? 福建省福州市福清虞陽中學 黃慶福

? 福建省福州市福清市梧崗初級中學 鄭 林

教育部印發(fā)的《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》中明確提出全面深化課程改革以及核心素養(yǎng)在各學科間落地開花的要求.在數(shù)學學科中,核心素養(yǎng)更多的是指以數(shù)學為工具解決實際問題的能力.這種能力的提高可以通過深度教學來實現(xiàn).所謂深度教學,就是對知識進行深層剖析,了解知識間的縱橫交錯,提高思維的深度和廣度,同時帶動具體思維向邏輯思維的縱深發(fā)展.

深度教與學的落實,需要教師帶領(lǐng)學生建構(gòu)完整的知識體系,激發(fā)學生的邏輯思維,將所學知識靈活運用到解題過程中.本文中以直角三角形的性質(zhì)定理為例,闡述如何在課堂上基于核心素養(yǎng)視角重新審視知識,構(gòu)建深度的教與學.

1 問題引領(lǐng),深度課堂

1.1 教學有疑,疑則有進

人教版教材中關(guān)于直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)定理安排在八年級下冊“18.2.1矩形”中.在講解完矩形的性質(zhì)之后,提出問題:如圖1,在矩形ABCD中,觀察Rt△ABC,BO是斜邊AC上的中線,BO與AC有什么關(guān)系[1]?

圖1

教材中這樣安排新定理的生成是基于矩形的四個角均為直角,因此自然想到借助矩形研究直角三角形中的問題.如此安排雖利于知識生成但不利于知識發(fā)展,且不利于學生思維能力的培養(yǎng),無法激發(fā)學生的求知欲.

1.2 知識的問題化

本文中在深入探究該定理教學的同時,結(jié)合可以關(guān)聯(lián)的知識,引導學生構(gòu)建數(shù)學知識的整個脈絡(luò)圖,學會用聯(lián)系的思維看知識,用發(fā)展的眼光看數(shù)學.學生經(jīng)歷以上過程,進而對所學知識做到真正理解,并逐步構(gòu)建數(shù)學知識框架和體系.

問題求證:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

已知:如圖2,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是斜邊AC的中點,連接BD.

圖2

問題1猜測BD與AC之間有什么數(shù)量關(guān)系?

問題2能通過折線來驗證你的猜想嗎?

學生經(jīng)過思考和交流,利用圖3的折疊方法,可驗證猜想.

圖3

2 多向思維,助力推理

上述問題打開了深度教學的大門,而測量和折紙降低了進入的門檻,讓學生“觸手可得”.另外,折紙還蘊含著軸對稱的特性,教師引導學生關(guān)注知識的內(nèi)涵,從而獲得多角度的論證方法.

證法一：論證角度——建構(gòu)矩形模型.

證明：如圖4,延長BD至點E,使ED=DB,連接CE,AE.

圖4

∵D為AC的中點,

∴AD=CD.

∵BD=DE,

∴四邊形ABCE為平行四邊形.

∵∠ABC=90°,

∴四邊形ABCE為矩形.

∴AC=BE.

證法二：論證角度——建構(gòu)等角對等邊.

證明：如圖5,在∠ABC的內(nèi)部作∠MBC=∠C,BM與AC交于點M.

圖5

∵∠MBC=∠C,

∴MB=MC.

∵∠ABC=90°,

∴∠A+∠C=90°,

∠ABM+∠MBC=90°.

∴∠A=∠ABM.

∴AM=BM.

∴AM=MC=BM.

又BD是斜邊AC上的中線,即BD與BM重合.

證法三：論證角度——建構(gòu)三角形中位線,引出中垂線.

證明：如圖6,在△ABC中,∠ABC=90°,BD為AC邊上的中線,分別取AB,BC的中點G,H,連結(jié)DG,DH.

圖6

∵AD=DC,AG=GB,

∴DG∥BC.

∵∠ABC=90°,

∴∠AGD=∠ABC=90°.

∴DG⊥AB.

又AG=BG,

∴BD=AD.

同理BD=CD.

∴AD=BD=CD.

證法四：論證角度——建構(gòu)三角形全等.

證明：如圖7,延長BD至點E,使BD=DE,連接EC.

圖7

易證△ADB≌△CDE(SAS).

∴∠A=∠1,AB=CE.

∴AB∥EC.

∴∠ABC+∠BCE=180°.

∵∠ABC=90°,

∴∠BCE=90°.

易證△ABC≌△ECB(SAS).

∴AC=BE.

證法五：論證角度——構(gòu)造中垂線以及聯(lián)想等角對等邊.

證明：如圖8,作AB的垂直平分線ME,垂足為E,交AC于點M.連接BM,則AM=BM.

圖8

∴∠1=∠A.

∵∠ABC=90°,

∴∠3+∠1=90°,

∠2+∠A=90°.

∴∠3=∠2.

∴CM=BM.

∵AM=BM,

∴CM=AM.

即M為AC的中點.

又D為AC的中點,

∴點M與點D重合.

∴BD=AD=CD.

證法六：論證角度——由中點聯(lián)想中位線.

證明：如圖9,延長CB至點E,使BE=BC,連接AE.則B為EC的中點.

圖9

∵D為AC的中點,

∴BD為△ACE的一條中位線.

∵∠ABC=90°,

∴AB⊥BC.

∵BE=BC,

∴AE=AC.

3 逆向思維,合作探究

在進行命題的學習時,探究逆命題的過程能讓深度教學內(nèi)容更豐富,并能提升學生的推理能力[2].通過逆命題的證明,培養(yǎng)學生的逆向思維能力,同時又將知識遷移到“命題、定理、證明”這一課時中,增加了知識的層次.

問題3“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么?

問題4這個逆命題是否成立?說明理由.

4 應用新知,固化認識

例題如圖10,已知等腰直角三角形ABC與等腰直角三角形BDF,∠BAC=∠BDF=90°,E是線段CF的中點.

圖10

(1)如圖10,當點B,C,D在同一直線上時,猜想線段AE與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并證明;

(2)如圖11、圖12,當點B,C,D不在同一直線上,且等腰直角三角形ABC與等腰直角三角形BDF在BC的同側(cè)或異側(cè)時,探究線段AE與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;

圖11

圖12

本題第(1)問直接運用本節(jié)所學的直角三角形的性質(zhì)定理.在Rt△AFC與Rt△DFC中你能得到什么結(jié)論?第(2)問顯然不存在Rt△AFC與Rt△DFC,但是以上三個圖形中都存在等腰直角三角形ABC與等腰直角三角形BDF.等腰三角形有一個“三線合一”的重要性質(zhì),教師結(jié)合本節(jié)所學的直角三角形的性質(zhì)定理,引導學生添加輔助線解決第(1)問.

如圖13,分別取BF與BC的中點N與M,連接DN,NE,ME,AM.進一步引導學生觀察圖形,找出三角形的中位線,則可證△AME≌△END(SAS)且AM⊥NE,因此可證DE=AE且DE⊥AE.

圖13

接下來,引導學生關(guān)注圖形的運動變化過程中不變的量,將第(1)問添加輔助線的思路遷移到圖11與圖12中,鼓勵學生大膽嘗試,畫圖驗證,得到圖14與圖15.

圖14

圖15

此題的變式訓練,能讓學生的思維得到進一步拓展,同時明確某些證明題的設(shè)計理念,即對題目的條件或基本圖形進行變換.

5 深度教與學的走向:傳遞知識,更傳遞智慧

5.1 有一種教學叫:觸類旁通

作為課堂的組織者,我們要站在一定的高度來看待知識,領(lǐng)會教材編者的意圖,不斷改進教材教法,遵循吃透教材—改編教材—拓展教材這一過程,學會用聯(lián)系的觀點來看待教材,挑選典型例題,分析通法通性.讓學生學會融會貫通.

5.2 有一種學習叫:深入淺出

教師在備課時要多花時間思考“如何實現(xiàn)知識的深入和教法的淺出”.課堂上我們不能“裝高深”,應該“接地氣”,用學生熟悉的已知情境、事物和知識來牽引.教師每拋出一個問題,都要從最簡單的角度入手,步步深入,從特殊到一般.

5.3 有一種智慧叫:大道至簡

深度教與學中,教師要做的是基于教材本身,選取適當素材,課堂上重視探究過程.常言道:經(jīng)歷過程比結(jié)論更重要,知識可以在探索過程中生根發(fā)芽;大道至簡,知易行難.

6 是結(jié)尾也是開端

數(shù)學深度教與學是一個雙向過程,也是一個雙贏的結(jié)局.深度教與學作為培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的重要途徑,還需要我們在實踐中繼續(xù)豐富和探索.深度教與學幫助學生成為可持續(xù)發(fā)展的人才,讓學生在今后的學習、生活和工作中能用數(shù)學的眼光來看待世界,用數(shù)學的思維來解決問題,從而達成目標,實現(xiàn)自我價值.