舒孝珍

（成都師范學院 數學學院，四川 成都 611130）

美國運籌學家T·L·saaty 教授提出層次分析法是一種基于1-9 標度下的定性與定量分析相結合的系統(tǒng)決策方法[1]．在實際應用過程中，該標度下的層次分析法存在很多不足之處，因而，國內外學者對層次分析法的1-9 標度進行了改進，并且取得了豐碩的研究成果．目前的研究成果有：1-15 標度、x2標度、標度[2]、9/9-9/1 標度、10/10-18/2 標度、指數標度[3-4]、分數標度[5-6]等互反型標度，0-2 標度[7]、-1-1標度[8]、-2-2 標度[9]、0.1-0.9 標度[10]等互補型標度．如何分析比較不同類型標度在實際決策應用中的效益已成為眾多研究者所關心的問題[11-14]．

對于標度的對比分析，呂躍進及其合作者對指數標度與1-9 標度進行了對比研究，得到指數標度與1-9 標度在一致性上是互不相容的，前者效果優(yōu)于后者，且前者具有優(yōu)良的數學結構[15]．駱正清和楊善林提出了用保序性、一致性、標度均勻性、標度可記憶性、標度可感知性、標度權重擬合性6 個標準對常見的7 種互反型標度進行了比較，得到對于解決單一準則下的排序問題，保序性對所有標度都成立，指數標度的一致性和權重擬合性最好[16]．1-9 標度法的標度均勻性、標度可記憶性、標度可感知性這3個性質最好．劉穎芬和占濟舟論證了1-9 標度、a8= 9 標度、9/9-9/1 標度、10/10-18/2 標度的完全一致性互不相容，得到a8= 9 標度比其他幾種標度更為合理[17]．以上的研究主要集中在“互補型”標度的對比方面，但很少有研究針對“互反型標度”和“互反與互補型”標度進行深入研究.因此，在前人的研究方法基礎上，文章對應用最廣泛的互反型1-9 標度與互補型0.1-0.9 標度進行了對比研究，得到了如下的結論：1- 9 標度和0.1- 0.9 標度這兩種標度法都具有保序性和一致性，1/9 標度的均勻性比0.1-0.9標度要好，而權重擬合性比后者差.

1 兩種標度的關系

在實際應用中，互反型1-9 標度與互補型0.1-0.9 標度是應用廣泛的兩種標度，二者的關系如表1 所示.

表1 1-9 標度與0.1-0.9 標度的關系

2 兩種標度的比較

2.1 保序性

保序性的數學定義如下[16]：對某一排序決策問題D，有n個被比較對象A1,A2, ... ,An，它們在準則C下存在一個客觀次序R，現利用某一標度S對問題D進行排序，如果得到的排序結果與客觀次序R相同，則稱標度S對排序決策問題D具有保序性.

現建立一組被比較對象：A1,A2,A3,A4,A5．不失一般性，假定在某準則C（即構造一個新的標度：1-5標度）下的客觀次序是A1與A1,A2,A3,A4,A5之間的關系恰好構成：同等重要、稍微重要、明顯重要、強烈重要、極端重要．A2與A2,A3,A4,A5之間的關系恰好構成：同等重要、稍微重要、明顯重要、強烈重要．A3與A3,A4,A5之間的關系恰好構成：同等重要、稍微重要、明顯重要．A4與A4,A5之間的關系恰好構成：同等重要、稍微重要．A5與A5之間的關系恰好構成：同等重要．

根據以上關系，可以得到這5 個被比較的對象在1-5 標度的判斷矩陣，如表2 所示.

表2 1-5 標度下的判斷矩陣

根據表2，把1-9 標度下的5 個標度值作為被比較的5 個對象，可得它們1-5 標度的

利用MATLAB 編寫程序cxl1.m

Z=[1 1/3 1/5 1/7 1/9;3 1 1/3 1/5 1/7;5 3 1 1/3 1/5;7 5 3 1 1/3 9 7 5 3 1];

[V,D]=eig(Z)

W=V(:,1)/sum(V(:,1))

lambda=max(eig(Z))

n=size(Z)

CI=(lambda-n)./(n-1)

RI=1.12

CR=CI./RI

if CR＞=0.1

error;

else ’pass text’

end

運算結果：

lambda=5.2375，W=（ 0.0333 0.0634 0.1290 0.2615 0.5128)，CI=0.0594，CR=0.0530，ans=pass text

根據表2，可得0.1-0.9 標度下的5 個標度值作為被比較的5 個對象，并且可得其在1-5 標度下的判斷矩陣為：

根據上述判斷矩陣，利用MATLAB 編寫程序cxl2.m

Z=[0.5 0.4 0.3 0.2 0.1;0.6 0.5 0.4 0.3 0.2;0.7 0.6 0.5 0.4 0.3;0.8 0.7 0.6 0.5 0.4; 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5];

[V,D]=eig(Z)

W=V(:,1)/sum(V(:,1))

lambda=max(eig(Z))

運算結果：

lambda=2.808，W=(0.1123 0.1562 0.2000 0.2438 0.2877 ).

由上述運算結果，可得1-9 標度與0.1-0.9 標度的權重，如表3 所示.

表3 1-9 標度與0.1-0.9 標度的權重

由表3 可知，1-9 標度與0.1-0.9 標度的權重雖然不同，但是當它們同在1-5 這個任意特定的標度下，權重又都具有如下性質：Wi＞Wj，當i＞j時，即下標小的權重小，由此可知，對1-5 這個標度下的排序問題，1-9 標度與0.1-0.9 標度都具有保序性.由此，得到如下結論：對單一準則下的任何排序問題，1-9標度與0.1-0.9 標度，這兩種標度都具有保序性.

2.2 一致性

層次分析法中判斷矩陣的一致性，主要用來評判決策者在作出定性判斷時是否保持前后一致．在互反型判斷矩陣中，若矩陣中的元素滿足aik×akj=aij，則稱判斷矩陣為一致性矩陣．但在實際應用中，決策者做出的定性判斷往往不是完全一致的，因而引入了一致性指標CR作為衡量判斷矩陣一致性的標準，并規(guī)定當CR= 0 時，判斷矩陣具有完全一致性；當CR＜ 0.1 時，判斷矩陣的一致性在可以接受的范圍；當CR＞ 0.1 時，判斷矩陣的一致性不符合要求．

一致性指標CR的計算方法如下：

其中，RI是平均隨機一致性指標，可通過查表得到.λmax是判斷矩陣的最大特征值，aij=aik－ajk＋0 是判斷矩陣的階.

在互補型判斷矩陣中，若判斷矩陣中的元素滿足aij=aik－ajk＋0.5，則稱判斷矩陣是一致性矩陣.根據杜棟教授在文章[10]和徐澤水教授在文章[18]中的分析，可以得到：原始互補型判斷矩陣A= (aij)n×n，通過以下數學變換[19]，可以得到一致性判斷矩陣B= (bij)n×n，從而可以避免一致性檢驗.

其中，i,j= (1,2,...,m)，m為單準則下的元素個數.

另外，徐澤水教授在文章[18]中指出，若A= (aij)n×n是互反型1-9 標度下的判斷矩陣，則可以通過公式（2）

轉換為互補型0.1-0.9 標度下的判斷矩陣B= (bij)n×n.

反過來，若B= (bij)n×n是互補型0.1-0.9 標度下的判斷矩陣，則可以通過公式（3）

轉換為互反型1-9 標度下的判斷矩陣A= (aij)n×n.

由上述分析可知，1-9 標度與0.1-0.9 標度這兩種標度的判斷矩陣的一致性是相同的．對于1-9 標度的判斷矩陣，通過2.1 節(jié)中的MATLAB 軟件運算結果，可以看到一致性指標：

滿足一致性，從而0.1-0.9 標度的判斷矩陣也滿足一致性.

2.3 標度均勻性

標度均勻性是指在某一標度下，所有相鄰的兩標度值的差或商大致相等的程度[16]．為了比較1-9 標度與0.1-0.9 標度這兩種標度的均勻性，引入如下關于標度均勻性的定義.

定義1[16]某一標度下相鄰的標度值差dij為：

其中，Si，Sj為某一標度下相鄰的兩個標度值.

定義2[16]某一標度下相鄰的標度值商Dij為：

其中，Si，Sj為某一標度下相鄰的兩個標度值.

定義3[16]某一標度下標度值差的距離d為該標度下最大標度值差與該標度下最小標度值差的差：

定義4[16]某一標度下標度值差商的距離D為該標度下最大標度值商與該標度下最小標度值商的商：

定義5[16]某一標度的標度值距離的平衡值為：

當1.1 ≤b≤ 2.0 時，標度均勻性比較理想；當2.1 ≤b≤ 6.0 時，標度均勻性比較好；當b取其他值時，標度均勻性比較差.

根據上述定義，現在分別考察1-9 標度與0.1-0.9 標度，這兩種標度的均勻性．

對于1-9 標度，所有的dij= 2，故標度值差的均勻性好，標度值差的距離d= 2．標度值商分別為D31= 3，D53= 1.67，D75= 1.4，D97= 1.29．標度值商的距離D= 2.33.因而平衡值b=1.16，標度均勻性較為理想.

對于0.1-0.9 標度，所有的dij= 0.1，故標度值差的均勻性好，標度值差的距離d= 0.1．標度值商分別為D31= 1.2，D53= 1.17，D75= 1.14，D97= 1.13．標度值商的距離D= 1.06．因而平衡值b= 10.6，標度均勻性較差.

根據以上分析表明，1-9 標度的標度均勻性優(yōu)于0.1-0.9 標度的標度均勻性.

2.4 標度權重擬合性

定義6[16]標度權重擬合性是指用層次分析法計算的權重與用標度值直接加權的權重的擬合程度.我們可以引入以下公式來判斷一個標度權重擬合性的優(yōu)劣.

其中，Wbi表示用層次分析法得到的第i個標度值的權重，Wzi表示用直接加權法得到的第i個標度值的權重，n表示某一標度下標度值的個數．當Eavg越小時，表明該標度的權重擬合性越好．

利用上述權重擬合性優(yōu)劣公式以及通過表3 和直接計算兩種標度的權重，可以得到1-9 標度與0.1-0.9 標度的權重擬合程度，如表4 所示.

表4 1-9 標度與0.1-0.9 標度的權重擬合度

表4 表明，1-9 標度的權重擬合度比0.1-0.9 標度的權重擬合度差.

3 結 語

關于1-9 標度和0.1-0.9 標度，文章從標度的保序性、一致性、均勻性、權重擬合性這4 個方面對兩種標度法進行了對比分析．結果表明，在標度的保序性和一致性這兩方面，1-9 標度和0.1-0.9 標度的都具有良好的保序性和一致性；在標度均勻性方面，1-9 標度優(yōu)于0.1-0.9 標度；在標度的權重擬合性方面，0.1-0.9 標度優(yōu)于1-9 標度．

文章通過對1-9 標度和0.1-0.9 標度進行分析比較，目的在于幫助決策者在利用層次分析法去解決實際問題時，可以根據具體情況入手，有針對性地選擇恰當標度去解決問題，從而避免在標度選擇上的盲目與無所適從.