林風(fēng)光

蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070

近年來,對于捕食者染病的捕食-食餌模型的研究取得了一系列成果[1-4],但是,在自然界中物種的生長都有它本身的一個成長發(fā)育過程,如從幼年到成年、從不成熟到成熟等,并且在其成長的過程中會表現(xiàn)出不同的特征,因此研究具有階段結(jié)構(gòu)的生態(tài)流行病模型更有實際意義。與此同時,生物物種的收獲問題越來越受社會的關(guān)注,文獻(xiàn)[5-6]對一類具有收獲和階段結(jié)構(gòu)的捕食-食餌系統(tǒng)進(jìn)行了分析,文獻(xiàn)[7-8]均研究了具有收獲和雙線性發(fā)生率的捕食者染病模型,同時把捕獲努力量作為最優(yōu)控制討論了最優(yōu)收獲策略,但是沒有考慮更符合實際情況的飽和發(fā)生率。文獻(xiàn)[9]研究了一類食餌具有階段結(jié)構(gòu)且捕食者染病的生態(tài)流行病模型,運用Hurwitz判定定理分析了平衡點的局部穩(wěn)定性,進(jìn)一步通過Lyapunov函數(shù)和LaSalle不變集原理討論了各平衡點的全局穩(wěn)定性?；诖?本文將食餌種群的生長分為幼年和成年兩個階段,并假設(shè)成年食餌和易感捕食者的生長受到密度制約,染病捕食者不捕食食餌,易感捕食者僅捕食成年食餌,根據(jù)上述假設(shè),建立如下一類具有階段結(jié)構(gòu)和庇護(hù)所效應(yīng)的生態(tài)流行病模型：

(1)

模型滿足如下初始條件：

S1(0)=S10>0,S2(0)=S20>0,Y(0)=Y0>0,I(0)=I0>0。

1 系統(tǒng)解的有界性

下面討論系統(tǒng)(1)解的有界性,有如下結(jié)論：

證明假設(shè)(S1(t),S2(t),Y(t),I(t))是系統(tǒng)(1)滿足初始條件的任意正解,構(gòu)造函數(shù)V(t)=S1(t)+S2(t)+Y(t)+I(t),沿系統(tǒng)(1)對V(t)求導(dǎo),注意到k1>0,e<1及d4>d3,得

又因為S1(t)≥0,S2(t)≥0,Y(t)≥0,I(t)≥0,所以S1(t)、S2(t)、Y(t)、I(t)最終有界,即定理得證。

2 平衡點的存在性

下面考慮系統(tǒng)(1)平衡點的存在性,易得該系統(tǒng)具有以下非負(fù)平衡點：

1)平衡點P0(0,0,0,0)總是存在的。

2)當(dāng)rr1>d2(r1+d1)時,捕食種群滅絕平衡點P1(S11,S21,0,0)存在,其中,

3)當(dāng)k1e(1-m)rr1>(r1+d1)[a(d3+q1E)+k1e(1-m)d2]時,平衡點P2(S12,S22,Y2,0)存在,其中,

I*為二次方程A1I2+A2I+A3=0的唯一正實根,其中,

A1=α2(r1+d1)(d4+q2E)(k1e2(1-m)2+aη)>0,

A2=αβ(r1+d1)(k1e(1-m)d2+β)+2α(r1+d1)(d4+q2E)(k1e2(1-m)2+aη)+

aαβ(r1+d1)(d3+q1E)-k1e(1-m)βαrr1,

A3=(r1+d1)(d4+q2E)(k1e2(1-m)2+aη)+β(r1+d1)(k1e(1-m)d2+ad3+

aq1E)-k1e(1-m)βrr1,

3 局部穩(wěn)定性分析

設(shè)P(S1,S2,Y,I)是系統(tǒng)(1)的任意一個平衡點,則系統(tǒng)(1)在平衡點P處的Jacobi矩陣為

定理2 平衡點P0(0,0,0,0)是局部漸近穩(wěn)定的。

證明對于平衡點P0(0,0,0,0),Jacobi矩陣J(P0)的特征方程為

(λ+r1+d1)(λ+d2)(λ+d3+q1E)(λ+d4+q2E)=0,

則方程的特征根為λ1=-(r1+d1),λ2=-d2,λ3=-(d3+q1E),λ4=-(d4+q2E),顯然λ1、λ2、λ3、λ4均為負(fù),故平衡點P0(0,0,0,0)是局部漸近穩(wěn)定的。

證明對于平衡點P1(S11,S21,0,0),其Jacobi矩陣J(P1)的特征方程為

(λ+r1+d1)(λ+2aS21+d2)(λ-k1e(1-m)S21+d3+q1E)(λ+d4+q2E)=0,

證明對于平衡點P2(S12,S22,Y2,0),其Jacobi矩陣J(P2)的特征方程為

(λ+r1+d1)(λ+2aS22+d2+eY2)(λ-k1e(1-m)S22+

2ηY2+d3+q1E)(λ-βY2+d4+q2E)=0,

其中,

特征方程可記為

λ4+C1λ3+C2λ2+C3λ+C4=0,

其中,

C1=a22+r1+d1-a33-a44,

C2=a22(r1+d1)+a33a44-(a22+r1+d1)(a33+a44),

C3=a33a44(a22+r1+d1)-a22(a33+a44)(r1+d1),

4 平衡點的全局穩(wěn)定性

下面通過利用Lyapunov函數(shù)和LaSalle不變集原理討論平衡點的全局穩(wěn)定性。

定理6 當(dāng)rr1

ηY2-d3Y-q1EY-d4I-q2EI,

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

沿著系統(tǒng)(1)的解對V(t)求全導(dǎo)數(shù)得

k1e(1-m)S2Y-ηY2-d3Y-q1EY-d4I-q2EI=

(e(1-m)S21-d3-q1E)Y-ηY2-d4I-q2EI,

定理8 假設(shè)平衡點P2(S12,S22,Y2,0)是局部漸近穩(wěn)定的,則它是全局漸近穩(wěn)定的。

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

沿著系統(tǒng)(1)的解對V(t)求全導(dǎo)數(shù)得

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

沿著系統(tǒng)(1)的解對V(t)求全導(dǎo)數(shù)得

5 最優(yōu)收獲策略

在可再生資源的商業(yè)開發(fā)過程中,從經(jīng)濟(jì)角度來看,最根本的問題是確定當(dāng)前和未來收益之間的最佳平衡。假設(shè)易感捕食者和染病捕食者都是可銷售的,并且有實際的市場價格。因此,為了保證種群的持續(xù)存在和收獲所得的凈收益的現(xiàn)值最大化,我們定義目標(biāo)函數(shù)：

其中p1、p2分別表示易感捕食者和染病捕食者種群的單位生物量的市場價格,v1、v2代表經(jīng)濟(jì)常數(shù)(由于收獲生物量增多而價格降低),δ為年度貼現(xiàn)率,e-δt為貼現(xiàn)因子,c是單位收獲努力量的成本,S1、S2、Y、I為狀態(tài)變量,E為控制變量。

U={E|E是Lebesgue可測的且0≤E≤Emax},

定理10 如果給定使J(E)在控制集U上最大化的最優(yōu)控制Eδ及相應(yīng)系統(tǒng)(1)的解S1δ、S2δ、Yδ、Iδ,則存在滿足協(xié)態(tài)方程及橫截條件的伴隨變量λi(i=1,2,3,4),且最優(yōu)控制的表達(dá)式為

證明這個控制問題的Hamiltonian函數(shù)是

H=[(p1-Ev1q1Y)Eq1Y+(p2-Ev2q2I)Eq2I-cE]+

其中λ1(t)、λ2(t)、λ3(t)、λ4(t)為伴隨變量,由Pontryagin最大值原理[10]可知,伴隨變量滿足協(xié)態(tài)方程：

(2)

(3)

(4)

(5)

及橫截條件：

λi(tf)=0,i=1,2,3,4。

(6)

又由Eδ(t)在0≤Eδ(t)≤Emax內(nèi)取值,故我們得到最優(yōu)控制