高 媛 孫躍偉 雷慶麗 劉 袁

（1.安徽建筑大學(xué)電子與信息工程學(xué)院 合肥 230601）

（2.安徽省建筑聲環(huán)境重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 合肥 230601）

1 引言

數(shù)字水印技術(shù)是將標(biāo)識(shí)信息嵌入載體中，且不影響原載體的使用，水印也不易被察覺(jué)和更改的技術(shù)手段，數(shù)據(jù)接收方可以根據(jù)特定的提取方式進(jìn)行水印提取，完成版權(quán)認(rèn)證或秘密消息傳遞等。根據(jù)功能不同，水印方法可分為魯棒水印和脆弱水印，魯棒水印主要用于版權(quán)保護(hù)，嵌入魯棒水印的載體在遭受各種攻擊后，仍能提取出于嵌入水印強(qiáng)關(guān)聯(lián)的水印信息。 脆弱水印主要用于完整性保護(hù)，當(dāng)內(nèi)容發(fā)生改變時(shí)，水印信息會(huì)發(fā)生相應(yīng)改變。面向圖像的魯棒性水印方法根據(jù)嵌入域不同，可分為空域嵌入方法和變換域嵌入方法，相比較空域嵌入而言，結(jié)合頻域變換或矩陣分解技術(shù)的變換域水印嵌入，在面對(duì)多種惡意攻擊時(shí)魯棒性更強(qiáng)。數(shù)字水印算法的核心問(wèn)題是魯棒性和不可見性之間的平衡，利用矩陣分解可以明顯提高水印算法的魯棒性和不可見性［1］。用于魯棒水印方法的矩陣分解技術(shù)包括QR 分解、Schur 分解與奇異值分解等，其中利用奇異值分解嵌入水印的方法研究更熱門。劉瑞楨［2］等首次提出將SVD 分解技術(shù)應(yīng)用到數(shù)字水印中，將水印信息嵌入到載體圖像分解的奇異值中，依靠最大奇異值的穩(wěn)定性確保算法的穩(wěn)定性。

現(xiàn)有的基于圖像小波域-奇異值分解的數(shù)字水印算法大多是通過(guò)對(duì)奇異值的修改實(shí)現(xiàn)水印嵌入，對(duì)奇異向量和特征向量的修改嵌入也有提出?；谄娈愔档聂敯羲》桨敢话阃ㄟ^(guò)單獨(dú)或聯(lián)合修改U 矩陣［3］，S矩陣［4］或者V矩陣系數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)水印嵌入。張建偉［5］等提出一種基于圖像小波域奇異值分解的分塊自適應(yīng)水印方案，依靠U矩陣系數(shù)對(duì)之間的穩(wěn)定關(guān)系嵌入水印數(shù)據(jù)，在閾值的控制下修改系數(shù)完成水印嵌入，但系數(shù)的修改為未考慮奇異矩陣的自身性質(zhì)導(dǎo)致圖像嵌入水印后出現(xiàn)失真情況。文獻(xiàn)［3］對(duì)載體圖像矩陣進(jìn)行SVD 分解后，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證得到U 矩陣的第二行第一列元素與第三行第一列元素之間的關(guān)系最為穩(wěn)定，利用這一穩(wěn)定關(guān)系嵌入水印。張琳琳［6］等提出構(gòu)造魯棒零水印并嵌入到圖像小波變換子帶的分塊奇異值分解的U矩陣系數(shù)中，完成了數(shù)字圖像的全盲版權(quán)認(rèn)證，但修改系數(shù)時(shí)同樣未考慮奇異矩陣的自身性質(zhì)。

本文在對(duì)奇異值分解及其特性進(jìn)行理論分析和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)證明的前提下，具體分析張建偉［5］等提出的水印方法及其算法造成的圖像失真問(wèn)題成因，并提出一種針對(duì)文獻(xiàn)［5］的缺陷的改進(jìn)算法，實(shí)驗(yàn)證明本文的水印算法魯棒性、透明性更好。

2 奇異值分解

從數(shù)學(xué)角度看，任一數(shù)字圖像都可以看成m*n的實(shí)數(shù)矩陣，對(duì)給定的實(shí)數(shù)矩陣A可以進(jìn)行SVD 分解，可表示為

SVD在圖像處理時(shí)的優(yōu)點(diǎn)：1）對(duì)所有實(shí)數(shù)矩陣都可以分解，不局限于正方形矩陣；2）原圖像與它的奇異值特征值有唯一對(duì)應(yīng)關(guān)系，奇異值具有較好的穩(wěn)定性，這決定了圖像在受到輕微擾動(dòng)和處理時(shí)，不會(huì)大幅度地影響圖像的視覺(jué)質(zhì)量；3）奇異值對(duì)應(yīng)的是圖像的能量特性，U，V 矩陣對(duì)應(yīng)的是圖像的幾何特性［7～8］。特別地，U 矩陣的U1向量在經(jīng)過(guò)輕微圖像處理后，仍能保持系數(shù)之間關(guān)系的穩(wěn)定性［5］?；赟VD 的優(yōu)點(diǎn)，載體圖像可以做任意大小的規(guī)則分塊，水印信息通過(guò)不同的嵌入方式嵌入到奇異值或奇異向量中。

3 基于系數(shù)對(duì)穩(wěn)定關(guān)系水印嵌入算法分析

3.1 離散小波逆變換造成圖像失真原因分析

從理論上來(lái)講，圖像的小波分解及其逆變換不會(huì)造成圖像失真，但在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，由于某些細(xì)節(jié)問(wèn)題會(huì)導(dǎo)致圖像失真［9～10］。從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，小波分解是將信號(hào)在基小波的基礎(chǔ)上做拉伸變換，小波變換后的圖像與圖像相比，某些點(diǎn)的位置發(fā)生了變化，出現(xiàn)錯(cuò)位情況，錯(cuò)位造成逆小波變換恢復(fù)的原始圖像出現(xiàn)失真。以一維離散變換為例，長(zhǎng)度為m的輸入序列與長(zhǎng)度為n 的濾波器卷積，卷積后的輸出序列長(zhǎng)度為（m+n-1），記為第一個(gè)數(shù)據(jù)到第（m+n-1）個(gè)數(shù)據(jù)。在圖像的二維離散小波變換中，為保證變換前后圖像的大小一致，要求卷積運(yùn)算后的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度仍為m（與原始圖像數(shù)據(jù)大小一致），要從（m+n-1）個(gè)數(shù)據(jù)中選取m 數(shù)據(jù)。在小波變換的正逆變換中都有卷積運(yùn)算，數(shù)據(jù)的選取不當(dāng)就會(huì)造成圖像失真。文獻(xiàn)［5］水印方案對(duì)圖像做一級(jí)離散小波變換，選取低頻分量做分塊SVD 后，修改奇異矩陣系數(shù)嵌入水印，修改后經(jīng)反奇異值分解還原的數(shù)據(jù)已與原始數(shù)據(jù)有差異，再經(jīng)離散小波逆變換會(huì)使得數(shù)據(jù)出現(xiàn)二次差異。經(jīng)反復(fù)實(shí)驗(yàn)后，本文實(shí)驗(yàn)方案在實(shí)算法改進(jìn)之前決定舍棄對(duì)圖像做離散小波變換，以Lena圖為例得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖1。

圖1 與文獻(xiàn)［5］實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

3.2 奇異向量矩陣的單位性質(zhì)

基于奇異值分解的優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)驗(yàn)中依據(jù)需要對(duì)圖像做任意大小分塊處理，水印信息通過(guò)加性嵌入等不同方式嵌入到奇異值或奇異向量中。文獻(xiàn)［5］通過(guò)一系列實(shí)驗(yàn)證明U 矩陣第一列向量的U1(4)和U1(5)系數(shù)對(duì)，在經(jīng)受多種不同輕微擾動(dòng)或攻擊下都能保持穩(wěn)定性，基于系數(shù)對(duì)穩(wěn)定性，根據(jù)待嵌入水印比特位信息，在閾值t 的控制下修改U1(4)和U1(5)系數(shù)。表1（a）為原始數(shù)據(jù)塊的部分?jǐn)?shù)據(jù)，表1（b）為SVD 的數(shù)據(jù)，表1（c）為差值較大時(shí)修改系數(shù)結(jié) 果，U1(4) 被 修 改 為-0.4813，U1(5) 被 修 改為-0.4753，表1（d）為U 矩陣修改系數(shù)正交化的結(jié)果，所有表格僅截取矩陣的第一列至第四列，第三至第六列數(shù)據(jù)。由此完成水印的嵌入。文獻(xiàn)［5］通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)得到圖像4×4 分塊的SVD 分解后的U矩陣第二行第一列與第三行第一列元素之間差異較小，文獻(xiàn)［6］依據(jù)這一性質(zhì)設(shè)計(jì)了自嵌入魯棒水印方案。文獻(xiàn)［5～6］水印方案得到的結(jié)果整體上均能獲得較高的PSNR，提取的水印的質(zhì)量BER 值也相對(duì)較低，但并未考慮修改后向量不尊重原有矩陣向量之間關(guān)系。

表1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

實(shí)際上，奇異值分解得到的左右奇異向量矩陣均為單位正交矩陣，矩陣任意向量之間兩兩正交，同一向量之間內(nèi)積為1，如式（2）所示。文獻(xiàn)［5～6］的算法均未考慮到向量單位性這一性質(zhì)（式（6）～（8）針對(duì)文獻(xiàn)［5］），若在修改U1(4)系數(shù)時(shí)，按本文嵌入方案，待嵌入位為0 時(shí)，閾值t 為0.028，修改后的數(shù)據(jù)如表1（d）所示。U1(4) 修改完成后，在式（2）、（3）的約束下對(duì)U1(5)進(jìn)行單位性調(diào)整，則能較好解決向量單位性問(wèn)題，且使得其它系數(shù)列的系數(shù)幅度變化收窄，圖像的失真程度減弱。如表1 所示，U1(4) 被 修 改 為-0.0561，U1(5) 被 修 改 為-0.0738，保證了U1向量的單位性（），且收窄了其它大部分系數(shù)的修改幅度。約束條件如下：

<|＞表示內(nèi)積運(yùn)算，Ui，Uj表示U矩陣向量。

文獻(xiàn)［5］的部分修改系數(shù)方案如下：若s=1，b=1，U1(4)和U1(5)的修改閾值為t；若abs（d）大于給定的閾值t，則保持U1(4)和U1(5)不變，否則按下式修改U1(4)和U1(5)，使d不小于閾值t：

若b=0，d 的絕對(duì)值≥t，則通過(guò)下式修改U1(4)和U1(5)，使d不大于閾值t：

否則交換U1(4) 和U1(5) ；否則修改U1(4) 和U1(5)使d不小于閾值t。

可通過(guò)理論推導(dǎo)證明修改后的U1向量不滿足單位向量性質(zhì)，同時(shí)不能滿足U矩陣是正交矩陣的性質(zhì)。

證明：設(shè)U1列系數(shù)U1(1)，U1(2)…U1(8)

修改前：

令：

則：

修改后：

則：

要想修改后U1系數(shù)仍是單位向量，則必須，顯然，由以上證明，所以文獻(xiàn)修改后的U1向量不是單位向量。

4 本文算法

奇異值分解的最大奇異值穩(wěn)定性最強(qiáng)，其對(duì)應(yīng)的U 矩陣第一列向量穩(wěn)定性最強(qiáng)，其中U1(4) 和U1(5)系數(shù)之間的大小關(guān)系在一系列的常規(guī)擾動(dòng)攻擊之下都能保持其穩(wěn)定性［5］，小幅度修改U1(4)和U1(5)系數(shù)對(duì)圖像的影響較小，最終實(shí)現(xiàn)水印信息的嵌入?？紤]到矩陣奇異值分解后得到的左右奇異向量矩陣是單位正交矩陣，向量具有單位性，在嵌入?yún)?shù)t 的控制下同時(shí)保證單位性約束，選擇修改U1(4)系數(shù)，依據(jù)約束條件（也即）對(duì)U1(5)系數(shù)進(jìn)行調(diào)整。

4.1 嵌入水印步驟

1）將載體圖像分為8×8大小的子塊。

2）對(duì)每一子塊做SVD 分解得到左奇異向量矩陣。

3）根據(jù)待嵌入水印位信息，選擇U1(4)和U1(5)系數(shù)對(duì)，按如下方式嵌入水印。為修改后系數(shù)，ω為待嵌入信息位，t為嵌入?yún)?shù)：

4）依據(jù)約束條件和式（12），對(duì)U1(5)系數(shù)進(jìn)行修正，以確保向量的單位性。

5）由修改后的U 矩陣做奇異值分解的反變換重組圖像塊，得到含水印的載體圖。

4.2 提取水印步驟

提取水印無(wú)需原始圖像，與嵌入算法一致，對(duì)含水印的載體圖做8×8 分塊的奇異值分解，根據(jù)嵌入閾值t，選擇每一子塊分解得到U1的U1(4)系數(shù)，若 |mod(U1(4)，t)-t/2 |＜t/4，則此子塊提取的水印信息為1，否則為0。將所有提取的水印位按一定的順序排列，即得到提取的水印圖像。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及討論

實(shí)驗(yàn)采用標(biāo)準(zhǔn)512×512的標(biāo)準(zhǔn)灰度Lena，Barbara圖像為載體圖像，以32×32標(biāo)準(zhǔn)二值圖為待嵌入水印圖像。

圖2分別為L(zhǎng)ena 和Barbara 原始載體圖及其水印原始圖像，圖3 為用本文方案（保證單位性）嵌入水印的Lena、Barbara 圖以及每幅嵌入圖提取出的水印。在參數(shù)t設(shè)置為0.028 時(shí)，圖3 含水印圖像峰值信噪比為42.3645dB，43.2426dB，與原圖像無(wú)明顯視覺(jué)差別，且PSNR 數(shù)值較高，圖像失真度小，提取的水印信息與待嵌入水印基本一致。

圖2 載體圖像及其待嵌入水印

圖3 含水印圖像及其提取的水印

經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)，參數(shù)t 取值為0.028 時(shí)，算法的魯棒性最強(qiáng)，圖像失真度最小。通常用NC值（歸一化互相關(guān)函數(shù)）和水印BER 值（比特容錯(cuò)率）作為水印魯棒性能的客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)［11～12］，在常見的攻擊干擾下，提取嵌入的水印W'，求取W 和原始水印之間的NC 值。通過(guò)大量文獻(xiàn)證明，如果在不同的干擾攻擊下，峰值信噪比在30dB 以上，NC 值能保持0.85以上且BER值低于15%，可認(rèn)證該水印方案具有魯棒性［8］。

以嵌入水印的Lena 圖為例，做如下結(jié)果的測(cè)試。圖4 給出了本文算法下含水印的Lena 圖在不同壓縮比下提取的水印信息，圖4（a）～（c）分別為壓縮比90%、70%、60%情況下提取的水印圖像；圖4（d）是在0.2 噪聲密度的高斯噪聲攻擊下提取的水印圖像；圖4（e）是在0.2 噪聲密度的椒鹽噪聲攻擊下提取的水印圖像。

圖4 提取的水印信息

表2 給出本文算法與文獻(xiàn)［5］算法在同樣壓縮質(zhì)量因子情況下提取的水印，各自與初始水印對(duì)比的峰值信噪比結(jié)果。正如肉眼所見，90%壓縮比下，提取出的水印質(zhì)量均保持良好，在壓縮比70%、60%時(shí)，PSNR 數(shù)值都有增大，提取的水印失真度較文獻(xiàn)［5］有所下降。算法抗噪聲攻擊的能力較弱，但提取的水印信息仍可基本識(shí)別。

表2 不同算法的含水印圖像PSNR值

表3 給出了含水印Lena 圖像經(jīng)過(guò)不同攻擊干擾后提取的水印與原始水印之間的NC 值。在JPEG 壓縮攻擊NC 值較噪聲攻擊下的提取的水印NC 值均在0.8 以上［13～15］，相較于噪聲攻擊，JPEG 壓縮下下提取的水印NC 值高于噪聲攻擊下的水印NC值，可見算法對(duì)壓縮攻擊具有較強(qiáng)魯棒性。

表3 不同攻擊下的NC值

表4 給出了含水印圖像經(jīng)過(guò)不同攻擊干擾后提取的水印質(zhì)量BER 值與文獻(xiàn)［5～6］的對(duì)比。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文算法在嵌入水印后的載體圖像的PSNR 值較高，且在一般攻擊下提取的水印質(zhì)量?jī)?yōu)于文獻(xiàn)［5～6］算法。

表4 不同算法的含水印圖像BER值

6 結(jié)語(yǔ)

在實(shí)際操作中，圖像的小波分解經(jīng)過(guò)濾波器的處理在還原之后會(huì)造成圖像失真，對(duì)圖像系數(shù)修改后再經(jīng)濾波器處理會(huì)造成圖像的二次失真，故選擇放棄對(duì)圖像做小波變換，僅對(duì)圖像做奇異值分解，修改奇異向量矩陣系數(shù)以實(shí)現(xiàn)水印嵌入。由于最大奇異值對(duì)應(yīng)的圖像穩(wěn)定性最強(qiáng)，其對(duì)應(yīng)的U矩陣第一列向量穩(wěn)定性亦最強(qiáng)，其中U1(4)和U1(5)系數(shù)對(duì)經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證在多種攻擊干擾下穩(wěn)定性最強(qiáng)，選擇修改U1(4)和U1(5)系數(shù)對(duì)，考慮到奇異值分解的矩陣是單位正交矩陣，在修改系數(shù)的時(shí)候作單位性約束，能使得系數(shù)修改幅度收窄，圖像失真度降低，算法魯棒性更強(qiáng)。