劉 尚,蔣金華,段海洋,杜飛飛

(1.江南機(jī)電設(shè)計(jì)研究所,貴陽(yáng) 550009;2.西北工業(yè)大學(xué),西安 710072)

0 引 言

傳統(tǒng)的多目標(biāo)方位估計(jì)(Direction of Arrival,DOA)方法采用波束形成和最小方差無(wú)畸變響應(yīng)(Minimum Variance Distortionless Response,MVDR)方法以及一系列如MUSIC和ESPRIT等高分辨率估計(jì)方法。這些方法利用均勻線性陣列進(jìn)行多目標(biāo)方位估計(jì),難以解決因空時(shí)欠采樣帶來(lái)的陣元間相位差模糊的問(wèn)題,部分信號(hào)方位角估計(jì)效果不理想。

壓縮感知(Compressed Sensing,CS)理論是現(xiàn)代信息科學(xué)領(lǐng)域中一個(gè)全新的研究方向[1-2],對(duì)雷達(dá)信號(hào)處理、聲納成像[3]、模式識(shí)別、地質(zhì)勘探、信道估計(jì)等都有重要意義,它提供了一種新的信號(hào)采集和參數(shù)估計(jì)方法,能夠以遠(yuǎn)少于經(jīng)典奈奎斯特(Nyquist)采樣理論所需的測(cè)量數(shù)據(jù)精確恢復(fù)滿足稀疏性的信號(hào)或估計(jì)其相應(yīng)的參數(shù)[4]。信號(hào)在時(shí)域和空域的稀疏性特征滿足信號(hào)稀疏重建理論的基本條件,利用隨機(jī)采樣矩陣可以實(shí)現(xiàn)用較低采樣率的時(shí)域和空域數(shù)據(jù)恢復(fù)及估計(jì)信號(hào)的效果。相關(guān)學(xué)者從信號(hào)處理方法和陣元幾何設(shè)計(jì)方面開(kāi)展了研究:文獻(xiàn)[5]提出基于時(shí)延、FFT和ESPRIT算法的高頻段空間2D到達(dá)方向無(wú)模糊估計(jì)方法,但該方法估計(jì)信號(hào)數(shù)目受陣元數(shù)目限制;文獻(xiàn)[6]基于窄帶信號(hào)設(shè)計(jì)非均勻陣列,且陣元布放在均勻劃分的以半波長(zhǎng)為單位的網(wǎng)格點(diǎn)上,沒(méi)有解決陣元間距小于半波長(zhǎng)的問(wèn)題;文獻(xiàn)[7]提出利用CS理論對(duì)導(dǎo)向向量泰勒分解后,使用交替下降的最小二乘法實(shí)現(xiàn)信號(hào)重建,但此法利用混合范數(shù)的約束條件,重建過(guò)程中計(jì)算量較大,算法精度也受限。

為了解決上述空時(shí)欠采樣條件下多目標(biāo)DOA存在的問(wèn)題,本文基于CS理論,采用空間網(wǎng)格角度劃分形式實(shí)現(xiàn)信號(hào)在空間域的稀疏性表示,在此稀疏域下將實(shí)現(xiàn)信號(hào)與其空間位置的一一對(duì)應(yīng),對(duì)陣元接收信號(hào)在測(cè)量矩陣上進(jìn)行壓縮投影采樣,通過(guò)改進(jìn)MVDR空間功率譜估計(jì)中的壓縮測(cè)量陣列接收信號(hào)的空間自相關(guān)矩陣和陣列流行向量的稀疏值,實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)方位角估計(jì),最后通過(guò)仿真驗(yàn)證了本文方法的有效性。

1 多目標(biāo)信號(hào)方位估計(jì)模型

信號(hào)方位估計(jì)是根據(jù)信號(hào)來(lái)波估計(jì)信號(hào)方位角的信號(hào)處理技術(shù),是在空域?yàn)V波和空間譜估計(jì)基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的[8]。空域?yàn)V波及空間譜估計(jì)理論框架如圖1、圖2所示。

用ωi表示加權(quán)系數(shù),則相應(yīng)的濾波器輸出可表示為

(1)

圖3給出了K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)入射到某空間的均勻線列陣模型,其中陣元數(shù)為M。

圖3 均勻線列陣模型

以均勻線列陣為例,陣列所接收信號(hào)的時(shí)延差為

(2)

兩個(gè)陣元間的相位差為

(3)

式中,d為兩個(gè)陣元間距;c為信號(hào)在空氣中的傳播速度;θ為遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)的入射角度;λ為信號(hào)波長(zhǎng)。

可以看出,只要知道信號(hào)的相位延遲,就可以得到信號(hào)的來(lái)波方向,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)信號(hào)方位估計(jì)。

2 信號(hào)空域稀疏表示

均勻線列陣在某時(shí)刻t的接收信號(hào)的數(shù)學(xué)模型為

x(t)=As(t)+n(t)

(4)

式中,A為M×K維陣列流形矩陣,且

A=[a(θ1),a(θ2),a(θ3),…,a(θK)]

(5)

陣列流形向量為

(6)

式中,θi為第i個(gè)信號(hào)的入射方位角。

目標(biāo)源的輸入信號(hào)矢量為

(7)

因此陣元接收信號(hào)可以表示為

=[a(θ1),a(θ2),a(θ3),…,a(θk)]S(t)+N(t)

=AS(t)+N(t)

(8)

由式(8)可知,陣列流行矩陣的每一列a(θi)都對(duì)應(yīng)一個(gè)目標(biāo)信號(hào)源的空間位置,即矩陣A包含了目標(biāo)的方位信息。陣列流行矩陣的構(gòu)建也決定了信號(hào)在空間域的稀疏化表示方式。

將空間域劃分為{θ1,θ2,…,θNs},并假設(shè)每一個(gè)可能的位置θi,i=1,2,…,Ns都對(duì)應(yīng)一個(gè)潛在的目標(biāo)源信號(hào)si,如圖4所示,其中“·”表示空間中實(shí)際存在的信號(hào),○表示實(shí)際不存在的信號(hào),矩陣A的每一列對(duì)應(yīng)一個(gè)潛在目標(biāo)信號(hào)源的方位信息。為了體現(xiàn)目標(biāo)信號(hào)源的稀疏性,潛在的信號(hào)源個(gè)數(shù)比實(shí)際要多得多,即Ns?K,這樣就構(gòu)造了一個(gè)Ns×N維的稀疏信號(hào)s=[s1,s2,…,sNs]Τ,N表示快拍數(shù)。在目標(biāo)源信號(hào)s中只有實(shí)際存在目標(biāo)的K個(gè)位置有非零元素,而Ns-K個(gè)位置均為零。

圖4 信號(hào)空間稀疏化過(guò)程

對(duì)于給定的空間域稀疏化方式{θ1,θ2,…,θNs},式(5)中的陣列流行矩陣A得以確定,基于CS理論的DOA估計(jì)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為利用已知陣列接收數(shù)據(jù)x和陣列流行矩陣A來(lái)重構(gòu)空間稀疏信號(hào)s=[s1,s2,…,sNs]T,該重構(gòu)過(guò)程將一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題來(lái)求解[9],其中前K個(gè)最大的重構(gòu)分量就是空間上實(shí)際存在的信號(hào)源的重構(gòu)信號(hào)。根據(jù){θ1,θ2,…,θNs}與s=[s1,s2,…,sNs]Τ的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系就能得到信號(hào)的DOA估計(jì)。

3 CS-MVDR方法

MVDR[10]方法使一些自由度在期望觀測(cè)方向形成波束,并利用剩余的自由度在干擾方向形成零陷,使非期望干擾最小,同時(shí)使增益在觀察方向上保持為常數(shù)1,在減小非期望干擾的同時(shí)構(gòu)建一個(gè)約束最優(yōu)化問(wèn)題:

(9)

利用拉格朗日乘數(shù)法求解式(9),令目標(biāo)函數(shù)

(10)

對(duì)目標(biāo)函數(shù)中的w求導(dǎo),令導(dǎo)函數(shù)為零,得到最優(yōu)的權(quán)矢量為

w=λR-1a(θ0)

(11)

再利用wHa(θ0)=1可以求得常數(shù)

(12)

將式(12)代入式(11),得到最優(yōu)的權(quán)矢量表達(dá)式為

(13)

陣列輸出功率用空間譜描述為

(14)

根據(jù)壓縮感知信號(hào)空域稀疏表示理論,陣列流行矩陣A相當(dāng)于壓縮感知理論中的稀疏矩陣Ψ,因此為了保證能夠精確重構(gòu)信號(hào)源,并得到方位角的準(zhǔn)確估計(jì),A必須滿足一定的稀疏重構(gòu)條件[11]。對(duì)于Ψ,當(dāng)陣元數(shù)M小于稀疏系數(shù)矢量的長(zhǎng)度Ns時(shí),A相當(dāng)于一個(gè)過(guò)完備基,即A是空域稀疏基。

設(shè)Φ為m×M,m

由于隨機(jī)稀疏測(cè)量矩陣滿足RIP準(zhǔn)則[12],因此利用壓縮測(cè)量數(shù)據(jù)y和感知矩陣Θ即可大概率重構(gòu)出陣列輸入信號(hào)s=[s1,s2,…,sNs]Τ[13-14]。DOA估計(jì)問(wèn)題就是求解Ns×N維的稀疏信號(hào)s,其中的非零元素及其在向量中的位置信息分別表征目標(biāo)的幅度信息和角度信息,方位角估計(jì)就是在保證s在信號(hào)源真實(shí)方向相關(guān)的角度形成很明顯的峰值,而在其他區(qū)域是近似為零的低電平,尖峰數(shù)量代表信號(hào)源數(shù)量。

因此,根據(jù)式(14),基于壓縮感知改進(jìn)的CS-MVDR陣列輸出功率為

式中,b(θ)=Φa(θ)為壓縮測(cè)量陣列流行向量;Ry為壓縮測(cè)量陣列接收信號(hào)的空間自相關(guān)矩陣;a(θ)為傳統(tǒng)陣列流行向量。

4 仿真及分析

對(duì)非均勻線列陣進(jìn)行空時(shí)域欠采樣,利用Matlab仿真比較MVDR和CS-MVDR在低信噪比、低陣元個(gè)數(shù)情況下的多目標(biāo)方位角估計(jì)精度。

(1)仿真1:時(shí)域欠采樣下的空間譜圖

對(duì)傳統(tǒng)陣列進(jìn)行時(shí)域欠采樣、空域正常采樣。假設(shè)信號(hào)源個(gè)數(shù)為3,信號(hào)方位角分別為-60°、40°、50°,陣元間距選擇半波長(zhǎng)d=λ/2,采樣頻率選擇小于3個(gè)信號(hào)源中心頻率中最大頻率的2倍(fs<2*fmax(1、2、3)),傳統(tǒng)線列陣的陣元個(gè)數(shù)分別為8、16、32,壓縮感知陣列陣元數(shù)為6、8,利用32陣列隨機(jī)抽取得到。3個(gè)目標(biāo)信號(hào)方位角的角度掃描范圍為[-90°,90°],即在角度網(wǎng)格劃分為N1=181。

圖5、圖6分別為信噪比0 dB、10 dB下利用壓縮感知的6陣元和8陣元進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì)結(jié)果,采用隨機(jī)稀疏測(cè)量矩陣,分別與8、16、32陣元下的MVDR估計(jì)結(jié)果作比較。

圖5 時(shí)域欠采樣下SNR=0 dB時(shí)的空間譜圖

可以看出,8陣元MVDR估計(jì)在0 dB和10 dB下幾乎都不能分辨臨近的40°和50°目標(biāo),而6、8陣元CS-MVDR和16、32陣元MVDR均能正確估計(jì)出3個(gè)方位角度數(shù)。CS-MVDR方法在保證正確估計(jì)方位角精度的前提下減少了陣元數(shù)目,大大降低了計(jì)算量。相較于6陣元CS-MVDR,8陣元旁瓣起伏較小,方位估計(jì)穩(wěn)健性更強(qiáng)。

(2)仿真2:空時(shí)欠采樣下的空間譜圖

對(duì)傳統(tǒng)陣列進(jìn)行時(shí)域、空域欠采樣。信號(hào)源個(gè)數(shù)為3,信號(hào)方位角分別為-60°、40°、50°,陣元間距選擇為半波長(zhǎng)的1.2倍即d=1.2×λ/2,采樣頻率選擇小于3個(gè)信號(hào)源中心頻率中最大頻率的2倍。信噪比為0 dB和10 dB時(shí)的仿真結(jié)果分別如圖7、圖8所示。

圖7 空時(shí)欠采樣下SNR=0 dB時(shí)的空間譜圖

圖8 空時(shí)欠采樣下SNR=10 dB時(shí)的空間譜圖

可以看出,8、16、32陣元MVDR估計(jì)在0 dB和10 dB下都不能正確估計(jì)3個(gè)目標(biāo)方位角,而10 dB下基于壓縮感知的6、8陣元陣列能正確估計(jì)出3個(gè)方位角度數(shù),但是在0 dB下6陣元CS-MVDR法旁瓣起伏較大,甚至超過(guò)主瓣高度,8陣元的旁瓣起伏相對(duì)較小。

(3)仿真3:CS-MVDR法同時(shí)估計(jì)多個(gè)不同方位角

依然對(duì)3個(gè)目標(biāo)信號(hào)源進(jìn)行空時(shí)欠采樣,信號(hào)方位角為45°、55°、65°。陣元間距選擇為半波長(zhǎng)的1.2倍即d=1.2×λ/2。信噪比從-20 dB步進(jìn)到10 dB,步進(jìn)長(zhǎng)度為2 dB,快拍數(shù)為300,蒙特卡洛仿真次數(shù)為500,統(tǒng)計(jì)分析不同信噪比下多目標(biāo)方位角估計(jì)的檢測(cè)概率(當(dāng)估計(jì)均值的絕對(duì)誤差小于1°時(shí),該次檢測(cè)有效),結(jié)果如圖9～11所示。

圖9 信噪比與檢測(cè)概率關(guān)系曲線

圖10 信噪比與信號(hào)方位估計(jì)均值關(guān)系曲線

圖11 信噪比與信號(hào)方位估計(jì)均方差關(guān)系曲線

可以看出,在低信噪比條件下,由于噪聲對(duì)空時(shí)欠采樣CS-MVDR算法的影響,檢測(cè)概率相對(duì)較低,估計(jì)的信號(hào)方位角和真實(shí)值誤差較大。不過(guò),當(dāng)SNR≥12 dB時(shí),檢測(cè)概率都能達(dá)到100%;當(dāng)SNR≥-14 dB時(shí),估值接近真實(shí)值,且估計(jì)的均方誤差為零。在空時(shí)欠采樣下,當(dāng)同時(shí)估計(jì)多個(gè)信號(hào)方位角時(shí),在誤差收斂前不同角度間誤差相差較大,這與目標(biāo)入射角度來(lái)向和陣列流型矩陣A中對(duì)應(yīng)的目標(biāo)信號(hào)源方位信息有關(guān),將在后續(xù)研究中進(jìn)行深入分析。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)傳統(tǒng)MVDR方法在空域上采集測(cè)量數(shù)據(jù)量有限及對(duì)噪聲背景相對(duì)敏感等問(wèn)題,本文提出一種優(yōu)化改進(jìn)的CS-MVDR多目標(biāo)估計(jì)方法,通過(guò)將空間角度網(wǎng)格劃分形式實(shí)現(xiàn)信號(hào)在空時(shí)域的稀疏性表示,利用稀疏重構(gòu)空間稀疏向量方法實(shí)現(xiàn)空間上多信號(hào)入射角的方位估計(jì)。仿真結(jié)果表明:在低信噪比條件下該方法對(duì)多目標(biāo)方位估計(jì)精度更高,偏差更小,而且在不損失估計(jì)精度的前提下,可以在一定程度上減少雷達(dá)陣面的陣元數(shù),降低復(fù)雜系統(tǒng)的運(yùn)算量。

壓縮感知理論為工程實(shí)踐中信號(hào)稀疏化采樣提供了一種新思路,把壓縮感知理論運(yùn)用到多目標(biāo)方位估計(jì)中,可以解決部分工程應(yīng)用中空時(shí)欠采樣下的雷達(dá)目標(biāo)回波探測(cè)和識(shí)別問(wèn)題,不但降低了數(shù)據(jù)采用率、傳輸量、存儲(chǔ)量,還減少了雷達(dá)陣面的總陣元數(shù)和T/R組件工程設(shè)計(jì)及結(jié)構(gòu)減重等問(wèn)題,同時(shí)提高了參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性,克服了傳統(tǒng)DOA估計(jì)算法的不足。