廣東省深圳大學(xué)附屬教育集團(tuán)后海小學(xué) 楊凌會(huì)

北師大版數(shù)學(xué)教材會(huì)使用點(diǎn)子圖幫助學(xué)生理解算理。但很多一線教師反映，不用點(diǎn)子圖，僅用橫式展示計(jì)算過程，大部分學(xué)生能夠掌握計(jì)算方法并正確計(jì)算，用了點(diǎn)子圖后有的學(xué)生反而會(huì)覺得更難，尤其是讓學(xué)生獨(dú)立在點(diǎn)子圖上圈一圈，再寫出相應(yīng)的計(jì)算過程時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“牛頭不對(duì)馬嘴”的現(xiàn)象。教材中為什么要加入點(diǎn)子圖？在點(diǎn)子圖上花時(shí)間值得嗎？本文將從結(jié)構(gòu)化的角度，梳理北師大版數(shù)學(xué)教材中運(yùn)用的點(diǎn)子圖的類型，分析點(diǎn)子圖在整數(shù)乘法教學(xué)中的意義與價(jià)值。

一、整數(shù)乘法教學(xué)運(yùn)用點(diǎn)子圖的類型

（一）乘法意義的直觀表達(dá)

在二年級(jí)上冊(cè)“分一分與除法”這個(gè)單元里，學(xué)生初步認(rèn)識(shí)乘法后，教材專門安排了“有多少點(diǎn)子”一課，建立乘法的直觀模型，幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固對(duì)乘法意義的理解。從生活中的實(shí)物到點(diǎn)子圖，雖然都是直觀的表達(dá)方式，但點(diǎn)子圖是對(duì)具體事物的抽象表達(dá)，一個(gè)實(shí)物用一個(gè)點(diǎn)子表示，一個(gè)點(diǎn)子可以代表各類事物。點(diǎn)子圖的表達(dá)更具一般性，是具體事物抽象到數(shù)學(xué)符號(hào)的過渡，也是對(duì)數(shù)學(xué)模型的直觀表達(dá)。乘法是求幾個(gè)相同加數(shù)連加和的簡(jiǎn)便運(yùn)算，點(diǎn)子按照每行、每列數(shù)量相同的方式排列，是幾個(gè)相同加數(shù)連加的直觀表達(dá)。如7行4列，既可以表示7個(gè)4相加，也可以表示4個(gè)7相加，它們的得數(shù)相同。這不僅可以幫助學(xué)生直觀感知“交換兩個(gè)乘數(shù)的位置，積不變”，也可以讓學(xué)生直觀感知“積”的實(shí)際大小。此外，點(diǎn)子圖還可以把生活中的乘法問題抽象化，幫助學(xué)生建立乘法模型，如“1支鉛筆2元錢，5支鉛筆多少錢”，學(xué)生可以將2元錢用2個(gè)點(diǎn)子表示，5支鉛筆多少錢就可以用5行2列的點(diǎn)子表示。學(xué)生可以將其畫出來，也可以在腦中想象，從而發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)可以用乘法解決的問題。

（二）乘法口訣關(guān)系的直觀表達(dá)

在學(xué)習(xí)6的乘法口訣時(shí)，教材中運(yùn)用點(diǎn)子圖來推算“6×7”的結(jié)果，也就是用“五六三十”和“二六十二”兩句乘法口訣推算出“六七四十二”，實(shí)質(zhì)上也就是建立“6×5”和“6×2”這兩個(gè)乘法算式與“6×7”之間的關(guān)系。從表面上看，這是為了尋找記憶“六七四十二”這句口訣的方法，實(shí)質(zhì)上，一方面這是對(duì)乘法意義的鞏固理解；另一方面也是對(duì)乘法分配律的滲透。通過把一句乘法口訣拆分成兩句口訣，讓學(xué)生感知乘法可以將一個(gè)乘數(shù)拆分成兩個(gè)（或多個(gè)）部分，然后分別用乘法算出每個(gè)部分的結(jié)果，最后再把每個(gè)部分的積加起來。學(xué)習(xí)這樣拆分的方法，如果沒有點(diǎn)子圖的幫助，大部分學(xué)生只能機(jī)械地掌握拆分再算的過程，而對(duì)其意義缺乏真正的理解。這種“囫圇吞棗”的學(xué)習(xí)所造成的影響，在后面乘法分配律的理解和應(yīng)用中顯露無遺。在這個(gè)例子中，將“6×7”拆分為“6×5”和“6×2”，是在建立式與式之間的關(guān)系，用一個(gè)式子與另一個(gè)式子相加，得到一個(gè)新的式子，與原來只是針對(duì)數(shù)進(jìn)行計(jì)算相比，對(duì)二年級(jí)學(xué)生來說，是認(rèn)識(shí)上的飛躍，有一定的難度。但正是點(diǎn)子圖的直觀呈現(xiàn)，讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)演示的過程中，看到了分的過程和分的結(jié)果，建立了式子與點(diǎn)子圖之間的聯(lián)系，使學(xué)生對(duì)拆分過程有了更加深刻的理解。同時(shí)，學(xué)生在這個(gè)過程中所積累的經(jīng)驗(yàn)為后續(xù)多位數(shù)乘法和運(yùn)算律的學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（三）多位數(shù)乘法算理的直觀表達(dá)

在兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的內(nèi)容中，教材都使用了點(diǎn)子圖，用直觀的方式表達(dá)多位數(shù)乘法的算理，即可以把一個(gè)整體拆分成若干個(gè)部分，分別算出每個(gè)部分的數(shù)量，然后再把每個(gè)部分加起來。用點(diǎn)子圖展示算理，一方面能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同的算法，使其能結(jié)合直觀圖解釋算法的合理性；另一方面，能讓學(xué)生從多種方法的“異中求同”中感悟運(yùn)算中的“通理通性”，突出多位數(shù)乘法算理的本質(zhì)，即“先分后乘再合”。這個(gè)過程也充分體現(xiàn)了運(yùn)算律在多位數(shù)乘法計(jì)算中的重要作用。例如，“14×12=14×6×2”運(yùn)用了乘法結(jié)合律，而“14×12=14×10+14×2”則運(yùn)用了乘法分配律。在多位數(shù)乘法豎式的教學(xué)中，將點(diǎn)子圖與豎式的每一步一一對(duì)應(yīng)，會(huì)使學(xué)生對(duì)豎式的算理理解更加深刻，從而能將兩位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算方法拓展到兩位數(shù)乘兩位數(shù)、多位數(shù)乘兩位數(shù)，直至學(xué)生領(lǐng)悟多位數(shù)乘多位數(shù)的通法，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的融會(huì)貫通。

（四）乘法運(yùn)算律的直觀表達(dá)

在學(xué)生學(xué)習(xí)乘法分配律時(shí)，教材再次用畫點(diǎn)子圖的方式說明乘法分配律是成立的。在之前乘法口訣以及多位數(shù)乘法的學(xué)習(xí)中，教材已經(jīng)多次滲透乘法分配律，學(xué)生對(duì)這個(gè)規(guī)律已經(jīng)建立了豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。因此，用點(diǎn)子圖解釋乘法分配律，是調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生從意義上理解乘法分配律，突破學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。乘法分配律是乘法運(yùn)算中蘊(yùn)含的規(guī)律，它的學(xué)習(xí)建立在學(xué)生對(duì)乘法意義的理解，以及對(duì)“拆分后先乘再加”這一方法的感悟上，如果在前面的學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)積累了相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，那么其學(xué)習(xí)乘法分配律就沒有那么困難了。在這個(gè)過程中，點(diǎn)子圖功不可沒。從作為乘法的直觀模型入手，點(diǎn)子圖始終在幫助學(xué)生從乘法的意義的角度，理解運(yùn)算的算理，探索運(yùn)算的方法，直到學(xué)生可以用點(diǎn)子圖反過來解釋發(fā)現(xiàn)的規(guī)律?？梢哉f，點(diǎn)子圖是學(xué)生深度理解的推手。

（五）倍數(shù)與因數(shù)關(guān)系的直觀表達(dá)

在倍數(shù)與因數(shù)的學(xué)習(xí)中，點(diǎn)子圖溝通了倍數(shù)與因數(shù)和乘法之間的關(guān)系。教材從一個(gè)在二年級(jí)就已經(jīng)學(xué)過的乘法問題引入，點(diǎn)子圖所代表的乘法模型對(duì)學(xué)生來說已經(jīng)很熟悉了，而這一次關(guān)注的不僅是乘法的意義，還包括兩個(gè)乘數(shù)與積之間的關(guān)系。乘法算式用等號(hào)連接算式和積，表示兩者相等的關(guān)系，點(diǎn)子圖則直觀地展示了兩個(gè)乘數(shù)與積相互依存的關(guān)系，而這也正好是倍數(shù)與因數(shù)的本質(zhì)特征。點(diǎn)子圖既是乘法的直觀模型，也是倍數(shù)與因數(shù)的直觀模型，凡是具有倍數(shù)和因數(shù)關(guān)系的數(shù)都能用點(diǎn)子圖的模型表示。用點(diǎn)子圖表示倍數(shù)與因數(shù)的關(guān)系，有利于讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中與倍數(shù)、因數(shù)有關(guān)的問題。

以上案例列舉了點(diǎn)子圖在小學(xué)乘法學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，這些內(nèi)容相互關(guān)聯(lián)，螺旋上升，體現(xiàn)了乘法作為數(shù)學(xué)大概念在與之相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)中的統(tǒng)領(lǐng)作用，表現(xiàn)出知識(shí)學(xué)習(xí)的一致性，從結(jié)構(gòu)化的角度展示了點(diǎn)子圖在乘法學(xué)習(xí)中的作用。

二、整數(shù)乘法教學(xué)中運(yùn)用點(diǎn)子圖的意義

新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)學(xué)科實(shí)踐，利用點(diǎn)子圖等直觀方式探索數(shù)學(xué)問題，就是一種典型的數(shù)學(xué)實(shí)踐方式。它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，尤其是在小學(xué)階段，有著舉足輕重的作用。

（一）透過現(xiàn)象看本質(zhì)

乘法是“數(shù)的認(rèn)識(shí)和數(shù)的運(yùn)算”主題的核心概念，對(duì)乘法意義的理解是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，很多知識(shí)的學(xué)習(xí)都與乘法意義有緊密的聯(lián)系，很多問題的解決需要運(yùn)用乘法的意義尋找解決的方法。將點(diǎn)子圖作為乘法的直觀模型，為以乘法為基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)提供了實(shí)踐的支架，教師和學(xué)生可以借助點(diǎn)子圖，探索知識(shí)形成的過程，發(fā)掘知識(shí)的本質(zhì)。以兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法為例，它的思路可以用“（a+b）×（c+d）=a×c+a×d+b×c+b×d”表示。這種方法如果只是用算式表示，學(xué)生可以學(xué)會(huì)拆分和計(jì)算的過程，但對(duì)于其中的道理卻很難理解。有了點(diǎn)子圖（如圖1）的幫助，則使圖形和計(jì)算過程一一對(duì)應(yīng)。學(xué)生可以清晰地看到：當(dāng)兩個(gè)乘數(shù)分別被拆分成兩個(gè)數(shù)后，整體被分成了四個(gè)部分，其中每個(gè)部分正好是拆分后的數(shù)兩兩相乘的結(jié)果。這時(shí)學(xué)生就真正明白了這種方法背后蘊(yùn)藏的道理，對(duì)多位數(shù)乘法拆分后先乘后加的“通性通理”有了更加深入的理解。

圖1

對(duì)這種方法的理解，也影響到學(xué)生后續(xù)小數(shù)乘法的學(xué)習(xí)。下面是小數(shù)乘法中的一個(gè)問題，圖2中所展示的學(xué)生的方法，看似很有道理，但其實(shí)是錯(cuò)的。如何說明它是錯(cuò)誤的？錯(cuò)在哪里呢？將上面點(diǎn)子圖所呈現(xiàn)的方法遷移到這里，用面積模型來解釋，能夠讓學(xué)生清晰地看到，這樣計(jì)算的過程缺失了兩個(gè)部分沒有算，所以導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤。在小學(xué)階段，考慮到學(xué)生以形象思維為主的特點(diǎn)，沒有揭示形如“（a+b）×（c+d）=a×c+a×d+b×c+b×d”的公式，但在實(shí)際的計(jì)算中，會(huì)遇到與它相關(guān)的問題。利用直觀的點(diǎn)子圖和面積模型不僅可以解釋學(xué)生的疑惑，幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解算理，而且為其第三學(xué)段抽象出公式積累豐富的經(jīng)驗(yàn)。

圖2

（二）發(fā)展可遷移的能力

新課標(biāo)倡導(dǎo)素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂，將發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)作為課堂教學(xué)的主要目標(biāo)。核心素養(yǎng)是可遷移的能力，這種能力可被用于學(xué)習(xí)新知識(shí)和解決新問題，而且不會(huì)被遺忘。將點(diǎn)子圖引入“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)，建構(gòu)數(shù)與形的聯(lián)系，一方面能幫助學(xué)生理解、解釋與數(shù)相關(guān)的概念、數(shù)的運(yùn)算律和法則，幫助學(xué)生感悟其本質(zhì)；另一方面也能幫助學(xué)生掌握利用圖形去探究、描述、分析和解決問題的方法，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。在小學(xué)階段，除了點(diǎn)子圖以外，還有諸如數(shù)線、面積模型等多種直觀模型。這些直觀的方式為學(xué)生提供了學(xué)習(xí)的腳手架，可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也為學(xué)生分析和解決問題提供了方法與策略。例如，教學(xué)用乘法口訣求商時(shí)，由于學(xué)生已經(jīng)有用點(diǎn)子圖計(jì)算乘法、用數(shù)線計(jì)算減法的經(jīng)驗(yàn)，在提出“‘20÷4’怎樣計(jì)算”這個(gè)問題之后，學(xué)生會(huì)想到用點(diǎn)子圖圈一圈的方法解決問題，也可以想到用數(shù)線減一減的方法解決問題。在運(yùn)用了這些直觀的解決問題的方法的基礎(chǔ)上，學(xué)生發(fā)現(xiàn)計(jì)算“20÷4”等于多少，就是求20里面有幾個(gè)4，也就是4×（ ）=20，從而發(fā)現(xiàn)乘法與除法之間的聯(lián)系，找到用乘法口訣求商的方法。

點(diǎn)子圖溝通了數(shù)與形的聯(lián)系，引導(dǎo)教師和學(xué)生追求理解本質(zhì)的深度學(xué)習(xí)，對(duì)促進(jìn)學(xué)生掌握學(xué)科的基本概念、基本思想和基本方法發(fā)揮了重要的作用，這種幾何直觀能力對(duì)學(xué)生的終身學(xué)習(xí)都將產(chǎn)生深刻的影響。點(diǎn)子圖引入到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以使學(xué)習(xí)變得更加深入。