數(shù)學(xué)問題的解決過程就是對問題的表征過程，不同的表征有著不同的功能，提供不同的信息，良好的問題表征有助于學(xué)生生成問題理解、減輕認(rèn)知負(fù)荷、構(gòu)建解題策略.美國著名的認(rèn)知心理學(xué)家和人工智能的創(chuàng)始人西蒙也曾指出，“表征是問題解決的一個(gè)中心環(huán)節(jié)，它說明問題在頭腦中是如何呈現(xiàn)的，如何表現(xiàn)出來的.如果一個(gè)問題得到了正確表征，可以說它已解決了一半”.［1］因此，在教學(xué)中要重視多元表征的教學(xué)策略.

一、影響數(shù)學(xué)問題解決的原因分析

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是問題解決的過程，如何有效地解決問題？首先是審題，然后對問題進(jìn)行表征，最后根據(jù)適宜的表征構(gòu)建解決問題的策略.在這一過程中對問題進(jìn)行表征是關(guān)鍵，表征是問題解決的切入點(diǎn)，但是不少學(xué)生面對問題時(shí)，無法對問題進(jìn)行表征，往往表現(xiàn)出表征識別能力低，表轉(zhuǎn)換意識弱.

1.表征識別能力低

表征識別能力的培養(yǎng)是一個(gè)長期的過程，每一種表征形式的特點(diǎn)和功能需要長期在對問題的表征中逐漸掌握，由于學(xué)生追求答案，為解題而解題的習(xí)慣導(dǎo)致很多很好的多元表征問題的機(jī)會(huì)錯(cuò)失.從而對問題的多元表征識別能力得不到提高，不能準(zhǔn)確快速地識別題目中的原有表征以及目標(biāo)表征的意義.另外，對問題僅停留在初始表征，即對概念、定理、公式等進(jìn)行表征，而深層表征即對已知問題信息進(jìn)行翻譯和轉(zhuǎn)換較少，從而導(dǎo)致表征識別能力低下.

2.表征轉(zhuǎn)換意識弱

在問題解決過程中受阻的原因很多，但是“一條道走到底”是其中一個(gè)最重要的原因，部分學(xué)生在對問題表征時(shí)總是停留在一種形式，沒有強(qiáng)烈的對問題多元表征的意識，表征間的轉(zhuǎn)換或轉(zhuǎn)譯意識淡薄，總是容易受原有表征和目標(biāo)表征的定勢影響，不善于借助其他表征.比如集合的交并補(bǔ)僅從文字表征理解起來有點(diǎn)費(fèi)力，但是借助圖形表征“韋恩圖”則可以起到“豁然開朗”的效果.

二、表征在問題解決中的重要性

問題解決前對問題的表征形式是很重要的，只有恰當(dāng)?shù)谋碚鲉栴}，才能從題目中提取有效信息，確定求解目標(biāo)，從而激活正確的圖式理解整個(gè)問題.［2］通過對問題的表征可以生成問題理解、減輕認(rèn)知負(fù)荷以及構(gòu)建解題策略.

1.生成問題理解

同樣一個(gè)問題不同的表征就是對問題的不同理解，通過不同形式的表征才能比較精準(zhǔn)地識別問題的本質(zhì).比如復(fù)數(shù)的模可以表征為向量的模，還可以表征為距離，也可以從數(shù)的角度識別成絕對值，一種表征形式就加深一層理解，在解決問題時(shí)就會(huì)多一種問題解決的策略.

2.減輕認(rèn)知負(fù)荷

不同認(rèn)知風(fēng)格的學(xué)生對問題表征的能力是有差異的，學(xué)生可以根據(jù)自己的認(rèn)知習(xí)慣和認(rèn)知水平選擇適合自己的問題表征形式，也可以通過不同的表征從不同的角度對問題進(jìn)行認(rèn)知，在一定程度上大大減輕了認(rèn)知負(fù)荷.比如空間幾何中線面關(guān)系的定理和性質(zhì)，每一條定理和性質(zhì)都有三種表征形式，學(xué)生可以選擇文字表征、符號表征或者圖形表征對定理和性質(zhì)進(jìn)行理解.可以說多元表征是減輕認(rèn)知負(fù)荷的最好載體.

3.構(gòu)建解題策略

問題解決的心理過程可大致分為兩個(gè)層次，一是理解問題，其中包括對問題的轉(zhuǎn)述和問題表征.即將問題用語言或符號表示出來，并轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)者的內(nèi)部心理表征；二是執(zhí)行計(jì)劃，其中包括計(jì)劃的執(zhí)行與反饋監(jiān)控.由此表明，良好的問題表征及恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換是問題成功解決的前提和關(guān)鍵.［3］表征選擇和表征轉(zhuǎn)換決定了問題解決策略的路徑，以復(fù)數(shù)為例，把復(fù)數(shù)表征成向量就用向量知識解決，表征成點(diǎn)就用幾何知識解決，表征成數(shù)就用代數(shù)知識解決.

三、基于表征的數(shù)學(xué)問題解決策略

學(xué)生面對一個(gè)問題時(shí)首先是思考如何理解題意，而很多題目僅從已知條件的外在結(jié)構(gòu)是很難清晰地知道它的內(nèi)在特點(diǎn)，這就需要對問題進(jìn)行多元表征，選擇哪種表征形式直接決定了問題能否順利解決.高中數(shù)學(xué)問題解決中常見的表征形式有三種：圖形表征、符號表征和文字表征.靈活應(yīng)用三種表征，熟練三種表征之間的轉(zhuǎn)譯是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵.

1.圖形表征：讓問題可視化

數(shù)學(xué)問題的解決過程中很多意想不到的錯(cuò)誤就是缺少問題可視化的過程，除了上述提到的學(xué)生受表征能力的影響外，還有一個(gè)重要的原因就是思維定勢導(dǎo)致的表征轉(zhuǎn)換的偏向性，多數(shù)學(xué)生偏向數(shù)學(xué)符號的表達(dá)，而不太習(xí)慣繁瑣的文字表征以及圖形表征，而圖形表征的最大優(yōu)勢在于直觀，讓問題可視化.通過把問題可視化更有利于分析問題和解決問題.

題1 在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)按順序分別對應(yīng)的復(fù)數(shù)是1+2i，－2+i，0，那么這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）.

A.3+iB.3－iC.1－3iD.－1+3i

這道題的出錯(cuò)率很高，大多數(shù)學(xué)生選了A，除了受思維定勢的影響之外，更多的是學(xué)生在解題時(shí)沒有對題目中“三個(gè)頂點(diǎn)按順序分別對應(yīng)的復(fù)數(shù)是1+2i，－2+i，0”進(jìn)行圖形表征，而是憑著以往的解題經(jīng)驗(yàn)，默認(rèn)這三個(gè)點(diǎn)分別是相鄰的，如果正方形是ABCD，那么就默認(rèn)這三個(gè)點(diǎn)就是A、B、C，這樣做出來的選項(xiàng)是A，如果作圖則求出的答案是D.但是對于選項(xiàng)A作圖可以看得出是不能構(gòu)成正方形，那為什么那么多人會(huì)選擇A？原因肯定不僅僅是學(xué)生沒有對結(jié)果通過作圖進(jìn)行驗(yàn)證，而是對題目的理解出現(xiàn)了偏差.一是對文字語言的理解受思維定勢的影響，平時(shí)做過不少類似的題目，如人教版必修二81頁的第5題：四邊形ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，A，B，C三點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+3i，－i，2+i，求點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù).這里A，B，C對應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)就是按順序的，而題1中的三個(gè)點(diǎn)顯然不是按順序的，二是學(xué)生的惰性思維和惰性行為導(dǎo)致，懶得作圖，心算來得比較直接，思維不嚴(yán)謹(jǐn)，認(rèn)為這是一道比較基礎(chǔ)的題.在做錯(cuò)的學(xué)生中基礎(chǔ)好的學(xué)生占比較多，相反數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般的學(xué)生反而正確率比較高，原因很簡單，就是基礎(chǔ)一般的學(xué)生在做題時(shí)按部就班地根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)圖形表征進(jìn)行解答，而基礎(chǔ)較好的學(xué)生直接根據(jù)題意進(jìn)行解答.事實(shí)上，作圖的過程就是思維可視化的過程，通過圖形表征讓問題直觀地呈現(xiàn)出來，以形解數(shù)，以數(shù)解形，思維更嚴(yán)謹(jǐn)，這樣會(huì)少走很多彎路，也會(huì)提高正確率.

2.符號表征：讓問題清晰化

符號表征有著簡潔的特點(diǎn)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要語言，也是學(xué)生最熟悉的語言，但是符號表征同時(shí)有著高度抽象的特點(diǎn)，符號識別能力弱的學(xué)生很難從外在結(jié)構(gòu)找到問題的切入點(diǎn).因此，應(yīng)根據(jù)所學(xué)知識把難以識別的符號轉(zhuǎn)譯成便于理解的符號.當(dāng)然，轉(zhuǎn)譯并不是一步到位，有的時(shí)候需要多次轉(zhuǎn)譯，但是在不斷地轉(zhuǎn)譯的過程中就會(huì)對問題的理解逐漸清晰，從而才能構(gòu)建出優(yōu)良的問題解決策略.

題2 若z1－z2=1，則稱z1與z2互為“鄰位復(fù)數(shù)”.已知復(fù)數(shù)z1=a+3i與z2=2+bi互為“鄰位復(fù)數(shù)”，a，b∈R，則a2+b2的最大值為＿＿＿＿＿.

新教材實(shí)施后的高一學(xué)生沒有學(xué)過圓的方程，那么解答這道題時(shí)就要從其它角度進(jìn)行分析，首先根據(jù)題意把z1－z2=1表征為（a－2）2+（3－b）2=1，顯然學(xué)生是不能從這個(gè)式子表征的外在結(jié)構(gòu)識別出它的意義，從而導(dǎo)致思維受阻.但是，如果對這個(gè)符號表征稍微變換一下，把不熟悉的表征轉(zhuǎn)換為熟悉的表征，即（a－2）2+（b－3）2=1，問題就清晰了很多.接下來不難理解這個(gè)符號表征的幾何意義，用語言表征就是：點(diǎn)（a，b）到點(diǎn)（2，3）的距離是1，然后用圖形表征即畫出圖形，顯然知道這是一個(gè)圓，最后把a(bǔ)2+b2變?yōu)閍2+b2，其幾何意義是點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)的距離，根據(jù)圖形表征迅速求解.

解決問題的最終途徑是化未知為已知，把不會(huì)的問題逐步轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識進(jìn)行解答，轉(zhuǎn)化的過程就是問題逐漸清晰化的過程.在問題清晰化之后解題策略就會(huì)豐富起來，除了上述的解法之外，還可以利用三角換元的思想進(jìn)行解答，（a－2）2+（b－3）2=1的式子結(jié)構(gòu)有著很明顯的“平方和”的特點(diǎn)，這與“sin2θ+cos2θ=1”的結(jié)構(gòu)極為相似.因此，可以設(shè)a=2+cosθ，b=3+sinθ.不同的符號表征代表的意義是不同的，稍作變換便“守得云開見月明”.另外，必要的一題多解可以體現(xiàn)知識的聯(lián)系性與整體性，有利于學(xué)生鞏固和完善知識體系.這道題的解決過程中并不是單一的符號表征，而是三種表征不斷地轉(zhuǎn)譯，單一的表征是不足以完成問題的解決.可見，培養(yǎng)學(xué)生的表征意識和表征能力在高中數(shù)學(xué)問題題解決中是非常重要的.

3.文字表征：讓問題結(jié)構(gòu)化

分析問題首先應(yīng)該從問題的結(jié)構(gòu)入手，剖析問題的結(jié)構(gòu)有利于發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，從而對問題進(jìn)行適宜的表征.但是由于學(xué)生表征具有偏向性，對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，學(xué)生較為喜歡符號表征與圖形表征的轉(zhuǎn)譯，而忽視對文字表征的重視.其實(shí)如果對數(shù)學(xué)對象的意義能夠用精準(zhǔn)的文字表述出來數(shù)學(xué)素養(yǎng)是很高的.因此，數(shù)學(xué)問題的解決中要加強(qiáng)對語言表征的轉(zhuǎn)譯.

題3 設(shè)函數(shù)f（x）=2sin（π2x+π5），若對任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，則x1－x2的最小值為＿＿＿＿＿.

這道題以三角函數(shù)為背景考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).學(xué)生在審題時(shí)無法理解符號表征f（x1）≤f（x）≤f（x2）的意義，如果單獨(dú)集中注意這個(gè)符號，這道題是無法理解的.表面上看是符號表征的抽象，其實(shí)題干的主要信息是文字“任意，都”，只有把這兩個(gè)關(guān)鍵的邏輯聯(lián)結(jié)詞跟符號表征f（x1）≤f（x）≤f（x2）結(jié)合在一起，此題才有能找到問題的突破口，分析清楚問題內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu).因此，首先把原有表征用詳細(xì)的語言表征進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即“對任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立”的意思就是不論x取任何值，不等式f（x1）≤f（x）≤f（x2）都成立，進(jìn)一步用口語化的語言進(jìn)行表征就是：也就是說f（x1）永遠(yuǎn)小于等于f（x），f（x2）永遠(yuǎn)大于等于f（x），再進(jìn)一步轉(zhuǎn)譯就是“f（x1）是函數(shù)的最小值，f（x2）是函數(shù)的最大值”，轉(zhuǎn)譯到這里，這道題的運(yùn)算路徑就出來了，即x1，x2是函數(shù)f（x）=2sin（π2x+π5）的最大值和最小值時(shí)的x的取值，再分析求解目標(biāo)“x1－x2”，理解清楚了x1，x2的意義，再來理解x1－x2并不難即x1－x2表示距離.因?yàn)樽钪档奈恢镁褪呛瘮?shù)的對稱軸的位置，最大值和最小值最近的距離就是半個(gè)周期，這道題其實(shí)就是求解函數(shù)的周期，繞了這么大一圈，最終的運(yùn)算是很簡單的.

在對符號表征進(jìn)行轉(zhuǎn)譯的過程中就是對問題的結(jié)構(gòu)進(jìn)行剖析，每轉(zhuǎn)譯一次，結(jié)構(gòu)就優(yōu)化一次，在兩次的轉(zhuǎn)譯中問題的結(jié)構(gòu)變?yōu)閮蓚€(gè)并列式的關(guān)系，一是求函數(shù)的最小值，二是求函數(shù)的最大值.根據(jù)這兩個(gè)結(jié)構(gòu)化的問題，根據(jù)目標(biāo)表征x1－x2進(jìn)行第三次轉(zhuǎn)譯“求函數(shù)取得最值時(shí)的x的取值之間的距離”.不少學(xué)生在解題時(shí)不會(huì)分析題目中的關(guān)鍵信息，其原因之一就是沒有對關(guān)鍵信息進(jìn)行表征之間的轉(zhuǎn)譯，轉(zhuǎn)譯的過程就是復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化的過程，題1中抽象的數(shù)學(xué)符號f（x1）≤f（x）≤f（x2）其實(shí)就是隱含著函數(shù)的最值問題，要對不理解的信息結(jié)合題干反復(fù)讀，一步步轉(zhuǎn)譯，才能挖掘出題干中的隱藏信息.在轉(zhuǎn)譯表征的過程中逐漸剖析問題的結(jié)構(gòu)，一層層打開題目背后神秘的面紗.這道題看似簡單，但是思維的路徑很長.學(xué)生在做此題時(shí)被符號f（x1）≤f（x）≤f（x2）給迷惑了，思考的重心在這個(gè)不等式，而忽視了關(guān)鍵詞語“任意”和“都”.學(xué)生一般會(huì)受題干中原有表征的影響，缺乏轉(zhuǎn)譯表征的意識，問題以何種表征出現(xiàn)，學(xué)生就用何種表征解題.沒有多元表征的相互轉(zhuǎn)譯，解題思路顯得非常狹隘.很顯然這道題只有把這兩個(gè)詞“任意、都”放進(jìn)思考的路徑中，并對其進(jìn)行更進(jìn)一步的文字表征轉(zhuǎn)譯才能理解這道題的意思.

新高考最大的變化就是對學(xué)生思維能力的考查，繁瑣的運(yùn)算不是主要考查的目的，對題目信息的多元表征才是命題者的重心.單一的表征往往是不足以解決數(shù)學(xué)問題的，很多時(shí)候三種表征交替出現(xiàn)，互相補(bǔ)充，不同的表征發(fā)揮著不同的作用，在不同的表征轉(zhuǎn)換中生成數(shù)學(xué)理解.

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