魏新遲，徐 琴，柳勁松，林俊杰，陸 超

（1.國網(wǎng)上海市電力公司電力科學(xué)研究院，上海 200437；2.華東電力試驗(yàn)研究院有限公司，上海 200437；3.福州大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福州 350108；4.電力系統(tǒng)及發(fā)電設(shè)備控制和仿真國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（清華大學(xué)電機(jī)系），北京 100084）

在國家“雙碳”目標(biāo)下，以新能源為主體的新型電力系統(tǒng)正在快速推進(jìn)和發(fā)展，大規(guī)模新能源的接入給配電系統(tǒng)帶來更多不確定性和隨機(jī)性，系統(tǒng)運(yùn)行方式更加復(fù)雜。而配電網(wǎng)將電能傳送給廣大用戶，其運(yùn)行動(dòng)態(tài)影響著供電的可靠性。為了更好地分析配電網(wǎng)的動(dòng)態(tài)行為，快速準(zhǔn)確地獲取整個(gè)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)狀態(tài)和動(dòng)態(tài)潮流是十分必要的[1-2]。因此，狀態(tài)估計(jì)作為一種能夠通過分析收集到的測量數(shù)據(jù)、計(jì)算補(bǔ)全整個(gè)配電網(wǎng)的運(yùn)行狀態(tài)及具有不良數(shù)據(jù)辨別和處理能力的方法，在配電網(wǎng)領(lǐng)域得到廣泛的研究和應(yīng)用[3-4]。

近年來，配電網(wǎng)同步相量測量裝置PMU（phasor measurement unit）得到了迅速發(fā)展與應(yīng)用[5-6]，廣大學(xué)者對(duì)基于PMU 的配電網(wǎng)狀態(tài)估計(jì)進(jìn)行了大量研究[7]。為滿足實(shí)際應(yīng)用的需求，配電網(wǎng)狀態(tài)估計(jì)主要研究配電網(wǎng)的可觀性[8]、測量裝置的最優(yōu)布點(diǎn)問題[9-10]、量測數(shù)據(jù)的時(shí)空特征信息[11]、配電網(wǎng)狀態(tài)的動(dòng)態(tài)跟蹤[12-13]、不良數(shù)據(jù)的識(shí)別和處理[14-15]及改進(jìn)優(yōu)化估計(jì)算法[16-17]，以達(dá)到提高狀態(tài)估計(jì)精度的目的。PMU具有較高的準(zhǔn)確性和實(shí)時(shí)性，并且測量斷面都具有高精度同步時(shí)標(biāo)，上送頻率也更快[18]。文獻(xiàn)[19]通過PMU 量測數(shù)據(jù)并利用潮流雅可比矩陣的稀疏性，建立了潮流雅可比矩陣的稀疏估計(jì)模型。文獻(xiàn)[20]考慮配電網(wǎng)復(fù)雜的接地特性，提出了一種基于PMU 的非線性狀態(tài)估計(jì)方法，但可能會(huì)降低計(jì)算效率。文獻(xiàn)[21]通過PMU 量測數(shù)據(jù)，建立了基于電壓相量和電流相量的狀態(tài)估計(jì)模型，并利用加權(quán)最小二乘法WLS（weighted least squares）進(jìn)行求解，但沒有分析權(quán)重設(shè)置，同時(shí)將實(shí)數(shù)WLS 應(yīng)用于復(fù)數(shù)域狀態(tài)估計(jì)并不適用。文獻(xiàn)[22]假設(shè)PMU獲得的測量值相互獨(dú)立，利用經(jīng)典的誤差傳播理論為WLS設(shè)置權(quán)重矩陣。隨著技術(shù)的發(fā)展，主動(dòng)配電網(wǎng)的狀態(tài)估計(jì)理論和方法也開始被研究，文獻(xiàn)[23]提出了一種分布式魯棒優(yōu)化架構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了局部配網(wǎng)隱私信息保護(hù)下的狀態(tài)估計(jì)。文獻(xiàn)[24]對(duì)選取的基準(zhǔn)相角進(jìn)行復(fù)數(shù)域標(biāo)幺化，提出了改進(jìn)的基于復(fù)數(shù)域標(biāo)幺化的快速解耦狀態(tài)估計(jì)算法，雖然減小了單次迭代時(shí)間，但增加了迭代次數(shù)。文獻(xiàn)[25]將WLS拓展到復(fù)數(shù)域，對(duì)基于全PMU 數(shù)據(jù)的線性狀態(tài)估計(jì)模型進(jìn)行求解，無需進(jìn)行迭代。此外，配電網(wǎng)中PMU 也可以同其他測量終端相互配合完成狀態(tài)估計(jì)[26]。目前，基于PMU配電網(wǎng)的狀態(tài)估計(jì)還處于發(fā)展階段，不少算法過于復(fù)雜，不能兼顧準(zhǔn)確性和實(shí)時(shí)性，同時(shí)部分研究未考慮測量不良數(shù)據(jù)和測量權(quán)重等問題。

綜上所述，現(xiàn)有的配電網(wǎng)狀態(tài)估計(jì)研究大多采用混合量測，而隨著PMU 在配電網(wǎng)中大規(guī)模配置，基于全PMU 量測的狀態(tài)估計(jì)也得以實(shí)現(xiàn)。憑借高準(zhǔn)確性和實(shí)時(shí)性的特點(diǎn)，PMU能更好地獲取日益復(fù)雜的配電網(wǎng)的動(dòng)態(tài)信息。因此，本文面向配電網(wǎng)實(shí)時(shí)運(yùn)行狀態(tài)快速獲取的需求，提出基于PMU的配電網(wǎng)狀態(tài)估計(jì)方法，主要貢獻(xiàn)如下。

（1）采用復(fù)數(shù)域加權(quán)最小二乘法CWLS（complex field weighted least squares）對(duì)基于PMU的線性狀態(tài)估計(jì)模型進(jìn)行求解。為進(jìn)一步提高配電網(wǎng)狀態(tài)估計(jì)的準(zhǔn)確度，在測量方程中考慮基爾霍夫電流定律KCL（Kirchhoff’s current law）對(duì)節(jié)點(diǎn)注入電流的約束，增加測量冗余度。

（2）由于設(shè)備、通信等因素，不良數(shù)據(jù)在測量中不可避免，本文通過分析狀態(tài)估計(jì)后的測量殘差提出一種辨識(shí)不良數(shù)據(jù)的算法，對(duì)不良數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，以降低其影響。

（3）針對(duì)CWLS 算法中初始權(quán)重難以選取或選取不準(zhǔn)的問題，提出一種權(quán)重自適應(yīng)調(diào)整方法，增強(qiáng)所提方法的實(shí)用性。

（4）通過仿真驗(yàn)證所提方法能在各種情況下準(zhǔn)確快速地估計(jì)配電網(wǎng)實(shí)時(shí)狀態(tài)。

1 基于PMU 的線性狀態(tài)估計(jì)模型

1.1 網(wǎng)絡(luò)模型和測量方程

由于PMU能夠直接測量到節(jié)點(diǎn)的電壓相量和支路的電流相量，如果在配電網(wǎng)中大規(guī)模配置PMU，根據(jù)電力系統(tǒng)潮流方程，僅考慮電壓和電流相量就可以估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)，進(jìn)而得到配電網(wǎng)線性測量方程。配電網(wǎng)中支路可以化簡成π型等效電路，如圖1所示。

圖1 支路的π 型等效電路Fig.1 π-type equivalent circuit of branch

圖1 中，將支路的首末節(jié)點(diǎn)分別記為節(jié)點(diǎn)f和節(jié)點(diǎn)t，則對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)電壓相量分別為和，由節(jié)點(diǎn)f至節(jié)點(diǎn)t的電流相量為，由節(jié)點(diǎn)t至節(jié)點(diǎn)f的電流相量為。根據(jù)歐姆定律和基爾霍夫定律，π 型等效電路中可將電流相量用電壓相量表示，即

式中，Y11、Y12、Y21和Y22為支路ft的導(dǎo)納。

設(shè)Um為由k個(gè)可測量的節(jié)點(diǎn)電壓測量值組成的電壓向量，Im為由l個(gè)可測量的支路電流測量值組成的電流向量，由此可得到測量矩陣Zm為

式中：UmT為電壓測量值向量Um對(duì)應(yīng)的真實(shí)值向量；ImT為電流測量值向量Im對(duì)應(yīng)的真實(shí)值向量；εU為電壓相量測量值與真實(shí)值的差值向量；εI為電流相量測量值與真實(shí)值的差值向量。

設(shè)UT為由全部n個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓真實(shí)值構(gòu)成的向量，，其中UumT為由不可測量的節(jié)點(diǎn)電壓所對(duì)應(yīng)的真實(shí)值組成的向量。由式（1）可知，可測量支路電流的真實(shí)值向量ImT可用通過支路導(dǎo)納矩陣Y和節(jié)點(diǎn)電壓向量UT表示，即

式中，Y=[]Y1,Y2，Y1為l×k階支路導(dǎo)納矩陣，Y2為l×（n-k）階支路導(dǎo)納矩陣。

將式（3）代入式（2）可得以節(jié)點(diǎn)電壓為狀態(tài)量的測量方程，即

式中：E為k階單位矩陣；A為測量系數(shù)矩陣，其是復(fù)數(shù)域常稀疏矩陣；ε為測量誤差向量。

1.2 考慮KCL 定律對(duì)節(jié)點(diǎn)注入約束的測量方程

由于PMU 可以測量到包括發(fā)電機(jī)和負(fù)荷注入電流在內(nèi)的所有進(jìn)出線支路的電流相量，所以在支路特性的基礎(chǔ)上，通過考慮基爾霍夫電流定律的節(jié)點(diǎn)注入電流約束來提高測量量的冗余度，進(jìn)而提高狀態(tài)估計(jì)的精確度。網(wǎng)絡(luò)中可測量的節(jié)點(diǎn)注入電流真實(shí)值可以用支路電流相量來表示，即

式中：Iin為節(jié)點(diǎn)注入電流相量真實(shí)值的列向量；M為節(jié)點(diǎn)和支路的關(guān)聯(lián)矩陣。

將式（3）代入式（5）可得節(jié)點(diǎn)注入電流與節(jié)點(diǎn)電壓的關(guān)系式，即

式中，Ybus為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣?？紤]KCL定律的節(jié)點(diǎn)注入電流約束的全量測測量方程可表示為

式中：ZmKCL為考慮KCL 定律對(duì)節(jié)點(diǎn)注入電流約束的測量向量；Iinm為節(jié)點(diǎn)注入電流Iin的測量值向量；εin為節(jié)點(diǎn)注入電流測量值與真實(shí)值的誤差向量；AKCL為ZmKCL對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣；εKCL為對(duì)應(yīng)測量誤差向量。

1.3 相量誤差分析

PMU 得到的幅值和相角通常被認(rèn)為獨(dú)立地遵循期望為0的高斯分布。設(shè)所測相量測量值Zm中的某一項(xiàng)為，其對(duì)應(yīng)相量的幅值和相角的真實(shí)值分別為ZiT和θiT，其對(duì)應(yīng)相量的幅值和相角的測量值與真實(shí)值之間的誤差分別為ei1和ei2。圖2給出了相量測量值與真實(shí)值之間的關(guān)系。

圖2 相量測量值與真實(shí)值之間的關(guān)系Fig.2 Relationship between measured and real values of phasor

由圖2可以計(jì)算出測量誤差為

由于實(shí)際應(yīng)用中所測相量的真實(shí)值無法得知，可以用測量值代替真實(shí)值。根據(jù)實(shí)驗(yàn)可得PMU 的幅值誤差通常為真實(shí)值的千分之幾，如果出現(xiàn)不良數(shù)據(jù)，也會(huì)在不良數(shù)據(jù)處理中被剔除，因此真實(shí)值被測量值替代對(duì)結(jié)果產(chǎn)生的影響可忽略不計(jì)。

在狀態(tài)估計(jì)中，設(shè)ei1和ei2是期望為μ1和μ2、標(biāo)準(zhǔn)差為σ1和σ2的隨機(jī)誤差。相量誤差的期望可表示為

其中

由于實(shí)際應(yīng)用中誤差ei1和ei2無法得知，使得ti的解析表達(dá)式無法得出，但ei1和ei2通常遵循均值為0的高斯分布，所以可通過多次蒙特卡羅隨機(jī)實(shí)驗(yàn)近似估算得出ti的值。

對(duì)cosei2進(jìn)行泰勒展開，忽略高階項(xiàng)可得

將式（13）代入式（12）中可將其簡化為

式中，cov(ei1,e2i2)為ei1與e2i2的協(xié)方差，可表示為

假設(shè)ei1和ei2相互獨(dú)立，則cov(ei1,e2i2)=0，再進(jìn)一步令μ1和μ2為0，則式（14）可簡化為

由此便可得到復(fù)數(shù)域下測量誤差的方差D(|)。

2 基于CWLS 的狀態(tài)估計(jì)算法

2.1 復(fù)數(shù)域加權(quán)最小二乘法

傳統(tǒng)的WLS僅適用于實(shí)數(shù)域，對(duì)測量方程是復(fù)數(shù)域的配電網(wǎng)狀態(tài)估計(jì)需要將方程中的復(fù)數(shù)拆解成實(shí)部和虛部的實(shí)數(shù)方程，這將使得測量方程中的矩陣維數(shù)翻倍，計(jì)算更加復(fù)雜，效率更低。同時(shí)，將復(fù)數(shù)拆解成實(shí)部和虛部的實(shí)數(shù)形式，忽略了實(shí)部和虛部之前的相關(guān)性，對(duì)測量誤差的分析將會(huì)產(chǎn)生不利影響。故將LS（least squares）推廣到復(fù)數(shù)域，形成可對(duì)復(fù)數(shù)求解的復(fù)數(shù)域最小二乘法CLS（complex field least squares）。

式中，JCLS(UT)為的歐幾里得范數(shù)。

式中：和分別為向量UT和矩陣A中的元素；aij,r和aij,i分別為的實(shí)部和虛部；UTj,r和UTj,i分別為的實(shí)部和虛部；Zi,r和Zi,i分別為的實(shí)部和虛部。

由式（18）可知，式（17）中每個(gè)元素都是關(guān)于UTj,r和UTj,i的二次多項(xiàng)式的最大值，因此式（17）是UTj,r和UTj,i的非負(fù)二次多項(xiàng)式，根據(jù)多元二次多項(xiàng)式極值定理，式（17）一定存在唯一的最小值點(diǎn)，該點(diǎn)滿足

式中，UCLS為CLS估計(jì)的電壓向量。

將式（17）代入式（19）可得到CLS的估計(jì)結(jié)果為

CWLS在CLS的基礎(chǔ)上引進(jìn)了權(quán)重矩陣對(duì)不同的測量值進(jìn)行加權(quán)，估計(jì)出狀態(tài)量UT的值，使得的加權(quán)歐幾里得范數(shù)（的加權(quán)平方和）最小，表達(dá)式為

式中：JCWLS(UT)為的加權(quán)歐幾里得范數(shù)；W為權(quán)重矩陣；wi為W中的元素。

CWLS的估計(jì)結(jié)果UCWLS為

CWLS的計(jì)算公式與WLS基本一致，但兩者的估計(jì)結(jié)果卻不相同。CWLS是對(duì)復(fù)數(shù)測量誤差進(jìn)行加權(quán)；而WLS是對(duì)復(fù)數(shù)測量誤差拆解成的實(shí)部和虛部分別進(jìn)行加權(quán)，忽略了實(shí)部和虛部之間的聯(lián)系。在CWLS中考慮KCL對(duì)節(jié)點(diǎn)注入電流的約束，給出了基于KCL 約束的復(fù)數(shù)加權(quán)最小二乘法（CWLSKCL）。根據(jù)式（7）所示的測量方程，可以得到CWLS-KCL的估計(jì)結(jié)果UCWLS-KCL為

式中，WKCL為考慮KCL 定律對(duì)節(jié)點(diǎn)注入電流約束后的權(quán)重矩陣。

2.2 權(quán)重矩陣的設(shè)置

假設(shè)所有測量誤差都是獨(dú)立隨機(jī)變量，權(quán)重矩陣W為對(duì)角線矩陣且對(duì)角元素wi>0，wi的大小與對(duì)應(yīng)的測量誤差有關(guān)。通常設(shè)定權(quán)重矩陣有定權(quán)重法和權(quán)重自適應(yīng)調(diào)整法兩種。定權(quán)重法是依據(jù)對(duì)測量誤差的先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)特性，估計(jì)出測量誤差的分布特點(diǎn)（通常假設(shè)為零期望的高斯分布）給測量值設(shè)定一個(gè)權(quán)重，一般取測量誤差方差的倒數(shù)作為對(duì)應(yīng)測量值的權(quán)重。

在第1.3 節(jié)中已經(jīng)對(duì)基于PMU 的配電網(wǎng)狀態(tài)估計(jì)測量方程中的測量誤差進(jìn)行了分析，得出了復(fù)數(shù)域測量誤差的方差。若采用定權(quán)重法，則CWLS的權(quán)重為復(fù)數(shù)域測量誤差方差的倒數(shù)，其中元素wi可表示為

由于定權(quán)重法是根據(jù)理論分析得到測量誤差方差進(jìn)而求得權(quán)重矩陣，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)測量誤差往往會(huì)與理論分析得來的誤差存在差距，而且在某些情況下測量誤差的先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)信息是不充分的或未知的，這使得很難獲得準(zhǔn)確的固定權(quán)值矩陣。而權(quán)重自適應(yīng)調(diào)整方法能夠建立測量殘差和測量誤差關(guān)系，估計(jì)實(shí)際誤差來調(diào)整權(quán)重矩陣。

對(duì)CWLS 計(jì)算出的電壓估計(jì)值UCWLS左乘測量系數(shù)矩陣A，可得到測量相量的估計(jì)值ZCWLS，即

測量殘差r為測量相量的測量值Zm和測量相量的估計(jì)值ZCWLS之差，可表示為

將式（4）和式（25）代入式（26），推導(dǎo)得到用測量誤差ε表示測量殘差r的表達(dá)式為

式中，S為殘差靈敏度矩陣，可表示為

在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浜蜋?quán)重矩陣不變的情況下，矩陣S保持不變，則測量殘差r的協(xié)方差矩陣Rr可表示為

式中，R為測量誤差ε的協(xié)方差矩陣，可表示為

將式（28）代入式（29）中經(jīng)過化簡計(jì)算可得

由式（31）可知，通過殘差靈敏度矩陣S可將測量殘差協(xié)方差矩陣Rr和測量誤差協(xié)方差矩陣R聯(lián)系起來，即

式中：R(i,i)為第i個(gè)測量量的測量誤差；Rr(i,i)為第i個(gè)測量量的測量殘差；S(i,i)為第i個(gè)測量量的殘差靈敏度值。

取測量誤差方差的倒數(shù)作為權(quán)重，權(quán)重矩陣便可以根據(jù)計(jì)算測量值與估計(jì)值的差值進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，即

2.3 評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了評(píng)估狀態(tài)估計(jì)結(jié)果準(zhǔn)確度，本文設(shè)定了以下評(píng)價(jià)指標(biāo)。

（1）總體狀態(tài)量估計(jì)綜合矢量誤差TVE（total vector error）統(tǒng)計(jì)值可表示為

（2）總體狀態(tài)量估計(jì)綜合絕對(duì)誤差TAE（total absolute error）統(tǒng)計(jì)值可表示為

式中：m為蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)；n為狀態(tài)量的個(gè)數(shù)；Ue,ij為第j次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)的第i個(gè)狀態(tài)量的估計(jì)值；Um,ij為第j次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)的第i個(gè)狀態(tài)量的測量值；UT,i為第i個(gè)狀態(tài)量的真實(shí)值。

TVE 表示估計(jì)值與真實(shí)值的差值和測量值與真實(shí)值的差值的比值，反映了m次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)中所有狀態(tài)變量的估計(jì)精度，若TVE值小于1，則表示該狀態(tài)估計(jì)是有效的，TVE 越小，狀態(tài)估計(jì)的精度就越高；TAE表示全部狀態(tài)量估計(jì)值與真實(shí)值差值之和，TAE越小，狀態(tài)估計(jì)的精度就越高。

根據(jù)上述分析，圖3 給出了權(quán)重自適應(yīng)調(diào)整流程，其中η為閾值，當(dāng)根據(jù)第k+1 次迭代的權(quán)重W(k+1)所得TVE值與第k次迭代的權(quán)重W(k)所得TVE值的差值小于η時(shí)，便可得到調(diào)整好的權(quán)重矩陣，即W(k+1)。

圖3 權(quán)重自適應(yīng)調(diào)整法流程Fig.3 Flow chart of weight adaptive adjustment method

2.4 不良數(shù)據(jù)的識(shí)別和處理

同樣也可通過殘差靈敏度矩陣S建立測量誤差εCWLS和測量殘差r的關(guān)系，用測量殘差估計(jì)出測量誤差來對(duì)不良數(shù)據(jù)進(jìn)行識(shí)別和處理。

測量估計(jì)誤差εCWLS為測量相量的估計(jì)值ZCWLS和測量相量的真實(shí)值ZT之差，可表示為

對(duì)式（36）移項(xiàng)并對(duì)兩邊取模值可得絕對(duì)測量誤差 |ε|為

從式（37）可以看出，測量誤差ε為測量估計(jì)誤差εCWLS與測量殘差r之和，由于實(shí)際運(yùn)算中只有測量殘差r可通過計(jì)算得到，而測量誤差ε需要用測量殘差r來表征，這樣就需要建立測量殘差r與測量估計(jì)誤差εCWLS的聯(lián)系。

在一個(gè)復(fù)相量空間C中，帶有權(quán)重的內(nèi)積被定義為

式中：α∈C；β∈C。

根據(jù)式（38）可得測量殘差r和測量估計(jì)誤差εCWLS的點(diǎn)積為

由式（39）可知，測量殘差r和測量估計(jì)誤差εCWLS在空間中相互正交，因此測量殘差r的模向量|r|為絕對(duì)測量誤差 |ε|的一部分。

假設(shè)測量誤差ε中第i個(gè)元素εi為不良數(shù)據(jù)，即 |εi|=c，c為常數(shù)，其余元素都為0，則有

式中，Si和(E-S)i為其對(duì)應(yīng)矩陣的第i列。對(duì)第i個(gè)測量量定義如下指標(biāo)：

式中，Ki為衡量第i個(gè)測量量的指標(biāo)。

根據(jù)式（42）建立了測量估計(jì)誤差εCWLS與測量殘差r的聯(lián)系，這樣第i個(gè)測量量的測量誤差εi可由測量殘差ri表示為

定義RI為衡量絕對(duì)測量誤差 |ε|的指標(biāo)，并用RI進(jìn)行不良數(shù)據(jù)識(shí)別，則式（43）可修正為

采用3σ原則對(duì)測量誤差設(shè)定1 個(gè)檢測閾值ηi，設(shè)第i個(gè)測量量Zmi實(shí)部誤差和虛部誤差的標(biāo)準(zhǔn)差分別為σ1和σ2，則檢測閾值ηi可表示為

式中，ki為可靠系數(shù)，取值范圍設(shè)為1～2。當(dāng)RIi>ηi時(shí)，該測量量被識(shí)別為不良數(shù)據(jù)。

不良數(shù)據(jù)處理一般有剔除法和取代法。剔除法是將檢測為不良數(shù)據(jù)的測量量連同該測量量在測量系數(shù)矩陣和權(quán)重矩陣中對(duì)應(yīng)的元素剔除，然后再進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)；取代法是將檢測到大于閾值ηi的RIi最大值對(duì)應(yīng)的不良數(shù)據(jù)測量值用狀態(tài)估計(jì)后的估計(jì)值取代，重新進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)和不良數(shù)據(jù)識(shí)別，若還存在不良數(shù)據(jù)，則按上述方法繼續(xù)進(jìn)行不良數(shù)據(jù)處理，直至識(shí)別不到不良數(shù)據(jù)。為了不降低量測冗余度，本文不良數(shù)據(jù)處理采用取代法。

綜合上述分析，圖4 給出了配電網(wǎng)狀態(tài)估計(jì)的流程。

圖4 配電網(wǎng)狀態(tài)估計(jì)的流程Fig.4 Flow chart of distribution network state estimation

3 仿真驗(yàn)證

本文采用IEEE33 節(jié)點(diǎn)和IEEE123 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行測試。真實(shí)值是通過對(duì)仿真案例進(jìn)行潮流計(jì)算得到的；測量值是通過在真實(shí)值上添加測量誤差得到的，測量誤差服從期望為0的高斯分布。根據(jù)相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定和實(shí)測PMU誤差情況，仿真中測量誤差的默認(rèn)標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)置如表1所示[27]。

表1 測量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差Tab.1 Standard deviation of measurement error

本文測試采用LS、WLS、CLS、CWLS 和CWLSKCL 等5 種狀態(tài)估計(jì)方法，根據(jù)表1 所示的測量誤差，對(duì)案例進(jìn)行10 000次服從期望為0 的高斯分布的蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)。

3.1 估計(jì)精度測試

首先對(duì)IEEE33節(jié)點(diǎn)和IEEE123節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行估計(jì)精度測試，表2為5種方法的狀態(tài)估計(jì)仿真結(jié)果。

表2 5 種方法的狀態(tài)估計(jì)仿真結(jié)果Tab.2 Simulation results of state estimation obtained using five methods

由表2 可知，LS 和CLS 的TVE 和TAE 都相同，雖然兩者的測量方程不同，但目標(biāo)函數(shù)和約束條件相同，故對(duì)同一狀態(tài)估計(jì)結(jié)果也是相同的；WLS 和CWLS 的估計(jì)精度均優(yōu)于LS 和CLS，這表明合適的權(quán)重矩陣對(duì)提高估計(jì)精度是有效的；CWLS-KCL的估計(jì)精度優(yōu)于CWLS，這表明考慮KCL 定律的節(jié)點(diǎn)電流注入約束能有效提高估計(jì)精度；而WLS的估計(jì)精度低于CWLS，這表明WLS對(duì)復(fù)數(shù)測量誤差拆解成的實(shí)部和虛部后分別進(jìn)行加權(quán)，忽略了實(shí)部和虛部之間的聯(lián)系，會(huì)降低狀態(tài)估計(jì)的精度。

3.2 適應(yīng)性測試

為了進(jìn)行算法的誤差適應(yīng)性測試，分析測量誤差對(duì)狀態(tài)估計(jì)的影響，對(duì)測量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差作出實(shí)際值高于設(shè)定值、實(shí)際值等于設(shè)定值和實(shí)際值低于設(shè)定值3種假設(shè)。3種測量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差如表3所示。

表3 3 種測量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差Tab.3 Three kinds of standard deviation of measurement error

對(duì)IEEE33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行適應(yīng)性測試，4種狀態(tài)估計(jì)方法的計(jì)算結(jié)果如表4所示?？梢钥闯觯S著實(shí)際測量誤差的降低，測量值與真實(shí)值的差值減小，4 種方法的TAE 值隨之減小，而TVE 值隨之增加，但仍小于1，這表明4種方法的估計(jì)結(jié)果都是有效的，在一定程度上能適應(yīng)實(shí)際測量誤差的變化。

表4 4 種狀態(tài)估計(jì)方法的誤差適應(yīng)測試Tab.4 Adaptive test on errors of four state estimation methods

3.3 計(jì)算效率測試

對(duì)IEEE33 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和IEEE123 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算效率測試，表5 為5 種方法仿真所用的平均計(jì)算時(shí)間。

表5 5 種狀態(tài)估計(jì)方法的平均計(jì)算時(shí)間Tab.5 Average calculation time of five state estimation methods

從表5 可以看出，隨著系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)的增加，測量矩陣維數(shù)也隨之增加，計(jì)算效率下降；WLS 和CWLS 的計(jì)算時(shí)間均高于LS 和CLS，這表明增加權(quán)重矩陣會(huì)增加計(jì)算量，降低計(jì)算效率；CLS和CWLS的計(jì)算時(shí)間分別小于LS 和WLS，這表明將測量方程從復(fù)數(shù)域轉(zhuǎn)換成實(shí)數(shù)域會(huì)增加矩陣維數(shù)，降低計(jì)算效率；CWLS-KCL的計(jì)算時(shí)間高于CWLS，這表明考慮KCL 對(duì)節(jié)點(diǎn)注入電流的約束后增加了測量方程的維數(shù)，雖然增加了計(jì)算時(shí)間，但仍然低于WLS。

3.4 權(quán)重自適應(yīng)調(diào)整法測試

權(quán)重自適應(yīng)調(diào)整法可按實(shí)際情況對(duì)初始矩陣進(jìn)行修正，將初始權(quán)重矩陣W(0)按設(shè)定的測量誤差設(shè)置，實(shí)際測量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差按照表3 進(jìn)行設(shè)置。以IEEE33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為案例，對(duì)CWLS的權(quán)重矩陣進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，表6為調(diào)整權(quán)重矩陣后狀態(tài)估計(jì)的TVE值。

表6 初始權(quán)重已知時(shí)的權(quán)重自適應(yīng)調(diào)整法測試Tab.6 Test on weight adaptive adjustment method when initial weight is known

表6 中，W(k)（k=1，2，3）為k次調(diào)整后得到的權(quán)重矩陣；W為按實(shí)際測量誤差設(shè)置的權(quán)重矩陣，可認(rèn)為W為最優(yōu)權(quán)重矩陣。可以看出，在經(jīng)過2次自適應(yīng)調(diào)整權(quán)重矩陣后，W(2)的TVE值已經(jīng)很接近W的TVE值了，這表明權(quán)重自適應(yīng)調(diào)整法在一定程度上是有效的。

在無法通過定權(quán)重法準(zhǔn)確設(shè)置權(quán)重矩陣時(shí)，也可采用自適應(yīng)調(diào)整權(quán)重法獲取權(quán)重矩陣。設(shè)初始權(quán)重矩陣W(0)為單位矩陣，實(shí)際測量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差按照表1 進(jìn)行設(shè)置，表7 給出了調(diào)整權(quán)重矩陣后狀態(tài)估計(jì)的TVE值。其中，W為按定權(quán)重法設(shè)置的權(quán)重矩陣，即仿真情況下通過已知誤差計(jì)算得到的最優(yōu)權(quán)重矩陣。

表7 初始權(quán)重未知時(shí)的權(quán)重自適應(yīng)調(diào)整法測試Tab.7 Test on weight adaptive adjustment method when initial weight is unknown

從表7 可以看出，當(dāng)初始權(quán)重矩陣W(0)為單位矩陣，其狀態(tài)估計(jì)后的TVE 值接近表2 中CLS 狀態(tài)估計(jì)后的TVE值，體現(xiàn)了CLS就是權(quán)重矩陣為單位矩陣的CWLS；而經(jīng)過3 次調(diào)整權(quán)重后，W(3)的TVE值已經(jīng)很接近W的TVE值，再次驗(yàn)證了權(quán)重自適應(yīng)調(diào)整法的有效性和優(yōu)越性。

3.5 不良數(shù)據(jù)的識(shí)別和處理測試

在表1 所示測量誤差的基礎(chǔ)上，對(duì)部分電壓相量增加較大的誤差以形成不良數(shù)據(jù)，對(duì)應(yīng)不良數(shù)據(jù)的節(jié)點(diǎn)和誤差如表8所示。

表8 不良數(shù)據(jù)的節(jié)點(diǎn)和誤差Tab.8 Nodes and errors of bad data

不良數(shù)據(jù)存在的情況下，對(duì)IEEE33 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的測量值進(jìn)行不良數(shù)據(jù)識(shí)別，所得測量值的誤差指標(biāo)和檢測閾值如圖5所示。

圖5 不良數(shù)據(jù)存在時(shí)的測量值誤差指標(biāo)和檢測閾值Fig.5 Measurement error index and detection threshold in the presence of bad data

從圖5可以看出，節(jié)點(diǎn)7、11、16、25、28、32的測量值誤差指標(biāo)超出檢測閾值，根據(jù)本文所提的不良數(shù)據(jù)辨識(shí)算法，上述節(jié)點(diǎn)的測量值被辨識(shí)為不良數(shù)據(jù)，而這些節(jié)點(diǎn)正是預(yù)先設(shè)置不良數(shù)據(jù)的節(jié)點(diǎn)，這表明本文所提的不良數(shù)據(jù)識(shí)辨識(shí)算法可以有效地識(shí)別出不良數(shù)據(jù)。

表9 進(jìn)一步給出了IEEE33 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)在有無不良數(shù)據(jù)處理兩種情況下狀態(tài)估計(jì)精度的對(duì)比。可以看出，在不良數(shù)據(jù)影響下，無不良數(shù)據(jù)處理的狀態(tài)估計(jì)TVE值大于1，這表明狀態(tài)估計(jì)結(jié)果無效；而經(jīng)過不良數(shù)據(jù)處理后狀態(tài)估計(jì)的TVE 值仍然小于1，這表明狀態(tài)估計(jì)結(jié)果有效。上述結(jié)果驗(yàn)證了不良數(shù)據(jù)辨識(shí)算法的有效性。

表9 有無不良數(shù)據(jù)時(shí)的狀態(tài)估計(jì)精度Tab.9 state estimation accuracy with and without bad data

圖6 為有無不良數(shù)據(jù)處理兩種情況下狀態(tài)估計(jì)得出的電壓幅值和相角的估計(jì)值?？梢钥闯觯诓涣紨?shù)據(jù)影響下，測量值嚴(yán)重偏離真實(shí)值，但經(jīng)過不良數(shù)據(jù)處理后，估計(jì)值已經(jīng)與真實(shí)值高度重合；而無不良數(shù)據(jù)處理的估計(jì)值離真實(shí)值仍有一定差距。

3.6 PMU 優(yōu)化布點(diǎn)狀態(tài)估計(jì)測試

測試驗(yàn)證PMU 布點(diǎn)較少情況下的狀態(tài)估計(jì)性能。根據(jù)相關(guān)PMU 優(yōu)化配置方法[10]，圖7 給出了IEEE33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)優(yōu)化布點(diǎn)后PMU配置的數(shù)目和位置。

圖7 IEEE33 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)PMU 的配置結(jié)果Fig.7 PMU configuration result in IEEE 33-bus system

分別采用PMU 全量測和PMU 優(yōu)化布點(diǎn)對(duì)IEEE33節(jié)點(diǎn)進(jìn)行蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)。表10為兩種PMU配置方式下狀態(tài)估計(jì)精度。

表10 不同PMU 配置下狀態(tài)估計(jì)精度Tab.10 state estimation accuracy under different PMU configurations

從表10 可以看出，通過采用PMU 優(yōu)化布點(diǎn)減少了PMU 配置數(shù)量，但網(wǎng)絡(luò)仍然保持可觀測性，狀態(tài)估計(jì)結(jié)果依然保持有效。隨著PMU 布點(diǎn)的減少，得到的測量數(shù)據(jù)也將減少，節(jié)點(diǎn)狀態(tài)量的觀測冗余度下降，相比PMU 全量測，估計(jì)精度有所下降，但TVE 依然遠(yuǎn)小于1。這表明采用有限的測點(diǎn)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)，會(huì)使?fàn)顟B(tài)估計(jì)結(jié)果精度下降，但通過PMU 優(yōu)化布點(diǎn)，狀態(tài)估計(jì)能憑借有限的PMU 布點(diǎn)獲得了全局完整的系統(tǒng)可觀。

4 結(jié) 論

（1）本文在CWLS 算法的基礎(chǔ)上，狀態(tài)估計(jì)模型考慮KCL 定律對(duì)節(jié)點(diǎn)注入電流的約束，給出了CWLS-KCL 狀態(tài)估計(jì)方法，提高了測量量的冗余度，并通過仿真驗(yàn)證了其準(zhǔn)確性和實(shí)時(shí)性。

（2）針對(duì)CWLS 算法中初始權(quán)重可能不是最優(yōu)的情況，本文提出了一種可自適應(yīng)調(diào)整權(quán)重的方法，從而得到更加精確的估計(jì)結(jié)果，解決了算法中初始權(quán)重難以選取或選取不準(zhǔn)的問題。

（3）考慮實(shí)際應(yīng)用中不良數(shù)據(jù)的影響，本文提出了一種適用于復(fù)數(shù)估計(jì)的不良數(shù)據(jù)檢測和辨識(shí)方法，能夠有效辨識(shí)多個(gè)不良數(shù)據(jù)，具有良好的實(shí)用性。

本文所提方法能實(shí)時(shí)準(zhǔn)確地獲取配電網(wǎng)實(shí)時(shí)運(yùn)行狀態(tài)。后續(xù)工作將研究有限PMU 的優(yōu)化布點(diǎn)，在有限PMU 不滿足可觀性的情況下，配合其他量測終端進(jìn)一步提高狀態(tài)估計(jì)的精確度。