于明惠, 王云虎

(上海海事大學(xué) 理學(xué)院, 上海 201306)

0 引 言

非線性演化方程在非線性科學(xué)中有著重要的應(yīng)用,它為描述流體力學(xué)、光纖、等離子體物理等科學(xué)領(lǐng)域中的一些非線性現(xiàn)象提供了有效的模型[1-2],例如Korteweg-de Vries(KdV)方程可用于模擬分層流體中的內(nèi)波和等離子體中的離子聲波[3],Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程可用于模擬長(zhǎng)橫向擾動(dòng)下流體中的弱色散波[4]．在孤子理論中,尋找非線性演化方程的精確解一直以來都是眾多學(xué)者關(guān)注的研究熱點(diǎn),如孤立波解、lump解以及怪波解等[5-7]．目前,人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多有效求解非線性演化方程精確解的方法,如反散射變換[1]、 B?ckland 變換[8]、Darboux變換[9]和雙線性方法[10]等．

雙線性方法是求解非線性演化方程精確解的一種重要方法,該方法的優(yōu)點(diǎn)在于一旦將給定的非線性演化方程通過變量變換轉(zhuǎn)化為雙線性方程,則可通過直接求解雙線性方程得到給定的非線性演化方程的精確解．隨著雙線性方法的廣泛應(yīng)用,眾多學(xué)者在此基礎(chǔ)上提出了各種直接求解方法．2015年,Ma(馬文秀)提出了一種直接構(gòu)造雙線性可積方程lump解的方法,得到了(2+1)維KPI方程的lump解[11]．Zhang和Chen等[12-13]進(jìn)一步發(fā)展完善了該方法,并利用該方法在KP方程中首次發(fā)現(xiàn)了由共振孤子所激發(fā)產(chǎn)生的怪波,發(fā)現(xiàn)了線孤子和lump波相互作用產(chǎn)生的“聚變”和“裂變”現(xiàn)象．此后, 國(guó)內(nèi)外學(xué)者在這一領(lǐng)域開展了廣泛的工作,發(fā)現(xiàn)了越來越多的lump-扭結(jié)解、lump-線孤子解等[14-30]．

高維非線性演化方程由于可以為探究物理現(xiàn)象提供更多的信息而受到廣泛關(guān)注[31-33]．本文主要研究如下的廣義(3+1)維KdV方程[34]:

(1)

當(dāng)δ=0時(shí),方程(1)可退化為如下(2+1)維KdV方程:

(2)

文獻(xiàn)[34]證明了方程(2)是Painlevé可積的,并利用雙線性方法得到了其多實(shí)孤子解和多復(fù)孤子解．文獻(xiàn)[37]利用相容tanh展開法得到其共振解、孤子與橢圓余弦波的相互作用解,文獻(xiàn)[38]基于雙線性方法得到了其lump解、相互作用解和怪波解．

當(dāng)α=3,β=0和γ=0時(shí),方程(2)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

(3)

方程(3)由Boiti等[35]首次給出,可用于描述不可壓縮流體的動(dòng)力學(xué)行為并已被證明具有Lax對(duì)、無窮多守恒律．文獻(xiàn)[39]利用雙線性方法、tanh-coth方法以及冪函數(shù)法得到了該方程的包括多孤子解在內(nèi)的行波解．

當(dāng)y=x時(shí),方程(3)即為經(jīng)典的(1+1)維KdV方程[40]:

vt+6vvx+vxxx=0．

(4)

文獻(xiàn)[34]利用Painlevé分析和雙線性方法研究了方程(1)可積性檢驗(yàn)和多孤子解;文獻(xiàn)[41]利用雙線性方法和Riemann-theta函數(shù)研究了方程(1)的雙線性形式、N-孤子解、呼吸子解、混合解和擬周期波解．本文利用方程(1)的雙線性形式,通過擬設(shè)的方法直接構(gòu)造其lump解、相互作用解和呼吸子解．本文的主要結(jié)構(gòu)如下:第1節(jié)中,通過對(duì)雙線性方程中的f函數(shù)取3種不同的形式,分別得到了方程(1)的lump解、相互作用解和呼吸子解,證明了lump解的局域性,發(fā)現(xiàn)了lump波與線孤子的相互作用過程中的“聚變”和“裂變”現(xiàn)象,并利用圖形展示了解的動(dòng)力學(xué)特征．第2節(jié)中,我們將給出一些結(jié)論．

1 Lump解、相互作用解和呼吸子解

為得到方程的雙線性形式,首先引入勢(shì)變換:

v=uy,

(5)

方程(1)變?yōu)?/p>

uty+uxxxy+αuxxuy+αuxuxy+βuxx+γuyy+δuzy=0．

(6)

再利用對(duì)數(shù)變換

(7)

可得方程(1)的雙線性形式:

(8)

其中f是關(guān)于空間變量x,y,z和時(shí)間變量t的函數(shù),D是Hirota雙線性算子,其定義為[10]

其中n和m均為非負(fù)整數(shù)．

為得到方程(1)的lump解、相互作用解和呼吸子解,關(guān)鍵是構(gòu)造雙線性方程(8)的解．由此,我們做如下假設(shè):

f=g2+h2+keη+le-η+a11,

(9)

其中g(shù),h和η分別具有如下形式:

(10)

其中ai(i=1,2,…,11),ki(i=1,2,3,4),k和l均為待定參數(shù)．

1.1 Lump解

基于文獻(xiàn) [11],在函數(shù)(9)中取k=0,l=0并將其代入雙線性方程(8)中,利用符號(hào)計(jì)算軟件MAPLE,收集變量x,y,z,t的不同冪次系數(shù),求解相應(yīng)的代數(shù)方程組,可得參數(shù)a1～a11之間具有如下關(guān)系:

(11)

其中

(12)

且

由此,方程(1)的解可寫為

(13)

其中

(14)

且需滿足如下約束條件:

A3β< 0,

(15)

以確保函數(shù)f的正則性及解(13)的解析性．從式(14)中顯然可知

(16)

由此可得解(13)滿足

(17)

基于以上分析,解(13)在條件(12)、(15)、(16)和(17)下在空間各個(gè)方向都是有理局域的,因此被定義為lump解[11]．

為直觀地了解解(13)的性質(zhì),不失一般性,進(jìn)一步考慮解(13)在y=0和t=0情形下的動(dòng)力學(xué)特征．取參數(shù)α=γ=δ=a5=a6=1,β=-1,a1=a2=a7=a9=2,a3=5,a10=18,則解(13)簡(jiǎn)化為

(18)

圖1(a)表明解(18)有3個(gè)極值點(diǎn)(一個(gè)波峰,兩個(gè)波谷且呈對(duì)稱形式),利用符號(hào)計(jì)算軟件MAPLE,我們發(fā)現(xiàn)波峰和波谷分別位于

(19)

和

(20)

圖1 Lump解(18)的三維圖和密度圖(y=0, t=0)Fig. 1 The 3D plot and the density plot with lump solutions (18)(y=0, t=0)

圖2 取參數(shù)α=γ=δ=a5=a6=1,β=-1,a1=a2=a7=a9=2,a3=5,a10=18時(shí),lump解(13)的三維圖和密度圖(x=0, t=0)Fig. 2 The 3D plot and the density plot with lump solutions (13) under parameters selected as α=γ=δ=a5=a6=1, β=-1, a1=a2=a7=a9=2, a3=5, a10=18 (x=0, t=0)

1.2 Lump波與線孤子的相互作用解

本小節(jié)主要構(gòu)造方程(1)的相互作用解．基于文獻(xiàn)[12-13],在式(9)中取l=0,可得

f=g2+h2+keη+a11,

(21)

其中g(shù),h,η與式(10)相同．將擬設(shè)解(21)代入雙線性方程(8) 中,收集變量x,y,z,t和eη的不同冪次系數(shù),求解相應(yīng)的代數(shù)方程組,得到參數(shù)關(guān)系如下:

(22)

且需滿足如下條件:

(23)

由此,得到方程(1)的解為

(24)

其中

(25)

圖3展示了解(24)中l(wèi)ump波與線孤子相互作用過程中產(chǎn)生的“聚變”現(xiàn)象[42-43]．參數(shù)取值為β=-2,γ=-1,δ=a1=a5=a8=a10=k3=1,a3=5,a7=a11=0.5,k=2,k2=1/3,z=0．“聚變”現(xiàn)象的產(chǎn)生主要由解(24)中的多項(xiàng)式函數(shù)和指數(shù)函數(shù)引起．當(dāng)k2>0,t→∞時(shí),解(24)受指數(shù)函數(shù)影響較大,反之t→-∞時(shí),解(24)受多項(xiàng)式函數(shù)影響較大．

(a) t=-5(b) t=-2(c) t=0

(d) t=2(e) t=6圖3 Lump波與線孤子產(chǎn)生的“聚變”現(xiàn)象Fig. 3 Fusion phenomena between the lump wave and the one-stripe soliton

如圖3(a)所示,當(dāng)t=-5時(shí),解(24)包含一個(gè)lump波和一個(gè)線孤子．隨著時(shí)間變化,lump波和線孤子逐漸靠近并漸趨融合．當(dāng)t=6時(shí),lump波完全融入線孤子中并最終消失,見圖3(e)．

當(dāng)k2<0,圖4展示了lump波與線孤子相互作用中產(chǎn)生的“裂變”現(xiàn)象[42-43]．參數(shù)取值為β=-2,γ=-1,δ=a1=a5=a8=a10=k3=1,a3=5,a7=a11=0.5,k=2,k2=-1/3,z=0．從圖4中觀察可見,當(dāng)t=-4時(shí),解(24)只包含一個(gè)線孤子,隨著時(shí)間變化,一個(gè)lump波逐漸從線孤子中分離;當(dāng)t=4時(shí),lump波與線孤子完全分離,即產(chǎn)生所謂“裂變”,見圖4(e)．

(a) t=-4(b) t=-1(c) t=0

(d) t=0.5(e) t=4圖4 線孤子產(chǎn)生的“裂變”現(xiàn)象Fig. 4 Fission phenomena produced by the one-stripe soliton

1.3 呼吸子解

為構(gòu)造方程(1)的呼吸子解,假設(shè)[44-47]

f=k1eξ1+k2cos(ξ2)+k3e-ξ1,

(26)

其中

ξ1=c1x+c2y+c3z+c4t,ξ2=c5x+c6y+c7z+c8t,

(27)

ci(i=1,2,…,8),ki(i=1,2,3)均為參數(shù)．類似于前面的計(jì)算,將表達(dá)式(26)和(27)代入雙線性方程(8)中,求解e±ξ1,cos(ξ1)和sin(ξ1)的不同冪次系數(shù)組成的代數(shù)方程組,可得

(28)

且需滿足如下約束:

αc2c5≠0．

(29)

由此,可得方程(1)的如下解:

(30)

其中

為便于理解呼吸子解(30)的特征,依次取z=0,y=0,x=0,圖5—7分別展示了呼吸子解在時(shí)間t=0時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性．

圖5 解(30)的三維圖(x-y-v),x曲線圖和密度圖,參數(shù)取值為α=γ=c5=c7=1, β=-2, c3=0, c2=k1=k3=3, k2=2Fig. 5 The 3D plot (x-y-v), the x-curve plot and the density plot of solution(30) with α=γ=c5=c7=1, β=-2, c3=0, c2=k1=k3=3, k2=2

圖6 解(30)的三維圖(x-z-v), z曲線圖和密度圖,參數(shù)取值為α=γ=c2=c5=c7=1, β=-2, c3=0, k1=k2=k3=2Fig. 6 The 3D plot (x-z-v), the z-curve plot and the density plot of solution(30) with α=γ=c2=c5=c7=1, β=-2, c3=0, k1=k2=k3=2

2 結(jié) 論

本文主要研究了廣義(3+1)維KdV方程(1),得到了方程的lump解、相互作用解和呼吸子解．說明了lump解(13)的有理局域性,并通過圖1和圖2分別觀察到lump解在y=0和x=0時(shí)均存在3個(gè)極值點(diǎn)．基于相互作用解(24),圖3和圖4分別展示了lump波與線孤子相互作用過程中的“聚變”和“裂變”現(xiàn)象．當(dāng)k2>0時(shí),圖3展示了lump波與線孤子發(fā)生碰撞后的相互融合;當(dāng)k2<0時(shí),圖4展示了線孤子分裂為線孤子和lump波的過程．最后,圖6展示了解(30)的周期性傳播特征．