劉璇燕

數(shù)學(xué)深度教學(xué)是幫助學(xué)生“通過數(shù)學(xué)會(huì)思維”，學(xué)會(huì)總結(jié)反思和“再認(rèn)識(shí)”，強(qiáng)調(diào)通過“聯(lián)系的觀點(diǎn)”幫助學(xué)生更好地學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，深入學(xué)習(xí)，從而真正成為學(xué)習(xí)的主人的教學(xué).單元復(fù)習(xí)教學(xué)中，圍繞教學(xué)中的重難點(diǎn)，通過對相關(guān)題目的背景分析、解法思考等追溯題目的根源，變式拓展探尋題目本質(zhì)內(nèi)涵，找尋學(xué)生解題能力生長的軌跡，是很好的復(fù)習(xí)策略.本文以圓錐曲線定義法求最值問題為例，談?wù)勛约簩Α吧疃冉虒W(xué)”的感受和思考.

1 問題呈現(xiàn)

例1 拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)Q2，1，P為拋物線上動(dòng)點(diǎn)，則PF+PQ的最小值為＿＿＿.

分析：本題考查拋物線的定義、簡單幾何性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想，是一道基礎(chǔ)題.由點(diǎn)Q在拋物線內(nèi)側(cè)，作圖（略），把拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，但是在課前練習(xí)中只有一半的學(xué)生能夠求出正確答案3.分析作業(yè)情況主要原因有三個(gè)：缺乏數(shù)形結(jié)合意識(shí)，沒有判斷定點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系；不能靈活運(yùn)用拋物線定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化；對于能夠運(yùn)用拋物線定義轉(zhuǎn)化寫出正確答案的部分學(xué)生，問其思路原因時(shí)，都說是印象中就是這樣解題的，但卻不清楚為什么要進(jìn)行轉(zhuǎn)化.針對這種情況，筆者進(jìn)行了以下的變式練習(xí)探尋題目本質(zhì)內(nèi)涵.

變式1 拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，定點(diǎn)Q3，4，P為拋物線上動(dòng)點(diǎn)，則PF+PQ的最小值為＿＿＿.

分析：定點(diǎn)Q在拋物線的外側(cè)，焦點(diǎn)F在拋物線的內(nèi)側(cè)，作圖（略），當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到三點(diǎn)共線時(shí)和最小，所以PF+PQ≥QF=25.

設(shè)計(jì)意圖：由例題出發(fā)，改變點(diǎn)Q的位置，定點(diǎn)Q在拋物線的外側(cè)，焦點(diǎn)F在拋物線的內(nèi)側(cè)，不需要通過定義轉(zhuǎn)化，可以直接求解；與例1形成對比，引起認(rèn)知沖突，揭示學(xué)生學(xué)習(xí)中的問題，引導(dǎo)思考例1用定義轉(zhuǎn)化距離的原因，是因?yàn)榍髣?dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和最小值時(shí)，需要把同側(cè)距離（定點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)的同側(cè)）轉(zhuǎn)化為異側(cè)距離（定點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)的異側(cè)），然后利用三角形的兩邊之和大于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)距離之和取得最小值，提升數(shù)形結(jié)合思維.

變式2 拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線x=-1的距離為d，定點(diǎn)Q1，1，則d－PQ的最大值為＿＿＿.

分析：定點(diǎn)Q在拋物線的內(nèi)側(cè)，直線在拋物線的外側(cè)，作圖（略），運(yùn)用拋物線定義將點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離d=PF，d－PQ=PF－PQ≤QF=1.

設(shè)計(jì)意圖：例1和變式1都是求距離之和最小值問題，變式2引出了求距離之差的最大值問題，需要把異側(cè)距離轉(zhuǎn)化為同側(cè)距離，然后利用三角形中兩邊之差小于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)同側(cè)距離之差取得最大值，激發(fā)逆向思維.

2 變式探究

教師提問1：以上是關(guān)于拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)或定直線的距離之和（差）的最值問題，同學(xué)們能否小組合作，探究在其他的曲線上是否也有這種最值問題呢？

學(xué)生探究1：其他圓錐曲線上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之和（差）的最值.

教師請學(xué)生上臺(tái)展示探究結(jié)果，整理如下：

3 教學(xué)反思

在單元復(fù)習(xí)教學(xué)中，從某個(gè)小知識(shí)點(diǎn)切入，通過改變題目條件，暴露學(xué)生解題中的疑惑點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，順應(yīng)學(xué)生的思維，通過教師的引導(dǎo)逐步深入，學(xué)生參與變式探究，對題型不斷深入挖掘，追根溯源，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)能力，鞏固和創(chuàng)新教學(xué)方法，有助于減輕學(xué)生的解題負(fù)擔(dān)，激發(fā)學(xué)生的探究興趣.

（本文系廣州市教育研究院2021年度科研課題：基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)深度教學(xué)策略研究（課題編號：21BJXP2147）和廣州教育學(xué)會(huì)2022年度科研課題：基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)研究（課題編號：202215082）階段性成果.）