梁竹

［摘 要］2023年度高考藍皮書《中國高考報告（2023）》中提到，數(shù)學考試出題將要加入復雜的情境，重點強調數(shù)學思維方法的考查。面對蘊含復雜情境的數(shù)學題，學生需要具備較強的學科閱讀能力。教師可以課本閱讀材料為依托，以提升閱讀能力和思維能力為目的，指導學生開展“六個一”數(shù)學閱讀活動。通過數(shù)學閱讀活動，可提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，達到育人的目的。

［關鍵詞］課本；閱讀材料；對數(shù)

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻標識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2023）11-0013-04

“數(shù)學閱讀材料”是人教版高中數(shù)學教科書的亮點之一，是與數(shù)學教學內容相關的數(shù)學史知識以及數(shù)學知識的延伸、拓展和應用，同時也是實施德育的重要資源。 如何有效利用課本閱讀材料，培養(yǎng)學生的數(shù)學閱讀能力？筆者認為，可以課本閱讀材料為依托，指導學生進行多維度的數(shù)學學科閱讀。

一、數(shù)學學科閱讀模型

數(shù)學學科閱讀不應局限于“閱讀”，還應涉及“閱讀欣賞”和“數(shù)學解題”。其中，“閱讀欣賞”強調閱讀水平與欣賞水平的提升，突出人文素養(yǎng)以及家國情懷的培養(yǎng)?！皵?shù)學解題”強調數(shù)學思維能力的提升。這兩者相互融合，構成了數(shù)學學科閱讀。

如何構建數(shù)學學科閱讀模型？我們可以按照“信息認知→重組聯(lián)系→類推遷移”的邏輯思路去構建數(shù)學學科閱讀模型（見圖1）。

（一）信息認知（材料分析、轉換概括）

當人們拿到一份數(shù)學材料時，為了獲取意義，會對其中的字符（文字、符號與圖形的總稱）進行初步的感知、閱讀和分析，具體包含分析信息類型，分析對象，分析結構、分析行為。數(shù)學材料包含的信息類型有學科特征信息、高頻信息、有意義的信息、無意義的信息、關鍵信息、圖表信息、細節(jié)信息、干擾信息、限定信息、隱含信息等。而在分析數(shù)學材料涉及的對象時，往往會關注關鍵詞、關鍵句、關鍵概念、關鍵符號、圖表關鍵數(shù)據(jù)等。數(shù)學材料的結構則可分為先后順序、層次順序、上下關聯(lián)三種。至于分析行為，有些人會邊閱讀邊標注、圈點、連線，有些人會進行句段分析、詞語辨認、詞語提取。

（二）重組聯(lián)系（信息重組、聯(lián)系聯(lián)想、追溯原型）

對數(shù)學材料進行初步分析后，人們會對信息進行轉譯、重組，聯(lián)系聯(lián)想，甚至追溯原型。信息重組指的是通過分析、鑒別、濃縮、提煉、綜合歸納，對相關信息進行重組，按照邏輯序列整合優(yōu)化（信息集成、信息整合）。聯(lián)系聯(lián)想包含學科之間的聯(lián)系、語義聯(lián)想、詞匯聯(lián)想、原理聯(lián)想、操作聯(lián)想。追溯原型則指在學習過的知識中找到類似的原理、模型。

（三）類推遷移（類推猜測、關聯(lián)遷移、內化生成）

對文字語言、符號語言和圖形語言3種數(shù)學語言進行正確轉譯、重組聯(lián)系后，人們接著對文本進行綜合理解，并進行類推猜測、關聯(lián)遷移，最終將外部信息轉化為內部信息。

二、“六個一”數(shù)學閱讀活動

教師應以數(shù)學學科閱讀模型為指導，結合學生的認知特點，開展“六個一”數(shù)學閱讀活動?！傲鶄€一”，即“讀一讀”“說一說”“畫一畫”“練一練”“編一編”“歸一歸”。

下面筆者以函數(shù)中的“對數(shù)的發(fā)明”這份數(shù)學材料為例，談談如何依托課本閱讀材料，指導學生進行“六個一”數(shù)學閱讀活動。

（一）讀一讀

教師先給學生介紹對數(shù)的研究背景：17世紀末，人類在天文學、航海和大地測量等方面都有了長足的進步。其中，對數(shù)是一個重要的研究方向，它與數(shù)學密切相關，包含許多復雜的運算，海量的數(shù)據(jù)對人類（特別是數(shù)學家）造成了很大的壓力，所以提高數(shù)值運算速度的算法就成了人類研究的重點，而對數(shù)就是其中之一。然后教師提問：下面請同學們自行閱讀材料《對數(shù)的發(fā)明（節(jié)選）》，看一看對數(shù)是如何產生的，它在數(shù)學的發(fā)展、人類社會的發(fā)展歷史中起了什么作用。

對數(shù)的發(fā)明（節(jié)選）

納皮爾在研究運動學的過程中，從幾何的角度說明了對數(shù)的應用。

如圖2所示，假設[P]、[Q]兩點以相同的初速度運動，點 [Q]沿著直線[CD]做勻速運動，則[CQ=x]；點[P]沿線段[AB]（長度為[107]單位）運動，它在任何一點的速度值等于它尚未經過的距離（[PB=y]），令[P]與[Q]同時分別從[A]、[C]出發(fā)那么定義[x]是[y]的對數(shù)。

在納皮爾的對數(shù)中， [x]和 [y]的對應關系是

[y=1071ex107]

其中，e為自然對數(shù)的底。利用對數(shù)，納皮爾制作了0°～90°每隔1′的八位三角函數(shù)表，但是這種方法不夠方便和簡捷。

納皮爾的一位朋友布里格斯（H.Briggs）在納皮爾的專著《奇妙的對數(shù)定律說明書》中發(fā)現(xiàn)了一些不太容易使用的對數(shù)，于是他和納皮爾商量，決定把1的對數(shù)變成0，10的對數(shù)變成1，這就是我們今天使用的基本對數(shù)。因為我們的數(shù)字系統(tǒng)采用十進制，所以這種對數(shù)更適合于計算。布里格斯于1624年出版了《對數(shù)算術》，公布了以10為底包含1～2 0000和9 0000～10 0000的14位常用對數(shù)表。他還提出了一種新的對數(shù)計算的概念，這種概念被稱為“對數(shù)算術”。根據(jù)對數(shù)運算原理，人們還發(fā)明了對數(shù)計算尺。在過去的三百年里，對數(shù)計算已經成為一種基本的計算方式，而對數(shù)的計算方式和表達方式，則被一些“隱身”的物質所掩蓋，很難被發(fā)現(xiàn)。但是，對數(shù)的思想方法，即把乘方和乘法運算分別轉化為乘法和加法，在今天仍然具有生命力。（改編自2019年人教A版普通高中數(shù)學教科書必修第一冊第12—129頁）

這份閱讀材料不僅有文字語言，還有一些數(shù)學符號、式子、圖像等，其中可運用的信息呈現(xiàn)出不同的形式，所以必須對其進行“輸入”和“處理”，才能將其轉換成數(shù)學數(shù)據(jù)，才能更好地理解每一種數(shù)據(jù)的數(shù)學含義。

比如，材料中給出了[y]和[x]的關系，其滿足[y=1071ex107]，這是“顯性”信息，而由其衍生出來的[lny=ln107-x107]則屬于“隱性”信息。再比如，材料中出現(xiàn)“布里格斯在《對數(shù)算術》中公布了以10為底的14位常用對數(shù)表”“根據(jù)對數(shù)運算原理，人們發(fā)明了對數(shù)計算尺”等信息，這些告訴我們，關于對數(shù)，最開始并不是作為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)來研究的，而是經歷了對數(shù)表、對數(shù)尺等的發(fā)展歷程。

（二）說一說

學習任務1：閱讀上述材料后，假如你的同學對對數(shù)的產生以及它的發(fā)展過程還不清楚，請你給你的同學說一說對數(shù)產生的原因以及對數(shù)的發(fā)展過程。

這一環(huán)節(jié)的教育價值在于讓學生能夠用數(shù)學的方式去表述，并將自己大腦中經過有條不紊的、仔細的思考后得出的看法“外顯”。

（三）畫一畫

學習任務2：請你梳理對數(shù)的相關知識，畫一個對數(shù)的思維導圖。

思維導圖的繪制需要學生找準關鍵主題，厘清知識的主干和分支， 并用圖形清晰而系統(tǒng)地展示出來，因此能促使學生深入思考。有些學生對對數(shù)的加減法運算法則搞不清楚，通過思維導圖（見圖3），兩者之間的相同點、不同點就能一目了然。

這個環(huán)節(jié)的育人價值在于讓學生學會思維建構，對相關信息進行重組，按照邏輯序列整合優(yōu)化（信息集成、信息整合）。

（四）練一練

學習任務3：通過閱讀《對數(shù)的發(fā)明（節(jié)選）》，我們了解到對數(shù)的歷史，請你完成以下與對數(shù)有關的習題。

（1）納皮爾于1614年提出了對數(shù)，以使其運算更簡單；笛卡兒于1637年首次應用了指數(shù)的計算；歐拉于1707年發(fā)現(xiàn)了指數(shù)和對數(shù)之間的互逆關系。若[ex=2.5]，[lg2=0.3010]，[lge=0.4343]，根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關系，估計[x]的值約為（ ? ? ? ）。

A. 0.5961?B. 0.9164?C. 0.6941?D. 1.469

（2）納皮爾是蘇格蘭數(shù)學家，其主要成果有球面三角中的納皮爾比擬式、納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617），其最大的貢獻是對數(shù)的發(fā)明，著有《奇妙的對數(shù)定律說明書》，并且發(fā)明了對數(shù)尺，可以利用對數(shù)尺查詢出任意一對數(shù)值?，F(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是[T1（℃）]，空氣的溫度是[T0（℃）]，經過[t]分鐘后物體的溫度[T（℃）]可由公式[t=4log3T1-T0T-T0]得出。如溫度為90 ℃的物體，放在空氣中冷卻2.5236分鐘后，物體的溫度是50 ℃，若根據(jù)對數(shù)尺可以查詢出[log32=0.6309]，則空氣溫度是（）。

A. 5 ℃ ? B. 10 ℃ ? C. 15 ℃D. 20 ℃

（3）如圖4所示，假定[P]、[Q]兩點以相同的初速度運動。點[Q]沿直線[CD]做勻速運動，[CQ=x]；點[P]沿線段[AB]（長度為107單位）運動，它在任何一點的速度值等于它尚未經過的距離（[PB=y]）。令點[P]與點[Q]同時分別從[A]、[C]出發(fā)，定義[x]為[y]的納皮爾對數(shù)，用現(xiàn)代數(shù)學符號表示[x]與[y]的對應關系就是[y=1071ex107（e=2.71828…）]，當點[P]從線段[AB]的三等分點（靠近[A]）移動到中點時，經過的時間為（）。

A. [ln2]B. [ln3]C. [ln32]D. [ln43]

這三道題均是與納皮爾有關的應用題，題材范圍很廣，背景也表現(xiàn)出多樣化的特征。通常情況下，與納皮爾有關的應用題的文字敘述長，數(shù)據(jù)多且不規(guī)則，文字、符號以及相關的數(shù)學關系式都是相互交織在一起的。所以，要耐心、細致地審題，去粗取精，抓住問題的主干，挖掘隱含條件。

第一題解答過程如下：

由指數(shù)、對數(shù)互化公式得[x=ln2.5=lg2.5lge=1-2lg2lge≈0.9164] 。故選B。

第二題解答過程如下：

由題意可知[2.5236=4log390-T050-T0]，整理得[log390-T050-T0=0.6309]，[∵log32=0.6309]，∴[log390-T050-T0=log32]，[∴][90-T050-T0=2]，解得[T0=10]。故選B。

第三題解答過程如下：

由題意可知，點[P]的初始速度[107]即為點[Q]的速度。當點[P]在靠近點[A]的三等分點時，有[23×107=1071ex107]，解得[x=107ln32]；當點[P]在中點時，有[12×107=1071ex107]，解得[x=107ln2]，所以經過的時間為[107ln2-ln32÷107=ln43]。故選D。

這一環(huán)節(jié)的育人價值在于提高學生的數(shù)學學習能力，激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，讓學生在做題中閱讀數(shù)學史，體會數(shù)學知識所蘊含的人文韻味，這比過去的死記硬背更有意義。

（五）編一編

提問：同學們是否可以從命題背景的角度分析高考題或教材上的練習題？ 如果是選擇題、填空題，能否抓住題干，挖掘里面的隱含條件，列出相應的關系式？ 如果是解答題，能否寫出分析思路及規(guī)范的答題步驟？

皮亞杰指出，只有兒童自己發(fā)現(xiàn)的東西，才能積極被同化。在教學中，讓學生自編題目，一方面有利于學生創(chuàng)新能力的發(fā)展。在自編題目的過程中，學生需要對相關信息進行重新組織和整理，并按照自己的方法來對知識進行內化和理解，從而使創(chuàng)造力得到最大限度的提高。盡管學生自編的題目可能不是那么完美，甚至有可能出錯，但是在編題的過程中，每一位學生都經歷了一次創(chuàng)新，這是讓學生解答一些標準題目所無法做到的。另一方面有利于增強學生的自信心。學生自己提出問題，在不同程度上感受到成功的喜悅，并建立起自信。學生通過自己的思考、想象而創(chuàng)造出來的題目得到老師和同學的認同，他們就體驗到了成功的快樂。

這一環(huán)節(jié)的育人價值在于把學習的主動權交給學生，真正做到以學生為主體，同時，學生對閱讀材料進行了二次開發(fā)，實現(xiàn)了學以致用。

（六）歸一歸

提問：通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？

設置這樣的問題，讓學生“歸一歸”，有助于學生養(yǎng)成整理知識的習慣，使學生能夠及時把知識系統(tǒng)化、條理化，同時加深學生對數(shù)學閱讀材料的理解，完善學生的知識體系。

這一環(huán)節(jié)的育人價值在于培養(yǎng)學生的歸納概括能力，使學生對知識有一個系統(tǒng)的認識，并學會閱讀方法和技巧。

綜上，數(shù)學閱讀材料涉及的范圍很廣，而且具有很強的科學性、教育性和趣味性，是一種很好的教學資源，教師可以合理利用、二次開發(fā)數(shù)學閱讀材料，給予學生多維立體的數(shù)學教育，提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ］

［1］ ?楊紅萍.數(shù)學閱讀：認知與教學［M］.北京：高等教育出版社，2016.

［2］ ?常利平.在數(shù)學學習要重視閱讀教材［J］.教育教學論壇，2010（35）：78-79.

［3］ ?姚平.數(shù)學教學中應加強對數(shù)學教材的閱讀［J］.數(shù)學通報，2005（2）：30-32.

［4］ 鐘建新.關于高中數(shù)學“閱讀材料”的思考［J］.數(shù)學通報，2011（4）：12-14.

［5］ ?陳士潤.關于高中生數(shù)學閱讀能力培養(yǎng)策略的思考［J］.中學課程輔導（教學研究），2021（4）：102.

（責任編輯 黃桂堅）