趙世華,梁 平,彭鴻雁,李再金,王映品,蔡揚儀,陳韻琪

(海南師范大學 物理與電子工程學院, 海南 ?？?571158)

0 引言

麥氏關(guān)系是將不易計算的或抽象的偏微分進行數(shù)學變換的一組方程式,變換之后的偏微分可用易測量或易計算的物理量表示,在內(nèi)能、焓、自由能、吉布斯函數(shù)等特性函數(shù)的全微分表達和等壓、等容熱容量的差值研究問題中起到了重要作用[1-2],故麥氏關(guān)系在熱力學統(tǒng)計物理中具有重要的研究意義[3]。目前熱力學系統(tǒng)的主要研究對象依然是理想氣體[4-5],故有關(guān)理想氣體麥氏關(guān)系和其他熱力學性質(zhì)的研究已較為成熟[6-7]。然而,有關(guān)均勻磁化的磁介質(zhì)麥氏關(guān)系研究卻相對較少。謝名春教授[8-9]和路瑩教授[10]分別從磁介質(zhì)系統(tǒng)4個熱力學函數(shù)的2種和4種不同定義方式出發(fā),導出了形式上不完全相同的麥氏關(guān)系,其研究方法主要是通過共軛量代換和不同的內(nèi)能定義來進行的,都沒有從熱力學函數(shù)本身的定義式中直接推演出麥氏關(guān)系,而且推導過程中并沒有考慮體積是否變化。熱容量是描述一個系統(tǒng)吸、放熱本領(lǐng)的物理量,有關(guān)簡單系統(tǒng)的熱容量研究相對成熟[1],但是在磁介質(zhì)中研究熱容量,尤其是在磁場強度和磁化強度不變時的磁介質(zhì)熱容量研究卻很少報道,這不利于磁介質(zhì)系統(tǒng)相關(guān)熱力學問題的解決,故有關(guān)均勻磁化磁介質(zhì)系統(tǒng)的熱容量研究是非常必要的[11]。

為此,本論文在推演均勻磁化磁介質(zhì)系統(tǒng)的麥氏關(guān)系基礎(chǔ)上,進一步討論了磁介質(zhì)在磁場強度H′(加撇以區(qū)別焓函數(shù)H)、磁化強度M分別不變時的等磁場熱容CH′、等磁化熱容CM的物理含義及其差值的計算。汪志誠[12]在討論上述兩熱容量差值問題時使用了等效代換的方法,這樣固然易于理解,但是很難從物理本質(zhì)上去闡述清楚。雅可比行列式是一種進行偏導數(shù)變換運算的便捷工具,其定義和性質(zhì)都易于理解,且在熱力學中的應(yīng)用已較為廣泛[13-14]。故本論文還將采用雅可比行列式的數(shù)學方法進行等磁場熱容量CH′與等磁化熱容量CM的差值推演。

1 均勻磁化的磁介質(zhì)麥氏關(guān)系

P、V、T、S、U、H、F、G分別表示研究系統(tǒng)的壓強、體積、溫度、熵、內(nèi)能、焓、自由能和吉布斯函數(shù),M、m、H′分別表示磁介質(zhì)的總磁矩、單位體積的磁矩(磁化強度)和磁場強度,其中m=MV。

1.1 不考慮磁介質(zhì)體積變化

1.1.1 內(nèi)能U導出麥氏關(guān)系

簡單系統(tǒng)的熱力學基本微分方程為:

dU=TdS-PdV。

(1)

若忽略磁介質(zhì)的體積變化,則均勻磁化磁介質(zhì)的熱力學基本方程為:

dU=TdS+μ0H′dm,

(2)

于是便可得到代換式(3):

(3)

由式(2)可得到式(4):

(4)

考慮到求二階偏導的次序可以交換,所以易得式(5):

(5)

1.1.2 焓H導出麥氏關(guān)系

焓是物質(zhì)系統(tǒng)的一個狀態(tài)函數(shù),用符號H表示。數(shù)值上等于系統(tǒng)的內(nèi)能加上壓強與體積的乘積,即

H=U+PV。

(6)

由式(1)和式(3)可得:

dH=TdS-μ0mdH′ 。

(7)

同理可得:

(8)

1.1.3 自由能F導出麥氏關(guān)系

自由能也稱為亥姆霍茲函數(shù),是描述物質(zhì)系統(tǒng)狀態(tài)的熱力學函數(shù)之一,用F表示,數(shù)值上等于物質(zhì)系統(tǒng)的內(nèi)能減去它的絕對溫度與熵的乘積,即

F=U-TS。

(9)

由式(1)和式(3)可得:

dF=-SdT+μ0H′dm。

(10)

同理可得:

(11)

1.1.4 吉布斯函數(shù)G導出麥氏關(guān)系

吉布斯函數(shù)也是描述物質(zhì)系統(tǒng)狀態(tài)的熱力學函數(shù)之一,用G表示。吉布斯函數(shù)的定義式為

G=U-TS+PV。

(12)

由式(1)和式(3)可得:

dG=-SdT-μ0mdH′。

(13)

同理可得:

(14)

式(5)、(8)、(11)和(14)為磁介質(zhì)的4種麥氏關(guān)系。

1.2 考慮磁介質(zhì)體積變化

1.2.1 內(nèi)能U導出麥氏關(guān)系

由熱力學基本微分方程

dU=TdS-PdV+μ0H′dm,

(15)

可得:

(16)

(17)

1.2.2 焓H導出麥氏關(guān)系

由式(3)、(6)、(7)和(15)可得:

dH=TdS+VdP-μ0mdH′,

(18)

可得:

(19)

(20)

1.2.3 自由能F導出麥氏關(guān)系

由式(3)、(9)、(10)和(15)可得:

dF=-SdT-PdV+μ0H′dm,

(21)

可得:

(22)

(23)

1.2.4 吉布斯函數(shù)G導出麥氏關(guān)系

由式(3)、(12)、(13)和(15)可得:

dG=-SdT+VdP-μ0mdH′ ,

(24)

可得:

(25)

(26)

式(17)、(20)、(23)和(26)為磁介質(zhì)的另外4種麥氏關(guān)系。

2 等磁場熱容量CH′和等磁化熱容量CM

根據(jù)簡單系統(tǒng)中有關(guān)等壓熱容量CP、等容熱容量CV的定義:

(27)

(28)

可寫出等磁場熱容量CH′和等磁化熱容量CM的定義式:

(29)

(30)

由此可知:等磁場熱容量CH′的物理含義是指在磁場強度H′不變時,磁介質(zhì)系統(tǒng)每升高1 K的溫度所吸收的熱量,或在磁場強度H′不變時,磁介質(zhì)系統(tǒng)熵對溫度的偏導數(shù)再乘以系統(tǒng)溫度;等磁化熱容量CM的物理含義是指在磁化強度M不變時,磁介質(zhì)系統(tǒng)每升高1 K的溫度所吸收的熱量,或在磁化強度M不變時,磁介質(zhì)系統(tǒng)熵對溫度的偏導數(shù)再乘以系統(tǒng)溫度。由式(28)還知道:等磁場熱容量CH′是系統(tǒng)溫度T和磁場強度H′的函數(shù),等磁化熱容CM是系統(tǒng)溫度T和磁化強度M的函數(shù)。熱容是描述整個系統(tǒng)吸、放熱本領(lǐng)的物理量,與系統(tǒng)物質(zhì)的量的多少有關(guān)系,因此是廣延量,于是有:

CH′=CH′(T,H′)=νCH′,mol(T,H′),

(31)

CM=CM(T,M)=νCM,mol(T,M) 。

(32)

3 有關(guān)CH′-CM的討論

3.1 直接證明法

忽略磁介質(zhì)的體積變化,且將熵S視為溫度T和磁場強度H′的函數(shù),將單位體積的磁矩M(磁化強度)視為溫度T和磁場強度H′的函數(shù),即有:

S=S(T,H′)=S[T,M(T,H′)]。

(33)

等式兩邊對溫度T求導可得:

(34)

兩邊同乘以溫度T:

于是可得到:

(35)

其中磁介質(zhì)的總磁矩m和磁化強度M滿足:

m=VM,

(36)

故有式(37)成立:

(37)

將式(11)代入式(37)可得:

(38)

根據(jù)隱函數(shù)中3個變量存在的偏導數(shù)學關(guān)系可知:

(39)

故式(35)可寫成:

CH′-CM=-

(40)

根據(jù)式(33)可得:

CH′-CM=

(41)

3.2 雅可比行列式的定義

雅可比行列式在解決實際的熱力學問題時是一種很有效的數(shù)學工具[9-11],其定義如下:設(shè)u,v是獨立變量x,y的函數(shù),即

u=u(x,y),v=v(x,y),

則有:

根據(jù)以上定義,可推演以下性質(zhì):

(42)

3.3 雅可比行列式求解

根據(jù)雅可比行列式的性質(zhì)可得下列等式:

(43)

根據(jù)式(11),式(43)可變形為:

CH′=Cm-

(44)

又根據(jù)式(36)可得:

CH′-CM=

(45)

4 結(jié)論

推演的8種麥氏關(guān)系可應(yīng)用于今后的磁介質(zhì)領(lǐng)域研究中。在對無法直接實驗測得的磁介質(zhì)物理量進行偏導數(shù)運算的時候,通過麥氏關(guān)系將不可測量的偏微分轉(zhuǎn)變?yōu)榭芍康钠⒎?這便是麥氏關(guān)系的精髓所在。在推演等磁場熱容量和等磁化熱容量的差值過程中,采用雅可比行列式能省去較多的具有物理涵義的步驟,可見雅可比行列式在偏微分計算領(lǐng)域的重要性。