郭家虎,時(shí)曼玉

(安徽理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院,安徽 淮南 232001)

蟻獅優(yōu)化算法(Ant lion optimizer,ALO)[1-2]是近幾年提出的一種新型群智能優(yōu)化算法。該算法模擬自然界中蟻獅捕食螞蟻的狩獵行為,將螞蟻與蟻獅之間的相互作用轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)公式,并在此基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型用于求解問(wèn)題的最優(yōu)解。近年來(lái),越來(lái)越多的群智能算法被應(yīng)用于實(shí)際工程中,求解優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。ALO算法因其數(shù)學(xué)原理簡(jiǎn)單易懂,需要變動(dòng)的參數(shù)較少、可以用代碼復(fù)現(xiàn)等特點(diǎn),成為最近幾年計(jì)算領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一,已被用于光伏陣列最大功率點(diǎn)跟蹤優(yōu)化[3]、家庭用電調(diào)度問(wèn)題的優(yōu)化[4]、改進(jìn)支持向量機(jī)的參數(shù)以提高風(fēng)電功率預(yù)測(cè)精度[5]和可再生能源分布式電源的優(yōu)化配置[6-8]。文獻(xiàn)[9]36通過(guò)改進(jìn)螞蟻隨機(jī)游走的方式提出基于位置策略的蟻獅算法(Location strategy ant lion optimization,LSALO),并與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合用于對(duì)兒童身高的預(yù)測(cè),提高了預(yù)測(cè)模型的精準(zhǔn)性。

ALO算法雖然在不同的領(lǐng)域取得較好的應(yīng)用效果,但也存在著群智能算法易陷入局部最優(yōu)解、收斂精度較低和收斂速度較慢的通病。為了解決這些問(wèn)題,文獻(xiàn)[10]296引入Kent混沌映射和高斯函數(shù),提出基于高斯變異的蟻獅算法(Gaussian mutation based ALO,GALO),提高了尋優(yōu)精度,但易于陷入局部最優(yōu)解;文獻(xiàn)[11]122引入自適應(yīng)邊界、優(yōu)選輪盤(pán)賭和動(dòng)態(tài)比列系數(shù)來(lái)優(yōu)化蟻獅算法(Preferred Strategy Self-adaptive ALO,PSALO),提高了收斂精度,但收斂速度較慢;文獻(xiàn)[12]21提出的具有自適應(yīng)邊界與最優(yōu)引導(dǎo)的萊維飛行蟻獅優(yōu)化算法(Levy Flight Ant Lion Optimizer with Adaptive Boundary and Optimial Guidance,ABLALO),擺脫了局部最優(yōu)解。以上改進(jìn)策略雖在一定程度上優(yōu)化了算法性能,但無(wú)法兼顧算法的收斂速度、收斂精度和局部最優(yōu)問(wèn)題。

針對(duì)ALO算法易陷入局部最優(yōu)解和收斂速度較慢的問(wèn)題,本研究擬使用以下策略優(yōu)化算法,首先引入Bernouilli shift混沌映射用于初始化種群。其次改進(jìn)蟻獅為捕獲螞蟻而設(shè)置陷阱的比例參數(shù)。再次采用萊維飛行變異操作和動(dòng)態(tài)參數(shù)改變螞蟻位置的更新方式。最后使用9個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行測(cè)試驗(yàn)證以上提出的改進(jìn)策略。

1 ALO算法

ALO標(biāo)準(zhǔn)算法包含螞蟻、蟻獅和精英蟻獅3種角色,分別代表著問(wèn)題的可行解、局部最優(yōu)解和全局最優(yōu)解。一次迭代中,螞蟻在一定范圍內(nèi)隨機(jī)游走,當(dāng)其適應(yīng)度值高于蟻獅時(shí),就會(huì)掉入蟻獅的陷阱內(nèi)。螞蟻被蟻獅吃掉的過(guò)程可以等同于問(wèn)題的可行解成為局部最優(yōu)解,螞蟻群體被蟻獅捕獲之后,計(jì)算蟻獅群體的適應(yīng)度值,從中選出最高的成為精英蟻獅,即問(wèn)題的全局最優(yōu)解。多次迭代過(guò)程中,通過(guò)比較螞蟻與蟻獅的適應(yīng)度值大小,不斷更新蟻獅和精英蟻獅的位置信息。迭代結(jié)束后,最后會(huì)得到一個(gè)較為精確的全局最優(yōu)解。

該算法引入隨機(jī)游走策略以實(shí)現(xiàn)對(duì)解空間的探索,輪盤(pán)賭策略實(shí)現(xiàn)種群的“優(yōu)勝劣汰”,以更精確的搜索精度和更好的算法收斂速度求得問(wèn)題的全局最優(yōu)解。

螞蟻的隨機(jī)游走可建立以下數(shù)學(xué)模型[13]

X(t)=[0,cumsum(2r(t1)-1),cumsum(2r(t2)-1),…,cumsum(2r(Tmax)-1)]

(1)

式中,cumsum表示螞蟻種群隨機(jī)游走路徑的累積總和;t表示當(dāng)前迭代次數(shù);Tmax表示最大迭代次數(shù);r(t)為隨機(jī)分段函數(shù),公式如下

(2)

式中,rand表示位于(0,1)之間的隨機(jī)數(shù)。

為保證螞蟻指定區(qū)間內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)游走,對(duì)式(1)歸一化處理得到

(3)

螞蟻在蟻獅周?chē)S機(jī)游走可表示如下:

(4)

螞蟻掉入蟻獅陷阱內(nèi)的過(guò)程可用以下數(shù)學(xué)模型表示:

(6)

(7)

(8)

(9)

式中,ω為受t影響的常數(shù);ratio為控制陷阱范圍大小的系數(shù),與t有關(guān)。

如果螞蟻的適應(yīng)度值高于蟻獅,則掉入蟻獅陷阱內(nèi),被蟻獅捕獲。蟻獅會(huì)獲得獵物螞蟻的最新位置。蟻獅位置更新如下

(10)

螞蟻位置更新由蟻獅和精英蟻獅的位置共同決定,計(jì)算如下

(11)

2 ABALO算法改進(jìn)策略

2.1 Bernouilli shift映射

標(biāo)準(zhǔn)ALO算法在求取問(wèn)題最優(yōu)值時(shí)使用隨機(jī)數(shù)進(jìn)行種群初始化,這樣可以保證初始種群的隨機(jī)性,但種群分布的穩(wěn)定性無(wú)法保障,進(jìn)而會(huì)影響算法的尋優(yōu)效果。ABALO算法在初始化種群時(shí)引入混沌這一概念。混沌映射用于生成混沌序列,生成的序列具有隨機(jī)性、整體穩(wěn)定而局部不穩(wěn)定性和不可預(yù)測(cè)性[14],這些特性可以很好地保證初始種群的隨機(jī)性和群體穩(wěn)定性,從而增強(qiáng)算法的尋優(yōu)效果。研究發(fā)現(xiàn)Tent映射和Bernouilli shift映射比Logistic映射、Sine映射、ICMIC映射更具有分布均勻性[15]915,這種性質(zhì)可以有效地提高搜索效率,從而提高算法的尋優(yōu)性能。

圖1為種群數(shù)量為50、維度為50時(shí)的兩種種群初始化方式的散點(diǎn)分布圖,對(duì)比圖1(a)、(b)可知,Bernouilli shift映射分布均勻且波動(dòng)平穩(wěn),可增強(qiáng)種群的多樣性和穩(wěn)定性。

(a)種群Bernouilli shift分布 (b)種群隨機(jī)分布

因此,本研究選取Bernouilli shift映射來(lái)隨機(jī)初始化螞蟻和蟻獅種群。Bernouilli shift映射的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下[15]914

(12)

式(12)中的λ取0.5,可以得到

(13)

2.2 自適應(yīng)可調(diào)節(jié)陷阱邊界

由式(8)和式(9)可知,ratio的大小與常數(shù)ω相關(guān),而ω的取值由迭代次數(shù)t決定。ratio在迭代次數(shù)分別為100和500時(shí)的曲線圖如圖2所示。

(a)迭代次數(shù)為100 (b)迭代次數(shù)為500

設(shè)置搜索空間[16]的上界ub=100、下界lb=-100,當(dāng)?shù)螖?shù)分別為100和500時(shí),蟻獅捕獲螞蟻的陷阱大小變化趨勢(shì)如圖3所示。

(a)迭代次數(shù)為100 (b)迭代次數(shù)為500

由圖2和圖3可知,無(wú)論迭代次數(shù)為多少,陷阱大小只和t/Tmax的占比相關(guān),蟻獅捕獲螞蟻的陷阱越小,捕獲的螞蟻的適應(yīng)度值則會(huì)更優(yōu)。迭代次數(shù)過(guò)多不僅不能幫助提升算法精度,反而會(huì)使算法陷入局部最優(yōu)解中,導(dǎo)致算法的搜索精度距離理論最優(yōu)值差距較大。

將式(4)～(7)代入式(3)得出螞蟻位置的更新如下

(14)

根據(jù)式(14)可知,同一次迭代中,第i只螞蟻的位置更新只與螞蟻選中蟻獅的策略有關(guān),其他參數(shù)數(shù)值不變。本研究意在改進(jìn)式(8)中的ratio,減弱陷阱大小與t/Tmax的占比的相關(guān)性,讓陷阱收縮得更快,波動(dòng)得更隨機(jī),進(jìn)而影響迭代中螞蟻位置的更新。

(15)

式中,Tζ為可調(diào)節(jié)的迭代次數(shù)數(shù)值;ratio初始值為1;ω滿足于式(9)。經(jīng)反復(fù)實(shí)驗(yàn)測(cè)試,當(dāng)Tζ設(shè)置為10,算法的搜索精度較高,且陷入局部最優(yōu)解的次數(shù)較少。

2.3 萊維飛行變異策略

萊維(Lévy)飛行[17-18]是一種行走步長(zhǎng)服從萊維分布的隨機(jī)游走方式,該方式的游走軌跡具有不可預(yù)測(cè)性,大多數(shù)步長(zhǎng)較小,有一定的概率出現(xiàn)大跨步。在種群迭代中,當(dāng)種群的最優(yōu)適應(yīng)度值在一定次數(shù)內(nèi)未發(fā)生變化,即判定為算法處于停滯狀態(tài),算法陷入局部最優(yōu)解。為了擺脫這種困境,同時(shí)加快算法的收斂速度,引用萊維飛行的步長(zhǎng)λ作為對(duì)螞蟻位置更新的變異參數(shù)。

步長(zhǎng)λ滿足以下分布[19]

(16)

式中,u、v為正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù),服從以下正態(tài)分布:

(17)

(18)

式中,Γ表示伽馬函數(shù),β=1.5。

(19)

雖然萊維飛行可以使種群產(chǎn)生變動(dòng),但是這種變動(dòng)對(duì)螞蟻位置的更新并不一定會(huì)向好的方向發(fā)展。因此,本研究采用貪心思想,僅保留位置變動(dòng)后適應(yīng)度值有改進(jìn)的解,其他的解則舍棄。

(20)

2.4 自適應(yīng)動(dòng)態(tài)參數(shù)

(21)

其中,w(t)為引入的自適應(yīng)權(quán)重;t為當(dāng)前迭代次數(shù);Tmax為最大迭代次數(shù);rand生成大小位于(0,1)內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

將式(21)代入式(11)得到

(22)

2.5 算法步驟

ABALO算法步驟具體實(shí)施如下:

1)設(shè)置ABALO算法的初始參數(shù),如種群數(shù)量、最大迭代次數(shù)Tmax、維度、ratio、適應(yīng)度函數(shù)及其變量的上界和下界等;

2)使用Bernouilli shift映射初始化生成螞蟻和蟻獅的位置信息,計(jì)算和比較相應(yīng)的適應(yīng)度值,選出本次迭代中的精英蟻獅;

4)如果螞蟻的適應(yīng)度值優(yōu)于蟻獅,螞蟻的位置信息會(huì)被蟻獅獲取;

5)計(jì)算蟻獅群體的適應(yīng)度值,適應(yīng)度值最優(yōu)的蟻獅如果優(yōu)于精英蟻獅,則成為新一代的精英蟻獅;

6)判斷迭代是否達(dá)到臨界條件Tmax,如果達(dá)到則執(zhí)行步驟7,否則執(zhí)行步驟3;

7)算法結(jié)束,輸出此時(shí)精英蟻獅的位置信息和相應(yīng)的適應(yīng)度值。

算法流程如圖4所示。

圖4 算法流程圖

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 參數(shù)設(shè)置

實(shí)驗(yàn)仿真軟件為MATLAB,版本為R2022b。算法的參數(shù)設(shè)置為初始種群數(shù)為50,最大迭代次數(shù)為500次,維度為50維。所有算法獨(dú)立運(yùn)行30次,取這30次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的平均值(mean)及標(biāo)準(zhǔn)差(std)作為算法檢驗(yàn)測(cè)試的評(píng)測(cè)指標(biāo)。

3.2 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)

選用9個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)作為模擬實(shí)驗(yàn)的對(duì)象來(lái)測(cè)試驗(yàn)證ABALO算法的性能。基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)包括高維單峰函數(shù)[F1(x)～F6(x)]和高維多峰函數(shù)[F7(x)～F9(x)]這兩類(lèi),前者主要用于衡量算法的收斂速度和收斂精度,后者則用來(lái)檢驗(yàn)算法的全局搜索以及跳出局部最優(yōu)的能力。測(cè)試基準(zhǔn)函數(shù)的具體信息如表1所示。

表1 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)

3.3 測(cè)試結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證ABALO算法的有效性,現(xiàn)將該算法與其他改進(jìn)方式的蟻獅優(yōu)化算法就算法測(cè)試結(jié)果的最優(yōu)值、平均值(mean)和標(biāo)準(zhǔn)差(std)進(jìn)行比較。其中包括標(biāo)準(zhǔn)蟻獅算法(ALO)、基于位置策略的蟻獅算法(LSALO)[9]40、自適應(yīng)動(dòng)態(tài)權(quán)重和高斯變異的蟻獅算法(GALO)[10]299、優(yōu)選策略的自適應(yīng)蟻獅優(yōu)化算法(PSALO)[11]127、具有自適應(yīng)邊界與最優(yōu)引導(dǎo)的萊維飛行蟻獅優(yōu)化算法(ABLALO)[12]24和反調(diào)節(jié)混沌蟻獅優(yōu)化算法(HALO)[20]。

由表2可知,在50維的參數(shù)設(shè)定下,ABALO不論是從收斂速度上還是收斂精度上都表現(xiàn)出較高的尋優(yōu)性能,在9個(gè)測(cè)試函數(shù)中,100%優(yōu)于ALO,全部為正優(yōu)化。通過(guò)比較各個(gè)算法測(cè)試結(jié)果的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差,可以看出在尋優(yōu)精度上ABALO整體是高于ALO、GALO、PSALO、ABALO和HALO,且ABALO的最優(yōu)值與平均值差距較小,這說(shuō)明算法的魯棒性較強(qiáng)。在函數(shù)F1(x)～F4(x)上,ABALO的尋優(yōu)精度較高且較為穩(wěn)定,收斂精度在平均值上較ALO分別提升了18、13、21和13位,與其他蟻獅優(yōu)化算法差距較為明顯,但是稍低于理論最優(yōu)值。在函數(shù)F5(x)、F7(x)和F9(x)上,ABALO算法達(dá)到了100%尋優(yōu),即達(dá)到理論最優(yōu)值。PSALO和GALO也在F7(x)和F9(x)上表現(xiàn)出較好的尋優(yōu)精度,在F7(x)上達(dá)到了理論最優(yōu)值。ABALO算法在F6(x)上尋優(yōu)精度高于ALO,等同于PSALO和DFALO。由圖5(f)可知,這是由于算法在迭代后期陷入局部最優(yōu)解中且無(wú)法跳出。ABALO算法在F8(x)上尋優(yōu)精度高于ALO、PSALO、LSALO和GALO,但直到迭代結(jié)束還未達(dá)到理論最優(yōu)值。由圖5(h)可知,這是由于算法雖沒(méi)有陷入局部最優(yōu)解中,但整體收斂速度稍微慢了點(diǎn),導(dǎo)致精度較低。

表2 測(cè)試結(jié)果對(duì)比

(a)F1(x)收斂曲線 (b)F2(x)收斂曲線

經(jīng)以上對(duì)測(cè)試結(jié)果的分析得知,ABALO算法在收斂精度和收斂速度上較其他蟻獅優(yōu)化算法都有明顯的提升,表現(xiàn)出較高的穩(wěn)定性,但是在尋優(yōu)精度上距離理論最優(yōu)值還是有差距的,這也是ABALO算法存在的不足。

3.4 收斂曲線及分析

為了直觀地看出ABALO算法的收斂特性,現(xiàn)將ABALO算法與標(biāo)準(zhǔn)ALO算法、PSO算法、PPSO算法和DE算法的迭代收斂曲線進(jìn)行對(duì)比。圖5(a)～圖5(i)為9個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)在獨(dú)立運(yùn)行30次中的一次收斂曲線圖。

由圖5可知,經(jīng)過(guò)改進(jìn)ABALO無(wú)論是收斂速度還是收斂精度大體上都高于其他算法,停滯次數(shù)較少,基本不會(huì)處于局部最優(yōu)值,與標(biāo)準(zhǔn)ALO算法相比,收斂精度和速度都有較為明顯的提升。ABALO算法只有在F5(x)、F8(x)和F9(x)時(shí)達(dá)到理論最優(yōu)值且一直保持,收斂性較好,其余測(cè)試函數(shù)都只是接近理論最優(yōu)值。F1(x)、F3(x)和F4(x)在迭代前期收斂速度和精度都較優(yōu),但在迭代中期會(huì)短暫地陷入局部最優(yōu)值中,導(dǎo)致精度沒(méi)有達(dá)到理想數(shù)值。F2(x)的收斂速度在迭代前期較慢,但后期的收斂速度較前期顯著提升。F6(x)在迭代過(guò)程的中后期會(huì)長(zhǎng)時(shí)間陷入局部最優(yōu)值,且不能很好地跳出,導(dǎo)致算法的尋優(yōu)精度較差,但還是很明顯地優(yōu)于其他幾個(gè)算法。F8(x)在迭代過(guò)程中收斂速度逐漸降低,并在迭代后期陷入局部最優(yōu)值中,直到迭代結(jié)束都未能跳出。

以上分析表明ABALO算法在函數(shù)優(yōu)化上具有良好的尋優(yōu)性能,且收斂速度和精度較高,這是因?yàn)榧尤肴R維飛行作為變異參數(shù)提升了算法的收斂速度,可以較好地?cái)[脫局部最優(yōu)解的困擾。通過(guò)對(duì)邊界的自適應(yīng)調(diào)整,提升了算法的收斂精度。除此以外,算法還具有較強(qiáng)的魯棒性。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)ALO算法收斂速度慢、尋優(yōu)精度低和無(wú)法很好地?cái)[脫局部最優(yōu)解等問(wèn)題,本研究提出了一種新的解決思路,引入Bernouilli shift混沌映射初始化種群,設(shè)置比例參數(shù)來(lái)控制蟻獅捕食螞蟻的陷阱大小,大大地提升了算法的收斂速度;萊維飛行變異操作與動(dòng)態(tài)參數(shù)結(jié)合共同控制迭代過(guò)程中螞蟻位置的更新,提升了算法的尋優(yōu)精度;最后使用9個(gè)多峰和低峰基準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明ABALO算法具有良好的尋優(yōu)精度和收斂速度。

本研究通過(guò)測(cè)試函數(shù)對(duì)ABALO算法進(jìn)行結(jié)果驗(yàn)證,雖在測(cè)試函數(shù)中取得良好的效果,但缺乏實(shí)際工程應(yīng)用的檢驗(yàn),這也是本研究的不足之處。下一步可將ABALO算法應(yīng)用于電網(wǎng)調(diào)度研究中,驗(yàn)證算法在實(shí)際工程應(yīng)用中解決復(fù)雜問(wèn)題的能力。