黃淮，林峰

（福建師范大學(xué) 光電與信息工程學(xué)院 醫(yī)學(xué)光電科學(xué)與技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室福建省光子技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 福州 350007）

引言

隨著人類在大氣遙感、海洋遙感、對(duì)地偵察領(lǐng)域的逐步深入，人們對(duì)光學(xué)系統(tǒng)的要求越來越高，空間光學(xué)也進(jìn)入到新的領(lǐng)域。在復(fù)雜的空天環(huán)境下，經(jīng)典的透射式光學(xué)系統(tǒng)存在許多難題，例如,為了校正色差需要多個(gè)鏡片，導(dǎo)致輕量化困難；大口徑玻璃鏡片難以加工裝調(diào)，復(fù)雜溫度環(huán)境下熱像差難以平衡。作為對(duì)比，反射系統(tǒng)不存在色差，工作波長(zhǎng)寬，可采用低熱膨脹系數(shù)材料加工，光學(xué)效率高，更符合實(shí)際應(yīng)用要求。而其中離軸反射系統(tǒng)可以做到無中心遮攔，相比同軸系統(tǒng)可以做到更大視場(chǎng)[1]。

美國(guó)的UickBird-2 衛(wèi)星[2]、日本的ALOS 衛(wèi)星、法國(guó)的SPOT3S 以及英國(guó)的Top Sat 均搭載離軸三反光學(xué)系統(tǒng)[3]。傳統(tǒng)的離軸系統(tǒng)會(huì)引入非對(duì)稱像差，一般采用線視場(chǎng)，即偏軸方向（子午視場(chǎng)）視場(chǎng)較?。?°左右），大視場(chǎng)的像差難以校正。隨著計(jì)算機(jī)計(jì)算能力以及數(shù)控加工能力的提升，引入自由曲面可以為離軸系統(tǒng)平衡對(duì)稱性像差，擴(kuò)大系統(tǒng)視場(chǎng)[4]。

本文在幾何光學(xué)和像差理論的基礎(chǔ)上，研究了離軸反射式系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題。計(jì)算得出同軸反射系統(tǒng)的初始結(jié)構(gòu)，采用視場(chǎng)離軸的方式避免中心遮攔并逐步擴(kuò)大視場(chǎng)[5]，引入Zernike 多項(xiàng)式自由曲面，實(shí)現(xiàn)了13°×13°的大對(duì)稱視場(chǎng)，最后對(duì)其成像性能進(jìn)行了分析評(píng)估。

1 光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

1.1 系統(tǒng)設(shè)計(jì)指標(biāo)

衛(wèi)星在軌高度H、地面覆蓋寬度W、地面分辨率RGSD以及探測(cè)器像元尺寸α有以下關(guān)系式：

式中：f為光學(xué)系統(tǒng)焦距；ω為光學(xué)系統(tǒng)視場(chǎng)。假定衛(wèi)星在軌高度H=650 km，地面覆蓋寬度W=150 km，探測(cè)器像元尺寸為5 μm，則本文設(shè)計(jì)的離軸反射系統(tǒng)指標(biāo)如表1 所示。

表1 光學(xué)系統(tǒng)指標(biāo)Table 1 Optical system parameters

1.2 初始結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

離軸反射系統(tǒng)的初始結(jié)構(gòu)通常在同軸系統(tǒng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行離軸，最后達(dá)到中心無遮攔的效果[6]。對(duì)于同軸系統(tǒng)的初始結(jié)構(gòu)計(jì)算，假定3 個(gè)反射鏡均為二次曲面，物體在無窮遠(yuǎn)，如圖1 所示，即l1=∞，u1=0。設(shè)次鏡對(duì)主鏡的遮攔比為α1，三鏡對(duì)次鏡的遮攔比為α2，次鏡的放大率為β1，三鏡的放大率為β2，則有：

圖1 同軸三反系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of common-axis three-mirror system

根據(jù)像差理論[7]可以計(jì)算出初始結(jié)構(gòu)的球差SⅠ、彗差SⅡ、像散SⅢ和場(chǎng)曲SⅣ的像差系數(shù)分別為

聯(lián)立式（4）～式（7），并使各項(xiàng)像差系數(shù)為0，本文選用無中間像面的同軸反射結(jié)構(gòu)作為初始結(jié)構(gòu)，利用Matlab 進(jìn)行編程解方程組，輸入符合條件的輪廓參數(shù)即可得到一組初始結(jié)構(gòu)參數(shù)[8]，如表2所示。根據(jù)以上條件得到系統(tǒng)的同軸初始結(jié)構(gòu)，如圖2 所示。

圖2 初始三反系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.2 Initial structure diagram of three-mirror system

表2 初始結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2 Initial structural parameters

2 優(yōu)化思路

2.1 設(shè)計(jì)優(yōu)化

在得到同軸初始結(jié)構(gòu)后進(jìn)行離軸處理，離軸方式分為孔徑離軸和視場(chǎng)離軸。孔徑離軸情況下光闌在主鏡上，光學(xué)結(jié)構(gòu)不對(duì)稱，故視場(chǎng)角無法做得太大；視場(chǎng)離軸情況下光闌一般在次鏡上，有利于視場(chǎng)角的擴(kuò)展，所以本文采用視場(chǎng)離軸的方式[9]。

設(shè)置波長(zhǎng)為400 nm～1 000 nm，主鏡和三鏡均為非球面。給定同軸結(jié)構(gòu)一個(gè)起始離軸視場(chǎng)角，并設(shè)置視場(chǎng)，稍作優(yōu)化，在保證光線不被遮攔的情況下滿足像質(zhì)要求，得到小視場(chǎng)的離軸初始結(jié)構(gòu)[10]。視場(chǎng)設(shè)置為x方向-5°～5°，y方向由于離軸視場(chǎng)的不對(duì)稱性，視場(chǎng)設(shè)置為6°～7°，此時(shí)視場(chǎng)為線視場(chǎng)，需要在此基礎(chǔ)上擴(kuò)展視場(chǎng)。

調(diào)整三反系統(tǒng)光線無遮攔后，進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化過程中，Zemax 的計(jì)算方式會(huì)使系統(tǒng)趨于共軸，所以盡量不將距離以及角度設(shè)為變量，手動(dòng)進(jìn)行調(diào)整。擴(kuò)大視場(chǎng)的方式應(yīng)遵循逐步擴(kuò)大的方法[11]，以1°、0.5°，甚至0.1°的幅度增加視場(chǎng)。

采用DIMX 和DISC 操作數(shù)在優(yōu)化過程中控制畸變，優(yōu)化采用波前+PTV 的方式，以質(zhì)心為參考。由于視場(chǎng)的離軸不對(duì)稱特性，光瞳采樣采用矩形陣列更為合適，本文設(shè)計(jì)采用12×12 網(wǎng)格。使用EFFL 操作數(shù)控制焦距為800 mm，TTHI 控制鏡面間距以及整體尺寸，COGT 以及COLT 控制二次曲面系數(shù)在合理的范圍內(nèi)[12]。除此之外，優(yōu)化過程中時(shí)刻注意避免視場(chǎng)擴(kuò)大導(dǎo)致光線遮攔，可編寫ZPL 宏語言對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)框架進(jìn)行限制。設(shè)計(jì)優(yōu)化思路流程圖如圖3 所示。

圖3 設(shè)計(jì)優(yōu)化思路流程圖Fig.3 Flow chart of design optimization ideas

2.2 自由曲面的應(yīng)用

自由曲面區(qū)別于傳統(tǒng)球面和非球面，具有非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的特點(diǎn)，因此也擁有更高的優(yōu)化自由度，對(duì)校正離軸系統(tǒng)的非對(duì)稱性像差有天然的優(yōu)勢(shì)。自由曲面通常有兩種數(shù)學(xué)方式進(jìn)行描述：一是用離散點(diǎn)擬合描述，二是多項(xiàng)式組合描述。離散點(diǎn)擬合得到的自由曲面可以是任意形狀的，但是在加工制造、檢測(cè)等方面存在工藝性不足等問題。多項(xiàng)式組合描述方式具有較高的精度，所得到的自由曲面為連續(xù)平滑曲面，并且易于檢測(cè)加工[13]。

在光學(xué)設(shè)計(jì)領(lǐng)域中，通常使用Zernike 多項(xiàng)式和XY多項(xiàng)式進(jìn)行自由曲面設(shè)計(jì)[14]。本文采用Zernike 多項(xiàng)式進(jìn)行設(shè)計(jì)，以二次曲面作為基底，用以下形式表示：

Zernike 多項(xiàng)式與像差理論吻合較好，其各項(xiàng)指標(biāo)與Seidel 像差可以很好地對(duì)應(yīng)，有利于我們?cè)趦?yōu)化過程中平衡像差。Zemax 設(shè)計(jì)中常用Zernike Standard 和Zernike Fringe 兩種形式，本文采用Zernike Fringe 形式。

在y方向大于10°以后，普通非球面已經(jīng)很難平衡不對(duì)稱性像差[15]，此時(shí)引入自由曲面，將主鏡和三鏡設(shè)置為Zernike Fringe 矢高形式的自由曲面。主鏡和三鏡優(yōu)化后，在歸一化半徑為400 mm 情況下，Zernike Fringe 多項(xiàng)式系數(shù)如表3 和表4 所示。

表3 主鏡Zernike 系數(shù)Table 3 Zernike coefficients of primary mirror

表4 三鏡Zernike 系數(shù)Table 4 Zernike coefficients of tertiary mirror

表3 和表4 中并未選擇所有的Zernike 系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，而是選擇了與x視場(chǎng)方向（弧矢方向）無關(guān)的系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，這樣x方向視場(chǎng)便可設(shè)置為對(duì)稱視場(chǎng)。本文設(shè)置x方向視場(chǎng)為0°～6.5°對(duì)稱視場(chǎng)以及y方向視場(chǎng)為6°～19°，二者組合形成矩形視場(chǎng)。最終得到焦距800 mm、相對(duì)孔徑1∶5、視場(chǎng)角13°×13°的大對(duì)稱視場(chǎng)的離軸三反光學(xué)系統(tǒng)，具體結(jié)構(gòu)參數(shù)如表5 所示，光路圖如圖4 所示。系統(tǒng)中次鏡為孔徑光闌，無中間像面，主鏡和三鏡為Zernike 多項(xiàng)式自由曲面，次鏡為二次曲面。

圖4 光學(xué)系統(tǒng)光路圖Fig.4 Optical path diagram of optical system

表5 系統(tǒng)優(yōu)化后結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 5 Optimized structural parameters

3 像質(zhì)評(píng)價(jià)

由奈奎斯特頻率計(jì)算公式N=1/2α（α為探測(cè)器像元）可得，該系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)(MTF)參考頻率為100 lp/mm，如圖5 所示。光學(xué)傳遞函數(shù)是評(píng)價(jià)光學(xué)系統(tǒng)各項(xiàng)性能的綜合體現(xiàn)[16]，由圖5 可知，該系統(tǒng)在100 lp/mm 處光學(xué)傳遞函數(shù)大于0.5，符合設(shè)計(jì)要求。

圖5 系統(tǒng)光學(xué)傳遞函數(shù)Fig.5 Modulation transfer function of system

點(diǎn)列圖的RMS（均方根）半徑能夠很好地反映光斑的能量集中度[17]，本系統(tǒng)點(diǎn)列圖如圖6 所示，具體數(shù)值如表6 所示。本系統(tǒng)的艾里斑半徑為4.276 μm，各個(gè)視場(chǎng)的最大彌散斑半徑為3.105 μm，均小于艾里斑半徑，且小于一個(gè)像元尺寸5 μm，滿足清晰成像的要求。由于反射系統(tǒng)不產(chǎn)生色差，由圖6 也可以看出，相同視場(chǎng)不同波長(zhǎng)的光斑形狀一致。圖7 為本系統(tǒng)的能量集中度曲線，可以看出80%以上的能量集中在5 μm，也小于一個(gè)像元尺寸。圖8 為該系統(tǒng)的場(chǎng)曲及畸變曲線圖，可以看出畸變均在5%以內(nèi)。

圖6 系統(tǒng)點(diǎn)列圖Fig.6 Spot diagram of system

圖7 能量集中度曲線Fig.7 Energy concentration curves

圖8 系統(tǒng)場(chǎng)曲及畸變圖Fig.8 System field curvature and distortion diagram

表6 各視場(chǎng)RMS 光斑半徑Table 6 RMS spot radius of each field of view μm

4 公差分析

公差分析是評(píng)判光學(xué)系統(tǒng)可行性的重要流程，公差如果過于嚴(yán)格，會(huì)導(dǎo)致成本上升甚至無法制造，公差過于寬松將會(huì)使成像質(zhì)量下降嚴(yán)重。一般公差主要包括設(shè)計(jì)殘余誤差、加工誤差和裝調(diào)誤差[18]。利用Zemax 軟件進(jìn)行公差分析，將公差分配成若干個(gè)公差類別，隨機(jī)作用于光學(xué)系統(tǒng)。以100 lp/mm 處的衍射MTF 為標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行200 次蒙特卡洛分析，使用后截距進(jìn)行公差補(bǔ)償，根據(jù)實(shí)際加工裝調(diào)狀況對(duì)公差默認(rèn)項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)卦鎏韯h改。最終公差分配結(jié)果如表7 所示[19]。從表7 可知，公差在可加工范圍之內(nèi)，滿足實(shí)際生產(chǎn)狀況。表8 為蒙特卡羅分析結(jié)果。

表7 離軸反射系統(tǒng)的系統(tǒng)公差Table 7 System tolerances for off-axis reflection system

表8 蒙特卡羅公差分析結(jié)果Table 8 Monte Carlo tolerance analysis results

5 結(jié)論

本文針對(duì)離軸反射系統(tǒng)在航空航天領(lǐng)域的優(yōu)勢(shì)，基于成像光學(xué)理論，計(jì)算出同軸反射系統(tǒng)的初始結(jié)構(gòu)，再利用Zemax 軟件對(duì)同軸系統(tǒng)進(jìn)行視場(chǎng)離軸，引入Zernike 自由曲面并擴(kuò)大視場(chǎng)，最終設(shè)計(jì)完成了一個(gè)視場(chǎng)為13°×13°，相對(duì)孔徑為1/5，焦距為800 mm，波長(zhǎng)為400 nm～1 000 nm 大對(duì)稱視場(chǎng)的光學(xué)系統(tǒng)。該系統(tǒng)成像質(zhì)量?jī)?yōu)良，MTF 接近衍射極限，在100 lp/mm 處大于0.5，RMS 光斑半徑小于像元尺寸5 μm。系統(tǒng)公差分析結(jié)果表明，公差在可加工范圍內(nèi)，工藝性良好。