhì)樓蓋時(shí)，要考慮因?yàn)槿酥抡駝?dòng)而引起的舒適度問(wèn)題.

輕質(zhì)樓蓋的日益增多，導(dǎo)致在行人荷載作用下，其人致振動(dòng)問(wèn)題日益突出，有必要對(duì)過(guò)量振動(dòng)采取相應(yīng)的減振措施［5］.一般是在樓蓋上安裝調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（TMD）進(jìn)行減振控制.對(duì)于TMD 減振，學(xué)者們已經(jīng)做了大量的研究，陳政清等［6］總結(jié)了TMD 在渦激振動(dòng)控制中的工作性能，提出運(yùn)用多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（MTMD）理論進(jìn)行TMD 設(shè)計(jì)，提高振動(dòng)控制的魯棒性.Tubino 等［7］采用TMD 對(duì)行人引起的結(jié)構(gòu)振動(dòng)進(jìn)行了控制.李亞明等［8］采用TMD 對(duì)樓蓋懸挑區(qū)域進(jìn)行控制，TMD 減振效率達(dá)到59%.朱前坤等［9］利用3-DOF TMD 對(duì)大跨度樓蓋進(jìn)行控制，均取得了較好的減振效果.王建等［10］以實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)為例，分析了懸挑結(jié)構(gòu)人致振動(dòng)的TMD 控制.嚴(yán)俊等［11］將某實(shí)際工程作為研究對(duì)象，設(shè)置了TMD 減振系統(tǒng)，滿(mǎn)足了人對(duì)于振動(dòng)舒適度的要求.彭程［12］在大跨結(jié)構(gòu)安裝TMD，TMD 有效地降低了結(jié)構(gòu)在人致振動(dòng)下的加速度.馬斐等［13］在樓蓋指定鋼梁跨中安置TMD裝置后，有效地減小了樓蓋的振動(dòng)響應(yīng).

以上研究者在人致振動(dòng)控制中做了大量的工作，大多采用TMD 對(duì)樓蓋進(jìn)行控制，雖然得到了很好的減振效果，但對(duì)于一般辦公環(huán)境下的輕質(zhì)樓蓋，設(shè)置TMD 會(huì)影響樓蓋的利用空間，并且會(huì)導(dǎo)致樓蓋不美觀，對(duì)使用者在感觀上造成不舒適感.本文以辦公環(huán)境為例，考慮輕質(zhì)樓蓋-行人相互作用，用DQIQ 法處理建立的行人-樓蓋-感知者耦合振動(dòng)控制方程，采用彈性約束，選取不同剛度系數(shù)對(duì)輕質(zhì)樓蓋人致振動(dòng)進(jìn)行控制，并與輕質(zhì)樓蓋在四邊鉸接時(shí)采用單個(gè)TMD 控制進(jìn)行比較，最后采用概率的方法對(duì)輕質(zhì)樓蓋振動(dòng)舒適度進(jìn)行了評(píng)估.

1 行人-樓蓋-感知者全路徑耦合振動(dòng)方程

在結(jié)構(gòu)空間內(nèi)，人們以行走、坐立和平躺為主，而辦公環(huán)境以行走和坐立居多.行走的人作為激勵(lì)，樓蓋作為傳播介質(zhì)，坐立的人作為感知者，這樣就形成了行人-樓蓋-感知者全路徑耦合振動(dòng)，而行走引起樓蓋過(guò)大的振動(dòng)會(huì)使得坐立的人感到不舒適.

1.1 耦合振動(dòng)方程的建立

本文以全路徑振動(dòng)作為模型，考慮行人-結(jié)構(gòu)相互作用.其中，行人為具有mh-ch-kh單自由度的生物力學(xué)模型，其符號(hào)分別表示行人的質(zhì)量、阻尼和剛度.具體計(jì)算表達(dá)式可由三個(gè)經(jīng)驗(yàn)方程得到［14］.坐立的人（感知者）用mhp、chp和khp（分別表示質(zhì)量、阻尼和剛度）組成的單自由度動(dòng)力系統(tǒng)表示.圖1 為全路徑耦合振動(dòng)示意圖.

圖1 全路徑耦合振動(dòng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of full path coupled vibration

對(duì)樓蓋分別用i、j將兩個(gè)方向進(jìn)行劃分.其耦合振動(dòng)方程可以表示為：

1.2 邊界條件

圖2為四邊彈性約束樓蓋示意圖.

圖2 四邊彈性約束板Fig.2 Plate with four edges elastically restrained

樓蓋的彈性約束表達(dá)如下.

在X=0和X=1處：

式中：Rx0和Rxa分別為X=0 和X=1 處的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，Ry0和Ryb分別為Y=0 和Y=1 處的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度.當(dāng)Rx0=Rxa=Ry0=Ryb=0 時(shí)，可表示鉸接；當(dāng)Rx0=Rxa=Ry0=Ryb=∞時(shí)，可表示固結(jié).但在實(shí)際的計(jì)算中，考慮樓蓋的對(duì)稱(chēng)性，令，其取一個(gè)較大值，計(jì)算得到結(jié)構(gòu)的基頻與固結(jié)時(shí)的基頻已較為接近，例如η=1 000 ～2 000.

2 耦合控制方程的離散化與求解

2.1 微分求積法-積分求積法

微分求積法（DQ）是以加權(quán)和的形式表達(dá)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).積分求積法（IQ）是以積分的近似值表示被積函數(shù)的線性組合.已有學(xué)者對(duì)微分求積法進(jìn)行了闡述［17-19］，并將兩種方法結(jié)合運(yùn)用［20-21］，求解了梁和板的動(dòng)力響應(yīng).

2.2 控制方程的離散化

通過(guò)DQ法、IQ法，對(duì)方程（1）進(jìn)行離散化，可得：

2.3 控制方程的求解

將彈性約束代入控制方程得：

式中：C1～C3為權(quán)系數(shù).

式（2）、式（3）和式（9）聯(lián)合得到矩陣表達(dá)式：

式中：M、C和K分別為耦合系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；F是荷載向量；u(t)為耦合系統(tǒng)的位移向量.采用Newmark -β法可求解耦合系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng).需要說(shuō)明的是，為了得到更為精確的荷載模型，針對(duì)人行荷載向量進(jìn)行了進(jìn)一步精細(xì)化［21］.

3 算例分析

本文以CFS 輕質(zhì)組合樓蓋為例，具體參數(shù)為a=8.4 m，b=7.2 m，h=0.158 5 m，樓蓋質(zhì)量m=5 435.6 kg，H=0，Dx=8.95 × 106N·m，Dy=1.30 × 105N·m.通過(guò)TMD 參數(shù)計(jì)算公式［5-6］，計(jì)算得到樓蓋模態(tài)質(zhì)量mf=2 717.80 kg，TMD的質(zhì)量、剛度和阻尼分別為md=54.36 kg、kd=104 531.95 N/m 和cd=408.80 N·s/m，其中μ=0.02.本文行人步頻采用均值為1.87 Hz，標(biāo)準(zhǔn)差為0.173，步頻范圍取1.3～2.4 Hz［23］.圖3 給出了行人在不同步頻下的概率密度曲線.

圖3 步頻概率密度曲線Fig.3 Probability density curve of normal step frequency

3.1 對(duì)樓蓋與感知者動(dòng)力響應(yīng)的控制

計(jì)算得到輕質(zhì)樓蓋的前三階自振頻率分別為7.119 0 Hz、8.402 5 Hz 和12.526 9 Hz.當(dāng)行人步頻為結(jié)構(gòu)基頻的倍數(shù)時(shí)，結(jié)構(gòu)容易產(chǎn)生共振現(xiàn)象.本文采用上述的人行荷載模型，分別計(jì)算了行人以共振步頻2.374 0 Hz（1/3 的結(jié)構(gòu)基頻）行走時(shí)，在四邊鉸接輕質(zhì)樓蓋采用TMD 控制和采用彈性約束控制前后樓蓋與感知者的動(dòng)力響應(yīng).

3.1.1 采用TMD減振

圖4為采用TMD控制時(shí)樓蓋的加速度響應(yīng)對(duì)比.從圖4（a）可看出，在控制前加速度峰值為0.366 9 m/s2，控制后加速度峰值為0.281 8 m/s2，減小23.19%；圖4（b）為控制前后樓蓋傅里葉譜值圖，其值減小23.20%.圖5 為采用TMD 控制時(shí)感知者的加速度響應(yīng)對(duì)比，從圖5（a）中得到，在控制前感知者加速度峰值為0.393 2 m/s2，控制后加速度峰值為0.298 6 m/s2，減小24.06%，圖5（b）為控制前后感知者傅里葉譜值圖，其值減小23.38%.圖6給出了TMD 減振前后樓蓋與感知者的加速度1-s均方根對(duì)比曲線.

圖4 TMD控制時(shí)樓蓋的加速度響應(yīng)對(duì)比Fig.4 Comparison of acceleration response of floor under TMD Control

圖5 TMD控制時(shí)感知者的加速度響應(yīng)對(duì)比Fig.5 Comparison of acceleration response of receiver under TMD control

圖6 TMD控制時(shí)加速度1-s均方根對(duì)比Fig.6 Comparison of 1-s RMS acceleration under TMD control

3.1.2 采用彈性約束減振

圖7 為以彈性約束邊界減振時(shí)，樓蓋與感知者加速度響應(yīng).對(duì)比發(fā)現(xiàn)，在采用TMD 減振后，樓蓋與感知者的加速度峰值均大于規(guī)范限值0.05 m/s2，并且只能將加速度峰值減小到某一定值.當(dāng)采用彈性約束減振時(shí)，隨著剛度系數(shù)的增大，樓蓋與感知者的加速度峰值逐漸減小，剛度系數(shù)在0～4 之間，加速度峰值減小最為迅速，由此也說(shuō)明可通過(guò)調(diào)節(jié)剛度系數(shù)的大小，使得樓蓋與感知者加速度峰值滿(mǎn)足規(guī)范要求.此時(shí)，由計(jì)算結(jié)果可知，當(dāng)剛度系數(shù)分別取6.3和6.9 時(shí)，樓蓋與感知者加速度峰值小于規(guī)范限值0.05 m/s2，可達(dá)到較好的減振效果.從樓蓋與感知者加速度峰值在滿(mǎn)足要求時(shí)剛度系數(shù)的取值來(lái)看，當(dāng)剛度系數(shù)為6.3 時(shí)，樓蓋加速度峰值滿(mǎn)足限值要求，而對(duì)于感知者來(lái)說(shuō)，此時(shí)的加速度峰值依然大于限值，說(shuō)明在同等條件下感知者產(chǎn)生的動(dòng)力響應(yīng)大于樓蓋的動(dòng)力響應(yīng)，更容易產(chǎn)生舒適度問(wèn)題.因此有必要增加感知者的加速度峰值作為評(píng)估的參考依據(jù)之一，或者建立樓蓋與感知者加速度峰值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，來(lái)評(píng)估樓蓋的舒適度.

3.2 樓蓋與感知者的概率分布

本文通過(guò)已有概率計(jì)算方法［23］，計(jì)算行人以不同步頻行走在樓蓋時(shí)加速度峰值的概率分布.

3.2.1 TMD控制時(shí)的概率分布

圖8 為行人在不同步頻下樓蓋與感知者加速度峰值曲線.從圖8 中可看出，在相同步頻下，感知者加速度峰值均大于樓蓋，由此也說(shuō)明了在相同條件下，感知者較樓蓋更容易產(chǎn)生舒適度問(wèn)題.圖9 為T(mén)MD控制下樓蓋加速度峰值概率分布和累計(jì)概率分布.以0.05 m/s2為舒適度限值，此時(shí)樓蓋滿(mǎn)足舒適度的概率為12.94%.圖10為T(mén)MD控制下感知者加速度峰值概率分布和累計(jì)概率分布，此時(shí)感知者滿(mǎn)足舒適度的概率為6.98%.隨著步頻的變化，行人步頻的倍數(shù)與樓蓋基頻一致或者接近樓蓋基頻時(shí)會(huì)導(dǎo)致樓蓋產(chǎn)生共振，而感知者自身同樣具有一定的振動(dòng)頻率，由此使得位于樓蓋上的感知者產(chǎn)生較大的動(dòng)力響應(yīng).觀察圖10 可看出，感知者的加速度響應(yīng)峰值變化主要在0.05～0.15 m/s2之間出現(xiàn)，這與樓蓋加速度峰值概率分布情況基本一致.從概率的角度同樣可以看出感知者較樓蓋更容易產(chǎn)生舒適度問(wèn)題.

圖8 行人在不同步頻下樓蓋與感知者加速度峰值曲線Fig.8 Acceleration peak curve of floor and receiver under different step frequency

圖9 TMD控制下樓蓋加速度峰值概率分布Fig.9 Probability distribution of peak acceleration of floor under TMD control

圖10 TMD控制下感知者加速度峰值概率分布Fig.10 Probability distribution of peak acceleration of receiver under TMD control

3.2.2 彈性約束控制時(shí)的概率分布

圖11 為選取不同剛度系數(shù)時(shí)，行人以所取步頻范圍內(nèi)的步頻行走，統(tǒng)計(jì)樓蓋與感知者在同一剛度系數(shù)不同步頻下加速度峰值的較大者.由此也可以發(fā)現(xiàn)，在不同步頻下產(chǎn)生的加速度峰值感知者大于樓蓋.圖12 和圖13 分別為彈性約束控制下，滿(mǎn)足舒適度限值0.05 m/s2時(shí)樓蓋和感知者的累計(jì)概率分布.可以看出，通過(guò)增大剛度系數(shù)，滿(mǎn)足舒適度的累計(jì)概率逐漸提高.在剛度系數(shù)為0 時(shí)，滿(mǎn)足舒適度的概率為最小.由此可看出，采用彈性約束控制使得樓蓋與感知者滿(mǎn)足舒適度的概率有了很大的提高，在剛度系數(shù)取6.9 時(shí)，兩者累計(jì)概率均達(dá)到100%.從概率的角度同樣說(shuō)明彈性約束控制能夠在很大程度上提高樓蓋與感知者的舒適度.可設(shè)計(jì)彈性約束連接裝置，通過(guò)調(diào)節(jié)剛度系數(shù)以滿(mǎn)足舒適度要求.也可為轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的選取提供一定參考.

圖11 不同剛度系數(shù)下在不同步頻行走時(shí)統(tǒng)計(jì)的樓蓋與感知者的最大加速度峰值曲線Fig.11 Curves of maximum peak acceleration of the floor and the receiver for different stiffness coefficients at different walking step frequencies

圖12 不同剛度系數(shù)下樓蓋滿(mǎn)足要求的累計(jì)概率分布Fig.12 Cumulative probability distribution of floor meeting requirements under different stiffness coefficients

圖13 不同剛度系數(shù)下感知者滿(mǎn)足要求的累計(jì)概率分布Fig.13 Cumulative probability distribution of receiver meeting requirements under different stiffness coefficients

從以上分析可看出，彈性約束控制可通過(guò)調(diào)節(jié)剛度系數(shù)，有效地減小樓蓋與感知者的加速度峰值.從概率的角度也可以看出，彈性約束控制能在很大程度上提高樓蓋與感知者的舒適度概率.同等條件下加速度峰值滿(mǎn)足限值的累計(jì)概率，感知者的均小于樓蓋，因此對(duì)于樓蓋的舒適度評(píng)判不能只考慮樓蓋，也要將感知者的響應(yīng)考慮進(jìn)去，建立樓蓋與感知者加速度峰值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，來(lái)評(píng)估樓蓋的舒適度，即行人-樓蓋-感知者全路徑樓蓋人致振動(dòng)舒適度評(píng)估方法.

4 結(jié)論

本文以辦公環(huán)境為例，考慮感知者、行人和結(jié)構(gòu)三者相互的動(dòng)力耦合作用，形成行人-樓蓋-感知者全路徑耦合振動(dòng)模式，通過(guò)建立全路徑耦合振動(dòng)方程并用DQ-IQ法進(jìn)行處理，采用彈性約束，選取不同剛度系數(shù)對(duì)樓蓋人致振動(dòng)進(jìn)行控制，并與樓蓋在四邊鉸接時(shí)采用單個(gè)TMD 控制進(jìn)行比較，最后采用概率的方法對(duì)輕質(zhì)樓蓋振動(dòng)舒適度進(jìn)行了評(píng)估.得到的主要結(jié)論為：

1）對(duì)于輕質(zhì)樓蓋，采用彈性約束邊界，樓蓋滿(mǎn)足舒適度要求的概率由13.57%增加至86.98%，感知者的舒適度概率由11.75%增加至79.86%.因此，通過(guò)調(diào)節(jié)剛度系數(shù)可以有效降低樓蓋的動(dòng)力響應(yīng)，極大限度地提高舒適度概率，對(duì)樓蓋進(jìn)行減振控制有很好的實(shí)用價(jià)值.同樣可以改善由于TMD 設(shè)置產(chǎn)生的樓蓋不美觀現(xiàn)象.

2）在考慮人致振動(dòng)時(shí)，感知者相對(duì)于結(jié)構(gòu)在同等條件下更容易產(chǎn)生舒適度問(wèn)題，在剛度系數(shù)取2時(shí)，樓蓋的舒適度概率為68.80%，而感知者的舒適度概率僅為57.97%，相差10.83%.建議在對(duì)樓蓋進(jìn)行舒適度評(píng)估時(shí)將感知者的響應(yīng)考慮進(jìn)去，以更好地滿(mǎn)足樓蓋舒適度要求.

3）在評(píng)估振動(dòng)舒適度時(shí)，為更有效地評(píng)估樓蓋舒適度，建議采用行人-樓蓋-感知者全路徑樓蓋人致振動(dòng)舒適度評(píng)估方法.