王青松,高 明

(西安工業(yè)大學(xué)光電工程學(xué)院,陜西 西安 710021)

1 引 言

光電成像系統(tǒng)在軍事領(lǐng)域和商業(yè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。如軍事中的偵察搜索、目標(biāo)獲取、設(shè)計(jì)控制和導(dǎo)航等,商業(yè)中的法律實(shí)施、救火、污染控制、設(shè)備維修、制造和測(cè)試等。雖然光電成像系統(tǒng)的應(yīng)用場(chǎng)合差異很大,但是能否解決實(shí)際問題的關(guān)鍵在于其生成圖像的質(zhì)量。在光電成像系統(tǒng)對(duì)一個(gè)場(chǎng)景形成一副圖像的過程中,影響像質(zhì)的因素很多,光電成像系統(tǒng)的采樣響應(yīng)就是一個(gè)重要的因素。

為了研究采樣響應(yīng)對(duì)像質(zhì)所產(chǎn)生的影響,文獻(xiàn)[1]～[2]采用光電成像系統(tǒng)對(duì)點(diǎn)源目標(biāo)的響應(yīng)分析采樣響應(yīng),獲得了采樣響應(yīng)模型和采樣響應(yīng)結(jié)果。雖然可以通過點(diǎn)源目標(biāo)獲取封閉的采樣響應(yīng)模型,但是點(diǎn)源目標(biāo)與點(diǎn)源圖像之間的對(duì)比不直觀,影響了對(duì)像質(zhì)的分析。為了解決這個(gè)問題,文獻(xiàn)[3]～[4]提出采用一些“標(biāo)準(zhǔn)”圖像代替點(diǎn)源目標(biāo)分析采樣響應(yīng),如Lena圖像和Camera man圖像,雖然這些“標(biāo)準(zhǔn)”圖像與采樣響應(yīng)的生成圖像更容易對(duì)比,但是這些“標(biāo)準(zhǔn)”圖像本身具有與“標(biāo)準(zhǔn)”圖像采集過程相關(guān)的不確定性,這些不確定性限制了圖像的效用。

為了彌補(bǔ)采用點(diǎn)源目標(biāo)和“標(biāo)準(zhǔn)”圖像分析采樣響應(yīng)對(duì)像質(zhì)的影響的不足,本文提出了將規(guī)范圖像作為輸入建立封閉的采樣響應(yīng)模型來分析像質(zhì)的方法,該方法首先能夠獲得直觀的圖像,然后可用通過準(zhǔn)確地?cái)?shù)學(xué)模型定性地分析采樣響應(yīng)對(duì)像質(zhì)的影響規(guī)律,最后,能夠結(jié)合圖像清晰度評(píng)價(jià)函數(shù)和虛假響應(yīng)的平方和的根(RSS)可以得到平衡圖像模糊與混疊的條件。

2 規(guī)范圖像

規(guī)范圖像是封閉形式的、數(shù)學(xué)上可計(jì)算的圖像,它保留了線性移不變圖像形成過程的本質(zhì)[5]。本文采用的規(guī)范圖像為USAF 1951圖像[6-7]。如圖1(a)所示。根據(jù)疊加原理,該圖像由m個(gè)矩形規(guī)范圖像疊加形成,數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

圖1 分析采樣響應(yīng)的規(guī)范圖像

(1)

式中,isc(x,y)為USAF 1951規(guī)范圖像;Ai、(xi,yi)、Lxi和Lyi分別為第i個(gè)矩形規(guī)范圖像的亮度、中心坐標(biāo)、寬度和高度;R(x)為矩形函數(shù)。

根據(jù)傅里葉變換,isc(x,y)的幅度譜Isc(u,v)為:

Isc(u,v)=|F(isc(x,y))|

(2)

式中,u,v分別為水平和垂直空間頻率;F為傅里葉變換。圖1(b)給出了USAF 1951規(guī)范圖像的幅度譜圖。

當(dāng)沿著二分之一的圖像高度進(jìn)行水平掃描時(shí),可以得到一條一維亮度曲線,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

(3)

式中,H為USAF 1951規(guī)范圖像的高度。圖3(c)給出了一維亮度曲線。

一維亮度曲線的幅度譜Isc(u)為:

Isc(u)=|F(isc(x))|

(4)

圖1(d)為一維水平掃描亮度的幅度譜圖。

3 采樣響應(yīng)

3.1 采樣響應(yīng)過程

最基本的凝視光電成像系統(tǒng)由光學(xué)系統(tǒng)、探測(cè)器陣列和平板顯示器組成,它的采樣響應(yīng)過程包括采樣前模糊、采樣與采樣后模糊三個(gè)步驟:首先,一個(gè)目標(biāo)或場(chǎng)景受到采樣前模糊而退化成一幅光學(xué)圖像。采樣前模糊是由光學(xué)衍射、像差、探測(cè)器有限的尺寸、形狀等的組合調(diào)制傳遞函數(shù)(MTF)而引起的;隨后,探測(cè)器陣列對(duì)模糊光學(xué)圖像采樣。采樣頻率受到光學(xué)系統(tǒng)焦距和探測(cè)器間距的影響;最后顯示器對(duì)采樣圖像進(jìn)行采樣后模糊(重構(gòu))。顯示器像素的形狀和大小(亮度分布)的MTF決定了采樣后模糊。

3.2 一維采樣響應(yīng)函數(shù)

為了得到采樣響應(yīng)函數(shù),假設(shè)采樣前模糊的MTFHpre(u)是光學(xué)衍射MTFHo(u)和探測(cè)器MTFHd(u)的乘積[8-10]。即:

Hpre(u)=Hd(u)Ho(u)

(5)

式中,Ho(u)和Hd(u)的一維形式分別為:

Ho(u)=

(6)

(7)

上兩式中,u為空間頻率,cycles/mrad;uo為光學(xué)衍射截止頻率,cycles/mrad,uo等于光學(xué)系統(tǒng)入瞳直徑D與成像系統(tǒng)工作波長(zhǎng)λ之比;ud為探測(cè)器MTF截止頻率,cycles/mrad。

假設(shè)探測(cè)器陣列的填充因子為100 %,則采樣頻率us與探測(cè)器截止頻率ud相等,即:

(8)

式中,f為光學(xué)系統(tǒng)的焦距,mm;d為探測(cè)器尺寸,μm。

采樣后模糊的MTFHpos(u)為平板顯示器的MTFHfp(u),它們的一維形式為:

(9)

式中,ufp為平板顯示器顯示像素MTF截止頻率,cycles/mrad。

通過光電成像系統(tǒng)的對(duì)點(diǎn)源目標(biāo)的響應(yīng)可以獲得采樣響應(yīng)函數(shù)。采樣響應(yīng)函數(shù)是點(diǎn)源目標(biāo)在顯示器上形成的圖像的傅立葉變換。一維形式的采樣響應(yīng)函數(shù)Fsr(u)[11-12]為:

(10)

式(10)表明,采樣過程其實(shí)是Hpre(u)在不同采樣頻率倍數(shù)處的復(fù)制。這些復(fù)制產(chǎn)生了原始場(chǎng)景中并沒有的頻率,有可能引起混疊現(xiàn)象。當(dāng)n的絕對(duì)值大于等于2時(shí),這些新的高頻受到顯示器或者人眼MTF的模糊而減弱,因此,在大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)中,只有與基帶相鄰且n=±1的復(fù)制對(duì)混疊有明顯的影響。此時(shí),式(10)可近似為:

(11)

式(11)展開后為:

Fsr(u)≈Hfp(u)Hpre(u)+Hfp(u)[Hpre(us±u)+Hpre(-us±u)]

(12)

式中的第一項(xiàng)稱為光電成像系統(tǒng)的傳遞響應(yīng),它不依賴于采樣頻率,這表明基于探測(cè)器陣列采樣的光電成像系統(tǒng)有與非采樣光電成像系統(tǒng)相同的傳遞函數(shù)。第二項(xiàng)稱為光電成像系統(tǒng)的虛假響應(yīng),它在頻率軸上的位置依賴于采樣頻率。如果采樣頻率較小,那么虛假響應(yīng)在頻域中位于靠近基帶的位置,此時(shí),虛假響應(yīng)難以過濾并且可能與基帶重疊。如果樣頻率較大,那么虛假響應(yīng)遠(yuǎn)離基帶存在,通過顯示器MTF和人眼MTF可以過濾掉虛假響應(yīng)。

4 規(guī)范圖像的采樣響應(yīng)

4.1 USAF 1951規(guī)范圖像的采樣響應(yīng)

將式(4)與式(11)結(jié)合起來得到USAF 1951規(guī)范圖像的采樣響應(yīng)生成圖像,平板顯示器上圖像的幅度譜為:

(13)

式中,Ofp(u)為USAF 1951規(guī)范圖像的采樣響應(yīng)輸出。該輸出是USAF 1951規(guī)范圖像、采樣前模糊、采樣和采樣后模糊相結(jié)合的結(jié)果。當(dāng)采樣頻率不變時(shí),采樣前MTF截止頻率和采樣后MTF截止頻率與采樣頻率相比較時(shí)有四種典型情況,即過小的采樣前MTF截止頻率、過大的的采樣前MTF截止頻率、過大的采樣后MTF截止頻率和過小的采樣后MTF截止頻率。

4.1.1 過小的采樣前MTF截止頻率

采樣前MTF由式(5)確定,當(dāng)光學(xué)衍射截止頻率uo減小時(shí),采樣前MTF的截止頻率也會(huì)減小。圖2(a)和(b)中說明了uo=0.5 μs、ufp=0.5 μs時(shí)的USAF 1951規(guī)范圖像一維采樣響應(yīng)。圖中只給出了式(13)中n=0,1時(shí)的結(jié)果。圖2(c)顯示了USAF 1951規(guī)范圖像采樣響應(yīng)后的圖像。圖2(c)表明當(dāng)采樣前MTF截止頻率相較于采樣頻率過小時(shí),引起嚴(yán)重的圖像模糊,圖像分辨率下降,同時(shí)由于采樣后MTF不是理想的截止濾波器,圖像中存在少量帶外虛假響應(yīng),引起輕微的混疊現(xiàn)象。

4.1.2 過大的采樣前MTF截止頻率

當(dāng)光學(xué)衍射截止頻率uo增加時(shí),采樣前MTF的截止頻率也會(huì)增加。圖3(a)和(b)中說明了uo=1.5us、ufp=0.5us時(shí)的USAF 1951規(guī)范圖像一維采樣響應(yīng)。圖3(c)顯示了USAF 1951規(guī)范圖像采樣響應(yīng)后的圖像。圖3(c)表明當(dāng)采樣前MTF截止頻率相較于采樣頻率過大時(shí),圖像模糊有所減輕,但是帶外虛假響應(yīng)和帶內(nèi)虛假響應(yīng)導(dǎo)致圖像中出現(xiàn)嚴(yán)重的混疊現(xiàn)象,部分圖案發(fā)生了變形。

圖3 uo=1.5 us和ufp=0.5 us時(shí)的USAF 1951規(guī)范圖像的采樣響應(yīng)

4.1.3 過大的采樣后MTF截止頻率

采樣后MTF由式(9)確定,當(dāng)顯示器MTF截止頻率ufp增加時(shí),采樣后MTF的截止頻率也會(huì)增加。圖4(a)和(b)中說明了uo=us、ufp=1.5us時(shí)的USAF 1951規(guī)范圖像一維采樣響應(yīng)。圖4(c)顯示了USAF 1951規(guī)范圖像采樣響應(yīng)后的圖像。圖4(c)表明當(dāng)采樣后MTF截止頻率相較于采樣頻率過大時(shí),圖像中具有像素化效果的虛假內(nèi)容,使觀察者很難在視覺上積分潛在的圖像。

圖4 uo=us和ufp=1.5 us時(shí)的USAF 1951規(guī)范圖像的采樣響應(yīng)

4.1.4 過小的采樣后MTF截止頻率

當(dāng)顯示器MTF截止頻率減小時(shí),采樣后MTF的截止頻率ufp也會(huì)減小。圖5(a)和(b)中說明了uo=us、ufp=0.5us時(shí)的USAF 1951規(guī)范圖像一維采樣響應(yīng)。圖5(c)顯示了USAF 1951規(guī)范圖像采樣響應(yīng)后的圖像。圖5(c)表明當(dāng)采樣后MTF截止頻率相較于采樣頻率過小時(shí),圖像由于分辨率降低而模糊,同時(shí)由于采樣前MTF截止頻率超過了奈奎斯特頻率,圖像中也出現(xiàn)了一定程度的混疊現(xiàn)象。

圖5 uo=us和ufp=0.5 us時(shí)的USAF 1951規(guī)范圖像的采樣響應(yīng)

4.2 模糊與混疊

由式(12)可知式(13)中規(guī)范圖像的采樣響應(yīng)結(jié)果也包含傳遞相應(yīng)和虛假響應(yīng)兩部分。當(dāng)MTF的截止頻率不同時(shí),對(duì)傳遞響應(yīng)和虛假響應(yīng)的影響不同。由于式(13)采用封閉形式表示了采樣響應(yīng),因此可以對(duì)傳遞響應(yīng)和虛假響應(yīng)進(jìn)行理論計(jì)算,并對(duì)它們對(duì)像質(zhì)的影響進(jìn)行評(píng)價(jià)。

可以利用圖像清晰度評(píng)價(jià)函數(shù)說明MTF的截止頻率對(duì)模糊的影響。當(dāng)探測(cè)器MTF的截止頻率與平板顯示器MTF的截止頻率相同時(shí),圖像清晰度隨著探測(cè)器MTF的截止頻率與光學(xué)衍射MTF的截止頻率之間大小關(guān)系的變化而變化的曲線如圖6所示。圖像清晰度采用Brenner[13]算子進(jìn)行評(píng)價(jià)。圖6表明圖像清晰度隨著光學(xué)衍射MTF的截止頻率的減小而減小。

圖6 圖像清晰度與光學(xué)衍射MTF截止頻率的關(guān)系

可以通過計(jì)算各個(gè)頻率上所有虛假響應(yīng)RSS來評(píng)價(jià)虛假響應(yīng)對(duì)混疊的影響。當(dāng)探測(cè)器MTF的截止頻率與平板顯示器MTF的截止頻率相同時(shí),帶內(nèi)虛假響應(yīng)和帶外虛假響應(yīng)的RSS隨著探測(cè)器MTF的截止頻率與光學(xué)衍射MTF的截止頻率之間大小關(guān)系的變化而變化的曲線如圖7所示。

圖7 帶內(nèi)和帶外虛假響應(yīng)的RRS之和與光學(xué)衍射MTF截止頻率的關(guān)系

圖7表明帶內(nèi)與帶外虛假響應(yīng)的RSS之和都隨光學(xué)衍射MTF的截止頻率的減小而減小,但是減小的程度不同。當(dāng)us/uo≈1.5時(shí),帶內(nèi)虛假響應(yīng)的RSS之和等于零,表明采樣響應(yīng)中沒有帶內(nèi)虛假響應(yīng),但是帶外虛假響應(yīng)的RSS之和不等于零,表明此處依然有帶外虛假響應(yīng)。當(dāng)us/uo=2時(shí),帶外虛假響應(yīng)的RSS之和仍不等于零,但是該值有所減小。

5 結(jié) 論

將USAF 1951規(guī)范圖像與光電成像系統(tǒng)采樣響應(yīng)后的生成圖像相比較,可以得到如下結(jié)論:當(dāng)采樣前MTF截止頻率、采樣頻率與采樣后MTF截止頻率之間的關(guān)系不同時(shí),采樣響應(yīng)對(duì)像質(zhì)的影響不同;當(dāng)需要提高圖像分辨率時(shí),需要適當(dāng)增加采樣前和采樣后MTF的截止頻率,當(dāng)需要減小圖像中的混疊現(xiàn)象時(shí),需要適當(dāng)提高采樣頻率;通過MTF截止頻率對(duì)采樣響應(yīng)的影響的定量分析可知,當(dāng)探測(cè)器MTF截止頻率等于1.5倍的光學(xué)衍射截止頻率時(shí),可在圖像模糊與混疊之間取得平衡。