周志榮

在證明論語(yǔ)義學(xué)中，邏輯常項(xiàng)的意義是通過(guò)它的兩個(gè)核心的使用規(guī)則來(lái)刻畫的，那就是引入規(guī)則和消去規(guī)則（以下簡(jiǎn)稱為“I-規(guī)則”和“E-規(guī)則”）。通常，其中一者在對(duì)邏輯常項(xiàng)的語(yǔ)義解釋中會(huì)被賦予優(yōu)先性，而具有優(yōu)先性的規(guī)則被看作是意義定義性的，它們是自我證成的，而另外一個(gè)規(guī)則被看作是意義應(yīng)用性的，需要借助語(yǔ)義優(yōu)先的規(guī)則來(lái)證成。證明論語(yǔ)義學(xué)提供的常見(jiàn)的語(yǔ)義解釋原則有兩種：I-優(yōu)先原則和E-優(yōu)先原則（在哲學(xué)上，它們分別對(duì)應(yīng)于證實(shí)主義和實(shí)用主義的意義觀念）。不過(guò)，邏輯常項(xiàng)的使用規(guī)則的證成面臨著一個(gè)嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，那就是tonk-問(wèn)題。普萊爾（A.N.Prior）于1960 年提出了著名的tonk 算子，它的兩個(gè)使用規(guī)則分別是：α ?αtonkβ（tonkI）和αtonkβ ?β（tonkE）。（[12]）1通常，規(guī)則是采取樹(shù)形方式來(lái)表達(dá)的，由橫線隔開(kāi)，處于橫線上方的公式是規(guī)則應(yīng)用（推導(dǎo)）的前提，處于橫線下方的公式是規(guī)則應(yīng)用（推導(dǎo)）的后果。為節(jié)約空間，在非必要的情形下我們采取橫式的描述方式，用“?”代替樹(shù)形中的橫線，將前提和結(jié)論分開(kāi)。對(duì)于假設(shè)性前提，我們用“α ?β”表示由假設(shè)α 到β 的一種推導(dǎo)，β 是基于α這個(gè)假設(shè)推導(dǎo)出來(lái)的后果，其中“?”對(duì)應(yīng)于樹(shù)形表達(dá)中的“”。（注意，這與施羅德-海斯特（P.Schroeder-Heister）將“α ?β”當(dāng)作二階規(guī)則不同，在他給出的樹(shù)式規(guī)則中，“α ?β”既可以表示由假設(shè)α 到β 的推導(dǎo)構(gòu)成的前提，也可以整個(gè)地被處理為一個(gè)假設(shè)性前提中的假設(shè)，比如(α ?β) ?γ。）（[18]）無(wú)論按照I-優(yōu)先原則還是E-優(yōu)先原則，tonk 似乎都應(yīng)該被當(dāng)作一個(gè)有意義的邏輯常項(xiàng)。但問(wèn)題是，在一個(gè)一致的演繹系統(tǒng)中添加tonk 的使用規(guī)則會(huì)導(dǎo)致擴(kuò)張系統(tǒng)的平凡化，即在該擴(kuò)張系統(tǒng)中，對(duì)任意公式α和β都有：α ?β。關(guān)于tonk-問(wèn)題，主要有兩種應(yīng)對(duì)方案：一是通過(guò)修改推導(dǎo)關(guān)系或邏輯后承關(guān)系的性質(zhì)來(lái)阻止tonk 產(chǎn)生壞的后果，比如禁止傳遞性的推導(dǎo)關(guān)系，或修改保真性的邏輯后承關(guān)系（[2,16]）；二是對(duì)邏輯常項(xiàng)的使用規(guī)則提出協(xié)調(diào)性的要求，以便阻止那些具有不協(xié)調(diào)的使用規(guī)則的算子（[19,22]）。本文同樣將tonk-問(wèn)題歸結(jié)為（邏輯）常項(xiàng)的使用規(guī)則的協(xié)調(diào)性問(wèn)題。

貝爾納普（N.Belnap）的保守性要求（[1]）、普拉維茨（D.Prawitz）的“倒置原則”（[10]）、達(dá)米特（M.Dummett）的“局部峰的削平”思想（[3]）都是對(duì)協(xié)調(diào)性問(wèn)題做出的回應(yīng)。這些對(duì)協(xié)調(diào)性的理解都遵循了I-優(yōu)先原則，忽略了E-規(guī)則對(duì)協(xié)調(diào)性的貢獻(xiàn)，因此這些標(biāo)準(zhǔn)無(wú)法阻止另外一些不協(xié)調(diào)情形。近來(lái)較受關(guān)注的GE-協(xié)調(diào)性標(biāo)準(zhǔn)訴諸于E-規(guī)則的普遍形式（即GE-規(guī)則形式）來(lái)表達(dá)I-和E-規(guī)則之間的協(xié)調(diào)性。（[4,15]）2“GE-協(xié)調(diào)性”是“普遍的消去的協(xié)調(diào)性（general-elimination harmony）”（有時(shí)候也寫作“普遍化的消去的協(xié)調(diào)性（generalised-elimination harmony）”）的簡(jiǎn)稱。這種說(shuō)法是由弗朗西斯（N.Francez）和迪克霍夫（R.Dyckhoff）于1997 年先提出來(lái)的，可惜他們的這篇論文直到2012 年才公開(kāi)發(fā)表，里德（S.Read）于2010 發(fā)表的論文則直接在其標(biāo)題中使用了“GE-協(xié)調(diào)性”，但他在文中也承認(rèn)他借用了弗朗西斯和迪克霍夫的說(shuō)法。（[15]，第562 頁(yè)）這種做法欠缺對(duì)于普通I-和E-規(guī)則與GE-規(guī)則之間關(guān)系的考慮，因而同樣無(wú)法排除一些明顯的不協(xié)調(diào)情形。本文的核心工作在于描述由邏輯常項(xiàng)的I-規(guī)則生成其GE-規(guī)則以及其E-規(guī)則的機(jī)制，以及直接由其E-規(guī)則生成普遍的E-規(guī)則的機(jī)制，并論證這兩種生成機(jī)制包含了兩種協(xié)調(diào)性的要求，它們（尤其是后者）可以彌補(bǔ)上述協(xié)調(diào)性標(biāo)準(zhǔn)的不足，從而為邏輯常項(xiàng)的使用規(guī)則的協(xié)調(diào)性問(wèn)題以及證成問(wèn)題提供一個(gè)更好的解答。

1 tonk-問(wèn)題與不協(xié)調(diào)性的兩種類型

一個(gè)邏輯常項(xiàng)的意義是借助它的I-規(guī)則或E-規(guī)則來(lái)定義的，但這并不意味著擁有這兩種規(guī)則的常項(xiàng)或算子都具有融貫的意義。普萊爾1960 年提出的tonk 就是一個(gè)經(jīng)典的例子，借助tonk 的兩個(gè)使用規(guī)則和結(jié)構(gòu)性推導(dǎo)規(guī)則的應(yīng)用3這里涉及的結(jié)構(gòu)性推導(dǎo)規(guī)則就是傳遞性規(guī)則（Trans）：如果α ?β，β ?α，則α ?β。，我們可以得到：α ?β。由于α和β是任意公式，這意味著將tonk 添加到一個(gè)一致的演繹系統(tǒng)S中會(huì)造成非保守的擴(kuò)張，其擴(kuò)張系統(tǒng)S ∪{tonk}中的推導(dǎo)關(guān)系被平凡化。由tonk 導(dǎo)致的問(wèn)題包含了兩個(gè)層面：第一、我們希望一個(gè)邏輯常項(xiàng)至少應(yīng)該具有融貫的意義。如果一個(gè)常項(xiàng)的使用規(guī)則導(dǎo)致了不一致的后果，那么這個(gè)常項(xiàng)的意義就不是融貫的，這不僅說(shuō)明包含該常項(xiàng)的語(yǔ)言功能異常，而且這樣的常項(xiàng)也不應(yīng)該被看作是邏輯的常項(xiàng)。因此，導(dǎo)致平凡化后果的規(guī)則是不可接受的，像tonk 這樣的常項(xiàng)必須作為異常算子被排除掉。第二、作為邏輯的常項(xiàng)而言，保守性擴(kuò)張是一個(gè)必要的要求，否則就會(huì)與邏輯的單純性原則（principle of innocence）相沖突。按照邏輯的單純性原則，將一個(gè)邏輯常項(xiàng)及其規(guī)則添加到一個(gè)語(yǔ)言或理論中不應(yīng)該對(duì)原有語(yǔ)言的意義和原有理論所斷定的內(nèi)容造成任何影響。（[3]，第220 頁(yè)；[21]，第619 頁(yè)；[7]，第207 頁(yè)）4當(dāng)然，并非所有學(xué)者都認(rèn)為單純性原則是一個(gè)合理的要求。（[17]，第238 頁(yè)）不過(guò)，將意義的融貫性和邏輯單純性原則看作是要求邏輯常項(xiàng)的I-和E-規(guī)則必須具有協(xié)調(diào)性的理由，這是研究邏輯常項(xiàng)的使用規(guī)則的證成問(wèn)題或協(xié)調(diào)性問(wèn)題的基本出發(fā)點(diǎn)。這兩點(diǎn)也是我們考察一個(gè)協(xié)調(diào)性標(biāo)準(zhǔn)是否合理的依據(jù)。本文所要提出的協(xié)調(diào)性標(biāo)準(zhǔn)的合理性同樣可以依據(jù)這兩點(diǎn)來(lái)評(píng)估，實(shí)際上它也通過(guò)彌補(bǔ)了其他協(xié)調(diào)性標(biāo)準(zhǔn)在這兩點(diǎn)上的不足而得到自我辯護(hù)。

為了阻止tonk 這樣的異常算子，貝爾納普提出了保守性的要求。（[1]）按照該要求，令S為一個(gè)背景理論，?為這個(gè)理論上的推導(dǎo)關(guān)系，令S+S ∪{δ}是對(duì)S的擴(kuò)張。該擴(kuò)張是保守的，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)任意LS公式集Γ 和公式γ，如果Γ?S+γ則Γ?S γ。然而，不難看出，這種保守性要求依賴被擴(kuò)張理論的演繹背景即推導(dǎo)關(guān)系或邏輯后承關(guān)系的性質(zhì)，因此至少有三種情形對(duì)該要求構(gòu)成例外：

(1.1) 背景理論本身就是平凡的，對(duì)它的任何擴(kuò)張仍然是平凡的，因而是保守的。在這種情形下，tonk 則滿足保守性的要求。

(1.2) 相對(duì)于較弱的演繹系統(tǒng)，添加一個(gè)在我們看來(lái)正常的邏輯常項(xiàng)反而會(huì)導(dǎo)致非保守性的擴(kuò)張。析取就是一個(gè)非常典型的反例：量子析取（）的推理規(guī)則使得析取分配律（即α ∧(βγ)?(α ∧β)(α ∧γ)）在量子邏輯系統(tǒng)中失效。（[3]，第66、77 頁(yè)）5量子邏輯與經(jīng)典邏輯的實(shí)質(zhì)區(qū)別就在于前者放棄了析取分配律。普特南在1968 年通過(guò)例證表明析取經(jīng)典的分配律并不是普遍有效的，而且他指出，該規(guī)律也是在量子邏輯中唯一放棄的經(jīng)典規(guī)律。（[13]，第226 頁(yè)）達(dá)米特也將量子析取看作是對(duì)經(jīng)典邏輯和實(shí)在論的挑戰(zhàn)，盡管量子邏輯仍然接受排中律。（[3]，第333 頁(yè)）這是因?yàn)椋弘m然量子析取與經(jīng)典析取（∨）具有相同的I-規(guī)則，但前者的E-規(guī)則卻較后者弱，因?yàn)榍罢叩膽?yīng)用是有限制條件的而后者沒(méi)有，即前者禁止使用并行前提（collateral premises）進(jìn)行推導(dǎo)。如果我們將經(jīng)典析取添加到{∧,ü}這個(gè)演繹系統(tǒng)中，在擴(kuò)張系統(tǒng){∧,,∨}中，析取分配律則可以被推導(dǎo)出來(lái)，而它在原來(lái)的{∧,}系統(tǒng)中卻是不可推導(dǎo)的。這表明{∧,,∨}是對(duì){∧,}的非保守性擴(kuò)張。

(1.3) 如果背景理論禁止傳遞性推導(dǎo)，添加tonk 到這個(gè)理論中就不會(huì)導(dǎo)致平凡化的后果。這也指明了解決tonk-問(wèn)題的一種常見(jiàn)做法。庫(kù)克（R.Cook）從模型論語(yǔ)義學(xué)的角度，借助一種四值語(yǔ)義學(xué)改造了經(jīng)典的邏輯后承關(guān)系，提出tonk-后承關(guān)系，這種后承關(guān)系就是非傳遞的，從而保證tonkβ和αtonk，但是。（[2]）雷普利（D.Ripley）則從證明論語(yǔ)義學(xué)的角度論證說(shuō)矢列演算系統(tǒng)中的切割（Cut）規(guī)則的應(yīng)用是造成平凡化后果的主要原因，并且他認(rèn)為這條規(guī)則缺乏充分的正當(dāng)性。（[16]）如果在一個(gè)基于矢列演算的演繹系統(tǒng)S中禁止使用切割規(guī)則（這就相當(dāng)于在自然演繹的系統(tǒng)中禁止了傳遞性的推導(dǎo)），那么添加tonk-規(guī)則就不會(huì)導(dǎo)致平凡化的后果。

無(wú)論通過(guò)何種方式禁止傳遞性的推導(dǎo)關(guān)系，都可以解決tonk 導(dǎo)致的平凡化問(wèn)題。但這種方法并不具有普遍有效性。萬(wàn)興（H.Wansing，[23]）構(gòu)造出更多的類似于tonk 的異常算子6本文只將導(dǎo)致平凡化問(wèn)題的算子稱為“異常算子”。，這些算子的使用規(guī)則分別會(huì)導(dǎo)致包含特定推導(dǎo)關(guān)系的系統(tǒng)平凡化。比如，下面這些推導(dǎo)關(guān)系：

(G) 最普遍的推導(dǎo)關(guān)系：{Λ?并且?α?β(α/?β)}；

(F) 前進(jìn)式的推導(dǎo)關(guān)系：{Λ|?α?β(α ?β)?并且?α?β(α/?β)}；

(B) 后退式的推導(dǎo)關(guān)系：{Λ|?α?β(β ?α)?并且?α?β(α/?β)}；

(Q) 準(zhǔn)有序性的推導(dǎo)關(guān)系：{Λ|?α(α ?α),?α?β?γ((α ?β并且β ?γ)?α ?γ)?并且?α?β(α/?β)}；

由于后文要用新的方法分析這些常項(xiàng)，這里有必要將這些常項(xiàng)的使用規(guī)則和導(dǎo)致的問(wèn)題陳述如下（其中“[χ]”表示χ是被相應(yīng)規(guī)則的應(yīng)用所解除的假設(shè)）：7除此之外，對(duì)這些異常算子的I-和E-規(guī)則，萬(wàn)興分別給出了樹(shù)形的描述和橫式的描述，他的橫式描述和我們這里給出的稍有不同，以tonk>的規(guī)則為例，他給出的橫式描述為：α ?β ?α ?tonk>(I)；α ?tonk> ?α ?β(E)。這種橫式描述與樹(shù)式描述并不是完全匹配的，橫式的表述嚴(yán)格地講不能被看做是一個(gè)算子的引入和消去規(guī)則，因?yàn)橹辽僭贗-規(guī)則中，其結(jié)論并不是以該算子為主算子的公式，而是一個(gè)推導(dǎo)。在本文中，我們對(duì)規(guī)則提供的橫式描述更符合萬(wàn)興的樹(shù)式所要表達(dá)的意思。

這里要注意：在所有這些E-規(guī)則中，結(jié)論β與相應(yīng)I-規(guī)則的前提中的β不必相同。與之前我們討論過(guò)的邏輯常項(xiàng)不同，這里算子都是0-元的，α和β與I-規(guī)則的結(jié)論以及E-規(guī)則的大前提并沒(méi)有結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系，所以I-規(guī)則的前提與E-規(guī)則的小前提以及結(jié)論并沒(méi)有實(shí)質(zhì)的聯(lián)系，甚至可以說(shuō)I-和E-規(guī)則除了出現(xiàn)了0-元算子構(gòu)成的公式相同之外，其他公式可以完全沒(méi)有聯(lián)系，這些公式分別對(duì)于相應(yīng)的I-和E-規(guī)則而言是任意的。分別將這四組規(guī)則添加到F-邏輯、B-邏輯、Q-邏輯和G-邏輯的演繹系統(tǒng)中，就會(huì)得到以下結(jié)果：（[23]，第658-659 頁(yè)）

(1.8) tonk>是使F-邏輯的演繹系統(tǒng)平凡化的算子；

(1.9)

(1.10) 是使Q-邏輯的演繹系統(tǒng)平凡化的算子；

(1.11) super-tonk 是使G-邏輯的演繹系統(tǒng)平凡化的算子。

以tonk>和super-tonk 為例。由于在F-邏輯的演繹系統(tǒng)中，推導(dǎo)關(guān)系具有“前進(jìn)式”的性質(zhì)：對(duì)于任意公式α，都存在一個(gè)公式β使得α ?β。我們可以將這種性質(zhì)理解為一種結(jié)構(gòu)性規(guī)則，稱之為（F）。類似地，在G-邏輯的演繹系統(tǒng)中，推導(dǎo)關(guān)系具有普遍形式，即存在公式φ、ψ使得φ ?ψ，稱之為（G）。

由以上兩個(gè)推導(dǎo)過(guò)程可見(jiàn)，分別在F-邏輯和G-邏輯的擴(kuò)張系統(tǒng)中，我們可以由任意公式α可推導(dǎo)出任意公式γ，這意味著，將tonk>和super-tonk 的I-規(guī)則和E-規(guī)則分別添加到F-邏輯和G-邏輯的演繹系統(tǒng)中，就會(huì)導(dǎo)致平凡化的后果。另外兩個(gè)異常算子的情況與此相似。

根據(jù)萬(wàn)興得到的結(jié)果，要解決平凡化問(wèn)題，我們似乎不得不禁止上述所有推導(dǎo)關(guān)系。甚至為了解決super-tonk 的問(wèn)題，我們不得不禁止做任何推導(dǎo)。這顯然不是解決問(wèn)題的恰當(dāng)方式。因此，回到起點(diǎn)，我們要考慮的tonk-問(wèn)題并不僅僅指由tonk 造成的平凡化問(wèn)題，而是由所有類似的異常算子造成的平凡化問(wèn)題，而這個(gè)問(wèn)題可以進(jìn)一步地歸結(jié)為：什么樣的I-規(guī)則和E-規(guī)則才能賦予一個(gè)邏輯常項(xiàng)以融貫的意義？人們的共識(shí)是：一個(gè)邏輯常項(xiàng)的這兩種使用規(guī)則應(yīng)該具有某種滿足邏輯單純性原則的協(xié)調(diào)性。假設(shè)一個(gè)邏輯常項(xiàng)的這兩種使用規(guī)則是協(xié)調(diào)的，就會(huì)存在兩種不協(xié)調(diào)的情形：（[21]，第621 頁(yè)）

(1.12) 增強(qiáng)其E-規(guī)則（或削弱其I-規(guī)則），由此得到的新算子就帶有強(qiáng)E-規(guī)則（或弱I-規(guī)則），相應(yīng)導(dǎo)致的不協(xié)調(diào)性可被稱為“強(qiáng)消去的不協(xié)調(diào)性”（或“弱引入的不協(xié)調(diào)性”），例如tonk 及其類似的異常算子的使用規(guī)則體現(xiàn)出來(lái)的不協(xié)調(diào)性。

(1.13) 削弱其E-規(guī)則（或增強(qiáng)其I-規(guī)則），由此得到的新算子就帶有弱E-規(guī)則（或強(qiáng)I-規(guī)則），相應(yīng)導(dǎo)致的不協(xié)調(diào)性可被稱為“弱消去的不協(xié)調(diào)性”（或“強(qiáng)引入的不協(xié)調(diào)性”），例如量子析取的使用規(guī)則的不協(xié)調(diào)性。

為了阻止“不協(xié)調(diào)的”情形，我們首先需要明確一個(gè)恰當(dāng)?shù)摹皡f(xié)調(diào)性”標(biāo)準(zhǔn)。但事實(shí)上，人們對(duì)于“協(xié)調(diào)性”這個(gè)概念有著不同的理解。除了上述基于系統(tǒng)保守性的理解之外，還有另外一些理解，例如普拉維茨的“倒置原則”、達(dá)米特的“局部峰的削平”以及近來(lái)受關(guān)注較多的“GE-協(xié)調(diào)性”。接下來(lái)，本文分別闡釋這些概念，并著重探討GE-協(xié)調(diào)性，因?yàn)檫@種協(xié)調(diào)性與本文要描述的I-和E-規(guī)則之間的生成關(guān)系密切相關(guān)。

2 GE-規(guī)則與GE-協(xié)調(diào)性

達(dá)米特將貝爾納普的保守性要求稱為“背景協(xié)調(diào)性”或“總體協(xié)調(diào)性”，與此相對(duì)應(yīng)的是他所主張“內(nèi)在協(xié)調(diào)性”（[3]，第250 頁(yè)），后者只與一個(gè)常項(xiàng)的I-和E-規(guī)則的連續(xù)應(yīng)用在推導(dǎo)中造成的“局部峰”有關(guān)。一個(gè)“局部峰”就是關(guān)于E-規(guī)則應(yīng)用的結(jié)果的一種迂回的、間接的推導(dǎo)，而削平局部峰（leveling a peak）是確保I-和E-規(guī)則具有內(nèi)在協(xié)調(diào)性的途徑，這就是要實(shí)現(xiàn)從I-規(guī)則應(yīng)用的前提到相應(yīng)的E-規(guī)則應(yīng)用的結(jié)果的直接推導(dǎo)。這與普拉維茨的“倒置原則”所要表達(dá)的基本思想是一致的：一個(gè)邏輯常項(xiàng)的I-規(guī)則“定義了”該常項(xiàng)的意義，而其E-規(guī)則就是該意義的應(yīng)用，因而其E-規(guī)則可以被看作是其I-規(guī)則的“倒置”。（[10]，第33 頁(yè)）“倒置原則”的思想可以追溯到根岑。（[5]，第81 頁(yè)）根據(jù)根岑的看法，邏輯常項(xiàng)的E-規(guī)則是借助作為相應(yīng)的I-規(guī)則的“倒置”而得到證成的。這些協(xié)調(diào)性概念的共同之處就是假設(shè)I-規(guī)則優(yōu)先于其E-規(guī)則，是意義定義性的，而E-規(guī)則是意義應(yīng)用性的，前者作為定義是自我證成的，而后者需要借助與前者的協(xié)調(diào)性來(lái)證成。

無(wú)論普拉維茨的“倒置原則”還是達(dá)米特的“局部峰的削平”，都意在確保邏輯常項(xiàng)的I-和E-規(guī)則滿足局部的保守性要求，即至少E-規(guī)則的應(yīng)用結(jié)果不會(huì)超出I-規(guī)則的應(yīng)用前提。雖然這種要求可以擺脫對(duì)演繹系統(tǒng)本身的依賴，但其缺點(diǎn)也很明顯，那就是無(wú)法對(duì)弱消去的不協(xié)調(diào)性問(wèn)題做出回應(yīng)，當(dāng)然也無(wú)法對(duì)具有標(biāo)準(zhǔn)規(guī)則的邏輯常項(xiàng)（如經(jīng)典析取）可能造成的非保守性擴(kuò)張問(wèn)題做出回應(yīng)。這些理解都將（邏輯）常項(xiàng)的I-規(guī)則置于更基礎(chǔ)的位置，從而忽略了E-規(guī)則對(duì)于（邏輯）常項(xiàng)的融貫意義的貢獻(xiàn)，這還導(dǎo)致：如果兩個(gè)（邏輯）常項(xiàng)具有相同的I-規(guī)則且它們的E-規(guī)則都不強(qiáng)于該I-規(guī)則的話，那么它們就是同義的。

GE-協(xié)調(diào)性則有所不同，它將E-規(guī)則置于更重要的位置。它并不否認(rèn)I-規(guī)則是意義定義性的，而是直接將協(xié)調(diào)性問(wèn)題歸結(jié)為E-規(guī)則的普遍形式問(wèn)題，試圖借助邏輯常項(xiàng)的E-規(guī)則的特定普遍形式來(lái)說(shuō)明其E-規(guī)則與I-規(guī)則的“倒置”關(guān)系。邏輯常項(xiàng)的E-規(guī)則的特定普遍形式（即GE-規(guī)則）被認(rèn)為包含了一種協(xié)調(diào)性的要求：

(HGE)（邏輯）常項(xiàng)δ的“I-規(guī)則與E-規(guī)則是GE-協(xié)調(diào)的，當(dāng)且僅當(dāng)其E-規(guī)則是由I-規(guī)則所協(xié)調(diào)地導(dǎo)致的GE-規(guī)則”。（[4]，第623 頁(yè)）

由于一個(gè)邏輯常項(xiàng)的GE-規(guī)則也是它的其中一個(gè)E-規(guī)則，為有所區(qū)別，可稱其非普遍形式的E-規(guī)則為“普通E-規(guī)則”（當(dāng)不引起誤解時(shí)，我們談?wù)摰摹癊-規(guī)則”指的就是普通E-規(guī)則）?？紤]到一個(gè)邏輯常項(xiàng)的I-規(guī)則可能不唯一，其導(dǎo)致的E-規(guī)則也可能不止一個(gè)，令n-元邏輯常項(xiàng)δ的其中一個(gè)I-規(guī)則為：Πi ?（δIi），其中δ→α表示δ(α1,...,αn)；Πi是斷定的一個(gè)直接根據(jù)集（其中就被看作是斷定的直接根據(jù)）。如果δ E-規(guī)則與其I-規(guī)則是相協(xié)調(diào)的，則它就是具有如下形式的GE-規(guī)則（其中，“[Πi]”是對(duì)“[],[],...,[]”的縮寫）：

在這個(gè)形式中，被稱為“大前提”，其余前提都被稱為“小前提”。其中的“[ξ]”仍然表示ξ是被該規(guī)則的應(yīng)用所解除的假設(shè)。（邏輯）常項(xiàng)δ的GE-規(guī)則的大前提正是其I-規(guī)則的結(jié)論，而在小前提中，作為被解除的假設(shè)的那些公式正是δ的I-規(guī)則的前提，因而也是斷定的直接根據(jù)。由此，GE-規(guī)則似乎包含了對(duì)協(xié)調(diào)性的一種理解。對(duì)此有兩種不同的說(shuō)明：

第一種觀點(diǎn)認(rèn)為，GE-規(guī)則滿足了普拉維茨的倒置原則的要求。普拉維茨的倒置原則的基本思想可以概括為：凡是由可以推出的后果，可以直接由的直接根據(jù)推導(dǎo)出來(lái)。在普拉維茨那里，（邏輯）常項(xiàng)δ的I-和E-規(guī)則是否滿足倒置原則，是通過(guò)對(duì)推導(dǎo)的更一般的“規(guī)范化”程序來(lái)實(shí)現(xiàn)的。在一個(gè)推導(dǎo)中，一個(gè)公式既作為δ I-規(guī)則應(yīng)用的結(jié)論和δ E-規(guī)則應(yīng)用的大前提出現(xiàn)（這兩種應(yīng)用未必是連續(xù)的），就是被稱為“最大公式”；如果δ的I-規(guī)則和E-規(guī)則滿足倒置原則的要求，那么這個(gè)最大公式就可被移除。不包含最大公式的推導(dǎo)就具有規(guī)范形式的推導(dǎo)（即規(guī)范的推導(dǎo)），而一個(gè)推導(dǎo)是可被規(guī)范化的，就意味著它可以被還原為一個(gè)規(guī)范的推導(dǎo)。借助下面這個(gè)還原可以看到，δ的GE-規(guī)則與相應(yīng)的I-規(guī)則滿足倒置原則的要求：

還原之后的推導(dǎo)就是由的理由出發(fā)的關(guān)于γ的直接推導(dǎo)，也被稱為“規(guī)范的”推導(dǎo)，因?yàn)樗辉侔畲蠊剑ó?dāng)然還需要假設(shè)在這個(gè)推導(dǎo)中不包含其他最大公式）。由Πi到γ的推導(dǎo)的規(guī)范性表明：凡是由可以推導(dǎo)出來(lái)的東西都可以由它的直接推導(dǎo)出來(lái)。這恰恰滿足了基于局部保守性的協(xié)調(diào)性要求。

另一種觀點(diǎn)認(rèn)為：GE-規(guī)則體現(xiàn)了另外一種倒置原則：“無(wú)論由推出一個(gè)命題的直接根據(jù)得到什么東西，都必須從該命題得到。”（[8]，第6 頁(yè)）8里德也持有類似的立場(chǎng)。（[15]，第563 頁(yè)）這個(gè)倒置原則與普拉維茨的不同，后者主張的是：借助δ E-規(guī)則的應(yīng)用，不能推導(dǎo)出“多于”其直接根據(jù)的東西；而前者主張的是：借助δ E-規(guī)則的應(yīng)用，不能推導(dǎo)出“少于”其直接根據(jù)的東西。GE-規(guī)則之所以也可以滿足后一種倒置原則的要求，是因?yàn)橥ㄟ^(guò)簡(jiǎn)單的排列換位（permutation）就可以得到與它等價(jià)的推導(dǎo)：9“排列換位”可以被理解為是一種結(jié)構(gòu)性的推導(dǎo)規(guī)則，它由兩條規(guī)則構(gòu)成：（1）由Γ ?α 可得Γ,α ?γ ?γ；（2）由Γ,α ?γ 可得Γ ?α ?γ。

按設(shè)想，GE-協(xié)調(diào)性似乎不僅可以阻止具有強(qiáng)E-規(guī)則的異常算子，還應(yīng)該可以阻止具有弱E-規(guī)則的算子。一個(gè)邏輯常項(xiàng)的GE-規(guī)則之所以能夠滿足協(xié)調(diào)性的要求，這完全是因?yàn)槠銰E-規(guī)則本身是由相應(yīng)的I-規(guī)則“協(xié)調(diào)地導(dǎo)致的”。不過(guò)，到目前為止，“I-規(guī)則是如何‘協(xié)調(diào)地導(dǎo)致’GE-規(guī)則的”這個(gè)問(wèn)題還沒(méi)有得到清晰地回答，這恰恰是本文的工作重點(diǎn)。另外，GE-協(xié)調(diào)性的一個(gè)明顯的問(wèn)題是：只有當(dāng)一個(gè)邏輯常項(xiàng)的E-規(guī)則就是其GE-規(guī)則時(shí)，它與相應(yīng)的I-規(guī)則才是協(xié)調(diào)的。然而，需要我們證成的規(guī)則不僅僅是GE-規(guī)則，還包括普通E-規(guī)則。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，只有析取的E-規(guī)則具有GE-形式，我們所熟悉的其他邏輯常項(xiàng)以及tonk 這樣的異常算子的E-規(guī)則都非天然地具有GE-形式，它們的E-規(guī)則通常僅僅是其GE-形式的其中一個(gè)實(shí)例而已。更嚴(yán)重的是，所有具有弱E-規(guī)則的算子都與對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)邏輯常項(xiàng)具有相同的I-規(guī)則，它們的E-規(guī)則因此都是同一個(gè)GE-形式的實(shí)例。故而，借助GE-規(guī)則的形式仍然無(wú)法回應(yīng)弱E-規(guī)則的協(xié)調(diào)性問(wèn)題。

GE-協(xié)調(diào)性標(biāo)準(zhǔn)僅僅陳述了一個(gè)重言命題：當(dāng)且僅當(dāng)由相應(yīng)的I-規(guī)則協(xié)調(diào)地導(dǎo)致的GE-規(guī)則，才與該I-規(guī)則是GE-協(xié)調(diào)的，所以這種標(biāo)準(zhǔn)無(wú)法說(shuō)明一個(gè)普通E-規(guī)則如何能夠與相應(yīng)的I-規(guī)則是GE-協(xié)調(diào)的。要說(shuō)明這一點(diǎn)，我們不僅要回答一個(gè)邏輯常項(xiàng)的I-規(guī)則是如何“協(xié)調(diào)性的導(dǎo)致”其GE-規(guī)則的，還要厘清其E-規(guī)則與GE-規(guī)則之間的關(guān)系。這都是以往研究者忽略的問(wèn)題。為了回答前一個(gè)問(wèn)題，本文將描述一個(gè)由I-規(guī)則“生成”GE-規(guī)則和E-規(guī)則的機(jī)制；為了說(shuō)明后一個(gè)問(wèn)題，我們需要區(qū)分GE-規(guī)則和Ge-規(guī)則，后者是直接由E-規(guī)則通過(guò)恰當(dāng)?shù)呐帕袚Q位“生成”的普遍的E-規(guī)則。接下來(lái)，我們要描述這兩種生成機(jī)制。

3 邏輯常項(xiàng)的使用規(guī)則與生成機(jī)制

邏輯常項(xiàng)的I-規(guī)則和E-規(guī)則的普遍模式曾出于不同的目的被研究過(guò)。普拉維茨和施羅德-海斯特在上世紀(jì)八十年代各自借助普遍模式證明邏輯常項(xiàng)集{⊥,∧,∨,→}的完備性。（[11,20]）當(dāng)然，I-或E-規(guī)則的普遍模式還被用于研究協(xié)調(diào)性問(wèn)題（[4,6,9,14,15]），GE-協(xié)調(diào)性的描述同樣借助了消去規(guī)則的普遍模式。關(guān)于普遍模式的這些研究對(duì)于我們探討I-規(guī)則和E-規(guī)則之間的生成關(guān)系很有幫助。不過(guò)，以前討論的普遍模式還不夠“普遍”，這體現(xiàn)為：如果一個(gè)邏輯常項(xiàng)存在多個(gè)I-規(guī)則或E-規(guī)則時(shí)，它們也相應(yīng)地有多個(gè)普遍模式，這種普遍模式可被稱為“分枝式的（bifurcated）”。例如，合取就有兩個(gè)E-規(guī)則：α ∧β ?α和α ∧β ?β。（有時(shí)候也寫作：α1∧α2?αi(i1,2)）合取消去的分枝式的普遍模式為：

也有學(xué)者建議采取下列這種單一的模式：（[15]，第566 頁(yè)）

這個(gè)單一的普遍模式的問(wèn)題在于，它需要做出說(shuō)明以便與下列兩種模式區(qū)分開(kāi)來(lái)：

其中，（$-GE）類似析取的E-規(guī)則，（#-GE）是包含并行的（collateral）假設(shè)前提的E-規(guī)則（后文會(huì)再討論這種類型的前提）。而（∧-GE*）與這兩個(gè)規(guī)則都不同，它是兩個(gè)分枝式的GE-規(guī)則的合并，它要表達(dá)的思想是：如果無(wú)論由假設(shè)α還是由假設(shè)β都能夠推導(dǎo)出γ，則由α ∧β能夠推導(dǎo)γ。即使做出說(shuō)明，采用類似（∧-GE*）這種普遍模式的表示方法，在刻畫合取和析取的I-規(guī)則和E-規(guī)則之間的關(guān)系時(shí)也不方便。因?yàn)槲鋈〉腎-規(guī)則同樣有兩個(gè)，采用上述的單一表達(dá)方法就不方便構(gòu)造相應(yīng)的單一的I-規(guī)則。為了避免這個(gè)問(wèn)題，我們區(qū)分了“可選性（alternative）”前提（假設(shè)）和“共同性的（joint）”前提（假設(shè)）：

(D1) 如果γ可由任意αi（1≤i ≤n）推出，則αi相對(duì)于αj（且1≤j ≤n）為γ的可選性前提，表示為：α1/.../αn ?γ。Γ{α1,...,αn}則為γ的可選性前提集。

(D2) 如果γ由α1,...,αn共同推出，則αi相對(duì)于αj（且1≤j ≤n）為γ的共同性前提，表示為：α1;...;αn ?γ。Γ{α1,...,αn}則為γ的共同性前提集。

除此之外，當(dāng)然還需要區(qū)分“直言性（categorical）前提”和“假言性（hypothetical）前提”：

(D3) 如果αi是γ的前提且形如χ ?ξ（1≤i ≤n）（其中χ為關(guān)于ξ的一個(gè)推導(dǎo)的假設(shè)），則αi為γ的假言性前提。如果α1,...,αn都是γ的假言性前提，Γ{α1,...,αn}為γ的假言性前提集。

(D4) 如果αi（1≤i ≤n）是γ的前提且不包含假設(shè)，則是γ的直言性前提。如果α1,...,αn都是γ的直言性前提，則Γ{α1,...,αn}為γ的直言前提集。

基于上述四個(gè)概念的定義，我們可以將一個(gè)n-元命題邏輯常項(xiàng)δ的I-規(guī)則的普遍模式（schemata）描述如下10這里用分號(hào)“;”表示不同類型的前提，以便與逗號(hào)“,”表示的共同性前提區(qū)別開(kāi)來(lái)。但是，這并不意味著，在不同類型的前提之間不可以存在共同關(guān)系。在具體的情形中，如果的確存在兩種類型的共同性前提，則需要使用逗號(hào)隔開(kāi)來(lái)表示。：

其中δ(α1,...,αn)，且令p、q、r、s0,1,2,...m。通過(guò)對(duì)I-規(guī)則的普遍模式實(shí)例化，可以得到一些常見(jiàn)的（邏輯）常項(xiàng)的I-規(guī)則：

(3.1) 當(dāng)p1，qrs0，ni2 時(shí)，該模式的實(shí)例就是合取的I-規(guī)則，即α1,α2?α1∧α2；

(3.2) 當(dāng)r1，qrs0，nk2 時(shí)，該模式的實(shí)例就是析取的I-規(guī)則，即α1/α2?α1∨α2；

(3.3) 當(dāng)q1，prs0，n2 且j1 時(shí)，該模式的實(shí)例就是蘊(yùn)涵的I-規(guī)則，即χ1?α1?χ1→α1；

(3.4) 當(dāng)q1，prs0，nj2 時(shí)（令χ2α1且χ1α2），該模式的實(shí)例就是等值的I-規(guī)則，即χ1?α1,α1?χ1?χ1?α1；

(3.5) 當(dāng)q1，prs0，nj1 時(shí)（令α1⊥），該模式的實(shí)例就是直覺(jué)主義否定的I-規(guī)則，即χ1?⊥??χ1；

(3.6) 當(dāng)p1，qrs0，ni1 時(shí)，該模式的實(shí)例就是雙重否定的I-規(guī)則，即α1???α1；

(3.7) 當(dāng)p1，qrs0，n2 且i1 時(shí)，該模式的實(shí)例就是tonk 的I-規(guī)則，即α1?α1tonkα2；

給出（邏輯）常項(xiàng)的I-規(guī)則的統(tǒng)一的普遍模式之后，我們就可以描述一種生成機(jī)制（generating mechanism）。借助這種機(jī)制，由I-規(guī)則的普遍模式可以“生成”相應(yīng)的E-規(guī)則的普遍模式，因而該機(jī)制也可被稱為“GE-生成機(jī)制”，其包含以下五條原則：

(I)I-規(guī)則普遍模式中的結(jié)論（）是相應(yīng)的E-規(guī)則普遍模式中的直言性大前提；

(II)I-規(guī)則普遍模式中的共同的直言性前提（α1;...;αi）在相應(yīng)的E-規(guī)則普遍模式中作為可選的假言性前提（/···/?γ），其中都是被解除的假設(shè)；

(III)I-規(guī)則普遍模式中的可選的直言性前提（/.../）在相應(yīng)的E-規(guī)則普遍模式中分別作為共同的假言性前提（?γ;...;?γ），其中都是被解除的假設(shè)；

(IV)I-規(guī)則普遍模式中的共同的假言性前提（;...;）在E-規(guī)則普遍模式中作為以直言性前提與新的假言性前提的可選的組合（(?γ)/.../(?γ)）；

(V)I-規(guī)則普遍模式中的可選的假言性前提（/.../）在E-規(guī)則普遍模式中作為以直言性前提與新的假言性前提的共同的組合（([]?γ);...;([]?γ)）；

(VI) 在E-規(guī)則的普遍模式中，γ是唯一的結(jié)論。

按照GE-生成機(jī)制的原則，由（邏輯）常項(xiàng)δ的I-規(guī)則的普遍模式就可以生成下面下列E-規(guī)則的普遍模式（其中，“”被稱為E-規(guī)則的“大前提”，其他前提都被稱為“小前提”）：

類似地，對(duì)δ的E-規(guī)則的這個(gè)普遍模式進(jìn)行實(shí)例化以及借助適當(dāng)?shù)呐帕袚Q位處理，就可以生成一些常見(jiàn)的（邏輯）常項(xiàng)的GE-規(guī)則及其普通的E-規(guī)則：

(3.1’) 當(dāng)p1，qrs0，ni2 時(shí)，該模式的實(shí)例就是合取的GE-規(guī)則，即α1∧α2,[α1]/[α2]?γ ?γ；當(dāng)γα1（或α2）時(shí)，就得到其兩條E-規(guī)則，即α1∧α2?α1和α1∧α2?α2；

(3.2’) 當(dāng)r1，qrs0，nk2 時(shí)，該模式的實(shí)例就是析取的GE-規(guī)則，即α1∨α2,[α1]?γ,[α2]?γ ?γ；該規(guī)則同時(shí)也是析取的E-規(guī)則。

(3.3’) 當(dāng)q1，prs0，n2 且j1 時(shí)，該模式的實(shí)例就是蘊(yùn)涵的GE-規(guī)則，即χ1→α1,χ1,[α1]?γ ?γ；當(dāng)γα1時(shí)，就得到其E-規(guī)則，即χ1→α1,χ1?α1，這就我們熟悉的分離規(guī)則；

(3.4’) 當(dāng)q1，prs0，nj2 時(shí)（令χ2α1且χ1α2），該模式的實(shí)例就是等值的GE-規(guī)則，即χ1?α1,(χ1,[α1]?γ)/(α1,[χ1]?γ)?γ；當(dāng)γα1或者γχ1時(shí)，就得到其兩條E-規(guī)則，即χ1?α1,χ1?α1；χ1?α1,α1?χ1；

(3.5’) 當(dāng)q1，prs0，nj1 時(shí)（令A(yù)1⊥），該模式的實(shí)例就是直覺(jué)主義否定的GE-規(guī)則，即?χ1,χ1,[⊥]?γ ?γ；當(dāng)γ⊥時(shí)，就得到其E-規(guī)則，即?χ1,χ1?⊥；

(3.6’) 當(dāng)p1，qrs0，ni1 時(shí)，該模式的實(shí)例就是雙重否定的GE-規(guī)則，即??α1,α1?γ ?γ；當(dāng)γα1時(shí)，就得到其E-規(guī)則，即??α1?α1。

借助GE-生成機(jī)制，我們可以由一個(gè)（邏輯）常項(xiàng)的I-規(guī)則的普遍模式生成其E-規(guī)則的普遍模式，接著得到相應(yīng)的GE-規(guī)則和E-規(guī)則，當(dāng)然也可以直接借助這種機(jī)制，由它的I-規(guī)則生成它的GE-規(guī)則以及E-規(guī)則。當(dāng)我們將GE-生成機(jī)制應(yīng)用于tonk 時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)情況明顯異常：由tonk 的I-規(guī)則所生成的GE-規(guī)則是α1tonkα2,α1?γ ?γ，而再由該GE-規(guī)則得到的E-規(guī)則卻是α1tonkα2?α1。這表明，tonk 的E-規(guī)則（tonkE）并不是由它的I-規(guī)則生成的。這是因?yàn)镚E-生成機(jī)制包含了一種協(xié)調(diào)性的要求：由該機(jī)制生成的GE-規(guī)則與相應(yīng)的I-規(guī)則在滿足倒置原則的意義上是協(xié)調(diào)的。基于該生成機(jī)制的協(xié)調(diào)性（“GM-協(xié)調(diào)性”）可定義如下：

(HGM)（邏輯）常項(xiàng)δ的E-規(guī)則與其I-規(guī)則是協(xié)調(diào)的，當(dāng)且僅當(dāng)其E-規(guī)則是由其I-規(guī)則所生成的GE-規(guī)則的實(shí)例。

由于這種協(xié)調(diào)性仍然是通過(guò)GE-規(guī)則來(lái)表達(dá)的，它蘊(yùn)涵了GE-協(xié)調(diào)性。不過(guò)，它的內(nèi)容更為豐富：首先、它能夠幫助我們排除tonk 這樣的異常算子，因?yàn)閠onk的E-規(guī)則并不是由其I-規(guī)則所生成的GE-規(guī)則的實(shí)例；其次、它還為一個(gè)（邏輯）常項(xiàng)的I-規(guī)則如何“協(xié)調(diào)地導(dǎo)致了”GE-規(guī)則提供了說(shuō)明；再次、它能夠保證：并非一個(gè)（邏輯）常項(xiàng)的任意具有GE-形式的規(guī)則都是與其I-規(guī)則相協(xié)調(diào)的GE-規(guī)則。不過(guò)，無(wú)論GE-協(xié)調(diào)性還是GM-協(xié)調(diào)性，都還不足以解決E-規(guī)則的證成問(wèn)題，因?yàn)樗鼈儫o(wú)法排除具有弱E-規(guī)則的算子。接下來(lái)，我們要提出另外一種生成機(jī)制來(lái)彌補(bǔ)這個(gè)不足。

4 基于Ge-規(guī)則生成機(jī)制的協(xié)調(diào)性

為了說(shuō)明E-規(guī)則與GE-規(guī)則之間的關(guān)系，我們需要借助另外一種普遍的E-規(guī)則，即Ge-規(guī)則作為對(duì)照。Ge-規(guī)則是按照如下機(jī)制生成的：令1,...,χn ?ξ為任意常項(xiàng)δ的E-規(guī)則，首先將結(jié)論ξ通過(guò)排列換位，作為一個(gè)新的假言性前提“[ξ]?γ”中被該E-規(guī)則的應(yīng)用解除的一個(gè)假設(shè)，其次將原結(jié)論的位置用γ填充，由此得到δ的Ge-規(guī)則為：

借助上述生成機(jī)制，我們可以由一些常見(jiàn)的（邏輯）常項(xiàng)的E-規(guī)則生成它們相應(yīng)的Ge-規(guī)則：

(4.1) 合取的E-規(guī)則通常分為兩條，即α ∧β ?α和α ∧β ?β。由上述生成機(jī)制可得兩條Ge-規(guī)則：α ∧β,[α]?γ ?γ和α ∧β,[β]?γ ?γ；我們可以將這兩條合并為一條，即：α ∧β,([α]/[β])?γ ?γ。

(4.2) 析取的E-規(guī)則本身既是其GE-規(guī)則，也是其Ge-規(guī)則。

(4.3) 蘊(yùn)涵的E-規(guī)則為：α →β,α ?β。由上述生成機(jī)制可得其Ge-規(guī)則：α →β,α,[β]?γ ?γ。

(4.4) 等值的E-規(guī)則通常分為兩條，即α ?β,α ?β和α ?β,β ?α。由上述生成機(jī)制可得其Ge-規(guī)則：α ?β,α,[β]?γ ?γ和α ?β,β,[α]?γ ?γ。與合取相似，我們可以將這兩條規(guī)則合并，即：α ?β,(α,[β]?γ)/(β,[α]?γ)?γ。

(4.5) 直覺(jué)主義否定的E-規(guī)則為：?α,α ?⊥。由上述生成機(jī)制可得其Ge-規(guī)則：?α,α,[⊥]?γ ?γ。

(4.6) 經(jīng)典的雙重否定的E-規(guī)則為：??α ?α。由上述生成機(jī)制可得其Ge-規(guī)則：??α,[α]?γ ?γ。

如果一個(gè)（邏輯）常項(xiàng)δ的Ge-規(guī)則中的直言性前提χ1,...,χn是δ的I-規(guī)則的假言性前提中被解除的假設(shè)，ξ是其后件或者直言性前提，那么該Ge-規(guī)則就恰好是它的GE-規(guī)則。此時(shí)，常項(xiàng)δ的Ge-規(guī)則就與它的I-規(guī)則是協(xié)調(diào)的。于是，我們提出另外一種協(xié)調(diào)性概念（“Ge-協(xié)調(diào)性”）：

(HGe) 一個(gè)邏輯常項(xiàng)δ的E-規(guī)則與其I-規(guī)則是協(xié)調(diào)的，當(dāng)且僅當(dāng)由該E-規(guī)則生成的Ge-規(guī)則就是由該I-規(guī)則生成的GE-規(guī)則。

盡管Ge-協(xié)調(diào)性是以GE-協(xié)調(diào)性為基礎(chǔ)的，但它與后者并不是一回事。它不僅可以阻止具有強(qiáng)E-規(guī)則的異常算子，還可以阻止具有弱E-規(guī)則的算子。就第一個(gè)方面而言，Ge-協(xié)調(diào)性標(biāo)準(zhǔn)可以排除tonk 及其類似異常算子，因?yàn)樗鼈兊腉e-規(guī)則都與它們的GE-規(guī)則不相等價(jià)。具體分析如下：

(4.7) tonk 的E-規(guī)則為：αtonkβ ?β。由上述生成機(jī)制可得tonk 的Ge-規(guī)則：αtonkβ,[β]?γ ?γ；而tonk 的GE-規(guī)則為：αtonkβ,[α]?γ ?γ。

(4.8) tonk>的E-規(guī)則為：α ?tonk>?β。由上述生成機(jī)制可得tonk>的Ge-規(guī)則：α ?tonk>,[β]?γ ?γ；而tonk>的GE-規(guī)則為：tonk>,α,[β]?γ ?γ。

(4.9)

(4.10) 的E-規(guī)則為：α ??β。由上述生成機(jī)制可得的Ge-規(guī)則：α ?,[β]?γ ?γ；而的GE-規(guī)則為：,(α,[β]?γ);([α]?γ/(β,[α]?γ))?γ。

(4.11) super-tonk 的E-規(guī)則為：α ?super-tonk?β。由上述生成機(jī)制可得super-tonk 的Ge-規(guī)則：α ?super-tonk,[β]?γ ?γ；而super-tonk的GE-規(guī)則為：super-tonk,([α]?γ/(φ,[ψ]?γ))?γ。

上述異常算子的Ge-規(guī)則與它們的GE-規(guī)則并不等價(jià)。這里所列舉的算子表面上可分為兩類：tonk 和其他算子。tonk 的Ge-規(guī)則的大前提是其I-規(guī)則的結(jié)論，而其他算子的Ge-規(guī)則的大前提并不是其I-規(guī)則的結(jié)論。這種區(qū)別對(duì)于導(dǎo)出平凡化的結(jié)果來(lái)說(shuō)并不重要，但是可能會(huì)對(duì)于協(xié)調(diào)性的判定產(chǎn)生一些影響。至少?gòu)谋砻嫔峡?，其他算子的GE-規(guī)則和Ge-規(guī)則在形式上明顯不同，而tonk 的Ge-規(guī)則更容易被當(dāng)作普遍的E-規(guī)則，因而證明它并不等價(jià)于相應(yīng)的GE-規(guī)則就很重要。這種證明并不復(fù)雜：令α是tonk 的I-規(guī)則應(yīng)用的前提，除非αβ，否則借助GE-規(guī)則無(wú)法推導(dǎo)β，但是借助Ge-規(guī)則卻可以推出β。

其他異常算子的Ge-規(guī)則并不是常見(jiàn)的E-規(guī)則，因?yàn)樗鼈兊腅-規(guī)則中的大前提并非形如“”的直言性的前提，但僅憑借這一點(diǎn)還不足以說(shuō)明它們的Ge-規(guī)則與相應(yīng)的I-規(guī)則不協(xié)調(diào)。它們的不協(xié)調(diào)性乃是因Ge-規(guī)則強(qiáng)于對(duì)應(yīng)的GE-規(guī)則造成的。這里僅以super-tonk 為例，將它的GE-規(guī)則應(yīng)用于super-tonkI-規(guī)則的結(jié)論，只能得到α或者在φ成立的前提下得到ψ，這恰恰是super-tonkI-規(guī)則應(yīng)用的前提，但是借助Ge-規(guī)則就可以得到更多的結(jié)果，因?yàn)樽鳛槠浣Y(jié)果的β可以是I-規(guī)則的前提，也可以是其他公式。與這些異常算子的E-規(guī)則非常相似，經(jīng)典否定的E-規(guī)則也不是常規(guī)的。經(jīng)典否定與直覺(jué)主義否定具有相同的I-規(guī)則，但經(jīng)典否定的E-規(guī)則是：～α ?α ?α（或經(jīng)典的歸謬律：～α ?⊥?α），這與直覺(jué)主義否定的E-規(guī)則（即?α,α ?⊥）不同，否定公式在經(jīng)典否定的E-規(guī)則中并不是作為直言性大前提出現(xiàn)的。它的Ge-規(guī)則是：～α ?α,[α]?γ ?γ，而直覺(jué)主義否的Ge-規(guī)則是：～α,α,[⊥]?γ ?γ，這也是這兩種否定的共同的GE-規(guī)則。盡管經(jīng)典否定的E-規(guī)則并沒(méi)有導(dǎo)致平凡性，但它仍然強(qiáng)于其GE-規(guī)則，進(jìn)而強(qiáng)于其I-規(guī)則，因?yàn)樵跊](méi)有荒謬性規(guī)則（即⊥?α）的情形下，直覺(jué)主義否定的E-規(guī)則應(yīng)用于其I-規(guī)則的結(jié)論只能推導(dǎo)出在其前提中已經(jīng)被推導(dǎo)出來(lái)的東西，即⊥；但借助經(jīng)典否定的E-規(guī)則卻可以進(jìn)一步推導(dǎo)出α。

Ge-協(xié)調(diào)性的要求不僅可以阻止具有強(qiáng)E-規(guī)則的算子，還可以克服GE-協(xié)調(diào)性和GM-協(xié)調(diào)性的不足，即阻止具有較弱E-規(guī)則的算子。因?yàn)镚e-規(guī)則是直接由它的E-規(guī)則通過(guò)排列換位生成的，它只是將其結(jié)論轉(zhuǎn)變?yōu)榧傺孕郧疤嶂械募僭O(shè)。如果（邏輯）常項(xiàng)δ的E-規(guī)則是弱的，這意味著它相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的E-規(guī)則而言較弱，即借助該規(guī)則由推導(dǎo)出來(lái)的東西要“少于”借助標(biāo)準(zhǔn)E-規(guī)則推導(dǎo)出來(lái)的東西。由δ的標(biāo)準(zhǔn)E-規(guī)則生成的Ge-規(guī)則與其GE-規(guī)則是等價(jià)的（相同的），因而由較弱的E-規(guī)則所生成的Ge-規(guī)則同樣弱于該GE-規(guī)則。于是，我們只需要通過(guò)比較一個(gè)（邏輯）常項(xiàng)的Ge-規(guī)則和GE-規(guī)則是否等價(jià)就可以判定它的E-規(guī)則與其I-規(guī)則是否協(xié)調(diào)。

這里以量子析取為例，經(jīng)典析取的E-規(guī)則允許在推導(dǎo)中使用并行前提，它的GE-規(guī)則（同時(shí)也是它的Ge-規(guī)則）可以表示為：α∨β,((Γ,α)?γ;(Δ,α)?γ)?γ（其中Γ,Δ 允許非空）。需注意，這里的Γ 和Δ 中的公式相對(duì)于γ而言是并行前提，γ被允許由α（或β）結(jié)合Γ（或Δ）中的公式推導(dǎo)出來(lái)。并行前提與共同性前提不同，它們并不必定在I-規(guī)則中出現(xiàn)，不過(guò)I-規(guī)則本身可以包含并行前提：Φ,α/β ?α ∨β（其中，Φ 可不為空）。并行前提集應(yīng)該被理解為一個(gè)演繹推導(dǎo)的背景（相對(duì)而言，借助矢列演算的方式來(lái)表達(dá)并行前提（集）更為方便）。由于經(jīng)典析取的規(guī)則允許使用并行前提，在{∧,∨}這個(gè)演繹系統(tǒng)中就可以推導(dǎo)出經(jīng)典析取的分配律（α ∧(β ∨γ)?(α ∧β)∨(α ∧γ)），其推導(dǎo)過(guò)程如下：

量子析取的E-規(guī)則不允許使用并行前提，因此它的E-規(guī)則為：αβ,((Γ,α)?γ;(Δ,β)?γ)?γ（其中Γ,Δ 必須為空）。該規(guī)則本身也是量子析取的Ge-規(guī)則。如果我們將上述推導(dǎo)過(guò)程中的經(jīng)典析取全部替換為量子析取，則推導(dǎo)不成立，這是因?yàn)閷?duì)“(α ∧β)(α ∧γ)”的推導(dǎo)需要使用β和γ以外的并行前提（即α），但這樣一來(lái)就不能直接應(yīng)用量子析取的E-規(guī)則。因此在{∧,}這個(gè)演繹系統(tǒng)中，量子析取的分配律（α ∧(βγ)?(α ∧β)(α ∧γ)）失效。但是，該分配律在{∧,,∨}這個(gè)擴(kuò)張的演繹系統(tǒng)中則可以推導(dǎo)出來(lái)，過(guò)程如下：

在這個(gè)推導(dǎo)中，最后一步應(yīng)用了經(jīng)典析取的E-規(guī)則推導(dǎo)出結(jié)論，從而避免了直接應(yīng)用量子析取的E-規(guī)則。這個(gè)結(jié)果也說(shuō)明，添加經(jīng)典析取，會(huì)對(duì){∧,}這個(gè)演繹系統(tǒng)造成非保守的擴(kuò)張。但與tonk 不同，這種非保守?cái)U(kuò)張并不會(huì)導(dǎo)致平凡化問(wèn)題。雖然在這里造成非保守性問(wèn)題的是經(jīng)典析取，但是由于經(jīng)典析取的Ge-規(guī)則本身就是它的GE-規(guī)則，經(jīng)典析取的E-規(guī)則與它的I-規(guī)則是Ge-協(xié)調(diào)的。量子析取的Ge-規(guī)則禁止了并行前提，在一致的演繹系統(tǒng)中，僅由{β}（或{γ}）推導(dǎo)出來(lái)的結(jié)果無(wú)疑要少于由Γ∪{β}（或Δ∪{γ}）（其中Γ,Δ）。所以，量子析取的Ge-規(guī)則要弱于經(jīng)典析取的Ge-規(guī)則，它相對(duì)于同樣的I-規(guī)則而言是不協(xié)調(diào)的。

5 結(jié)論

在證明論語(yǔ)義學(xué)中，邏輯常項(xiàng)的使用規(guī)則的證成面臨著tonk-問(wèn)題的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。解決這個(gè)問(wèn)題，需要尋找一種恰當(dāng)?shù)膮f(xié)調(diào)性標(biāo)準(zhǔn)。本文描述了由邏輯常項(xiàng)的I-規(guī)則生成其GE-和E-規(guī)則的機(jī)制，以及由其E-規(guī)則生成Ge-規(guī)則的機(jī)制。借助第一個(gè)機(jī)制，GE-規(guī)則由相應(yīng)的I-規(guī)則“協(xié)調(diào)地導(dǎo)致”的方式得到清晰地描述，借助第二機(jī)制，弱化E-規(guī)則與標(biāo)準(zhǔn)E-規(guī)則在協(xié)調(diào)性上的區(qū)別得以明確?；贕E-生成機(jī)制的GM-協(xié)調(diào)性概念可以替代保守性要求等標(biāo)準(zhǔn)，阻止具有強(qiáng)E-規(guī)則的異常算子，但它還是無(wú)法處理弱E-規(guī)則的不協(xié)調(diào)性問(wèn)題。Ge-協(xié)調(diào)性是這兩種生成機(jī)制共同蘊(yùn)涵的后果，它進(jìn)一步將邏輯常項(xiàng)的使用規(guī)則的協(xié)調(diào)性歸結(jié)為其Ge-規(guī)則與GE-規(guī)則之間的等價(jià)性，它不僅可以像以往的協(xié)調(diào)性標(biāo)準(zhǔn)一樣阻止具有強(qiáng)E-規(guī)則的異常算子，還可以彌補(bǔ)以往的協(xié)調(diào)性標(biāo)準(zhǔn)的不足，明確了具有弱E-規(guī)則的算子的不協(xié)調(diào)性。比較而言，Ge-協(xié)調(diào)性要求能夠更好地解答tonk-問(wèn)題以及邏輯常項(xiàng)的使用規(guī)則的證成問(wèn)題。