金解放，劉康，張雅晨，王熙博，張睿，石子勃，徐虹

(1.江西理工大學(xué) 土木與測(cè)繪工程學(xué)院，江西 贛州，341000；2.江西理工大學(xué) 資源與環(huán)境工程學(xué)院，江西 贛州，341000)

在地下工程巖體爆破開挖過程中，賦存在不同地應(yīng)力環(huán)境下的圍巖體受到動(dòng)荷載作用，動(dòng)荷載產(chǎn)生的應(yīng)力波在不同地應(yīng)力環(huán)境下的工程巖體中傳播衰減。由于深部巖體構(gòu)造應(yīng)力的復(fù)雜性以及開挖卸荷導(dǎo)致原巖應(yīng)力重分布，徑向應(yīng)力在圍巖孔洞邊界附近呈現(xiàn)不同且明顯的梯度變化[1-5]。梯度的徑向地應(yīng)力導(dǎo)致圍巖體具有不同的孔隙度或損傷程度，影響爆破應(yīng)力波在圍巖體中的傳播衰減特性。研究爆破應(yīng)力波在具有特定地應(yīng)力環(huán)境下的巖石中傳播的衰減特性及其影響機(jī)理，對(duì)完善應(yīng)力波傳播理論、評(píng)估圍巖及鄰近建(構(gòu))筑物的穩(wěn)定性具有重要的理論指導(dǎo)意義。

深部圍巖體在爆破開挖時(shí)，爆破應(yīng)力波產(chǎn)生的能量一部分于工程巖體的破碎過程中耗散，另一部分以應(yīng)力波的形式在圍巖體中傳遞。應(yīng)力波在具有復(fù)雜地應(yīng)力環(huán)境的圍巖體中傳播衰減，地應(yīng)力會(huì)影響巖石(體)的孔隙度、損傷程度、波阻抗等，進(jìn)而控制應(yīng)力波在工程巖體中的傳播衰減特性，因此，地應(yīng)力是影響巖石(體)應(yīng)力波傳播衰減特性的重要因素[6-7]。目前，眾多學(xué)者對(duì)均勻應(yīng)力對(duì)應(yīng)力波傳播衰減特性的影響進(jìn)行了研究。對(duì)組合煤巖短試件進(jìn)行應(yīng)力波傳播試驗(yàn)[8]，得到應(yīng)力波波形、透反射系數(shù)、能量耗散等應(yīng)力波傳播表征量隨軸向均勻應(yīng)力的變化規(guī)律。通過對(duì)軸向均勻應(yīng)力作用下的紅砂巖長試件[9]進(jìn)行應(yīng)力波傳播試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)隨著軸向均勻應(yīng)力的增加，應(yīng)力波縱波波速呈“快速增加—平緩發(fā)展—急劇減小”的趨勢(shì)，軸向均勻應(yīng)力下的應(yīng)力波幅值隨傳播距離與傳播速度增大都呈指數(shù)衰減。應(yīng)力波縱波波速、波幅等參數(shù)對(duì)靜應(yīng)力的敏感性與初始孔隙的閉合和微裂紋的萌生和擴(kuò)展密切相關(guān)，考慮孔隙度和損傷演化從本質(zhì)上解釋了軸向均勻應(yīng)力對(duì)應(yīng)力波傳播衰減特性的影響[10]。在充分認(rèn)識(shí)到地下圍巖體處于梯度應(yīng)力環(huán)境后，袁偉等[11-12]提出了能夠施加徑向梯度應(yīng)力的試驗(yàn)方法并設(shè)計(jì)了試驗(yàn)裝置，但關(guān)于具有梯度靜應(yīng)力工況下巖石應(yīng)力傳播衰減特性沒有進(jìn)行系統(tǒng)研究。

在時(shí)域內(nèi)，應(yīng)力波的幅值、縱波波速、透反射系數(shù)及能量耗散等是表征應(yīng)力波衰減規(guī)律的重要參數(shù)[13-15]。在頻域內(nèi)，可將任意形式的波信號(hào)分解為不同頻率的諧波分量。在實(shí)際工程中，爆破振動(dòng)的頻率特性也是爆破施工的安全判據(jù)之一[16]。在爆破工程中，范磊等[17-19]對(duì)時(shí)域波形數(shù)據(jù)進(jìn)行了快速傅里葉變換，將振動(dòng)波信號(hào)在頻域內(nèi)進(jìn)行了分析。應(yīng)力波各諧波分量隨頻率的變化是時(shí)域波形中應(yīng)力波幅值、波速等衰減的內(nèi)在原因[20]，進(jìn)一步分析爆破應(yīng)力波主頻和質(zhì)心頻率的變化有助于更好地了解巖石應(yīng)力波的傳播衰減特性[21]。凌同華等[22-24]對(duì)應(yīng)力波信號(hào)進(jìn)行了小波包變換，以應(yīng)力波不同頻率的頻帶能量占比為出發(fā)點(diǎn)，探究了不同工況下的頻率及頻帶能量的分布特征，從頻域的角度分析了應(yīng)力波傳播的衰減特性。已有對(duì)波的頻譜分析和頻帶能量的研究主要圍繞工程實(shí)際中的爆破沖擊波，而關(guān)于特定地應(yīng)力中的應(yīng)力波頻散特性的研究較少。本研究通過室內(nèi)試驗(yàn)建立特定靜應(yīng)力環(huán)境下的應(yīng)力波傳播模型，探究應(yīng)力波的衰減特性并建立梯度應(yīng)力下巖石應(yīng)力波頻散的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，?duì)于工程實(shí)際評(píng)估圍巖(體)的穩(wěn)定性具有重要的理論指導(dǎo)意義。

本文作者旨在研究不同應(yīng)力梯度對(duì)巖石應(yīng)力波傳播衰減規(guī)律及頻散特性。利用自主研制的具有梯度靜應(yīng)力巖石應(yīng)力波傳播試驗(yàn)系統(tǒng)，進(jìn)行具有不同靜應(yīng)力梯度工況的應(yīng)力波傳播試驗(yàn)，得到應(yīng)力波的時(shí)域波形曲線。通過快速傅里葉變換和小波包分解與重構(gòu)，將梯度靜應(yīng)力環(huán)境下的應(yīng)力波分解為不同頻率下的諧波分量，從應(yīng)力波傳播和頻散的角度，表征梯度應(yīng)力環(huán)境下巖石應(yīng)力波的傳播衰減特性，分析梯度應(yīng)力環(huán)境下的應(yīng)力波頻譜幅值、質(zhì)心頻率、頻譜峰值、頻帶能量的變化規(guī)律，構(gòu)建梯度應(yīng)力環(huán)境中質(zhì)心頻率和應(yīng)力波總能量隨空間衰減的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。本文的研究結(jié)果有助于完善應(yīng)力波傳播理論。在地下實(shí)際工程巖體爆破過程中，峰值與頻率特性對(duì)構(gòu)筑物的破壞或穩(wěn)定性有重大影響。

1 試驗(yàn)

1.1 試件制備

選用均質(zhì)性良好、內(nèi)部無明顯缺陷的贛州紅砂巖制備巖石試件。紅砂巖密度為2 388 kg/m3，縱波波速為2 414 m/s。由于本試驗(yàn)旨在研究梯度應(yīng)力巖石的應(yīng)力波傳播特性，故將紅砂巖研磨加工為長方體試件，其長度×寬度×高度為1 500 mm×100 mm×60 mm。為防止試件受軸壓時(shí)發(fā)生失穩(wěn)，其橫截面不平行度與不垂直度誤差為0.02 mm。

試驗(yàn)所用紅砂巖的單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖1所示。由圖1可知：隨著軸向應(yīng)力的增加，試件的變形會(huì)經(jīng)歷孔隙壓密—彈性變形—損傷演化—失效破環(huán)4個(gè)主要階段。這說明當(dāng)巖石長試件受靜應(yīng)力梯度加載時(shí)，由于不同位置的軸向應(yīng)力不同，導(dǎo)致不同位置的變形程度不同，進(jìn)而導(dǎo)致巖石在軸向上的物理特性不同。

圖1 紅砂巖的單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.1 Stress-strain curve of red sandstone under uniaxial compression

試件尺寸及應(yīng)變片布置示意圖如圖2所示。為最大限度地消除試件偏心壓縮對(duì)應(yīng)力波的影響，將應(yīng)變片對(duì)稱地粘貼在試件前后兩側(cè)面的軸線上，從右至左依次分布測(cè)點(diǎn)A、測(cè)點(diǎn)B、測(cè)點(diǎn)C、測(cè)點(diǎn)D和測(cè)點(diǎn)E共5 個(gè)測(cè)點(diǎn)，如圖2 所示。測(cè)點(diǎn)A距離入射端間距為200 mm，大于橫截面的最大尺寸。消除了端部不均勻壓縮的影響。同時(shí)為了避免采集的應(yīng)力波夾雜透射端的反射波信號(hào)，測(cè)點(diǎn)E距離透射端為700 mm，相鄰測(cè)點(diǎn)的間距為150 mm。

圖2 試件尺寸及應(yīng)變片布置示意圖Fig.2 Specimen size and strain gauge arrangement

1.2 試驗(yàn)系統(tǒng)

試驗(yàn)采用自主研制的具有梯度靜應(yīng)力的巖石應(yīng)力波傳播試驗(yàn)系統(tǒng)，該試驗(yàn)系統(tǒng)由動(dòng)力裝置、梯度靜應(yīng)力加載裝置及數(shù)據(jù)采集單元組成，如圖3所示。動(dòng)力裝置主要由高壓氮?dú)馄?、高壓氣室、紡錘形沖頭、發(fā)射腔組成。數(shù)據(jù)采集單元主要由CS-ID 超動(dòng)態(tài)應(yīng)變儀、DL-750 示波器和計(jì)算機(jī)組成。

圖3 具有梯度應(yīng)力的巖石應(yīng)力波傳播試驗(yàn)系統(tǒng)Fig.3 Test system for stress wave propagation in rocks with gradient stress

梯度靜應(yīng)力加載裝置置于霍普金遜桿的基座平臺(tái)和支架上，裝置的組成部分從左至右依次是軸壓加載單元、軸壓加載桿、保證試件端面均勻加載的鋼墊片，以及梯度靜應(yīng)力主要裝置部分。其中，梯度靜應(yīng)力主要裝置部分及線性梯度靜應(yīng)力實(shí)現(xiàn)原理如圖4所示。裝置構(gòu)成從上到下依次為帶橡膠墊的上層鋼板、巖石試件、帶橡膠墊的下層鋼板，上下層鋼板通過預(yù)留螺栓孔用螺栓連接。圖4中的軸向荷載F由軸向加載單元提供，法向均布荷載FN(x)由螺栓提供，作用于鋼板上的支持力F/2由支架提供。

圖4 線性梯度應(yīng)力實(shí)現(xiàn)原理示意圖Fig.4 Schematic diagram of principle of linear gradient stress implementation

據(jù)圖4分析試件的受力情況。當(dāng)試件處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，軸向荷載F與試件上下側(cè)面靜摩擦力滿足關(guān)系式：

式中：Ff(x)為作用在試件上下側(cè)面單位長度摩擦力，kN/m；l為試件長度，m。

由靜摩擦庫侖定律可得

式中：FN(x)為作用在試件上下側(cè)面單位長度法向壓力，kN/m；fs為試件與接觸物體的靜摩擦因數(shù)。

當(dāng)法向荷載FN(x)為均布載荷時(shí)，F(xiàn)f(x)沿試件的長度方向?yàn)槎ㄖ礔f，式(1)變?yōu)?/p>

此時(shí)，圖2 中距右側(cè)端面為x的橫截面上的軸向靜應(yīng)力為

式中：A為試件的橫截面面積。

由式(4)可知，2Ff/A為靜應(yīng)力的梯度。由于單位長度摩擦力與單位長度法向荷載FN(x)成正比，試驗(yàn)中可以通過改變單位長度法向荷載FN(x)，得到不同的靜應(yīng)力梯度[4]。

1.3 試驗(yàn)方法

在沖擊加載前，先利用梯度靜應(yīng)力加載試驗(yàn)裝置對(duì)巖石試件施加梯度靜應(yīng)力，本試驗(yàn)分別設(shè)置6 種靜應(yīng)力梯度(k)工況：0、6.87、10.39、16.66、20.19和22.57 MPa/m。

每一種靜應(yīng)力梯度工況施加完成后，利用高壓氮?dú)怛?qū)動(dòng)異形沖頭撞擊入射桿，在撞擊的瞬間將產(chǎn)生應(yīng)力波，應(yīng)力波最終會(huì)在具有梯度應(yīng)力的巖石長試件中傳播，應(yīng)力波信號(hào)被應(yīng)變片捕捉，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理單元，得到不同梯度應(yīng)力工況下不同測(cè)點(diǎn)處的應(yīng)力波時(shí)域數(shù)據(jù)。

在所有靜應(yīng)力工況的應(yīng)力波傳播試驗(yàn)中，均用近似相同的沖擊速度沖擊入射桿產(chǎn)生應(yīng)力波，具體的沖擊速度如表1所示。表1中加載參數(shù)是旋緊力矩和油壓表讀數(shù)，二者依次對(duì)應(yīng)于法向荷載與軸向荷載，由式(1)～(4)計(jì)算可得到應(yīng)力梯度。

表1 不同應(yīng)力梯度工況時(shí)的動(dòng)靜組合加載數(shù)據(jù)Table 1 Combined dynamic and static loading test data at different stress gradient working conditions

2 試驗(yàn)結(jié)果

在6 種靜應(yīng)力梯度工況下，在A、B、C、D、E這5個(gè)測(cè)點(diǎn)采集的應(yīng)力波時(shí)域波形如圖5所示。

圖5 不同靜應(yīng)力梯度下的應(yīng)力波時(shí)域波形Fig.5 Time domain waveform under different stress gradients

由圖5可以看出：在同一應(yīng)力梯度下，隨著傳播距離的變化，應(yīng)力波形狀變化不大；隨著應(yīng)力梯度增加，應(yīng)力波時(shí)域波形也基本一致。但在梯度應(yīng)力的作用下，巖石中的應(yīng)力波的卸載段尾部應(yīng)力波曲線不能恢復(fù)到基準(zhǔn)線水平。造成這一現(xiàn)象的原因是，在應(yīng)力波卸載階段，試件壓縮后的變形恢復(fù)，對(duì)巖石進(jìn)行梯度應(yīng)力加載后，法向荷載和軸向荷載同時(shí)約束了試件恢復(fù)變形的能力，導(dǎo)致其不能恢復(fù)到初始應(yīng)變。

在頻域內(nèi)，可將任意形式的應(yīng)力波分解為不同頻率的諧波分量。由于不同頻率的諧波分量其波數(shù)、衰減系數(shù)有所不同，故應(yīng)力波在巖石中傳播時(shí)，其波形將發(fā)生改變[25]。本文采用快速傅里葉變換和小波包分解與重構(gòu)，將梯度靜應(yīng)力環(huán)境下的應(yīng)力波分解為不同頻率下的諧波分量，通過應(yīng)力波頻譜特性和頻帶能量來表征梯度應(yīng)力下巖石中應(yīng)力波的衰減特性。

3 梯度靜應(yīng)力對(duì)頻譜特性的影響

針對(duì)圖5所示的應(yīng)力波時(shí)域數(shù)據(jù)，繪制典型波形，如圖6 所示(其中，ε0為應(yīng)力波初始應(yīng)變，εmax為完整半正弦應(yīng)力波最大應(yīng)變，εmin為完整半正弦應(yīng)力波最小應(yīng)變，εp為平臺(tái)應(yīng)變，t1為應(yīng)力波起跳對(duì)應(yīng)時(shí)間，t2為完整半正弦應(yīng)力波最大應(yīng)變對(duì)應(yīng)時(shí)間，t3為完整半正弦應(yīng)力波最小應(yīng)變對(duì)應(yīng)時(shí)間)。圖6中，t1-t3時(shí)段是動(dòng)荷載的一個(gè)完整的加卸載過程，故選取t1-t3時(shí)段的應(yīng)力波時(shí)域數(shù)據(jù)進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT)。

圖6 典型應(yīng)力波波形Fig.6 Typical stress wave shape of red sandstone

在不同應(yīng)力梯度下，巖石中應(yīng)力波時(shí)域數(shù)據(jù)經(jīng)快速傅里葉變換后的頻譜圖如圖7所示。當(dāng)頻率大于20 kHz時(shí)，幅值趨于零，故圖7只畫出頻率在0～20 kHz之間應(yīng)變?chǔ)欧档淖兓€。巖石中的應(yīng)力波信號(hào)能量主要集中在低頻段且頻帶較寬，這與實(shí)際巖體爆破工程中所采集到的振動(dòng)信號(hào)相同[26]。

圖7 不同應(yīng)力梯度下的各測(cè)點(diǎn)頻譜圖Fig.7 Spectrum amplitudes of each measuring point under different stress gradients

由圖7可以看出：所有工況不同位置處的波分量幅值主要集中在頻域0～7.5 kHz 內(nèi)；在頻帶0～7.5 kHz 之內(nèi)，無梯度應(yīng)力時(shí)的頻譜幅值隨傳播距離基本不變，但有梯度應(yīng)力作用時(shí)，頻譜幅值隨傳播距離的增加越來越低，這表明應(yīng)力梯度對(duì)低頻信號(hào)有較大影響。無梯度應(yīng)力時(shí)的頻譜整體高于有梯度應(yīng)力作用時(shí)的頻譜，并且隨著應(yīng)力梯度的增加，頻譜幅值整體呈下降趨勢(shì)；在同一梯度應(yīng)力下，隨著傳播距離增加，頻譜幅值也呈下降趨勢(shì)。

3.1 質(zhì)心頻率隨傳播距離的變化

為進(jìn)一步分析梯度應(yīng)力下巖石中應(yīng)力波頻譜的偏移情況，本文引入質(zhì)心主頻來反映頻散特性。質(zhì)心頻率fc是頻譜幅值曲線與坐標(biāo)軸所圍成圖形的形心對(duì)應(yīng)的頻率。由圖7所示的頻譜幅值圖計(jì)算不同工況下0～7.5 kHz 范圍內(nèi)的質(zhì)心頻率fc，得到不同工況下質(zhì)心頻率隨傳播距離的變化關(guān)系，如圖8所示。

圖8 質(zhì)心頻率隨傳播距離的變化Fig.8 Centroid frequency varies with propagation distance

由圖8可知：在無梯度應(yīng)力作用時(shí)，質(zhì)心頻率隨著傳播距離的增加呈減小趨勢(shì)。而在梯度應(yīng)力作用下，巖石質(zhì)心頻率隨著傳播距離的增加呈增大趨勢(shì)。經(jīng)分析可知，主頻升高對(duì)應(yīng)巖石孔隙的閉合，主頻降低對(duì)應(yīng)巖石微裂隙的形成[27-28]。當(dāng)無梯度應(yīng)力作用時(shí)，巖石內(nèi)部的孔隙自然分布，應(yīng)力波的各諧波分量在巖石中傳播衰減，符合低頻傳遞、高頻衰減的理論[26]，故應(yīng)力波質(zhì)心頻率呈減小趨勢(shì)；而應(yīng)力波在具有梯度應(yīng)力的巖石中傳播時(shí)，由于巖石所受到的軸向應(yīng)力是呈梯度的，從近端至遠(yuǎn)端巖石越密實(shí)，故應(yīng)力波質(zhì)心頻率向高頻發(fā)展。

將圖8 中的質(zhì)心頻率與傳播距離進(jìn)行函數(shù)擬合，擬合函數(shù)及相關(guān)系數(shù)R2如表2所示。由圖8和表2 可知：擬合函數(shù)相關(guān)系數(shù)R2均大于0.9，擬合程度良好，表明巖石應(yīng)力波質(zhì)心頻率與傳播距離呈現(xiàn)良好的線性關(guān)系。

表2 應(yīng)力波質(zhì)心頻率與傳播距離間的擬合關(guān)系結(jié)果Table 2 Fitting results between centroid frequency and propagation distance

3.2 質(zhì)心頻率隨應(yīng)力梯度的變化

質(zhì)心頻率隨應(yīng)力梯度的變化如圖9所示。由圖9可以看出：所有測(cè)點(diǎn)的應(yīng)力波質(zhì)心頻率隨應(yīng)力梯度的增加具有相同的變化趨勢(shì)；隨著應(yīng)力梯度增加，巖石中應(yīng)力波的質(zhì)心頻率呈現(xiàn)先增加后平穩(wěn)或出現(xiàn)減小的趨勢(shì)，究其原因，巖石孔隙閉合總是對(duì)應(yīng)于應(yīng)力波質(zhì)心頻率的升高，而巖石微裂隙的產(chǎn)生促使質(zhì)心頻率降低；當(dāng)巖石受到軸向靜應(yīng)力時(shí)，巖石中孔隙逐漸被壓密的同時(shí)伴隨著少數(shù)裂隙的萌生。巖石低軸向靜應(yīng)力階段，以初始孔隙壓密為主，質(zhì)心頻率向高頻發(fā)展；隨著應(yīng)力梯度的增加，巖石內(nèi)部孔隙被壓實(shí)，使微裂隙增生，故質(zhì)心頻率呈減小趨勢(shì)。

圖9 質(zhì)心頻率隨應(yīng)力梯度的變化Fig.9 Centroid frequency varies with stress gradient

由圖9還可以看出：隨著應(yīng)力波傳播距離的增加，質(zhì)心頻率先增加后減小的轉(zhuǎn)折點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力梯度越來越小。經(jīng)進(jìn)一步計(jì)算可得，轉(zhuǎn)折位置對(duì)應(yīng)的軸向應(yīng)力在10～12 MPa之間。

3.3 應(yīng)力波頻譜峰值

圖7所示的頻譜幅值圖中，在所用工況下，所有測(cè)點(diǎn)都具有單峰值，其對(duì)巖石應(yīng)力波的衰減起主導(dǎo)作用，將頻譜幅值的峰值(下文均稱頻譜峰值εf,max)作為因變量，具體分析不同工況下頻譜峰值的變化規(guī)律。

圖10 所示為頻譜峰值的變化規(guī)律。由10(a)可知：在無梯度應(yīng)力作用下，頻譜峰值隨著傳播距離的增加緩慢衰減；在梯度應(yīng)力作用下，頻譜峰值先快速減小，再緩慢減小。經(jīng)分析可知，當(dāng)無梯度應(yīng)力作用時(shí)，巖石中應(yīng)力波的頻譜峰值主要受巖石孔隙度的影響，故其頻譜峰值自然衰減；當(dāng)有梯度應(yīng)力作用時(shí)，在應(yīng)力波傳播方向的近端到遠(yuǎn)端，巖石中的軸向應(yīng)力會(huì)增加，所以，在軸向方向上，巖石依次經(jīng)歷了初始孔隙壓密-孔隙完全壓密階段，進(jìn)而形成了梯度的波阻抗，由于應(yīng)力波在傳播至波阻抗改變的截面時(shí)會(huì)發(fā)生反射，從而影響應(yīng)力波的衰減特性[29]，故造成頻譜峰值呈快速減小的趨勢(shì)。當(dāng)軸向應(yīng)力增加到一定程度時(shí)，巖石內(nèi)部孔隙被完全壓密，隨著應(yīng)力梯度的增加，振動(dòng)阻力變化不大，從而，頻譜峰值變化較小且所有工況頻譜峰值趨于同一個(gè)值。

圖10 頻譜峰值εf, max的變化規(guī)律Fig.10 Change of spectrum peak εf, max

由圖10(b)可知：隨著應(yīng)力梯度增加，頻譜峰值均降低，其中測(cè)點(diǎn)A處的頻譜峰值呈“快速降低”的變化趨勢(shì)測(cè)點(diǎn)，測(cè)點(diǎn)B、C、D、E的頻譜峰值呈“快速下降—平穩(wěn)發(fā)展”的變化趨勢(shì)。

4 梯度靜應(yīng)力下巖石的頻帶能量

4.1 小波包變換

為進(jìn)一步研究梯度應(yīng)力對(duì)應(yīng)力波頻散特性的影響，基于小波分析理論，對(duì)應(yīng)力波信號(hào)進(jìn)行小波包分解，得到梯度應(yīng)力下應(yīng)力波總能量的衰減特性和應(yīng)力波的頻帶能量的分布特征。

本試驗(yàn)設(shè)置的采樣頻率為1 MHz，根據(jù)采樣定理，其奈奎斯特(Nyquist)頻率為500 kHz。將應(yīng)力波信號(hào)分解為12 層，將其第m層分解共得到2m個(gè)小波包，共計(jì)4 096個(gè)小波包，每一個(gè)小波包對(duì)應(yīng)一個(gè)頻帶，頻帶帶寬為122.07 Hz。結(jié)合小波包求解頻帶能量的公式，第12 層各個(gè)節(jié)點(diǎn)信號(hào)的能量可定義為

式中：xj,k為重構(gòu)信號(hào)S12,j的離散點(diǎn)的幅值；j=0，1，2，…，212-1；k=0，1，2，…，m；m為試驗(yàn)中采集到的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)。

將第12 層分解得到的所有重構(gòu)信號(hào)對(duì)應(yīng)的能量E12,j相加即為原始應(yīng)力波信號(hào)的總能量E0：

則各個(gè)頻帶能量占總能量的比例為

式中：Q12,j為能量占比。

通過頻帶能量公式在MATLAB 中編寫小波包計(jì)算程序，對(duì)不同工況下的應(yīng)力波時(shí)域信號(hào)經(jīng)小波包分解重構(gòu)后，即可同時(shí)得出梯度應(yīng)力下應(yīng)力波總能量的衰減規(guī)律以及頻帶能量的分布情況。

4.2 梯度應(yīng)力作用下應(yīng)力波總能量的衰減

由小波包分解程序得到不同應(yīng)力梯度下各個(gè)測(cè)點(diǎn)處應(yīng)力波信號(hào)頻帶總能量E0。應(yīng)力波信號(hào)總能量與傳播距離的變化關(guān)系如圖11所示。

圖11 紅砂巖應(yīng)力波總能量隨傳播距離的變化關(guān)系Fig.11 Variation of total stress wave energy with propagation distance in red sandstone

由圖11 可以看出：在無梯度應(yīng)力作用下，應(yīng)力波總能量隨傳播增加呈現(xiàn)“逐漸減小”的趨勢(shì)；而在梯度應(yīng)力作用下，應(yīng)力波總能量隨傳播增加呈現(xiàn)“快速減小—平穩(wěn)發(fā)展”、與無梯度應(yīng)力作用不同的趨勢(shì)。表明巖石應(yīng)力波在傳播過程中，總能量會(huì)發(fā)生衰減，但梯度應(yīng)力對(duì)巖石應(yīng)力波總能量的衰減規(guī)律影響較大。

為了得到應(yīng)力波總能量與傳播距離之間的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，?duì)應(yīng)力波總能量和傳播距離的關(guān)系進(jìn)行擬合，擬合關(guān)系如下：

式中：α為與應(yīng)力梯度有關(guān)的參數(shù)；β為與巖石孔隙度有關(guān)的參數(shù)。

對(duì)圖11 中的巖石中應(yīng)力波總能量與傳播距離進(jìn)行函數(shù)擬合，擬合函數(shù)及相關(guān)系數(shù)如表3 所示。由圖11 和表3 可知：擬合函數(shù)相關(guān)系數(shù)R2均大于0.97，擬合程度較高，表明巖石應(yīng)力波總能量與傳播距離在無梯度靜應(yīng)力狀態(tài)下呈現(xiàn)較好的線性關(guān)系[24]；而在梯度應(yīng)力下，應(yīng)力波總能量與傳播距離的冪函數(shù)呈現(xiàn)較好線性函數(shù)關(guān)系。這進(jìn)一步說明，此經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ涂梢暂^好地表征梯度應(yīng)力下巖石應(yīng)力波總能量與傳播距離的關(guān)系，可為預(yù)測(cè)爆破開挖時(shí)地下工程巖體的應(yīng)力波傳播衰減提供參考。

表3 應(yīng)力波總能量與傳播距離間的擬合結(jié)果Table 3 Fitting results between total stress wave energy and propagation distance

由表3可以看出：隨著應(yīng)力梯度的增加，擬合參數(shù)α和擬合參數(shù)β都呈減小趨勢(shì)。為了考察更多工況下巖石應(yīng)力波總能量與應(yīng)力梯度和傳播距離之間的關(guān)系，對(duì)6個(gè)應(yīng)力梯度下的α和β進(jìn)行擬合，α和β與應(yīng)力梯度的關(guān)系如圖12所示。

圖12 α和β與應(yīng)力梯度的關(guān)系Fig.12 Relationship between stress gradient and α, β

由圖12 可知：擬合參數(shù)α隨著應(yīng)力梯度的增加呈線性減小，這是與應(yīng)力梯度直接相關(guān)的物理參數(shù)；擬合參數(shù)β隨著應(yīng)力梯度的增加先減小后平穩(wěn)發(fā)展，經(jīng)分析可知β與巖石空隙度有關(guān)，可定義為與巖石波阻抗有關(guān)的物理參數(shù)。2個(gè)擬合關(guān)系式的相關(guān)系數(shù)分別為0.97和0.98，擬合程度較高。利用擬合關(guān)系式(4)以及圖12 進(jìn)行計(jì)算，可以得到任意應(yīng)力梯度工況下應(yīng)力波總能量隨傳播距離的衰減關(guān)系曲線，如圖13所示。

圖13 紅砂巖應(yīng)力波總能量隨傳播距離的變化規(guī)律Fig.13 Variation rules of total stress wave energy with propagation distance in red sandstone

由圖13 可知：應(yīng)力波總能量在均質(zhì)的巖石中傳播衰減受到孔隙度的影響，此時(shí)，巖石中應(yīng)力波總能量呈線性衰減；巖石在梯度應(yīng)力環(huán)境下，應(yīng)力波總能量的變化經(jīng)歷先快速衰減再緩慢衰減的階段，其中，應(yīng)力波總能量在快速衰減階段的衰減速率比自然狀態(tài)下的衰減速率更快，表明巖石應(yīng)力波總能量的衰減受梯度應(yīng)力的影響較大，這是因?yàn)閼?yīng)力波總能量的衰減同時(shí)受到孔隙程度和應(yīng)力梯度的控制。

經(jīng)進(jìn)一步分析可知，在梯度應(yīng)力作用下的巖石會(huì)形成梯度的波阻抗，在波阻抗發(fā)生變化的截面，應(yīng)力波的反射和透射特性會(huì)發(fā)生改變。分析梯度應(yīng)力作用下巖石的軸向應(yīng)變時(shí)，波阻抗梯度由大變小，導(dǎo)致在梯度應(yīng)力作用下巖石應(yīng)力波總能量衰減更快。同時(shí)，由圖13 還可看出，在高靜應(yīng)力梯度作用下，應(yīng)力波總能量在緩慢衰減階段越平緩，這是因?yàn)榇藭r(shí)巖石已趨于彈性階段，波阻抗梯度和孔隙度隨傳播距離的變化都很小，故能量的衰減較小，總能量逐漸趨于平穩(wěn)。

4.3 頻帶能量的分布

為分析應(yīng)力波信號(hào)頻帶能量分布特征，得出不同測(cè)點(diǎn)不同應(yīng)力梯度下的頻帶能量占比情況。將12層4 096 個(gè)小波包重構(gòu)成8 個(gè)頻帶，分別為[0，3.91)、[3.91，7.81)、[7.81，15.63)、[15.63，31.25)、[31.25，62.50)、[62.50，125.00)、[125.00，250.00)、[250.00，500.00] kHz，各頻帶對(duì)應(yīng)頻帶相對(duì)能量占比見表4。

表4 不同應(yīng)力梯度下測(cè)點(diǎn)A和測(cè)點(diǎn)E頻帶能量占比Table 4 Frequency band energy ratio at point A and E under different stress gradients %

由表4 可知：雖然頻帶[0，3.91) kHz 和[3.91，7.81) kHz 的頻帶寬度相對(duì)較小，但其所占頻帶能量較多，其中，頻帶[0，3.91) kHz 占總能量的一半左右，無論有無梯度應(yīng)力的作用，能量主要分布于0～7.81 kHz，這部分能量占頻帶總能量的80%左右；后幾個(gè)頻帶較寬，但其所占能量較少。以上結(jié)果表明，應(yīng)力波信號(hào)的成分以低頻為主，高頻成分所占比例極少。

為進(jìn)一步分析應(yīng)力波頻帶相對(duì)能量隨傳播距離的變化情況，在所有工況下，頻帶能量占比的變化主要集中于0～7.81 kHz，測(cè)點(diǎn)A與測(cè)點(diǎn)E的前2個(gè)頻帶的小波包能量占比如圖14所示。

圖14 頻帶0～7.81 kHz的頻帶能量占比Fig.14 Frequency band energy ratio of 0-7.81 kHz

由圖14 可以看出：在無梯度應(yīng)力作用時(shí)，隨著傳播距離的增加，相對(duì)頻帶能量有往低頻偏移的趨勢(shì)；巖石在梯度應(yīng)力作用下，隨著傳播距離增加，相對(duì)頻帶能量有往高頻偏移的趨勢(shì)。而此時(shí)在前2 個(gè)頻帶(0～7.81 kHz)的能量對(duì)整體頻帶能量的變化起決定性作用，故在整個(gè)頻帶(0～500 kHz)能量的偏移與圖14 中的偏移情況一致。在無梯度應(yīng)力作用時(shí)，頻帶能量隨傳播距離的增加往低頻偏移，即質(zhì)心頻率減小；在梯度應(yīng)力作用時(shí)，頻帶能量隨傳播距離的增加往高頻偏移，即質(zhì)心頻率增加。當(dāng)梯度增加到一定程度時(shí)，質(zhì)心頻率的變化較小。這與質(zhì)心頻率隨傳播距離的變化情況一致，這進(jìn)一步驗(yàn)證了質(zhì)心頻率的變化規(guī)律。

5 結(jié)論

1) 無論巖石是否受到梯度應(yīng)力作用，各個(gè)測(cè)點(diǎn)頻譜曲線均成拋物狀。通過巖石的應(yīng)力波頻譜幅值主要集中于低頻帶(0～7.81 kHz)，梯度應(yīng)力對(duì)低頻帶的影響較大。

2) 巖石中應(yīng)力波的質(zhì)心頻率隨空間距離的頻散特性中，在無梯度應(yīng)力作用時(shí)，質(zhì)心頻率隨傳播距離的增加而呈線性減小；在有梯度應(yīng)力作用時(shí)，質(zhì)心頻率隨傳播距離的增加呈線性增加。在質(zhì)心頻率隨應(yīng)力梯度的變化特性中，對(duì)于同一測(cè)點(diǎn)，應(yīng)力波信號(hào)質(zhì)心頻率隨應(yīng)力梯度的增加呈先增加后減小的趨勢(shì)。質(zhì)心頻率的變化受不同頻率諧波信號(hào)的衰減量的影響，本質(zhì)上由巖石內(nèi)部孔隙的變化決定。

3) 在無梯度靜應(yīng)力作用時(shí)，頻譜峰值隨著傳播距離的增加緩慢衰減；在有梯度應(yīng)力作用時(shí)，頻譜峰值先快速減小，再緩慢變化，其同時(shí)受到孔隙度和梯度波阻抗的影響。頻譜峰值隨著應(yīng)力梯度的增加，呈先迅速降低再平穩(wěn)發(fā)展的趨勢(shì)。頻譜峰值迅速降低階段主要表現(xiàn)在從梯度應(yīng)力的無到有的過程，在本質(zhì)上是巖石內(nèi)部被壓密而形成的約束從無到有的過程，導(dǎo)致頻譜峰值迅速降低。

4) 巖石應(yīng)力波總能量與傳播距離在自然狀態(tài)下呈現(xiàn)較好的線性關(guān)系，而在梯度應(yīng)力下，應(yīng)力波總能量與傳播距離的冪函數(shù)呈現(xiàn)較好線性函數(shù)關(guān)系。由此可知應(yīng)力波總能量的衰減同時(shí)受孔隙度和梯度波阻抗的控制。

5) 應(yīng)力波信號(hào)能量主要集中在低頻帶(0～7.81 kHz)內(nèi)。在任何工況下，在0～3.91 kHz 頻帶內(nèi)，能量占總能量的一半左右。對(duì)比分析不同測(cè)點(diǎn)處頻帶能量隨著應(yīng)力梯度的變化情況，發(fā)現(xiàn)頻帶能量在梯度應(yīng)力作用和無梯度應(yīng)力作用下頻帶能量的偏移情況不一致。