袁 航 何其芳 羅 迎* 王志浩 張 群

①(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院 西安 710077)

②(93114部隊(duì) 北京 100195)

1 引言

雷達(dá)目標(biāo)在運(yùn)動(dòng)時(shí)往往伴隨著除質(zhì)心平動(dòng)以外的振動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和加速運(yùn)動(dòng)[1-4]等微動(dòng)(如直升機(jī)和旋翼無人機(jī)的旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)、炮彈彈丸在空中的自旋和進(jìn)動(dòng)等)。雷達(dá)與目標(biāo)間的相對運(yùn)動(dòng)會(huì)對雷達(dá)回波產(chǎn)生多普勒調(diào)制，而由微動(dòng)引起的多普勒調(diào)制稱為“微多普勒效應(yīng)”[5-7]。微多普勒效應(yīng)反映了目標(biāo)的精細(xì)結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)特征，基于該效應(yīng)能夠較好地分辨目標(biāo)的屬性類型和運(yùn)動(dòng)意圖，為目標(biāo)識(shí)別提供更多重要依據(jù)[8-10]。目標(biāo)和雷達(dá)平臺(tái)的相對運(yùn)動(dòng)會(huì)在雷達(dá)回波中引起多普勒效應(yīng)，該多普勒效應(yīng)由目標(biāo)整體平動(dòng)和目標(biāo)微動(dòng)引起的多普勒效應(yīng)組成。其中，將目標(biāo)微動(dòng)引起的多普勒效應(yīng)稱為微多普勒效應(yīng)。在傳統(tǒng)的單基平面電磁波雷達(dá)中，目標(biāo)回波的微多普勒效應(yīng)僅能反映目標(biāo)三維運(yùn)動(dòng)投影到雷達(dá)徑向上的微動(dòng)分量，基于傳統(tǒng)單基平面電磁波雷達(dá)的微動(dòng)特征提取算法難以反演目標(biāo)三維運(yùn)動(dòng)特征。而利用渦旋電磁波雷達(dá)、多基雷達(dá)或其他新體制雷達(dá)可以通過目標(biāo)回波反演目標(biāo)三維運(yùn)動(dòng)特征，因此為區(qū)別于雷達(dá)徑向微動(dòng)分量，將此類反映目標(biāo)三維運(yùn)動(dòng)特征的微動(dòng)特征稱為三維微動(dòng)特征[11,12]。

傳統(tǒng)平面電磁波雷達(dá)僅能觀測到目標(biāo)投影到雷達(dá)徑向上的微動(dòng)分量，當(dāng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)平面垂直于雷達(dá)徑向時(shí)，目標(biāo)回波中將觀測不到微多普勒效應(yīng)，導(dǎo)致基于微多普勒效應(yīng)的目標(biāo)識(shí)別方法失效[13]。同時(shí)，目標(biāo)與雷達(dá)的相對姿態(tài)顯著影響目標(biāo)投影到徑向上的微動(dòng)分量大小，在特定的姿態(tài)角下不同尺寸的目標(biāo)有可能產(chǎn)生相同的徑向微動(dòng)分量，為識(shí)別帶來了困難[14,15]。以旋轉(zhuǎn)目標(biāo)為例，傳統(tǒng)平面波雷達(dá)僅能估計(jì)目標(biāo)徑向半徑和旋轉(zhuǎn)頻率，難以充分表征目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特征。渦旋電磁波相位波前分布為螺旋形，額外攜帶有軌道角動(dòng)量(Orbital Angular Momentum,OAM)，不同軌道角動(dòng)量的渦旋電磁波相互正交。利用渦旋電磁波照射微動(dòng)目標(biāo)，可觀測到目標(biāo)投影到雷達(dá)徑向上的微動(dòng)分量(引起“線多普勒效應(yīng)(linear Doppler effect)”)和投影到垂直于雷達(dá)徑向的平面上的微動(dòng)分量(引起“角多普勒效應(yīng)(angular Doppler effect或rotational Doppler effect)”)，使得獲取目標(biāo)的三維微動(dòng)特征成為可能，雷達(dá)的信息獲取能力將顯著提高[16-18]。線多普勒和角多普勒之間的關(guān)系可用球坐標(biāo)系下距離和方位角的關(guān)系描述，兩者為目標(biāo)三維運(yùn)動(dòng)在距離域和方位角域的投影。線多普勒反映的是目標(biāo)三維運(yùn)動(dòng)投影到雷達(dá)徑向上的微動(dòng)分量，即目標(biāo)運(yùn)動(dòng)引起的距離上的變化；角多普勒反映的是目標(biāo)三維運(yùn)動(dòng)投影到垂直于雷達(dá)徑向平面上的微動(dòng)分量，即目標(biāo)運(yùn)動(dòng)引起的方位角上的變化。而球坐標(biāo)系為正交坐標(biāo)系，距離域和方位角域相互正交，因此雷達(dá)徑向上的微動(dòng)分量和垂直于雷達(dá)徑向平面上的微動(dòng)分量相互正交。

由于渦旋電磁波在目標(biāo)微動(dòng)特征提取方面的潛在優(yōu)勢，近年來研究人員針對無平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)微多普勒效應(yīng)進(jìn)行研究，探討了無平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)角多普勒模型表征問題、線多普勒信號(hào)和角多普勒信號(hào)分離問題、目標(biāo)微動(dòng)參數(shù)提取問題等，取得了一系列成果。文獻(xiàn)[19]提出了無平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)的角多普勒模型，探討了特殊情況下的角多普勒性質(zhì)和微動(dòng)參數(shù)提取方法，揭示了渦旋電磁波雷達(dá)在微動(dòng)辨識(shí)領(lǐng)域的獨(dú)特優(yōu)勢。文獻(xiàn)[20]對一般情況下的無平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)角多普勒效應(yīng)進(jìn)行研究，利用近似角多普勒方程獲得角多普勒極值點(diǎn)，并利用壓縮感知算法獲得了微動(dòng)參數(shù)的估計(jì)值。文獻(xiàn)[21]將雙模態(tài)的回波變換到時(shí)頻域，利用時(shí)頻圖像提取多普勒頻移曲線，通過計(jì)算雙模態(tài)回波間的頻移差值獲得角多普勒頻移曲線，并利用Hough變換估計(jì)無平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)微動(dòng)參數(shù)。

然而，現(xiàn)有渦旋電磁波雷達(dá)微多普勒效應(yīng)研究主要針對無平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)，并未考慮目標(biāo)平動(dòng)對角多普勒的影響。目標(biāo)平動(dòng)會(huì)在線多普勒中引入關(guān)于時(shí)間的多次項(xiàng)，這可以通過補(bǔ)償?shù)姆椒ㄈコ?；但與線多普勒不同，平動(dòng)會(huì)使角多普勒發(fā)生顯著變化，無法簡單通過補(bǔ)償方法消除平動(dòng)帶來的影響。若要將渦旋電磁波雷達(dá)應(yīng)用于平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)微動(dòng)參數(shù)提取領(lǐng)域，需要進(jìn)一步分析平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)微多普勒效應(yīng)的性質(zhì)，有針對性地提出新的方法來解決該問題。因此，本文針對渦旋電磁波雷達(dá)平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)微多普勒效應(yīng)進(jìn)行了研究，構(gòu)建了平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型，分析了目標(biāo)平動(dòng)對微動(dòng)參數(shù)提取帶來的影響，討論了平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)的角多普勒性質(zhì)，最后利用L-M (Levenberg-Marquardt)方法[22]求解多元非線性方程組，基于1/4微動(dòng)周期多普勒頻移曲線的時(shí)頻曲線，獲得了目標(biāo)旋轉(zhuǎn)頻率、旋轉(zhuǎn)半徑、旋轉(zhuǎn)矢量、平動(dòng)速度矢量等參數(shù)。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了角多普勒性質(zhì)的正確性和參數(shù)提取方法的有效性。

2 渦旋電磁波雷達(dá)平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)回波模型

為描述平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)相對于雷達(dá)的空間三維運(yùn)動(dòng)，需要建立雷達(dá)坐標(biāo)系、參考坐標(biāo)系和目標(biāo)本地坐標(biāo)系，其中雷達(dá)坐標(biāo)系的原點(diǎn)為雷達(dá)平臺(tái)，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)不改變雷達(dá)坐標(biāo)系；目標(biāo)本地坐標(biāo)系以目標(biāo)質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，隨目標(biāo)運(yùn)動(dòng)而改變；參考坐標(biāo)系用于構(gòu)建目標(biāo)本地坐標(biāo)系與雷達(dá)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，并表示目標(biāo)從某固定姿態(tài)到實(shí)際姿態(tài)的變化。平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)的觀測模型如圖1所示，均勻圓環(huán)陣列雷達(dá)用于產(chǎn)生渦旋電磁波，其中心為雷達(dá)坐標(biāo)系OXY Z的原點(diǎn)O，陣列半徑為a，第k個(gè)陣元的坐標(biāo)為(acos?k,asin?k,0)。參考坐標(biāo)系ObXbYbZb的原點(diǎn)為Ob，雷達(dá)坐標(biāo)系按照矢量R0平移后變?yōu)閰⒖甲鴺?biāo)系，參考坐標(biāo)系平行于雷達(dá)坐標(biāo)系。令散射點(diǎn)p以旋轉(zhuǎn)角頻率wb、旋轉(zhuǎn)半徑rb繞Ob旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)平面平行于圓環(huán)陣列。則在參考坐標(biāo)系ObXbYbZb下，散射點(diǎn)p旋轉(zhuǎn)過程的坐標(biāo)變化可寫為

圖1 平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)觀測模型Fig.1 Observation model of translational rotating targets

其中，()T為轉(zhuǎn)置操作，t為時(shí)間。進(jìn)一步考慮將散射點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)隨著參考坐標(biāo)系經(jīng)三維旋轉(zhuǎn)后變?yōu)槟繕?biāo)本地坐標(biāo)系Obxwywzw，變換過程可由一個(gè)三維變換矩陣表示。令由參考坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)本地坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣的歐拉角為 (θ1,θ2,θ3)，則旋轉(zhuǎn)矩陣Ri可表示為

隨后目標(biāo)以速度矢量v=(vx,vy,vz)T整體平動(dòng)，雷達(dá)坐標(biāo)系原點(diǎn)O指向散射點(diǎn)p的矢量可寫為

三維旋轉(zhuǎn)會(huì)改變散射點(diǎn)p的旋轉(zhuǎn)平面投影到雷達(dá)坐標(biāo)系上的變化幅度和初相。但對于旋轉(zhuǎn)目標(biāo)，三維旋轉(zhuǎn)中繞軸ObZb的旋轉(zhuǎn)僅改變初相，對分析并無影響。因此可忽略繞軸ObZb的旋轉(zhuǎn)，將目標(biāo)的三維旋轉(zhuǎn)簡化為繞軸ObYb和軸ObXb的旋轉(zhuǎn)。此時(shí)三維旋轉(zhuǎn)矩陣可寫為

同時(shí)，根據(jù)三維旋轉(zhuǎn)矩陣易知旋轉(zhuǎn)目標(biāo)的旋轉(zhuǎn)矢量為(sinθ2,-sinθ1cosθ2,cosθ1cosθ2)T。

一個(gè)旋轉(zhuǎn)半徑為0.4 m、旋轉(zhuǎn)中心為(0.8,1,300) m，歐拉角為(1.04,0.78,0.62) rad的旋轉(zhuǎn)目標(biāo)的距離和方位角變化過程如圖2所示。圖2(a)和圖2(b)為根據(jù)式(2)和式(4)所示的旋轉(zhuǎn)矩陣生成的目標(biāo)距離和方位角變化過程。圖2(a)中兩者的距離變化幅度相同，時(shí)間相差約0.01 s，證明了簡化后的旋轉(zhuǎn)矩陣在距離上的有效性。圖2(b)中兩者方位角變化幅度相同，時(shí)間同樣相差約0.01 s，證明了簡化后的旋轉(zhuǎn)矩陣在方位角上的有效性。因此，可以將三維旋轉(zhuǎn)矩陣簡化為式(4)所示的形式，以簡化分析和求解難度。

圖2 三維旋轉(zhuǎn)結(jié)果Fig.2 The three-dimensional rotation result

根據(jù)簡化后的三維旋轉(zhuǎn)矩陣，雷達(dá)坐標(biāo)系原點(diǎn)O指向散射點(diǎn)p的矢量可寫為

arctan()為反正切函數(shù)。則散射點(diǎn)p在球坐標(biāo)系下的坐標(biāo)(rp(t),θp(t),φp(t))T可寫為

其中，arcsin()為反正弦函數(shù)。天線中心發(fā)射單頻信號(hào) exp(i2πfct)照射到目標(biāo)上，圓環(huán)陣列上多個(gè)添加了固定相移的陣元接收回波，將回波合成，散射點(diǎn)p的渦旋電磁波雷達(dá)回波可寫為[17]

3 微多普勒效應(yīng)分析及微動(dòng)參數(shù)提取

目標(biāo)距離變化在渦旋電磁波雷達(dá)回波中引起線多普勒效應(yīng)，方位角變化在回波中引起角多普勒效應(yīng)，線多普勒和角多普勒結(jié)合為渦旋電磁波雷達(dá)回波微多普勒效應(yīng)。當(dāng)前已有研究提出了渦旋電磁波雷達(dá)線多普勒信號(hào)和角多普勒信號(hào)分離方法[21]，所以本節(jié)中分別對旋轉(zhuǎn)目標(biāo)的線多普勒效應(yīng)和角多普勒效應(yīng)進(jìn)行分析。

首先對平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)的線多普勒效應(yīng)進(jìn)行分析。目標(biāo)在空間中的勻速直線運(yùn)動(dòng)投影到徑向上，可近似將距離rp寫為

實(shí)際上渦旋電磁波雷達(dá)的波束指向通常較為接近Z軸，例如，當(dāng)雷達(dá)波束指向?yàn)?°時(shí)，假設(shè)目標(biāo)距離為r，zb=rcos 3?遠(yuǎn)大于xb和yb。在該情況下，徑向半徑rbh3可近似為

目標(biāo)平動(dòng)使線多普勒頻移出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)和時(shí)間的一次項(xiàng)，但這兩項(xiàng)可以通過對頻移曲線進(jìn)行補(bǔ)償或?qū)︻l移曲線求高階導(dǎo)數(shù)去除。目標(biāo)微動(dòng)分量對線多普勒的影響主要體現(xiàn)在第3項(xiàng)中，該項(xiàng)由旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)、旋轉(zhuǎn)半徑、歐拉角和旋轉(zhuǎn)角頻率共同決定。由于線多普勒頻移曲線以正弦規(guī)律變化，通過分析曲線的周期可提取目標(biāo)旋轉(zhuǎn)頻率，但旋轉(zhuǎn)半徑和傾斜角相互調(diào)制，利用線多普勒僅能提取目標(biāo)徑向半徑rbh3。

目標(biāo)方位角的變化會(huì)引起回波中的角多普勒效應(yīng)，由于方位角表現(xiàn)為反正切函數(shù)的形式，對方位角求導(dǎo)獲得的角多普勒頻移表達(dá)式較為復(fù)雜。方位角展開可寫為

分子和分母中含有初相不同的余弦函數(shù)，初相的存 在為角多普勒分析帶來了較大的影響。同時(shí)，分母多項(xiàng)式存在于反正切函數(shù)中，對反正切函數(shù)求導(dǎo)獲得目標(biāo)角多普勒，進(jìn)一步加劇了角多普勒方程的復(fù)雜程度。將式(14)代入式(8)中的角多普勒項(xiàng)并求導(dǎo)，獲得角多普勒頻移方程fa(t)

當(dāng)速度矢量v=0時(shí)，式(15)退化為

式(16)即為無平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)角多普勒頻移方程，式(16)的分子和分母中僅有三角函數(shù)項(xiàng)隨時(shí)間變化，而三角函數(shù)均為周期函數(shù)，所以式(16)表示的無平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)角多普勒頻移呈現(xiàn)周期性。而式(15)中的分子和分母中與時(shí)間相關(guān)的項(xiàng)有3種：三角函數(shù)項(xiàng)、因速度矢量引起的一次項(xiàng)、一次項(xiàng)和三角函數(shù)的耦合項(xiàng)。其中三角函數(shù)周期性變化，后兩種并非周期函數(shù)，導(dǎo)致有平動(dòng)時(shí)角多普勒頻移曲線周期性消失。與無平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)相比，平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)的角多普勒頻移方程更加復(fù)雜，需要考慮在不同情況下速度矢量對角多普勒的影響。

首先分析式(15)中分母對角多普勒曲線的影響。分母多項(xiàng)式的性質(zhì)決定了當(dāng)分母趨于0而分子不為0時(shí)，角多普勒必然會(huì)急劇增大。而式(15)的分母可視為在XOY平面上的一個(gè)橢圓。由于橢圓中心為(xb+vxt,yb+vyt)已知，為簡化推導(dǎo)橢圓方程的難度，先將式(15)所示的橢圓平移到原點(diǎn)，此時(shí)橢圓的一般式方程可寫為

根據(jù)橢圓的性質(zhì)，式(17)所示的橢圓可通過某標(biāo)準(zhǔn)橢圓經(jīng)二維旋轉(zhuǎn)獲得，該二維旋轉(zhuǎn)的角度θ為

基于二維旋轉(zhuǎn)角度并根據(jù)橢圓旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，將橢圓中心設(shè)置為 (xb+vxt,yb+vyt)后，可獲得式(15)分母所示橢圓的標(biāo)準(zhǔn)化方程

隨著時(shí)間的變化，式(15)的分母可視為橢圓中心Od在平動(dòng)的橢圓上一點(diǎn)q到原點(diǎn)的距離，點(diǎn)q隨時(shí)間變化過程如圖3所示，上文求得的二維旋轉(zhuǎn)角度θ體現(xiàn)為橢圓長軸與軸OX的夾角。

圖3 點(diǎn)q在平面X OY上的軌跡Fig.3 The trajectory of the point q on plane XOY

若點(diǎn)q恰巧經(jīng)過坐標(biāo)系原點(diǎn)O，則式(15)的分母為0，角多普勒趨于一個(gè)較大的值。設(shè)定旋轉(zhuǎn)中心為(1,1,600) m，旋轉(zhuǎn)半徑為0.4 m，旋轉(zhuǎn)頻率為10 Hz，速度矢量為(-11,375,-11.33,0) m，歐拉角為(0,0,0)rad。該情況下的角多普勒頻移曲線如圖4所示，圖中藍(lán)線為忽略速度矢量后根據(jù)式(16)生成的角多普勒頻移曲線，橙線為考慮目標(biāo)平動(dòng)情況下的角多普勒頻移曲線。

圖4 角多普勒頻移曲線Fig.4 Angular Doppler frequency shift curve

為便于分析速度矢量帶來的影響，設(shè)歐拉角θ1=θ2=0，目標(biāo)旋轉(zhuǎn)平面平行于XOY平面。藍(lán)色角多普勒頻移曲線的旋轉(zhuǎn)中心為當(dāng)wbt=5π/4時(shí)角多普勒曲線出現(xiàn)尖峰，此時(shí)角多普勒值為-4499 Hz。橙色角多普勒頻移曲線的旋轉(zhuǎn)中心為xb=yb=2.5rb，速度矢量為v=(-11.395,-11.46,0)Tm/s，通過設(shè)置特定的參數(shù)使橢圓中心平動(dòng)到某位置時(shí)點(diǎn)q恰巧經(jīng)過坐標(biāo)系原點(diǎn)O，從而角多普勒出現(xiàn)較大的值。

與線多普勒不同，角多普勒對旋轉(zhuǎn)中心較為敏感，當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心和其余微動(dòng)參數(shù)滿足一定關(guān)系時(shí)，角多普勒曲線特征明顯，能提供更多的目標(biāo)信息。但要考慮角多普勒出現(xiàn)尖峰是因?yàn)辄c(diǎn)q恰巧經(jīng)過坐標(biāo)系原點(diǎn)O，實(shí)際上渦旋電磁波波束中心存在能量空洞，該情況在實(shí)際中難以出現(xiàn)。多數(shù)情況下，旋轉(zhuǎn)中心平動(dòng)導(dǎo)致點(diǎn)q接近坐標(biāo)系原點(diǎn)O，從而使角多普勒曲線產(chǎn)生波動(dòng)，該情況下的角多普勒頻移曲線如圖5所示。旋轉(zhuǎn)中心接近原點(diǎn)O使角多普勒值顯著增大，橢圓與原點(diǎn)交錯(cuò)時(shí)點(diǎn)q與O越接近，角多普勒最大值越大。橢圓與原點(diǎn)交錯(cuò)后，橢圓中心遠(yuǎn)離原點(diǎn)O，角多普勒曲線逐漸趨于0。需要指出，受限于渦旋電磁波雷達(dá)回波幅度中調(diào)制的貝塞爾函數(shù)的影響，當(dāng)角多普勒頻率較大時(shí)(此時(shí)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)點(diǎn)接近渦旋電磁波中心空洞)回波能量較小，該時(shí)間段對應(yīng)的角多普勒曲線的提取難度較大。但通過觀測時(shí)頻圖中曲線能量較低處，可以間接獲得角多普勒曲線尖峰處的位置。

圖5 多數(shù)情況下的角多普勒頻移曲線Fig.5 Angle Doppler curve in most cases

在分析分母對角多普勒曲線的影響后，需要考慮速度矢量方向?qū)嵌嗥绽疹l移曲線的影響。根據(jù)速度矢量的方向和橢圓與原點(diǎn)O的相對關(guān)系，可分為4種情況：一是原點(diǎn)O在橢圓內(nèi)，速度矢量使旋轉(zhuǎn)中心遠(yuǎn)離雷達(dá)視線方向；二是原點(diǎn)O在橢圓外，速度矢量使旋轉(zhuǎn)中心遠(yuǎn)離雷達(dá)視線方向；三是原點(diǎn)O在橢圓內(nèi)，速度矢量使旋轉(zhuǎn)中心接近雷達(dá)視線方向；四是原點(diǎn)O在橢圓外，速度矢量使旋轉(zhuǎn)中心接近雷達(dá)視線方向。分別展示該情況下角多普勒頻移曲線，并對這4種情況進(jìn)行討論，4種情況下的角多普勒頻移曲線如圖6所示。其中圖6(a)和圖6(c)的時(shí)頻曲線較為接近，其原因?yàn)樵谀繕?biāo)平動(dòng)的過程中點(diǎn)接近原點(diǎn)的次數(shù)均為兩次，且穿過原點(diǎn)后旋轉(zhuǎn)中心遠(yuǎn)離原點(diǎn)。圖6(b)為原點(diǎn)位于橢圓外部，點(diǎn)q未與原點(diǎn)接近，所以該情況下的時(shí)頻曲線并未出現(xiàn)尖峰。圖6(d)出現(xiàn)4個(gè)較大的角多普勒值，其原因?yàn)闄E圓中心自遠(yuǎn)處向原點(diǎn)平動(dòng)，該情況下點(diǎn)q接近原點(diǎn)4次。可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)q與原點(diǎn)的相對位置直接決定了角多普勒頻移曲線的形狀，因此也可通過角多普勒頻移曲線的形狀初步判斷目標(biāo)旋轉(zhuǎn)中心與原點(diǎn)的相對位置、速度矢量的方向，為下一步的參數(shù)提取提供一定的信息。

圖6 4種情況下的角多普勒頻移曲線Fig.6 Angle Doppler curve in four cases

在分析速度矢量對角多普勒曲線的影響后，需要考慮其余微動(dòng)參數(shù)和角多普勒之間的聯(lián)系。首先對無平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)角多普勒方程進(jìn)行分析，進(jìn)而拓展到平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)角多普勒方程。將式(16)上下同時(shí)除以，則式(16)可重寫為

由式(22)可以發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上旋轉(zhuǎn)半徑、旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)的絕對大小并不影響角多普勒曲線，旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)半徑比值決定了角多普勒曲線的性質(zhì)。

因此，可以得出無平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)角多普勒的一個(gè)性質(zhì)：角多普勒由旋轉(zhuǎn)半徑和旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)的相對大小決定，與這3個(gè)參數(shù)的絕對大小無關(guān)。參照無平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)將式(15)上下同時(shí)除以，將式(15)重寫為

與式(22)類似，式(23)表示的角多普勒曲線同樣由微動(dòng)參數(shù)(除歐拉角和旋轉(zhuǎn)頻率外)間的相對大小決定，該性質(zhì)表明若僅用角多普勒曲線進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，僅能獲得旋轉(zhuǎn)角頻率、歐拉角和其余參數(shù)間的相對大小。

在分析平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)角多普勒效應(yīng)的基礎(chǔ)上，構(gòu)建多元非線性方程組，利用L-M算法求解方程組，估計(jì)目標(biāo)微動(dòng)參數(shù)。線多普勒主要以正弦函數(shù)規(guī)律變化，從頻移曲線中能提取的信息較少?？梢詫€多普勒曲線求二次導(dǎo)數(shù)濾除速度項(xiàng)的影響，其結(jié)果為

可以發(fā)現(xiàn)每次求導(dǎo)都會(huì)使相同時(shí)間段下的線多普勒幅度值乘以旋轉(zhuǎn)角頻率，因此可通過對比二次導(dǎo)數(shù)和三次導(dǎo)數(shù)間的幅度差提取目標(biāo)旋轉(zhuǎn)角頻率。

與線多普勒相比，角多普勒方程為分母多項(xiàng)式，時(shí)間會(huì)引起角多普勒的復(fù)雜變化，角多普勒頻移曲線中蘊(yùn)含更多的目標(biāo)微動(dòng)信息。因此可以利用角多普勒曲線中的多個(gè)點(diǎn)構(gòu)建多元非線性方程組，通過求解方程組估計(jì)目標(biāo)微動(dòng)參數(shù)。若通過線多普勒估計(jì)旋轉(zhuǎn)角頻率，則式(23)中含有6個(gè)未知參數(shù)，最少需要選取角多普勒曲線上的6個(gè)點(diǎn)構(gòu)建方程組。由于角多普勒蘊(yùn)含豐富的目標(biāo)信息，可以利用較短周期的頻移曲線提取目標(biāo)微動(dòng)參數(shù)。實(shí)際上，頻移曲線長度首先影響基于線多普勒的旋轉(zhuǎn)角頻率和徑向半徑提取。旋轉(zhuǎn)角頻率可以通過對線多普勒頻移曲線高階導(dǎo)數(shù)間的幅度差值獲得，但在較短頻移曲線長度下無法估計(jì)徑向半徑。為從線多普勒頻移曲線中提取目標(biāo)徑向半徑，最短需要1/4周期的頻移曲線以確保線多普勒極值被包含在周期內(nèi)。設(shè)由角多普勒曲線獲得的第l個(gè)點(diǎn)的值為(l)，方程組可寫為

利用L-M算法求解方程(25)所示的多元非線性方程組，即可獲得微動(dòng)參數(shù)估計(jì)值，其中旋轉(zhuǎn)角頻率和歐拉角的估計(jì)值為準(zhǔn)確值，并可根據(jù)歐拉角計(jì)算目標(biāo)旋轉(zhuǎn)矢量。但由于角多普勒本身的性質(zhì)，獲得的旋轉(zhuǎn)半徑、旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)、速度矢量均為相對大小，需要聯(lián)立線多普勒獲得上述參數(shù)的絕對大小。

在獲得旋轉(zhuǎn)角頻率、歐拉角和微動(dòng)參數(shù)間的相對大小的基礎(chǔ)上，只需將選取點(diǎn)之間的線多普勒二次導(dǎo)數(shù)差值代入式(24)即可獲得徑向半徑估計(jì)值rl

根據(jù)角多普勒已估計(jì)目標(biāo)歐拉角θ1和θ2，所以根據(jù)式(26)可獲得旋轉(zhuǎn)半徑估計(jì)值。將旋轉(zhuǎn)半徑代入微動(dòng)參數(shù)間的相對大小，即可獲得旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)、速度矢量的估計(jì)值。至此，綜合利用線多普勒和角多普勒，實(shí)現(xiàn)了對平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)微動(dòng)參數(shù)的提取，其處理流程如圖7所示。

圖7 算法流程圖Fig.7 Algorithm flow chart

4 仿真結(jié)果

本節(jié)將驗(yàn)證所推導(dǎo)的平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)角多普勒性質(zhì)，并驗(yàn)證所提三維微動(dòng)參數(shù)提取方法的有效性。

首先設(shè)定渦旋電磁波雷達(dá)參數(shù)和平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)參數(shù)，雷達(dá)與目標(biāo)參數(shù)如表1所示。

表1 雷達(dá)和目標(biāo)參數(shù)Tab.1 Parameters of radar and target

根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型生成對應(yīng)回波，對相位求導(dǎo)獲得多普勒頻率的理想曲線。根據(jù)表1所示參數(shù)，目標(biāo)理想多普勒曲線和根據(jù)式(11)和式(15)生成的多普勒曲線如圖8所示，圖8(a)和圖8(b)分別為線多普勒頻移曲線和角多普勒頻移曲線。圖8(a)中藍(lán)色曲線為理想線多普勒曲線，橙色曲線為根據(jù)式(11)生成的線多普勒曲線，兩個(gè)曲線基本重合，證明了式(11)的正確性。同樣，圖8(b)中藍(lán)色曲線為理想角多普勒曲線，橙色曲線為根據(jù)式(15)生成的角多普勒曲線，兩者的相似程度證明了式(15)的正確性。

圖8 多普勒曲線Fig.8 The curve of Doppler

該情況下目標(biāo)的俯仰角變化曲線如圖9(a)所示，由于目標(biāo)的平動(dòng)和旋轉(zhuǎn)，目標(biāo)俯仰角在0.004～0.045 rad變化。該變化導(dǎo)致Bessel函數(shù)的值發(fā)生變化，其過程如圖9(b)所示。由于俯仰角的變化，不同時(shí)間段下的回波信噪比不同，導(dǎo)致了回波時(shí)頻圖中的能量分布隨時(shí)間改變，該情況下的回波時(shí)頻圖如圖10所示。在0.05～0.20 s左右的時(shí)間段，回波能量顯著減小，當(dāng)基于時(shí)頻圖提取目標(biāo)角多普勒曲線時(shí)，直接影響該段的角多普勒曲線提取精度。

圖9 俯仰角及貝塞爾函數(shù)值變化曲線Fig.9 Pitch angle and Bessel function value change curve

圖10 回波時(shí)頻圖(線多普勒＋角多普勒)Fig.10 Echo time-frequency map (linear Doppler+angular Doppler)

在證明式(11)和式(15)的正確性后，繼續(xù)驗(yàn)證“角多普勒曲線由微動(dòng)參數(shù)間(除歐拉角和旋轉(zhuǎn)頻率外)的相對大小決定”這一性質(zhì)。將涉及參數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小對應(yīng)倍數(shù)，展示不同倍數(shù)下的角多普勒曲線以證明該性質(zhì)。不同倍數(shù)下的角多普勒曲線如圖9所示。圖11為微動(dòng)參數(shù)(除歐拉角和旋轉(zhuǎn)頻率外)等比例縮小0.50,0.75和等比例放大1,2,4倍的曲線，5條曲線完全重合，證明了等比例縮小或放大微動(dòng)參數(shù)并不影響角多普勒曲線。通過圖11可以證明所推導(dǎo)性質(zhì)的正確性。

圖11 不同微動(dòng)參數(shù)倍數(shù)下的角多普勒曲線Fig.11 Angular Doppler curves under different micro motion parameter multiples

在驗(yàn)證所推導(dǎo)公式和性質(zhì)的正確性后，根據(jù)圖7所示的算法提取旋轉(zhuǎn)目標(biāo)微動(dòng)參數(shù)。首先展示在利用完整周期的頻移曲線條件下的微動(dòng)參數(shù)提取結(jié)果。線多普勒曲線的2階導(dǎo)數(shù)曲線和3階導(dǎo)數(shù)曲線如圖12所示，相鄰階導(dǎo)數(shù)曲線間峰值比例即為旋轉(zhuǎn)角頻率，由圖12所示曲線可估計(jì)旋轉(zhuǎn)角頻率為62.485 rad。同時(shí)，由線多普勒2階導(dǎo)數(shù)曲線幅度可估計(jì)徑向半徑為0.3736 m。

圖12 不同階導(dǎo)數(shù)下的線多普勒曲線Fig.12 Linear Doppler curve under different order derivatives

在估計(jì)旋轉(zhuǎn)角頻率和徑向半徑的基礎(chǔ)上，等間隔選取完整周期角多普勒頻移曲線上的8個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)對應(yīng)的時(shí)刻和角多普勒值如表2所示。

表2 選取點(diǎn)的時(shí)刻和角多普勒值Tab.2 The time and angular Doppler value of the selected point

將表2所示的數(shù)據(jù)代入方程(25)所示的多元非線性方程組中，即可求解歐拉角和剩余微動(dòng)參數(shù)的相對大小。利用L-M算法求解多元非線性方程組，求解過程中的迭代誤差如表3所示。在迭代過程中算法的學(xué)習(xí)率在根據(jù)迭代誤差不斷變化，自適應(yīng)的調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)率提高了算法求解速度和準(zhǔn)確率。隨著迭代次數(shù)的增加，誤差逐漸減小，最終誤差為5.26×10-15，代表算法成功求解方程組。多元非線性方程組的求解結(jié)果如表4所示，估計(jì)的歐拉角為(1.047,0.785) rad，與理想值基本一致，根據(jù)歐拉角可計(jì)算出旋轉(zhuǎn)矢量估計(jì)值 (0.707,-0.612,0.353)T。與提出角多普勒性質(zhì)一致，根據(jù)角多普勒可精確估計(jì)目標(biāo)歐拉角，但僅能獲得旋轉(zhuǎn)半徑、旋轉(zhuǎn)中心和速度矢量的相對大小。

表4 多元非線性方程組求解結(jié)果Tab.4 Solution results of multivariate nonlinear equations

在獲得目標(biāo)歐拉角和徑向半徑的基礎(chǔ)上，根據(jù)式(12)，可獲得目標(biāo)旋轉(zhuǎn)半徑估計(jì)值0.3982 m。與理想值0.4 m相比，旋轉(zhuǎn)半徑的估計(jì)值與理想值基本一致。將旋轉(zhuǎn)半徑估計(jì)值代入表4的估計(jì)結(jié)果中，算法最終獲得的微動(dòng)參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表5所示，提取誤差均小于1%，算法在利用完整頻移曲線的情況下實(shí)現(xiàn)了對平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)微動(dòng)參數(shù)的精確提取。

表5 完整周期頻移曲線下的微動(dòng)參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.5 Estimation results of micro-motion parameters under complete periodic frequency shift curve

前面討論了算法在利用完整周期頻移曲線時(shí)的性能，接下來討論頻移曲線長度對算法提取性能的影響，并給出在所示雷達(dá)和目標(biāo)參數(shù)條件下算法提取目標(biāo)微動(dòng)參數(shù)所需的最短頻移曲線長度。此時(shí)線多普勒頻移曲線和角多普勒頻移曲線如圖13所示，圖13(a)為1/4微動(dòng)周期的線多普勒頻移曲線，圖13(b)為1/4周期的角多普勒頻移曲線。

圖13 1/4周期的多普勒頻移曲線Fig.13 Doppler frequency shift curve at quarter cycle

從1/4微動(dòng)周期線多普勒頻移曲線中提取目標(biāo)微動(dòng)參數(shù)的過程與完整周期頻移曲線中的提取過程一致?；?/4微動(dòng)周期線多普勒頻移曲線，可估計(jì)目標(biāo)旋轉(zhuǎn)角頻率為62.485 rad，徑向半徑為0.3736 m。在估計(jì)旋轉(zhuǎn)角頻率和徑向半徑的基礎(chǔ)上，等間隔選取1/4微動(dòng)周期角多普勒頻移曲線上的8個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)對應(yīng)的時(shí)刻和角多普勒值如表6所示。

表6 選取1/4周期內(nèi)8個(gè)點(diǎn)的時(shí)刻和角多普勒值Tab.6 Select the time and angular Doppler Values of 8 points within a quarter cycle

將表6所示的數(shù)據(jù)代入式(25)所示的多元非線性方程組中，利用L-M算法求解多元非線性方程組。由于只選取了1/4微動(dòng)周期內(nèi)8個(gè)點(diǎn)作為求解方程組的輸入，該情況下算法迭代了10909步才求得方程組的解，最后一步的誤差為2.0543×10-22，學(xué)習(xí)率為10-11。與利用完整周期頻移曲線相比，利用1/4周期頻移曲線所需求解時(shí)間為前者的840倍，計(jì)算時(shí)間明顯增加。基于角多普勒的方程組求解結(jié)果如表7所示，估計(jì)的歐拉角為(1.047,0.785) rad，與理想值基本一致。根據(jù)歐拉角可算出目標(biāo)旋轉(zhuǎn)矢量估計(jì)值 (0.707,-0.612,0.353)T。在獲得目標(biāo)歐拉角和徑向半徑的基礎(chǔ)上，根據(jù)式(12)，可獲得目標(biāo)旋轉(zhuǎn)半徑估計(jì)值0.3982 m。與理想值0.4 m相比，旋轉(zhuǎn)半徑的估計(jì)值與理想值基本一致。將旋轉(zhuǎn)半徑估計(jì)值代入表7的估計(jì)結(jié)果中，算法最終獲得的微動(dòng)參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表8所示，提取誤差均小于1%，且與利用完整周期頻移曲線的提取誤差基本一致。仿真證明了算法在利用1/4微動(dòng)周期多普勒頻移曲線的情況下可實(shí)現(xiàn)對平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)微動(dòng)參數(shù)的精確提取。

表7 1/4周期多元非線性方程組求解結(jié)果Tab.7 Solution results of multivariate nonlinear equations under 1/4 period

表8 1/4周期頻移曲線下的微動(dòng)參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.8 Estimation results of micro-motion parameters at quarter periodic frequency shift curve

實(shí)際應(yīng)用中通常從時(shí)頻圖中提取目標(biāo)角多普勒頻移曲線，噪聲干擾主要體現(xiàn)在角多普勒頻移曲線提取誤差中。為模擬噪聲干擾對提取誤差的影響，添加存在角多普勒提取誤差的情況下，目標(biāo)微動(dòng)參數(shù)的提取結(jié)果。在對角多普勒曲線添加范圍為[-10%,10%]的隨機(jī)誤差后，角多普勒曲線如圖14所示。

圖14 添加誤差后的角多普勒曲線Fig.14 Angular Doppler curve after adding error

添加隨機(jī)誤差后，曲線出現(xiàn)了明顯的波動(dòng)，同一選取角多普勒曲線上的6個(gè)點(diǎn)，其結(jié)果如表9所示。由于添加了隨機(jī)誤差，6個(gè)點(diǎn)的誤差范圍在1%～20%，會(huì)對最終的微動(dòng)參數(shù)提取結(jié)果造成一定的影響，其微動(dòng)參數(shù)提取結(jié)果如表10所示。由于提取誤差的影響，微動(dòng)參數(shù)提取誤差增大，其中速度矢量的誤差最大，達(dá)到15.18%；除旋轉(zhuǎn)頻率外，旋轉(zhuǎn)半徑的估計(jì)誤差最小，僅為2.62%。仿真證明了在角多普勒頻移曲線存在誤差時(shí)算法的適用性。

表9 添加誤差后6個(gè)點(diǎn)的時(shí)刻和角多普勒值Tab.9 Time and angle Doppler values of 6 points after adding error

表10 添加誤差后的微動(dòng)參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.10 Estimation results of micro-motion parameters after adding errors

5 結(jié)語

渦旋電磁波雷達(dá)能觀測目標(biāo)投影到雷達(dá)徑向和垂直于徑向平面的微動(dòng)分量，可實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)三維微動(dòng)參數(shù)的提取。本文主要研究了渦旋電磁波雷達(dá)平動(dòng)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)微多普勒效應(yīng)，提出了基于1/4微動(dòng)周期多普勒頻移曲線的微動(dòng)參數(shù)提取方法，獲得了目標(biāo)旋轉(zhuǎn)頻率、旋轉(zhuǎn)半徑、旋轉(zhuǎn)矢量、平動(dòng)速度矢量等參數(shù)。文章在獲得目標(biāo)線多普勒頻移曲線和角多普勒頻移曲線的理想條件下，對目標(biāo)微多普勒效應(yīng)進(jìn)行探討并提取目標(biāo)微動(dòng)參數(shù)，并未考慮各類因素對多普勒提取的影響。在實(shí)際應(yīng)用中，由于時(shí)頻分析方法的時(shí)頻分辨率限制，對微動(dòng)參數(shù)提取精度會(huì)帶來一定的影響；且線多普勒分量和角多普勒分量的分離精度也會(huì)影響微動(dòng)參數(shù)提取精度，這些問題值得在下一步工作中繼續(xù)予以深入研究。我們將在下一步的工作中將電磁仿真和暗室實(shí)測相結(jié)合，驗(yàn)證提出算法的正確性并根據(jù)測試結(jié)果不斷改進(jìn)算法。